专题20二次函数与对称变换综合问题 -挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）（解析版）.docx

1、挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）专题20二次函数与对称变换综合问题 【例1】（2021秋开化县月考）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“镜像抛物线”例如：y（xh）2k的“镜像抛物线”为y（xh）2+k（1）请写出抛物线y（x2）24的顶点坐标 （2，4），及其“镜像抛物线”y（x2）2+4的顶点坐标 （2，4）写出抛物线的“镜像抛物线”为 （2）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：yax24ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“镜像抛物线”于点C，分别作点B，C关于抛物线对称轴对称的点B，C，连接BC，CC，BC，BB当

2、四边形BBCC为正方形时，求a的值求正方形BBCC所含（包括边界）整点个数（说明：整点是横、纵坐标均为整数的点）【分析】（1）根据定义直接求解即可；（2）分别求出B（1，13a），C（1，3a1），B（3，13a），C（3，3a1），由正方形的性质可得BBBC，即26a2，求出a即可；由求出B（1，1），C（1，1），B（3，1），C（3，1），在此区域内找出所含的整数点即可【解答】解：（1）y（x2）24的顶点坐标为（2，4），y（x2）2+4的顶点坐标为（2，4），的“镜像抛物线”为，故答案为：（2，4），（2，4），；（2）yax24ax+1a（x2）2+14a，抛物线L的“镜像抛物线”

3、为ya（x2）21+4a，点B的横坐标为1，B（1，13a），C（1，3a1），抛物线的对称轴为直线x2，B（3，13a），C（3，3a1），BB2，BC6a2，四边形BBCC为正方形，26a2，a；a，B（1，1），C（1，1），B（3，1），C（3，1），正方形BBCC所含（包括边界）整点有（1，1），（1，1），（3，1），（3，1），（1，0），（3，0），（2，1），（2，0），（2，1）共9个【例2】（2022巩义市模拟）已知，二次函数yax2+bx3 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点，点A的坐标为（1，0），且 OBOC（1）求二次函数的解析式；（2

4、）当0x4 时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？（3）设点C与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使PCC与POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据OBOC可得B点的坐标为（3，0），把A、B的坐标代入二次函数yax2+bx3，求出a、b的值即可；（2）求出二次函数的顶点坐标为（1，4），根据二次函数的性质即可得出答案；（3）先设出P的坐标，根据相似三角形的性质列出方程，解出方程即可得到点P的坐标【解答】解：（1）二次函数yax2+bx3 的图象与y轴交于C点，C（0，3）OBOC，点A在点B的左边，B（3，0）点A的

5、坐标为（1，0），由题意可得，解得：，二次函数的解析式为yx22x3；（2）二次函数的解析式为yx22x3（x1）24，二次函数顶点坐标为（1，4），当x1时，y最小值4，当0x1时，y随着x的增大而减小，当x0时，y3，当1x4时，y随着x的增大而增大，当x4时，y5当0x4时，函数的最大值为5，最小值为4；（3）在y轴上存在点P，使PCC与POB相似，理由如下：设P（0，m），如图，点C与点C关于该抛物线的对称轴直线x1对称，C（0，3）C（2，3）CCOB，PCC与POB相似，且PC与PO是对应边，即：，解得：m9或m，存在，P（0，9）或P（0，）【例3】（2022济宁二模）如图，抛物

6、线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P，B两点作直线l交y轴于点D，交直线AC于点E是否存在这样的直线l：以C，D，E为顶点的三角形与ABE相似？若存在，请求出这样的直线l的解析式；若不存在，请说明理由（3）图2中，点C和点C关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且MBACBC，求M点的横坐标【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）存在直线l，证明ACODBO（ASA）得到OAOD，求出A点坐标即可求出D点坐标，再利用待定系数法求直线解析

7、式即可；（3）连接BM，CC，作CHBC交BC于H，求出tanMBA，进一步可求出N（0，）或N（0，）分情况讨论，即可求出M的横坐标为或【解答】（1）解：抛物线yx2+bx+c过B（3，0），C（0.3），解得：，函数解析式为：yx2+2x+3；（2）解：存在直线l使得以C，D，E为顶点的三角形与ABE相似，当lAC时，以C，D，E为顶点的三角形与ABE相似，ACDEBO，在RtACO和RtDBO中，CODBO（ASA），OAOD，解x2+2x+30，得：x13（不符合题意，舍去），x21，A（1，0），D（0，1），设直线的解析式为：ykx+b，将B（3，0），D（0，1）代入解析式可得，

8、解得：，直线的解析式为：yx+1；（3）解：连接BM，CC，作CHBC交BC于H，抛物线对称轴为直线：x1，CC2，OBOC，BCO45，CCB45，CHBC，CC2，CHCH，OBOC3，BC3，BH，tanCBC，MBACBC，tanMBA，ON，N（0，）或N（0，），当N（0，），如图： B（3，0），直线BN解析式为：yx+，解方程x2+2x+3x+，得：（不符合题意，舍去），M的横坐标为；当N（0，），如图：B（3，0），直线BN解析式为：yx，解方程x2+2x+3x，得：（不符合题意，舍去），M的横坐标为，综上所述：M的横坐标为或【例4】（2022合肥四模）已知抛物线L1：yax

9、2+bx3与x轴交于点A（3，0），B（1，0）（1）求抛物线的表达式；（2）若两个抛物线的交点在x轴上，且顶点关于x轴对称，则称这两个抛物线为“对称抛物线”，求抛物线L1对称抛物线L2的解析式；（3）在（2）的条件下，点M是x轴上方的抛物线L2上一动点，过点M作MNx轴于点N，设M的横坐标为m，记WMN2ON，求W的最大值【分析】（1）将点A（3，0），B（1，0）代入yax2+bx3，即可求解；（2）求出顶点的对称点为（1，4），设抛物线L2的解析式为yn（x+1）2+4，再将抛物线与x轴的交点为（3，0）或（1，0）代入，即可求解析式；（3）由题意可知M（m，m22m+3），N（m，0）

10、，则MNm22m+3，ON|m|，分两种情况讨论；当3x0时，Wm2+3，当m0时，W有最大值3；当0x1时，W（m+2）2+7，当m0时，W有最大值3【解答】解：（1）将点A（3，0），B（1，0）代入yax2+bx3，解得，yx2+2x3；（2）令y0，则x2+2x30，解得x3或x1，抛物线与x轴的交点为（3，0）或（1，0），yx2+2x3（x+1）24，顶点为（1，4），顶点关于x轴的对称点为（1，4），设抛物线L2的解析式为yn（x+1）2+4，抛物线经过点（3，0）或（1，0），n1，yx22x+3； （3）点M是x轴上方的抛物线L2上一动点，3x1，M的横坐标为m，M（m，m2

