专题2.9 二次函数y=ax² k(a≠0)的图像与性质（巩固篇）.docx

1、专题2.9 二次函y=ax2+k(a0)的图像与性质（巩固篇）（专项练习）一、 单选题1抛物线yx2+1的对称轴是（ ）A直线x1B直线x1C直线x0D直线y12若二次函数y=mx2-（m2-3m）x+1-m的图像关于y轴对称，则m的值为（ ）A0B3C1D0或33抛物线y13x2()A开口向上，且有最高点B开口向上，且有最低点C开口向下，且有最高点D开口向下，且有最低点4抛物线的顶点坐标是（ ）ABCD5对于抛物线与抛物线，下列说法错误的是（ ）A开口方向相同B对称轴相同C都有最高点D顶点坐标相同6二次函数在内的最小值是（ ）A3B2C29D307下列函数中，对于任意实数，当时，满足的是（）

2、Ay=3x+2By=2x+1Cy=2x2+1Dy=8已知函数经过A（m，）、B（m1，），若则m的取值范围是（ ）ABCD9已知点，均在抛物线上，则、 的大小关系为（ ）ABCD10下列关于二次函数y=x23的图像与性质的描述，不正确的是()A该函数图像的开口向上B函数值y随着自变量x的值的增大而增大C该函数图像关于y轴对称D该函数图像可由函数y=x2的图像平移得到11已知抛物线y=-x2+1，下列结论：抛物线开口向上；抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；抛物线的对称轴是y轴；抛物线的顶点坐标是（0，1）；抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的其中正确的个数有

3、（ ）A5个B4个C3个D2个12二次函数的图像是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ）A抛物线开口向下B抛物线与轴有两个交点C抛物线的对称轴是直线=1D抛物线经过点（2,3）13下列对二次函数的图像的描述，正确的是（ ）A开口向下B对称轴是y轴C经过原点D在对称轴右侧，抛物线从左到右下降14若二次函数yx2+与yx2+k的图像的顶点重合，则下列结论不正确的是（ ）A这两个函数图像有相同的对称轴B这两个函数图像的开口方向相反C方程x2+k0没有实数根D二次函数yx2k的最大值为15已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线y=x21上，下列说法中正确的是（ ）A若y1=y2，则x

4、1=x2B若x1=x2，则y1=y2C若0x1x2，则y1y2D若x1x20，则y1y216小张同学说出了二次函数的两个条件：(1)当x1时，y随x的增大而增大；(2)函数图像经过点(2，4)则符合条件的二次函数表达式可以是( )Ay(x1)25 By2(x1)214Cy(x1)25 Dy(x2)22017二次函数的图像与的图像形状相同,开口方向相反,且经过点,则该二次函数的解析式为( )ABCD18定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点，这个矩形叫做和谐矩形已知点P(m，n)是抛物线yx2+k上的和谐点，对应的和谐矩形的面积为1

5、6，则k的值可以是（ ）A12B0C4D1619若一条抛物线与的形状相同且开口向下，顶点坐标为，则这条抛物线的解析式为（ ）ABCD20与抛物线y=x2+1的顶点相同、形状相同且开口方向相反的抛物线所对应的函数表达式为（）Ay=x2By=x21Cy=x21Dy=x2+121与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线对应的函数是（ ）ABCD22如图所示是二次函数y=的图像在x轴上方的一部分，对于这段图像与x轴所围成的阴影部分的面积，你认为可能的值是（）A4BC2D823如图，在中，点从点沿边、匀速运动到点，过点作交于点，线段，则能够反映与之间函数关系的图像大致是（ ）A BCD24如

6、图，矩形纸片ABCD中，BC=4，AB=3，点P是BC边上的动点（点P不与点B、C重合）现将PCD沿PD翻折，得到PCD，作BPC的角平分线，交AB于点E设BP=x， BE=y，则下列图像中，能表示y与x的函数关系的图像大致是（ ）ABCD25如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是（ ）ABCD26已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0,2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3,6），P是抛物线上一动点，则PMF周长的最小值是（ ） A5B9C11D13二、 填空题27二次函数图像的顶点坐标是_.28二

