专题21.20 一元二次方程（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）.docx

1、专题21.20 一元二次方程（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】一元二次方程有关概念1. 一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次 方程 2. 一元二次方程的一般式： 3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点说明：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：一个未知数；未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个

2、特点，不要忽视二次项系数不为0【知识点2】一元二次方程的解法1基本思想一元二次方程一元一次方程2基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法要点说明：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法【知识点3】一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，

3、那么，.注意它的使用条件为a0， 0.要点说明：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题 2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程【知识点3】列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际

4、问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等. 要点说明：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【考点一】一元二次方程有关概念【例1】已知a是一元二次方程的根求代数式的值【答案】6

5、【分析】先根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算原式，然后根据方程根的定义可得 ，再结合化简后的式子整体代入求解即可解：，a是一元二次方程的根，即，原式【点拨】本题考查了一元二次方程根的定义、整式的乘法运算和代数式求值，熟练掌握整式的运算法则、掌握整体代入的方法是解题关键【举一反三】【变式1】已知（1）化简；（2）若是一元二次方程的解，求的值【答案】(1)；(2)13【分析】（1）分别计算单项式乘多项式、完全平方，然后进行加减运算即可；（2）由题意知，即，根据，计算求解即可（1）解：，；（2）解：是一元二次方程的解，即，；的值为13【点拨】本题考查了整式的加减运算，一元二次方程的根，代数式

6、求值等知识解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用【变式2】先化简，再求值：，其中是方程的根【答案】，【分析】先根据异分母分式的加减法则，化简分式，再根据是方程的根得到，整体代入进行计算即可得到答案解：，是方程的根，原式【点拨】本题主要考查了分式的化简求值，解一元二次方程，熟练掌握异分母分式的加减的运算法则，以及一元二次方程的解法，整体代入法，是解题的关键【考点二】一元二次方程的解法【例2】解方程：（1） (2) 【答案】(1) ，； (2) 无实数根【分析】（1）利用直接开平方法即可求解； （2）利用公式法计算即可（1）解： （2）解：， ，； 原方程无实数根 【点拨】本题主要考查了一元二次

7、方程的求解，准确计算是解题的关键 【举一反三】【变式1】解一元二次方程：(1) (2) 【答案】(1)，；(2)，【分析】（1）由配方法解方程即可得出答案；（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解（1）解：， （2）， ， ， ， ， ， 或 ，； ，【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键【变式2】解方程(1) (2) 【答案】(1) ，； (2) ，【分析】（1）移项，利用平方差公式分解因式求解可得； （2）用公式法进行求解可得（1）解：， （2）解：， ，即， ，则或， ，解得，；【点拨】本题考查了因式分解法和公式法解一元二次方程，正确掌握解一元二次方

8、程的解法是解题的关键【例3】解方程：【答案】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解解：方程两边同乘，得，整理得，解得：，检验：当时，是增根，当时，原方程的解为【点拨】本题考查了分式方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键【举一反三】【变式1】解方程：【答案】【分析】先移项将原方程进行变形，再等式两边平方得到，然后整理解一元二次方程即可解答解：移项：，两边平方：，整理得：，解得：经检验：是原方程的根，是增根，舍去所以，原方程的根是【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，将原方程化成一元二次方程是解答本题的关键【变式2】解下列方

9、程(1) ；(2) 【答案】(1)； (2)【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可求解；（2）先去分母化分式方程为整式方程，解整式方程求得x的值，代入最简公分母检验即可得（1）解： （2）两边同时乘以得：， ， ， 检验：当时， 为原方程的解【点拨】本题考查解一元二次方程和分式方程，解题的关键是掌握解方程的方法，正确求解【考点三】一元二次方程根的判别式【例4】已知关于x的方程有实数根(1) 求m的取值范围；(2) 当时，求方程的根【答案】(1)；(2)，【分析】（1）根据判别式不小于零，解不等式即可； （2）将m的值代入，求解方程即可（1）解：（1）关于x的方程有实数根，解得（2）解：（2）

10、当时，原方程为即，方程的根为0，2；【点拨】本题考查了一元二次方程的跟的判别式，一元二次方程的解法，是考试中常考的考点.【举一反三】【变式】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根(1) 求的取值范围； (2) 当时，用配方法解方程【答案】(1)且；(2)，【分析】（1）根据题意，可得，注意一元二次方程的系数问题，即可解答，（2）将代入，利用配方法解方程即可（1）解：依题意得：，解得且；（2）解：当时，原方程变为：，则有：，方程的根为，【点拨】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键【例5】已知关于的一元二次方程.(1)求证：方程总有两

11、个不相等的实数根；(2)若方程有一个根是，求方程的另一个根【答案】(1)见分析；(2)方程另一个根为【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式得出，由此可证出方程总有两个不相等的实数根；（2）将1代入方程可得方程为，解方程即可求出另一个根；解：（1），方程总有两个不相等的实数根（2）1是一元二次方程的一个根，方程另一个根为【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解以及解一元二次方程，解答本题的关键是能够熟记根判别式，熟练解答一元二次方程【举一反三】【变式】已知关于的一元二次方程（m为实数）（1）求证：无论m取何值，该方程总有两个实数根；（2）该方程的两个实数根为、（），若，