11、2m+3），N（m，0），MNm22m+3，ON|m|，当3x0时，WMN2ONm22m+3+2mm2+3，当m0时，W有最大值3；当0x1时，WMN2ONm22m+32mm24m+3（m+2）2+7，当m0时，W有最大值3；综上所述：W的最大值为3一解答题（共20题）1（2022广陵区二模）已知二次函数ymx24mx4m+4（m为常数，且m0）（1）求二次函数的顶点坐标；（2）设该二次函数图象上两点A（a，ya）、B（a+2，yb），点A和点B间（含点A，B）的图象上有一点C，将点C纵坐标的最大值和最小值的差记为h当m1时，若点A和点B关于二次函数对称轴对称，求h的值；若存在点A和点B使得h

12、的值是4，则m的取值范围是 0m4【分析】（1）利用配方法求出顶点坐标即可（2）根据A，B关于抛物线的对称轴对称，求出a的值，在求出3x1时，二次函数的最大值，最小值，可得结论分四种情形：当a+22，即a4时，当4a3时，当3a2时，当a2时，分别求出满足条件的m的取值范围，可得结论【解答】解：（1）ymx24mx4m+4m（x2+4x+4）+4m（x+2）2+4，二次函数的顶点坐标为（2，4）（2）点A、B关于对称轴对称2，a3，当m1时，yx24x4+4x24x，则当x3（或x1）时，y最小值3，当x2时，y最大值4，h1结论：0m4，理由如下：当a+22，即a4时，hybyam（a+2+

13、2）2+4m（a+2）2+44m（a+3），h4，44m（a+3），a34，m0，解得m1，当4a3时，h4ya4m（a+2）2+4m（a+2）2，可得a2，423，解得1m4，当3a2时，h4yb4m（a+2+2）2+4m（a+4）2，可得a4，342，不等式无解当a2时，hyaybm（a+2）2+4m（a+2+2）2+44m（a+3），可得a3，32，m1，综上所述，满足条件的m的值为0m4故答案为：0m42（2022绿园区二模）在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象同时经过点A（0，3）、B（2m，3）、C（m，m+3）其中，m0（1）当m1时该二次函数的图象的对称轴是直线 x1求该二

14、次函数的表达式（2）当|m|x|m|时，若该二次函数的最大值为4，求m的值（3）若同时经过点A、B、C的圆恰好与x轴相切时，直接写出该二次函数的图象的顶点坐标【分析】（1）根据所给的点可知A、B两点关于抛物线对称轴对称，利用对称性可求对称轴；利用待定系数法求函数的解析式即可；（2）用的待定系数法求函数的解析式y（xm）2+m+3，再分两种情况讨论：当m0时，mxm，当xm时，函数有最大值m+3；当m0时，mxm，当xm时，函数有最大值；分别求m的值即可求解；（3）先判断ABC是等腰直角三角形，且ACB90，则过点A、B、C的圆是以AB的中点M为圆心，AB为半径，再分两种情况讨论：当m0时，MN

15、AM|m|3，可求C点坐标；当m0时，CMAM3|m|，可求C点坐标【解答】解：（1）A（0，3）、B（2m，3），A、B两点关于抛物线对称轴对称，m1，抛物线的对称轴为直线x1，故答案为：x1；设yax2+bx+c（a0），m1，B（2，3）、C（1，4），将点A、B、C代入yax2+bx+c，解得，yx2+2x+3；（2）A（0，3）、B（2m，3）两点关于抛物线的对称轴对称，抛物线的对称轴为直线xm，设抛物线的解析式为ya（xm）2+m+3，将点A（0，3）代入，am2+m+33，a，y（xm）2+m+3，当m0时，mxm，当xm时，函数有最大值m+3，m+34，m1；当m0时，mxm，

16、当xm时，函数有最大值，4（mm）2+m+3，解得m；综上所述：m的值为1或；（3）A（0，3）、B（2m，3）、C（m，m+3），AB|2m|，AC|m|，BC|m|，ABC是等腰直角三角形，且ACB90，过点A、B、C的圆是以AB的中点M为圆心，AB为半径，如图1，当m0时，M与x轴相切，MNAM|m|3，m3，C（3，6）；如图2，当m0时，M与x轴相切，CMAM3|m|，m3，C（3，0）；综上所述：该二次函数的图象的顶点坐标为（3，6）或（3，0）3（2022荷塘区校级模拟）已知二次函数yax2+bx+c（a0）与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且（x10x2），交y轴于

17、点C，顶点为D（1）a1，b2，c4，求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标；定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”；（2）如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足ACECBE，求ac的值【分析】（1）运用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得出答案；由yx与yax2+bx+c联立可得x23x40，运用根的判别式可得0，即可得出结论；（2）如图，连接AC，先求出直线CD的解析式为yx+c，可得E（，0），再利用求根公式可得：A（，0），B（，0），再证明EACECB，可得CE2AEBE，即c2+（+）（+）

18、，化简即可得出答案【解答】解：（1）当a1，b2，c4时，抛物线解析式为yx2+2x+4，yx2+2x+4（x1）2+5，抛物线的对称轴为直线x1，顶点为D（1，5）；当yx时，x2+2x+4x，整理得：x23x40，（3）241（4）250，二次函数yx2+2x+4有两个不同的“零和点”；（2）如图，连接AC，yax2+bx+c，C（0，c），顶点D（，），设直线CD的解析式为ykx+n，则，解得：，直线CD的解析式为yx+c，E（，0），A（，0），B（，0），AE（）+，BE（）+，ACECBE，AECCEB，EACECB，CE2AEBE，在RtCEO中，CE2OC2+OE2c2+（）2

19、c2+，c2+（+）（+），化简得：ac1，故ac的值为14（2022绥江县二模）已知二次函数yax2+bx3a（a0）的图象经过（3，0）（1）求二次函数的对称轴；（2）点A的坐标为（1，0），将点A向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点B，若二次函数的图象与线段AB有公共点，求a的取值范围【分析】（1）首先利用待定系数法确定函数解析式，然后利用对称轴方程求解；（2）根据平移的性质求得B（2，3），然后由“二次函数的图象与线段AB有公共点”得到4a4a3a3，通过解该不等式求得答案【解答】解：（1）二次函数yax2+bx3a（a0）的图象经过（3，0），把（3，0）代入yax2