7、次函数y=-x2-2图像的顶点坐标是_.29抛物线的顶点坐标是_.30记实数，中的最小值为，例如，当取任意实数时，则的最大值为_31抛物线的开口比抛物线的开口_（填“大”“小”或“相等”）32二次函数y=3x2-3的图像开口向_，顶点坐标为_，对称轴为_，当x0时，y随x的增大而_；当x0，所以y有最_值，当x=_时，y的最_值是_.33设A（1，y1），B（0，y2），C（2，y3）是抛物线yx2+2a上的三点，则y1，y2，y3由小到大关系为_34已知二次函数，如果随的增大而增大，那么的取值范围是_35若点M(2，y1)，N(1，y2)，P(4，y3)在抛物线上，则y1，y2，y3由小到大

8、的顺序为_.36如图，已知抛物线，直线，当任取一值时，对应的函数值分别 为，若，取中的较小值记为；若，记，例如：当时，此时，下列判断：当时，；当时，值越大，值越小；使得大于2的值不存在；使得的值是或其中正确的是_37二次函数y3x2+1和y3（x1）2，以下说法：它们的图像开口方向、大小相同；它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，1）；当x0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；它们与坐标轴都有一个交点；其中正确的说法有_38对于二次函数y3x22，下列说法：最小值为2；图像的顶点是(3，2)；图像与x轴没有交点；当x1时，y随x的增大而增大其中正确的是_39已知二次函数，当分别取时

9、，函数值相等，则当取时，函数值为_40不透明的袋子里装有除标号外完全一样的四个小球，小球上分别标有，这四个数字，从袋子中随机抽取一个小球，记标号为，不放回后将袋子摇匀，再随机抽取一个小球，记标号为.则，使得二次函数的图像同时经过四个象限的概率为_41从抛物线y=2x23的图像上可以看出，当1x2时，y的取值范围是_42请你写出一个二次函数，其图像满足条件：开口向下；与轴的交点坐标为.此二次函数的解析式可以是_43将函数向上平移3个单位后，再绕新函数图像的顶点旋转180所得图像的函数解析式为_44写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式_45写出一个二次函数，其图像满足：开口向下；与y轴交于点（0

10、，2），这个二次函数的解析式可以是_46如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则BC的长为_47如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为，则图中CD的长为_48如图，已知点M（p，q）在抛物线yx21上，以M为圆心的圆与x轴交于A、B两点，且A、B两点的横坐标是关于x的方程x22pxq0的两根，则弦AB的长等于_.49在线段上取点，分别以、为边在的同一侧构造正方形和正方形，点、分别是、的中点，连接，若，则线段的最小值为_50已知二次函数y

11、=2x2的图像如图所示，将x轴沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A、B两点，则AOB的面积为_.51如图，抛物线y=（x-1）2-1与直线y=x交于点O，点B为线段OA上的动点，过点B作BCy轴，交交抛物线于点C，则线段BC长度的最大值为_52如图，在平面直角坐标系中，y轴上一点A（0,2），在x轴上有一动点B，连结AB，过B点作直线lx轴，交AB的垂直平分线于点P(x,y)，在B点运动过程中，P点的运动轨迹是_,y关于x的函数解析式是_.53如图，抛物线与过点（0，-3）且平行于x轴的直线相交于点、，与轴交于点C，若 为直角，则a=_ 三、解答题54在同一平面直角坐标系中画出函数和的图

