专题21.4 配方法（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）.docx

1、专题21.4 配方法（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】用直接开平方法解一元二次方程利用平方根的定义，直接开平方法求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 类型：（1）；（2）（3）【例1】方程的两个根是（）A.， B，C， D，【答案】D【分析】根据直接开平方法求解即可解：，故选：D【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练运用直接开平方法是解题的关键【变式1】若，则的值为（）A B C或 D【答案】A【分析】用直接开平方法即可进行解答解：，或，故选：A【点拨】本题主要考查了直接开平方法，解题的关键是掌握用直接开平方法求解一元二次方程的方法和步骤【变式2】已知关于x的一元二次方程（m，h，k

2、均为常数且）的解是，则关于x的一元二次方程的解是（）A ， B，C， D，【答案】C【分析】把看作关于的一元二次方程，则或，然后解两个一次方程即可解：方程、，均为常数且的解是，对于关于的一元二次方程的解，即或，即，关于的一元二次方程的解是，故选：C【点拨】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程【知识点2】用配方法解一元二次方程用配方法解一元二次方程的步骤：（1） 化：方程两边同时除以二次项的系数，把二次项系数化为1；（2） 移：把一元二次方程常数项移到方程的另一边；（3） 配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程化为（4） 解：开

3、方，解得：【例2】用配方法解方程：（1）； （2）【答案】(1)，； (2) ，【分析】（1）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答；（2）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答（1）解：，；（2），【点拨】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键【变式1】用配方法解下列一元二次方程：（2）； （2） 【答案】(1) (2)【分析】（1）利用配方法解方程即可；（2）利用配方法解方程即可解：（1）， ，（2），【点拨】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟记配方的步骤是解此题的关键【变式2】用配方法解下列方程：（1） （2）【答案】(1)，； (2)，【

4、分析】（1） 先化简，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；（1） 先化简，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得解:（1） 或，（2）化成即，【点拨】考查解一元二次方程-配方法，解题关键是掌握配方法的步骤：将常数项移到方程的右侧将二次项系数化为1结合直接开方法求解【题型一】配方法求值【例1】已知，则的最小值是（）A8BCD9【答案】A【分析】由已知得，注意x的取值范围，代入再配方，利用非负数的性质即可求解解：，且即，当时，的最小值是，故选：A【点拨】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，掌握完全平方公式及确定x的取值范围是解决问题的

5、关键【变式1】对于任意实数x，多项式的值是（）A负数B非正数C正数D无法确定正负的数【答案】C【分析】用配方法把多项式配方，再利用非负数的性质判断多项式的值的情况解：，多项式的值是正数，故选：C【点拨】本题考查了配方法的应用和非负数的性质熟练掌握配方法是解决此类问题的关键【变式2】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用例如：求代数式x2+4x+5的最小值？解答过程如下：解：x2+4x+5x2+4x+4+1（x+2）2+1（x+2）20，当x2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，（x+2）2+11，当（x+2）20时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，x2+4x

6、+5的最小值为1根据上述方法，可求代数式x26x12有最_（填“大”或“小”）值，为_【答案】 大 21【分析】原式配方后，利用非负数的性质求出最大值即可解：x26x+1212（x26x）12（x26x+99）12（x3）2921（x3）2，（x3）20，当（x3）20时，21（x3）2取得最大值21故答案为：大，21【点拨】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键【题型二】用配方法解决实际问题【例2】数学社团的同学们想用边长为的正方形铝板，设计小组会徽，下面是“兴趣小组”和“智慧小组”的设计方案，请认真阅读，并解决问题：“兴趣小组”：我们小组设计的会徽如图

7、1所示，它是由四个全等的“黄金矩形”组成的正方形图案，在该图案中“矩形的宽与长的比等于矩形的长与正方形的边长之比”“智慧小组”：我们小组设计的会徽如图2所示，它是由四个全等的直角三角形组成的“赵爽弦图”，其中小正方形的面积为 解决问题：(1)“兴趣小组”设计的方案中，小矩形的长约等于 （精确到）(2)请你求出“智慧小组”设计的方案中，小直角三角形的两条直角边分别是多少？【答案】(1) ; (2) 小直角三角形的短直角边为，长直角边为【分析】（1）由黄金矩形结合题意可得，再分别求解，可得答案；（2）由题意可得：正方形，可得正方形的边长为，设，则，再解方程即可解：（1）解：如图，矩形的宽与长的比等

8、于矩形的长与正方形的边长之比，黄金矩形， 正方形，（2）如图，由题意可得：正方形， 正方形的边长为，设，整理可得：，解得：，（负数舍去），答：小直角三角形的短直角边为，长直角边为【点拨】本题考查的是黄金矩形的含义，勾股定理的应用，一元二次方程的应用，正方形的性质，二次根式的混合运算，理解题意，选择合适的解题工具是解本题的关键【变式】如图，公园里有两块边长分别为a，b的正方形区域A、B，其中阴影部分M为雕塑区，面积为m，其他部分种植花草 (1) 用含a，b，m的代数式表示种植花草的面积_；(2) 若正方形A的一个顶点恰为正方形B的中心，a比b大20，M的面积是A的，求a的值 【答案】(1) ；

9、(2) 60【分析】（1）根据两个正方形区域的面积和雕塑区的面积之间的关系求解即可；（2）根据M的面积是A的列方程求解即可（1）解：种植花草的面积；（2）依题意得，列方程得，解得，【点拨】此题考查了列代数式，一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点【题型三】利用配方法解与三角形的形状有关的问题【例3】已知：a、b、c是的三边，且，的形状是 _ 【答案】直角三角形【分析】等式配方成，利用非负数性求得a、b、c的长，再利用勾股定理的逆定理即可求解解：，的形状是直角三角形故答案为：直角三角形【点拨】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角

10、形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形【变式】 阅读材料：若，求、的值，根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知一个三角形的三边长分别为、，且、都是正整数，并满足：，则_（2）已知、是的三边长，且满足，试判断的形状（3）试探究关于、的代数式是否有最小值，若存在，求出最小值及此时、的值；若不存在，说明理由【答案】（1）4；（2）为等边三角形；（3）最小值为25，此时，【分析】（1）根据题干中叙述的方法，对等式拆分整理后，利用完全平方公式变形后根据非负数的性质即可得出a和b的值，再结合三角形三边关系即可得出c的值；（2）根据题干中叙述的方法，对等式拆分整理后，利用完全平方公式变形后根据非负数的性质即可得出a、b、c的值，由此可判断三角形的形状；（3）根据题干中叙述的方法，对代数式拆分后，利用完全平方公式变形，根据平方的非负性即可得出代数式的最小值和此时的x和y的值解：（1），三角形的三边长分别为、，且、都是正整数，符合条件的c的值为4故答案为：4；（2），为等边三角形；（3）=，当，代数式有最小值为25，此时，【点拨】本题考查完全平方公式的应用解题的关键是明确题目中的材料，可以将问题中方程转化为材料中的形式