20、+bx3a，得9a+3b3a0，化简，得b2a，二次函数的对称轴为：（2）点A的坐标为（1，0），将点A向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点B，B（2，3），a0，开口向下，二次函数图象与线段AB有交点时，4a4a3a3，解得a1，故a的取值范围是：1a05（2022兴化市二模）已知一次函数ykx+m的图象过点（2，3），A（k，y1）、B（k+1，y2）是二次函数yx2（m2）x+2m图象上的两点（1）若该二次函数图象的对称轴是直线x1，分别求出一次函数和二次函数的表达式；（2）当点A、B在二次函数的图象上运动时，满足|y1y2|1，求m的值；（3）点A、B的位置随着k的变化

21、而变化，设点A、B的运动路线分别与直线xn交于点P、Q，当PQ2时，求n的值【分析】（1）利用对称轴为1求出m的值，可得二次函数的解析式，将点（2，3）和m4代入一次函数ykx+m，可得一次函数的解析式；（2）将A（k，y1）、B（k+1，y2）两点分别代入yx2（m2）x+2m，求出|y1y2|1，再利用ykx+m过点（2，3），得出m32k，代入式，最后得出结果；（3）将A，B坐标代入分别表示出yP和yQ，再由m32k，得出yPk2（m2）k+2m，yQ（k+1）2（m2）（k+1）+2m，再将kn，k+1n代入，得出用n表示的yP和yQ，进而得出|yPyQ|2n4|2，求解即可【解答】解

22、：（1）对称轴为x1，解得m4，二次函数的表达式为：yx2（42）x+2x4x22x+8，将点（2，3）和m4代入一次函数ykx+m，得到32k+4，解得：k，一次函数的表达式为yx+4；一次函数表达式：，二次函数的表达式：yx22x+8；（2）将A（k，y1）、B（k+1，y2）两点分别代入yx2（m2）x+2m，得到y1k2（m2）k+2m，y2（k+1）2（m2）（k+1）+2m，|y1y2|1，y1y21，k2（m2）k+2m（k+1）2（m2）（k+1）+2m1，整理得：m2k31，ykx+m过点（2，3），代入得：m32k，将m32k代入式得：k，即k或k，当k时，m32；当k时，

23、m32（），综上所述，m或m（3）解：将A（k，） B（k+1，y2）代入二次函数yx2（m2）x+2m，得yPk2（m2）k+2m，yQ（k+1）2（m2）（k+1）+2m，又一次函数ykx+m过点（2，3），代入得：m32k，yP3k25k+6，yQ3k2k+6，kn，k+1n，把kn代入得yP3n25n+6，把kn1代入yQ3（n1）2（n1）+6，|yPyQ|2n4|2，解得n1或36（2022三门峡一模）已知二次函数yax22ax+2a（a0）（1）该二次函数图象的对称轴是直线x1；（2）若该二次函数的图象开口向上，当1x4时，y的最大值是5，求抛物线的解析式；（3）若对于该抛物线上

24、的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当x2取大于3的任何实数时，均满足y1y2，请结合图象，直接写出x1的取值范围【分析】（1）利用对称轴公式计算即可；（2）构建方程求出a的值即可解决问题；（3）结合图象，分两种情况讨论，当x2取大于3的任何实数时，均满足y1y2，推出当抛物线开口向上，当1x13时，满足条件，由此即可解决问题【解答】解：（1）对称轴x1故答案为1；（2）该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x1，且当1x4时，y的最大值是5，当x4时，y的最大值为5，16a8a+2a5，a，抛物线的解析式为yx2x+1；（3）如图，对称轴为直线x1，x1与x3时的y值相等，x23时，均

25、满足y1y2，当a0时，抛物线开口向下，如图1，不成立；当a0时，抛物线开口向上，如图2，当x2取大于3的任何实数时，均满足y1y2，此时，x1的取值范围是：1x13；由知：当a0时，抛物线开口向上当x2取大于3的任何实数时，均满足y1y2，此时，x1的取值范围是：1x137（2022无锡二模）二次函数yax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A（1，0）、B（4，0）（1）求此二次函数的表达式；（2）如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CDm，垂足为D，点F（，0），动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与FEN相似，求点N的坐

26、标；如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，将射线MA绕点M逆时针旋转45，交抛物线于点P，求点P的坐标；（3）已知Q在y轴上，T为二次函数对称轴上一点，且QOT为等腰三角形，若符合条件的Q恰好有2个，直接写出T的坐标【分析】（1）先求得点C的坐标，设抛物线的解析式为ya（x+1）（x4），将点C的坐标代入求得a的值，从而得到抛物线的解析式；（2）当点C、D、N为顶点的三角形与FEN相似时分两种情况：CDNFEN和CDNNEF，列比例式可解答；如图2所示：过点A作GHy轴，过点M作MGGH于G，过点A作AEAM，交MP于点E，证明AEM是等腰直角三角形，得AMAE，计算点M的坐标，证明MG

27、AAHE（AAS），则EHAG6，AHGM2，利用待定系数法可得直线EA的解析式为y2x+8，与二次函数解析式联立方程，解出可得结论；（3）分T在x轴上，x轴上方和下方三种情况：根据符合条件的Q恰好有2个正确画图可得结论【解答】解：（1）yax2+bx+4，当x0时，y4，C（0，4），设抛物线的解析式为ya（x+1）（x4），将点C的坐标代入得：4a4，解得a1，抛物线的解析式为yx2+3x+4；（2）如图1，抛物线的对称轴是：x，CD，EF+，设点N的坐标为（，a）则ND4a，NEa，当CDNFEN时，即，解得a，点N的坐标为（，）；当CDNNEF时，即，解得：a1a22，点N的坐标为（，

28、2），综上所述，点N的坐标为（，）或（，2）；如图2所示：过点A作GHy轴，过点M作MGGH于G，过点A作AEAM，交MP于点E，AMP45，MAE90，AEM是等腰直角三角形，AMAE，将x1代入抛物线的解析式得：y6，点M的坐标为（1，6），MG2，AG6，GAM+EAH90，EAH+AEH90，GAMAEH，GH90，MGAAHE（AAS），EHAG6，AHGM2，E（5，2），设ME的解析式为ykx+b，将点A和点E的坐标代入得：，解得：，直线EA的解析式为y2x+8，2x+8x2+3x+4，解得：x1（舍）或x4，将x4代入y2x+8得：y0，点P的坐标为（4，0）；（3）分种情况：