12、像，并根据图像回答下列问题：（1）抛物线经过怎样的平移才能得到抛物线？（2）函数，当x_时，y随x的增大而减小；当x_时，函数有最大值，最大值是_；其图像与y轴的交点坐标是_，与x轴的交点坐标是_.（3）试说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.55已知二次函数yax2与y2x2+c（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图像的变与不变；（2）若这两个函数图像的形状相同，则a ；若抛物线yax2沿y轴向下平移2个单位就能与y2x2+c的图像完全重合，则c ；（3）二次函数y2x2+c中x、y的几组对应值如表：x215ymnp表中m、n、p的大小关系为 （用“”连接）参考答案1C【分析

13、】由抛物线解析式可直接求得答案解：抛物线y=x2+1，抛物线对称轴为直线x=0，即y轴，故选C【点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）2B【分析】由于函数图像关于y轴对称，则函数的解析式形式应该是y=ax2+c型，由此求得问题的答案解：二次函数y=mx2-（m2-3m）x+1-m的图像关于y轴对称，函数的解析式形式应该是y=ax2+c型，-（m2-3m）=0，解得：m=0或m=3，二次函数的二次项系数m不能为0，m=3故选：B【点拨】本题考查关于y轴对称的抛物线的表达式是y=ax2+c，（a0，a、

14、c为常数）熟练掌握此类型二次函数的性质是解答此题的关键3B【分析】抛物线y=-1+3x2的二次项系数是30，因而抛物线的开口一定向上，则函数一定有最小值，图像存在最低点解：抛物线y=-1+3x2的二次项系数是30，抛物线y=-1+3x2开口向上，且有最低点故选B【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x=，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图像具有如下性质：当a0时，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x=时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点当a0时，抛物线y=ax

15、2+bx+c（a0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x=时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点4C【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标解：y=-2x2-1，该抛物线的顶点坐标为（0，-1），故选：C【点拨】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次和函数的性质解答5D【分析】根据二次函数的性质，结合两函数顶点式形式，即可得出两二次函数的开口方向、顶点坐标以及对称轴和是否有最高点，分别分析即可解：抛物线，此函数顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，a0，开口向下，有最高点，此函数顶点坐标为（0，1），对称轴为y轴，a0，开

16、口向下，有最高点A. 开口方向相同，正确，不符合题意； B.对称轴相同，正确，不符合题意；C. 都有最高点，正确，不符合题意；D. 顶点坐标相同，不正确，符合题意故选：D【点拨】此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出二次函数性质是中考考查重点，同学们应熟练掌握6C【分析】根据图像，直接代入计算即可解答解：由图可知，当x=4时，函数取得最小值y最小值=-216+3=-29故选：C【点拨】本题考查二次函数最小（大）值的求法求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图像直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法7A【解析】分析：根据一次函数、二次函数和反比例函数图像的特点可以判断各个选项中函

17、数图像的变化，从而可以判断各个选项是否符合题意详解：y=-3x+2，y随x的增大而减小，则对于任意实数x1，x2，当x1x2时，满足y1y2，故选项A正确，y=2x+1，y随x的增大而增大，则对于任意实数x1，x2，当x1x2时，满足y1y2，故选项B错误，y=2x2+1，当x0时，y随x的增大而增大，当x0时，y随x的增大而减小，则对于任意实数x1，x2，当x1x2时，足y1不一定大于y2，故选项C错误，y=，y随x的增大而增大，则对于任意实数x1，x2，当x1x2时，满足y1y2，故选项D错误，故选：A点睛：本题考查二次函数图像上点的坐标特征、一次函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是明

18、确一次函数和二次函数图像的变化特点8B【分析】由图像开口向下，对称轴为y=0知，要使，需使A点更靠近对称轴y轴，由此列出关于m的不等式解之即可 解：图像开口向下，对称轴为y=0且，下面解此不等式第一种情况，当m0时，得，解得m0；第二种情况，当时，得，解得；第三种情况，当时，得，解得，无解；综上所述得故选：B【点拨】此题考查二次函数的图像与性质，比较图像上两点的函数值其关键是，当二次函数开口向下时，图像上的点越靠近对称轴时，函数值越大；当二次函数开口向上时，图像上的点越靠近对称轴时，函数值越小9A解：抛物线开口向上，对称轴为直线（即y轴），点比点到对称轴的距离近，.点睛：（1）当抛物线的开口向