12、求正数m的值【答案】(1) 见分析； (2) 【分析】（1）直接根据根的判别式证明即可；（2）先根据根与系数的关系求出，的值，再根据完全平方公式的变形求解即可解：（1）无论m取何值，该方程总有两个实数根；（2）方程的两个实数根为、，解得或（舍去）【点拨】本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键当判别式 时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根一元二次方程根与系数的关系：，【考点四】一元二次方程根与系数关系【例6】关于的一元二次方程有两个实数根（1）求的取值范围；（2）若的两条直角边的长恰好是此方程的两

13、个实数根，斜边，求的周长【答案】(1) ； (2) 14【分析】（1）由一元二次方程有两个实数根，结合根的判别式可得出，解之即可得出结论；（2）根据题意，设的两条直角边分别为，由根与系数的关系可得出、，结合勾股定理可得出关于的一元二次方程，解之可得出的值，由方程的两根是对应的直角边长，均为正值，可确定的值，再根据三角形的周长公式即可求出结论（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根，解得：；（2）解：设的两条直角边分别为，是方程的两个实数根，即，解得或，由于是直角三角形的两条直角边，从而有，即，这个三角形的周长为【点拨】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及勾股定理，解题的关键是：（1）由方程

14、有两个实数根找出；（2）利用根与系数的关系结合勾股定理找出【举一反三】【变式1】已知关于的一元二次方程（1）求证无论实数取何值，此方程一定有两个实数根；（2）设此方程的两个实数根分别为，若，求的值【答案】(1)证明见详解；(2)【分析】（1）根据题意证明，即可证明方程一定有两个实数根；（2）根据，把变形为：，即可解：（1）关于的一元二次方程有两个实数根，无论实数m取何值，此方程一定有两个实数根（2），【点拨】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系【变式2】公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量

15、，该品牌头盔3月份销售256个，5月份销售400个，且从3月份到5月份销售量的月增长率均为（1）求月增长率r；（2）经在市场中调查，若此种头盔的进价为30元/个时，定价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？【答案】(1)；(2)50【分析】（1）根据5月份销售量3月份销售量建立方程，解方程即可得；（2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，从而可得月销售量，再根据利润（实际售价 进价）月销售量建立方程，解方程即可得（1）解：由题意得：，解得或（不

16、符合题意，舍去），答：月增长率为（2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，则月销售量为 （个），由题意得：，解得或，要尽可能让顾客得到实惠，答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键【考点五】一元二次方程根的应用【例7】2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件(1) 求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率(2) 从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客经试验，发现该吉祥物

17、每降价1元，月销售量就会增加20件当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？【答案】(1)该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为；(2)该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元【分析】（1）设4月份到6月份的月平均增长率为，根据4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件，可列方程，求解即可；（2）设该款吉祥物降价元，根据单个商品的利润销售量总利润列方程求解即可（1）解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为则解得，（舍去）答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为（2）解：设该款吉祥物降价元则解得，（舍去）元，答：该款吉祥物售价为50元时，月销

18、售利润达8400元【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键【举一反三】【变式1】某水果商场经销一种高档水果，原售价每千克50元(1) 连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同求每次下降的百分率；(2) 若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？【答案】(1)每次下降的百分率为；(2)每千克水果应涨价5元，盈利6000元【分析】

19、（1）设每次降价的百分率为，列出方程求解即可；（2）设每千克涨价元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解（1）解：设每次下降百分率为，根据题意，得，解得：， (不合题意，舍去)答：每次下降的百分率为；（2）设每千克涨价x元， 由题意得：解得：或，商场规定每千克涨价不能超过8元，且要尽快减少库存，答：每千克水果应涨价5元，盈利6000元【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键【变式2】如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为米和米该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场，用总长米的木栏围成，中间预留1米宽的通道，在和边上各留1米宽的门，设长x米(1) 写出的长（用含

20、x的代数式表示）(2) 若饲养场的面积为平方米，求x的值 【答案】(1) 米； (2) 米【分析】（1）用（总长个1米的门的宽度）即为所求；（2）由（1）表示饲养场面积计算即可（1）解：如图，即长度为米；（2）解：由题意知，解得，又，且，（米）【点拨】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解【例8】如图，有一农户用24m长的篱笆围成一面靠墙（墙长12m），大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍(1) 鸡舍的面积能够达到吗？若能，给出你的方案；若不能，请说明理由；(2) 鸡舍的面积能够达到吗？若能，给出你的方案；若不能，请说明理由【

21、答案】(1)能，垂直于墙的一边长为，平行于墙的一边长为；(2)不能，理由见分析【分析】（1）设垂直于墙的一边长，根据题意可得，解方程即可得到答案；（2）设垂直于墙的一边长，由题意可得：，解方程即可得到答案（1）解：能，理由如下：设垂直于墙的一边长，由题意可得：，整理得：，解得：，当时，（不符合题意，舍去），当时，符合题意，垂直于墙的一边长为，平行于墙的一边长为，（2）解：不能，理由如下：设垂直于墙的一边长，由题意可得：，整理得：，此方程无实数根，不能【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出一元二次方程是解题的关键【举一反三】【变式1】如图，某市规划在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点O、P、M、N分别在边、上，且满足，已知五边形中，m，m，m，m请问，四边形人工湖的面积能否为，若能，求出此时的长；若不能，请说明理由 【答案】能，的长为m或m【分析】设，分别求出，的长度，用表示四边形人工湖的面积，利用一元二次方程的判别式可求解解：能，理由如下：如图，延长，于， 四边形是矩形，设，则，若四边形人工湖的面积为，整理得：，解得：，故：能，的长为m或m【点拨】本题考查了矩形的性质，一元二次方程的应用，利用参数表示四边形的面积是解题的关键