29、如图3，当T在x轴上时，满足条件，此时T（，0）；如图4，当T在x轴的上方时，QOT为等腰三角形，且符合条件的Q恰好有2个，OTOQ2OQ1Q1T，OQ1T是等边三角形，TOQ160，BOT30，OE，tan30，ET，T（，）；当T在x轴的下方时，同理得T（，）；综上，T的坐标为（，0）或（，）或（，）8（2022秋乐陵市校级月考）如图，已知二次函数的图象经过A（2，0）、B（0，6）两点（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数的对称轴、顶点坐标；（3）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求ABC的面积（4）若点D为抛物线与x轴的另一个交点，在抛物线上是否存在一点M

30、，使ADM的面积为ABC的面积的2倍，若存在，请求出M的坐标，若不存在，请说明理由【分析】（1）将A（2，0）、B（0，6）两点代入yx2+bx+c，算出b和c，即可得解析式；（2）把求得的解析式化成顶点式即可解决问题；（3）先求出对称轴方程，写出C点的坐标，计算出AC，然后由面积公式计算即可解决问题；（4）方法一：点D为抛物线与x轴的另一个交点，该抛物线图象的对称轴为直线x4，A（2，0），可得点D和点A的关于对称轴对称，所以AD2AC，根据ADM的面积为ABC的面积的2倍，可得ADM和ABC的AD边上的高相等，所以点B和点M是关于对称轴对称的点，进而可得M的坐标；方法二：根据ADM的面积为

31、ABC的面积的2倍，列出方程即可解决问题【解答】解：（1）把A（2，0）、B（0，6）代入yx2+bx+c，得，解得，这个二次函数的解析式为yx2+4x6；（2）yx2+4x6（x4）2+2，二次函数的对称轴为直线x4，顶点坐标为（4，2）；（3）该抛物线图象的对称轴为直线x4，点C的坐标为（4，0），ACOCOA422，SABCACOB266；（4）如图，在抛物线上存在一点M，使ADM的面积为ABC的面积的2倍，理由如下：方法一：点D为抛物线与x轴的另一个交点，该抛物线图象的对称轴为直线x4，A（2，0），D（6，0），点D和点A的关于对称轴对称，AD4，AD2AC，ADM的面积为ABC的面

32、积的2倍，ADM和ABC的AD边上的高相等，点B和点M是关于对称轴对称的点，M（8，6）或（0，6）方法二：点D为抛物线与x轴的另一个交点，该抛物线图象的对称轴为直线x4，A（2，0），D（6，0），AD4，设M（m，m2+4m6），ADM的面积为ABC的面积的2倍，4|m2+4m6|12，当m2+4m66时，0，此方程无解；当m2+4m66时，解得m18，m20，M（8，6）或（0，6）9（2022秋永城市月考）如图，关于x的二次函数yx2+bx+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且过点D（1，4）（1）求b的值及该二次函数图象的对称轴；（2）连接AC，AD，CD，求ADC的面积

33、；（3）在AC上方抛物线上有一动点M，请直接写出ACM的面积取到最大值时，点M的坐标【分析】（1）直接把点D（1，4）代入二次函数yx2+bx+3中得b的值，从而可得结论；（2）根据三角形的面积差可得结论；（3）如图2，过点M作MNy轴，交AC于点N，利用待定系数法可得直线AC的解析式，设点M的坐标为（t，t22t+3），则N（t，t+3），表示MN的长，根据三角形的面积公式并配方成顶点式可得结论【解答】解：（1）把点D（1，4）代入二次函数yx2+bx+3中得：1b+34，b2，yx22x+3（x+1）2+4，对称轴是：直线x1；（2）如图1，连接OD，当y0时，（x+1）2+40，x13，

34、x21，A（3，0），D（1，4），C（0，3），ADC的面积SAOD+SCDOSAOC34+31333；（3）如图2，过点M作MNy轴，交AC于点N，A（3，0），C（0，3），设直线AC的解析式为ykx+m，则，解得：，直线AC的解析式为：yx+3，设点M的坐标为（t，t22t+3），则N（t，t+3），点M是在AC上方抛物线上有一动点，3t0，MN（t22t+3）（t+3）t23t，SAMCMNOA（t23t）（t+）2+，0，当t时，ACM的面积有最大值，此时点M的坐标为（，）10（2022秋越秀区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（0，2），以AB为边向右作等

35、腰直角ABC，BAC90，ABAC，二次函数的图象经过点C（1）求二次函数的解析式；（2）平移该二次函数图象的对称轴所在的直线l，若直线l恰好将ABC的面积分为1：2两部分，请求出直线l平移的最远距离；（3）将ABC以AC所在直线为对称轴翻折，得到ABC，那么在二次函数图象上是否存在点P，使PBC是以BC为直角边的直角三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）过点C作CKx轴交于点K，证明ABOCAK（AAS），得OBAK2，AOCK1，即得点C的坐标为（3，1），用待定系数法有二次函数表达式为yx2x2；（2）由yx2x2可知抛物线的对称轴为直线x，且当直线l将ABC

36、的面积分为左部分比右部分2：1时，直线l平移的距离最远，设此时直线l分别交边BC、AC分别为点M、N，由B（0，2），C（3，1）可得直线BC解析式为yx+2，由A（1，0），C（3，1）可得直线AC解析式为yx，设点M的坐标为，点N坐标为，1t3，根据SCMNSABC，得（3t）（t+2t+），可解得直线l平移的距离最远是3；（3）分两种情况：当PCB90时，由B，B关于直线AC对称，可得BCB90，即点P为直线BC与抛物线的另外一个交点，根据得点P的坐标为；当CBP90时，过B作BTx轴于T，由BOABTA（AAS），可得B（2，2），故BP解析式为yx，由得点P的坐标为（1，1）或【解答

37、】解：（1）过点C作CKx轴交于点K，如图：BAO+CAK90，BAO+OBA90，CAKOBA，又AOBAKC90，ABAC，ABOCAK（AAS），OBAK2，AOCK1，OKAO+AK1+23，点C的坐标为（3，1），将点C的坐标代入yx2+bx2得：19+3b2，解得：b，二次函数表达式为yx2x2；（2）由yx2x2可知抛物线的对称轴为直线x，且当直线l将ABC的面积分为左部分比右部分2：1时，直线l平移的距离最远，如图：设此时直线l分别交边BC、AC分别为点M、N，由B（0，2），C（3，1）可得直线BC解析式为yx+2，由A（1，0），C（3，1）可得直线AC解析式为yx，设点M