19、上时，抛物线上的点距对称轴越近，其纵坐标越小；（2）当抛物线开口向下时，抛物线上的点距对称轴越近，其纵坐标越大.10B【分析】根据二次函数的性质逐一判断即可得解：A由a=10知抛物线开口向上，此选项描述正确；B抛物线的开口向上且对称轴为y轴，当x0时，y随x的增大而证得：故此选项描述错误；由y=x2+2x=(x1)2+1知抛物线的顶点坐标为(1，1)，此选项错误；C抛物线的对称轴为y轴，该函数图像关于y轴对称，此选项描述正确；D该函数图像可由函数y=x2的图像向下平移3个单位得到，此选项描述正确故选：B【点拨】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的性质及二次函数图像平移的规律逐一分析四个选项

20、的正误是解题的关键11B【分析】根据a确定抛物线的开口方向；令y=0解方程得到与x轴的交点坐标；根据抛物线的对称轴、顶点坐标以及平移的性质，对各小题分析判断后即可得解解：a=-10，抛物线开口向下，故本小题错误；令y=0，则-x2+1=0，解得x1=1，x2=-1，所以，抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0），故本小题正确；抛物线的对称轴=0，是y轴，故本小题正确；抛物线的顶点坐标是（0，1），故本小题正确；抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到，故本小题正确；综上所述，正确的有共4个故选B【点拨】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数图像与系数关系是关键.12B解

21、：A、a=2，则抛物线y=2x2-3的开口向上，所以A选项错误；B、当y=0时，2x2-3=0，此方程有两个不相等的实数解，即抛物线与x轴有两个交点，所以B选项正确；C、抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；D、当x=2时，y=24-3=5，则抛物线不经过点（2，3），所以D选项错误，故选B13B【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性子可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题解：二次函数y=x2-1，该函数图像开口向上，故选项A错误；对称轴是y轴，故选项B正确；当x=0时，y=-1，故选项C错误；在对称轴右侧，抛物线从左到右上升，故选项D错误；故选：B【点拨】本题考查了二

22、次函数的性质、二次函数的图像、二次函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答14C【分析】利用二次函数的性质以及解方程的知识解题解：二次函数y=x2+与y=-x2+k的图像的顶点重合，k=，A、B、D正确；C、错误，因为方程-x2+k=0有实数根故选C【点拨】主要考查二次函数的性质15D解：试题分析：A、若y1=y2，则x1=x2；B、若x1=x2，则y1=y2；C、若0x1x2，则在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则y1y2；D、正确故选D考点：二次函数图像上点的坐标特征16D【解析】【分析】可可求得答案.分别求出各选项的对称轴，判断抛物线开口方向，结合图像，

23、判断函数值的增减；把点(2，4)代入解析式可得答案.【详解】A.对称轴是x=1，开口向下，当x1时,y随x的增大而增大,当x=-2时，y4, 不符合条件；B. 对称轴是x=1，开口向上，当x1时,y随x的增大而减小,不符合条件；C. 对称轴是x=-1，开口向下，当-1x1时,y随x的增大而减小,不符合条件；D. 对称轴是x=2，开口向下，当x0时，y随x的增大而增大；当x0，所以y有最小值，当x=0时，y的最小值是3.故答案是：上， (0，-3) ，y轴， 增大，减小，小，0， 小，-3.33y3y1y2【分析】先根据抛物线解析式得到抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质，通过三点与

24、对称轴距离的远近来比较函数值的大小解：，抛物线开口向下，对称轴为y轴，而B（0，y2）在对称轴上，A（1，y1）到对称轴的距离比C（2，y3）近，y3y1y2故答案为：y3y1y2【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键34【分析】由于抛物线y=2x2-1的对称轴是y轴，所以当x0时，y随x的增大而增大解：抛物线y=2x2-1中a=20，二次函数图像开口向上，且对称轴是y轴，当x0时，y随x的增大而增大故答案为：【点拨】本题考查了抛物线y=ax2+b的性质：图像是一条抛物线；开口方向与a有关；对称轴是y轴；顶点（0，b）35【解析】【分析】把点的坐标分别代入抛