38、的坐标为，点N坐标为，1t3，直线l将ABC的面积分为左部分比右部分2：1，SCMNSABC，又AB，（3t）（t+2t+），解得或（舍去），直线l平移的距离最远是3；（3）在二次函数图象上存在点P，使PBC是以BC为直角边的直角三角形，理由如下：当PCB90时，如图：B，B关于直线AC对称，BCABCA45，BCB90，即点P为直线BC与抛物线的另外一个交点，由得：或，点P的坐标为；当CBP90时，过B作BTx轴于T，如图：B，B关于直线AC对称，BAC90，BABA，BAOBAT，BOA90BTA，BOABTA（AAS），ATAO1，OBBT2，OTAO+AT2，B（2，2），由知，BCB

39、90，过B作BC的平行线，与抛物线的交点即为P，直线BC解析式为yx+2，B（2，2），BP解析式为yx，由得或，点P的坐标为（1，1）或，综上所述，点P的坐标为：或（1，1）或11（2022秋西城区校级期中）定义：若两个函数的图象关于某一点Q中心对称，则称这两个函数关于点Q互为“对称函数”例如，函数yx2与yx2关于原点O互为“对称函数”（1）函数yx+1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为 yx1，函数y（x2）21关于原点O的“对称函数”的函数解析式为 y（x2）21；（2）已知函数yx22x与函数G关于点Q（0，1）互为“对称函数”，若函数yx22x与函数G的函数值y都随自变量x的增

40、大而减小，求x的取值范围；（3）已知点A（0，1），点B（4，1），点C（2，0），二次函数yax22ax3a（a0），与函数N关于点C互为“对称函数”，将二次函数yax22ax3a（a0）与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围【分析】（1）结合新定义利用待定系数法解答即可；（2）利用数形结合的方法结合图象，利用新定义的规定解得即可；（3）利用分类讨论的方法分三种情况解答：当“对称函数”的顶点在AB上时，求得函数N的顶点坐标，利用对称性求得对称点的坐标，利用待定系数法即可求解；当两个函数的交点在AB上时，利用两函数与x轴的交点坐标，求函数N的解析

41、式，令y1，即可求得a值；当“对称函数”经过点B时，将坐标代入函数N的解析式即可确定a的取值范围【解答】解：（1）两个函数是关于原点O的“对称函数”，两个函数的点分别关于原点中心对称，设函数yx+1上的任一点为（x，y），则它的对称点为（x，y），将（x，y）代入函数yx+1得：yx+1，yx1函数yx+1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为yx1；同理可得，函数y（x2）2+1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为y（x+2）21，故答案为：yx1；y（x+2）21；（2）函数G的解析式为y（x+1）2+3，如图，函数yx22x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，“对称函数”的开口

42、方向向下，在对称轴的右侧y随自变量x的增大而减小，函数yx22x在对称轴的左边y随自变量x的增大而减小，函数yx22x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，自变量x的取值范围为1x1；（3）当“对称函数”的顶点在AB上时，如图，yax22ax3aa（x1）24a，二次函数yax22ax3a的对称轴为直线x1，点C（2，0）为对称中心，函数N的对称轴为直线x3，函数N的顶点坐标为（3，1），（3，1）关于点C（2，0）对称的点为（1，1），将（1，1）代入yax22ax3a得：a2a3a1，a；当两个函数的交点在AB上时，如图，二次函数yax22ax3a与x轴的交点为（1，0）和（3，0）

43、，点C（2，0）为对称中心，函数N与x轴的交点为（5，0）和（1，0），函数N的解析式为yax2+6ax5a，当y1时，解得：a；当“伴随函数”经过点B时，如图，点B（4，1），1a16+6a45a，解得：a综上，图形W与线段AB恰有2个公共点，a的取值范围为a或a或a12（2022春鼓楼区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax22（a+1）x+a+2（a0）（1）当a时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；（2）请直接写出二次函数图象的对称轴是直线（用含a的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标是 （1，0）（3）若当1x5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；（4）已知点A（

44、0，3）、B（5，3），若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围【分析】（1）利用对称轴公式求得对称轴为直线x7，再代入解析式求得y的值，即可求得顶点坐标；（2）利用对称轴公式求得对称轴，把解析式变形得到y（x1）a（x1）2，即可得到二次函数经过的定点坐标为（1，0）；（3）根据（2）可知：二次函数图象的对称轴为直线x1+，分a0或a0两种情况，分对称轴在已知范围的左边，中间，右边分类讨论最值即可解答；（4）分类讨论顶点在线段AB上，a0，a0，由点A，B和抛物线的位置结合图象求解【解答】解：（1）a时，yx2x+对称轴为直线x7，把x7代入yx2x+得，y8，顶点坐标为（7

45、，8）；（2）yax22（a+1）x+a+2（a0）对称轴为直线x1+，yax22（a+1）x+a+2a（x1）22（x1）（x1）a（x1）2，二次函数经过的定点坐标为（1，0）；故答案为：（1，0）；（3）由（2）知：二次函数图象的对称轴为直线x1+，分两种情况：当a0时，1+1，在自变量x的值满足1x5的情况下，y随x的增大而减小，当x1时，y0，而当1x5时，函数值有最大值为8，所以此种情况不成立；当a0时，1+1，i）当11+3时，即a，当x5时，二次函数的最大值为y25a10（a+1）+a+28，a1，此时二次函数的解析式为yx24x+3；ii）当1+3时，在自变量x的值满足1x5

46、的情况下，y随x的增大而减小，即x1有最大值，所以此种情况不成立；综上所述：此时二次函数的解析式为：yx24x+3；（4）分三种情况：当抛物线的顶点在线段AB上时，抛物线与线段AB只有一个公共点，即当y3时，ax22（a+1）x+a+23，ax22（a+1）x+a+50，4（a+1）24a（a+5）0，a，当a时，x2x+0，解得：x1x24（符合题意，如图1），当a0时，如图2，当x0时，y3；当x5时，y3，解得：5a，0a；当a0时，如图3，当x0时，y3；当x5时，y3，解得：5a，5a0；综上所述，a的取值范围是：a或0a或5a013（2022春西湖区校级期末）如图所示，在矩形AOC

47、D中，把点D沿AE对折，使点D落在OC上的F点已知AO8，AD10（1）求F点的坐标；（2）如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与抛物线仅一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线经过O，F，且直线y6x36是该抛物线的切线求抛物线的解析式并验证点M（5，5）是否在该抛物线上（3）在（2）的条件下，若点P是位于该二次函数对称轴右侧图象上不与顶点重合的任意一点，试比较POF与MOF的大小（不必证明），并写出此时点P的横坐标xP的取值范围【分析】（1）由折叠可知ADAF，再由直角三角形的勾股定理求解即可；（2）设yax2+bx，将F（6，0）代入可得b6a，可得yax26ax，联立方程组，

48、0，可得a1，即可求抛物线的解析式；（3）设P（xP，xP26xP），过点M作MGx轴交于G，过P点作PHx轴交于H，可得MOF45，当POH45时，xP7，再分三种情况讨论：当xP7时POFMOF；当xP7时POFMOF；当3xP7时POFMOF【解答】解：（1）由折叠可知ADAF，AD10，AF10，AO8，OF6，F（6，0）；（2）设yax2+bx，将F（6，0）代入可得b6a，yax26ax，联立方程组，整理得ax26ax6x+360，0，可得a1，yx26x，将点M（5，5）代入yx26x，等式成立，M点在抛物线上；（3）设P（xP，xP26xP），M（5，5），过点M作MGx轴交

49、于G，过P点作PHx轴交于H，MGOG5，MOF45，当POH45时，xPxP26xP，xP0（舍）或xP7，当xP7时POFMOF；当xP7时POFMOF；当3xP7时POFMOF14（2022南京模拟）已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点A（1，0），C（0，3）两点，对称轴为直线x1，对称轴与x轴交于点D（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的点，当ACP45时，求点P的坐标；（3）点F为二次函数图象上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由【分析】（1）由对称轴为直线x1则设

50、抛物线ya（x1）2+k代入点A、C的坐标求出解析式；（2）过AC作AQAC，且AQAC，过A作MNy轴，过C作CNMN于N，过Q作QMMN于M，构建MQANAC，即可得出Q（2，1），求得直线CQ的解析式为：yCQ2x3与抛物线解析式联立即可得出P点坐标；（3）设N（1，n），M（m，m22m3），分以AF为对角线时以AN为对角线时，以AM为对角线时，进行讨论，列出方程组，即可解答问题【解答】解：（1）抛物线对称轴为直线x1，设抛物线ya（x1）2+k，把A（1，0），C（0，3）代入ya（x1）2+k得：，y（x1）24；（2）如图过AC作AQAC，且AQAC，过A作MNy轴，过C作CNM

51、N于N，过Q作QMMN于M，ACQ45，点P即所求的点，QMACNA90，QAC90，1+290，1+MQA90，2MQA，MQANAC（AAS），MANC1，MQAN3，Q（2，1），设直线CQ的解析式为ykx+b，yCQ2x3，P（4，5）；（3）y（x1）24，yx22x3，依题意设N（1，n），M（m，m22m3），C（0，3），对称轴为直线x1，F（2，3），A（1，0），F（2，3），N（1，n），M（m，m22m3），当以AF为对角线时，m0，M（0，3），当以AN为对角线时，m2，M（2，5），当以AM为对角线时，m4，M（4，5），综上所述：M（0，3）或M（2，5）或M（4

52、，5）15（2022兴宁区校级模拟）如图，已知二次函数yax2+bx+c的图象经过点C（2，3），且与x轴交于原点及点B（8，0），点A为抛物线的顶点（1）求二次函数的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使ABM是等腰三角形？如果存在，请求出点M的坐标如果不存在，请说明理由；（3）若点P为O上的动点，且O的半径为，求的最小值【分析】（1）运用待定系数法即可求出答案；（2）分三种情况：当AMBM，时，点P与F重合；当ABAM4时，M在x上方和下方两种情况；当ABBM4时，由等腰三角形“三线合一”即可求出；（3）如图2，以O为圆心，为半径作圆，则点P在圆周上，在OA上取点D，使OD，连接

53、PD，根据相似三角形的判定定理得到APOPDO，根据相似三角形的性质得到2，从而得：PDAP，当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，过点D作DGOB于点G，由于OD，且ABO为等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：（1）由题意，解得：，二次函数的表达式为yx22x；（2）过点A作直线AFx轴于点F，由（1）得y（x4）24，抛物线的顶点A（4，4），AMBM，B（8，0），BF4，AFB90，AFBF4，ABF是等腰直角三角形，M在点F处，ABM是等腰直角三角形，此时M为（4，0），ABAM，由得ABF是等腰直角三角形，BF4，AB4，M为（4，44）或（4，4+4），A

54、BBM，ABBM，BFAM，MFAF，M为（4，4），综上所述，M为（4，0），（4，44）或（4，4+4）或（4，4）；（3）如图2，以O为圆心，为半径作圆，则点P在圆周上，在OA上取点D，使OD，连接PD，则在APO和PDO中，满足：2，AOPPOD，APOPDO，2，从而得：PDAP，AP+PBPD+PB，当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，过点D作DGOB于点G，由于OD，且ABO为等腰直角三角形，则有DG1，DOG45，AP+PB的最小值为：AP+PBDB516（2022南京模拟）已知二次函数解析式为yx1（a0），该抛物线与y轴交于点A，其顶点记为B，点A关于抛物线对称轴

55、的对称点记为C已知点D在抛物线上，且点D的横坐标为2，DEy轴交抛物线于点E（1）求点D的纵坐标（2）当ABC是等腰直角三角形时，求出a的值（3）当0x2时，函数的最大值与最小值的差为2时，求a的取值范围（4）设点R（a3，1），点A、R关于直线DE的对称点分别为N、M，当抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象中，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出a的取值范围【分析】（1）将x2代入抛物线解析式即可求D点坐标；（2）求出B（，），C（a+2，1），由题意可得|1+|，求出a的值即可；（3）分四种情况讨论：当0时，a2符合题意；当2时，a2，符合题意；当01时，2a0，

56、得a2；当12时，0a2，得a2；（4）由A（0，1），R（a3，1），得N（0，5），R（a3，5），当a0且a3时，a30，可得3a8；当a0且a3时，a30，（a3）2（a3）15，解得a15；当a0时，1，解得a0【解答】解：（1）当x2时，y3，D（2，3）；（2）令x0，则y1，A（0，1），yx1（x）2，顶点B（，），抛物线的对称轴为直线x，C（a+2，1），ABC是等腰直角三角形，ABBC，|1+|，解得a2或a，当a2时，B（0，1），C（0，1），此时C点与A点重合，a2（舍）；a2或a；（3）抛物线的对称轴为直线x，当0时，a2，此时当x0时，函数有最大值1，当x2时，