25、物线解析式可求得y1，y2，y3的值，比较大小即可解： M(2，y1)，N(1，y2)，P(4，y3)是抛物线上的三点， 故答案为：.【点拨】本题主要考查二次函数图像上点的坐标特征，掌握函数图像上点的坐标满足函数解析式是解题的关键36【分析】根据二次函数和一次函数的图像与性质即可得出答案.解：由题可得，函数图像如图所示当-1x0时，；当x=-1时，；当x-1时，故错误；由可知，当x0时，抛物线与直线的交点坐标为(-1,0)结合图示，可知，当-1x0时，M=，当x越大时，M越大；当x=-1时，M=；当x-1时，M=，当x越大时，M越大，故错误；由以上分析可知，当x0时，则M=，此时，故；当-1x

26、0时，M=，解得0M2；当x-1时，M=，解得M0，故正确；由可得M=1的情况有两种：（1）当x0时，即，解得x=；（2）当-1x0时，2x+2=1，解得x=，故正确；故答案为.【点拨】本题考查的是二次函数和一次函数的图像与性质，难度较大，需要熟练掌握并灵活运用相关基础知识.37【分析】根据二次函数图像的特点得出答案解：因为y=3（x1）2打开括号可知二次项系数为3与y=3x2+1的二次项系数相同，所以开口向上且大小相同正确.y=3（x1）2的对称轴是x=1所以错误.y=3（x1）2的开口向上且对称轴是x=1，所以当0x1时函数值y随x的增大而减小，所以错误.y=3（x1）2与坐标轴有两个交点

27、，所以错误.【点拨】熟练掌握二次函数图像的特点是解该题的关键.38解：根据二次函数的性质，对于二次函数y=3x2+2,可得最小值为2,正确;图像的顶点是(0,2)，错误；图像与x轴没有交点，正确；当x0；=0，1；（0，1），（-1，0）和（1，0）;（3）抛物线的开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，-3）.【解析】【分析】（1）根据作出的图像，即可得到平移方向和单位；（2）由，结合二次函数的图像和性质，即可得到答案；（3）根据二次函数的图像和性质，即可得到答案.解：函数和的图像如图所示.（1）抛物线向下平移1个单位长度才能得到抛物线.（2）函数，当时，y随x的增大而减小；当时，函数有

28、最大值，最大值是1；其图像与y轴的交点坐标是（0，1），与x轴的交点坐标是（-1，0）和（1，0）；故答案为：0；=0；1；（0，1）；（-1，0）和（1，0）.（3）抛物线的开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，-3）.【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，做出图像后即可得到平移的单位和方向解题的关键是掌握二次函数的图像和性质.55（1）二次函数yax2的图像随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y2x2+c的图像随着c的变化，开囗大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）2，2；（3）pmn【分析】(1)根

29、据二次函数的性质即可得到结论；(2)由函数图像的形状相同得到a=2，根据上加下减的平移规律即可求得函数 y =ax2-2，根据完全重合，得到c =-2(3)由二次函数的解析式得到开口方向和对称轴，然后根据点到对称轴的距离即可判断解：（1）二次函数yax2的图像随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y2x2+c的图像随着c的变化，开囗大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）函数yax2与函数y2x2+c的形状相同，a2，抛物线yax2沿y轴向下平移2个单位得到yax22，与y2x2+c的图像完全重合，c2，故答案为：2，2（3）由函数y2x2+c可知，抛物线开口向下，对称轴为y轴，100（2）50，pmn，故答案为：pmn【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像与几何变换，二次函数图像上点的坐标特征，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键