57、函数有最小值3，函数的最大值与最小值的差为2；当2时，a2，此时当x0时，函数有最大值1，当x2时，函数有最小值3，函数的最大值与最小值的差为2；当01时，2a0，此时当x，函数有最大值，当x2时，函数有最小值3，函数的最大值与最小值的差为2，+32，1，解得a2；当12时，0a2，此时当x0时，函数有最大值1，当x时，函数有最小值，函数的最大值与最小值的差为2，1+2，3，解得a2；综上所述：a2或a2时，函数的最大值与最小值的差为2；（4）D（2，3），DEy轴，DE所在直线为y3，A（0，1），R（a3，1），N（0，5），R（a3，5），当a0且a3时，0a8，a30，3a8；此时抛物

58、线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象，y随x的增大而减小；当a0且a3时，解得a8，a30，a3，（a3）2（a3）15，解得a15；此时抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象，y随x的增大而减小；当a0时，1，解得a0，此时抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象，y随x的增大而增大；综上所述：a15或a0或3a8时，符合题意17（2021九龙坡区校级模拟）若直线y2x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数yax2+3x+c的图象经过点A，交x轴于C、D两点，且抛物线的对称轴为直线x（1）求二次函数的解析式；（2）过点C作直线CEAB交y轴于点E，点P是直线C

59、E上一动点，点Q是第一象限抛物线上一动点，求四边形APBQ面积的最大值与此时点Q的坐标；（3）在（2）的结论下，点E是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点G，直线EQ交x轴于点F，在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得MFQ+CAO45，求点M的坐标【分析】（1）先由直线y2x+4求出点A的坐标，再由点A在抛物线上和抛物线的对称轴为直线x列方程组求出a、c的值；（2）根据直线y2x+4求出点B的坐标，根据（1）中求得的抛物线的解析式求出点C的坐标，ABP的面积等于ABC的面积且为定值，设点Q的横坐标为x，过点Q分别作x轴、y轴的垂线，用含x的代数表示ABQ的面积，再根据二次函数的性质求出当ABQ的

60、面积最大时的x值，进而求出四边形APBQ面积的最大值及此时点Q的坐标；（3）通过计算，得出GEGF，可见GFQ45当点M在直线EF下方，则只要作出GFMCAO，则MFQCAO可通过求EQ的解析式的方法求得点F的坐标，再求MG的长，从而得到点M的坐标；当点M在直线EF的上方，作点M关于直线EF的对称点J，求直线FJ的解析式，再求出另一点M的坐标【解答】解：（1）由直线y2x+4与y轴交于点A，得A（0，4），又抛物线经过点A且对称轴为直线x，则c4，由，得a1，二次函数的解析式为yx2+3x+4（2）如图1，作QHAB于点H，QNy轴交直线AB于点N设点Q（x，x2+3x+4），则F（x，2x+

61、4）；当y0时，由x2+3x+40得，x11，x24，C（1，0），D（4，0）；由2x+40，得x2，B（2，0），ABHNQOAB，HQQN（x2+3x+4+2x4）（x2+5x），由CEAB，可得，S四边形APBQSABQ+SABP（x2+5x）+6x2+5x+6（x）2+，当x时，四边形APBQ的面积最大，四边形APBQ的最大面积为，此时Q（，）（3）存在如图2，由yx2+3x+4（x）2+，得E（，），又Q（，），设直线EF的解析式为ykx+b，则，解得，F（，0），GFGE，EGF是等腰直角三角形若点M在直线EF下方，当时，则GFMCAO，MFQ+CAO45，此时MG，M（，）若点

62、M在直线EF上方，作点M关于直线EF的对称点J，连接EJ，则MEJ是等腰直角三角形，EJx轴EJEM，J（，）设直线FJ的解析式为ymx+n，则，解得，y4x+31，当x时，y4+3125，此时，M（，25）综上所述，点M的坐标为（，）或（，25）18（2022成都模拟）如图1所示，直线yx+3与x轴、y轴分别相交于点A，点B，点C（1，2）在经过点A，B的二次函数yax2+bx+c的图象上（1）求抛物线的解析式；（2）点P为线段AB上（不与端点重合）的一动点，过点P作PQy轴交抛物线于点Q，求PQ+PB取得最大值时点P的坐标；（3）如图2，连接BC并延长，交x轴于点D，E为第三象限抛物线上一

63、点，连接DE，点G为x轴上一点，且G（1，0），直线CG与DE交于点F，点H在线段CF上，且CFD+ABH45，连接BH交OA于点M，已知GDFHBO，求点H的坐标【分析】（1）求得A、B两点坐标，将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式，进而求得结果；（2）作PDOB于D，设出点P和Q点坐标，表示出PQ的长，由BPDBAO表示出PB，从而表示出PQ+PB，进而根据二次函数性质求得结果；（3）作CNAD于N，作MTAB于T，根据条件推出BM平分ABO，根据SABM+SBOMSAOB，求得OM长，进而得出直线CG，BM的解析式，进一步求得结果【解答】解：（1）由题意得：A（4，0），B（0，3），

64、y+3；（2）如图1，作PDOB于D，设Q（m，+3），P（m，m+3），PQ+3（，PDOA，BPDBAO，PB，PQ+PBmm，当m，+3，P（，）；（3）如图2，作CNAD于N，作MTAB于T，C（1，2），G（1，0），CNGN2，CGNNCG45，CFD+GDF45，CFD+ABH45，GDFABH，GDFHBO，ABHHBO，OMMT，SABM+SBOMSAOB，5OM+3OM34，OM，M（，0），直线BM的解析式为：y2x+3，C（1，2），G（1，0），直线CG的解析式为：yx+1，由2x+3x+1得，x2，x+11，H（2，1）19（2022秋甘井子区校级月考）抛物线yx2

65、+bx+c过A（1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，点C、D关于抛物线的对称轴对称（1）抛物线的解析式是 yx22x3，ABD的面积为 6；（2）在直线AD下方的抛物线上存在点P，使APD的面积最大，求出最大面积（3）当txt+1时，函数yx2+bx+c的最小值为5，求t的值（4）若点M在y轴上运动，点N在x轴上运动，当以点D、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时M点的坐标【分析】（1）把A（1，0），B（3，0）代入yx2+bx+c中，可求抛物线的解析式，再利用三角形的面积公式求ABD的面积即可；（2）过点P作PMx轴于点M，交AD于点N设点P的横坐标为m，则P（

66、m，m22m3），N（m，m1），可得PNm1（m22m3）m2+m+2可得SAPDSAPN+SDPN（m）2+根据二次函数的最值即可求解；（3）将二次函数解析式化为顶点式，分类讨论xt，xt+1时y取最小值；（4）分三种情形，当DNM90，NDNM时，当DMN90，MNMD时，当NDM90，DNDM时，分别求解即可【解答】解：（1）把A（1，0），B（3，0）分别代入yx2+bx+c（a0）中，得，解得：，抛物线的解析式为yx22x3，C（0，3），点C、D关于抛物线的对称轴对称，yx22x3（x1）24，抛物线的对称轴为x1，点D（2，3），ABD的面积为ABOC436，故答案为：yx22

67、x3，6；（2）过点P作PMx轴于点M，交AD于点N设直线AD的解析式为ykx+a，把A（1，0），D（2，3）分别代入ykx+a中，得，解得：，直线AD的解析式为yx1，设点P的横坐标为m，则P（m，m22m3），N（m，m1），PNm1（m22m3）m2+m+2SAPDSAPN+SDPNPN（xDxA）（m2+m+2）（2+1）（m2m2）（m）2+当m时，APD的最大面积为；（3）yx22x3（x1）24，抛物线开口向上，对称轴为直线x1，顶点坐标为（1，4），当t+11时，t0，当xt+1时，y（t+11）245为最小值，解得t3（舍去）或t3；当t1，t+11时，0t1，此时，函数的

68、最小值为45；当t1时，xt时，y（t1）245为最小值，解得t4或t2（舍去），综上所述，t的值为3或4；（4）当DNM90，NDNM时，如图，过点D作DEx轴于E，DE3，OE2，MONDEN90，DNM90，MNONDE，NDNM，MNONDE（AAS），OMEN，ONDE3，OMENONOE321，M（0，1），如图，同理可得NEOMON+OEDE+OE3+25，M（0，5）；当DMN90，MNMD时，点C、D关于抛物线的对称轴对称CDy轴，DCMMON90DMN，DMCMNO，MNMD，MNODMC（AAS），OMCD2，M（0，2）或（0，2），当NDM90时，过点D作DEx轴于E

69、，同理可得DCMDEN，则DCDN，D（2，3），DC2，DN3，与DCDN矛盾，故此种情况不存在，综上所述，满足条件的M点的坐标为（0，1）或（0，5）或（0，2）或（0，2）20（2021秋沙坪坝区月考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点E与点C关于抛物线对称轴对称，抛物线的对称轴与x轴交于点G（1）求直线AE的解析式及ACE的面积（2）如图1，连接AE，交y轴于点D，点P为直线AE上方抛物线一点，连接PD、PE，直线l过点B且平行于AE，点F为直线l上一点，连接FD、FE，当四边形PDFE面积最大时，在y轴上有一点N，连接PN，过点N作NM垂直于抛物

70、线对称轴于点M，求的最小值（3）连接AC，将AOC向右平移得AOC，当AC的中点恰好落在CAB的平分线上时，将AOC绕点O旋转，记旋转后的三角形为AOC，在旋转过程中，直线AC与y轴交于点K，与直线AC交于点H，在平面中是否存在一点Q，使得以C、K、H、Q为顶点的四边形是以KH为边的菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由抛物线解析式可求得点A，B，C，E的坐标，由待定系数法可求出AE的解析式；根据三角形的面积公式可得出ACE的面积；（2）根据AEBF可得SDEF为定值，由铅锤法可求得SPDE的最大值，此时S四边形PDFE 最大，确定点P坐标，PN+NM+MG的

71、最小值转化为PN+NM+NO的最小值，其中NM是定值，问题本质是“胡不归”问题，再构造60角转化NO，利用垂线段最短即可求得其最小值；（3）根据AC中点落在CAB的角平分线上可确定点O坐标，再求出当CKH为等腰三角形时，K，H的坐标，最后利用翻折或菱形的性质求得点Q坐标【解答】解：（1）作O与y轴夹角是60角的直线l2，作PSy轴交AE于点S，交l2于点J，作NTl2于点T，设直线FB与y轴交于点I，连接IE，IE，如图：（x+1）（x3）（x1）2+，令y0得x1或x3，A（1，0），B（3，0），令x0得y，C（0，），抛物线对称轴为直线x1，C、E关于对称轴对称，E（2，），设直线AE解

72、析式为ykx+b，则，解得，直线AE的解析式为：yx+，D（0，），CDSACECD（xExA）2（1）（2）AEBF，B（3，0）直线BF的解析式为：yx，I（0，），SDEFSDEIDIxE（+）2，设P（m，m2+m+），（1m2），则S（m，m+），PS（mm2+m+）（m+）m2+m+）（m）2+，SPDEPS（xExD）（m）2+2（m）2+，当m时，SPDE有最大值，S四边形PDFE取得最大值，此时P（，），NMMG，MGOG，OGON，NMGMGOGON90，四边形NMGO为矩形，NOMG，PN+NM+MGPN+1+NOPN+1+NOsinNOTPN+1+NT1+PT，当P，N

73、，T三点共线且PTl2时，PN+NM+MG取得最小值，直线l2过原点且NOT60，直线l2的解析式为：yx，J（，），PJ+，PN+NM+MG的最小值为1+sinPJT1+；（3）存在，理由如下：设AC的中点为L，AL平分OAC，作LXOB于点X，如图2：OC，OA1，tanOAC，OACOAC60，AL平分OAC，AALALA30，AAAL，L为AC的中点，LXCO，AL1，AAAL1，即O，A重合，O（1，0）当HCHK时，设直线AC与x轴交于点Y，如图3：将HCK沿y轴翻折可得菱形CHKQ，HKCHCKACO30，OYAOAY60，OYOA1，Y（2，0），kAC，由待定系数法直线AC的

74、解析式为：yx+2，A（1，0），C（0，），直线AC的解析式为：yx+，令x+2x+，解得x，H（，），Q（，）如图4：同理可得：HKCHCK30，YHAYAH60，OYAOAY60，kAC，OYOAOO1，O，K，Y重合，直线AC的解析式为：yx，令x+x，解得xH（，），Q（，）当KHKC时，作QZOC于点Z，如图5：KHCKCH30，CAY60，CKY60，OYCOCY30，kAC，OYOC，Y（1+，0），由待定系数法得直线AC的解析式为：yx1，K（0，1），在菱形CKHQ中，CQCK+1，QCZ2KCH60，CZCQcosQCZ，QZCQsinQCZ，OZOCCZ，Q（，）如图6：KHCKCH30，CAO60CYOAYHOCA30OYOC，kAkAC，Y（1，0），由待定系数法得直线AC的解析式为：yx+1，K（0，+1），在菱形CKHQ中，CQCK+1，CZCQcosQCZ，QZCQsinQCZ，OZOCCZ，Q（，）综上所述，点Q的坐标为：（，）或（，）或Q（，）或（，）