专题24.13 圆的常用辅助线及作法四大题型（沪科版）（解析版）.docx

1、专题24.13 圆的常用辅助线及作法四大题型【沪科版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生圆的常用辅助线及作法四大题型的理解！【题型1 有弦，作弦心距】1（2023湖南岳阳统考一模）如图，在O中，已知AB是直径，P为AB上一点(P不与A、B两点重合），弦MN过P点，NPB=45（1）若AP=2，BP=6，则MN的长为 ；（2）当P点在AB上运动时（保持NPB=45不变），则PM2+PN2AB2= 【答案】 214 12【分析】（1）作OHMN于H，连接ON，如图所示，得到HN=MH，由AP=2，BP=6，得到圆的半径长，由POH是等腰直角三角形，得到O

2、H的长，由勾股定理求出NH的长，即可得到MN的长（2）由PM=MH-PH=NH-OH，PM=NH+PH=NH+OH，得到PM2+PN2=(NH-OH)2+(NH+OH)2=2(NH2+OH2)，因此OH2+NH2=ON2=OA2，得到PM2+PN2=2OA2，即可解决问题【详解】解：（1）作OHMN于H，连接ON，如图所示：HN=MH，AP=2，BP=6，AB=AP+PB=8，ON=4，PO=OA-AP=4-2=2，NPB=45，POH是等腰直角三角形，OH=22PO=2，NH=ON2-OH2=14，MN=2NH=214故答案为：214；（2）由（1）知MH=NH，OH=PH，PM=MH-PH

3、=NH-OH，PM=NH+PH=NH+OH，PM2+PN2=(NH-OH)2+(NH+OH)2=2(NH2+OH2)，OH2+NH2=ON2=OA2，PM2+PN2=2OA2，BA2=(2OA)2=4OA2， PM2+PN2AB2=12，故答案为：12【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，完全平方公式，关键是作辅助线构造直角三角形，应用垂径定理，勾股定理来解决问题2（2023全国九年级专题练习）如图，已知ABC是O的内接三角形，O的半径为2，将劣弧AC（虚线）沿弦AC折叠后交弦BC于点D，连接AD若ACB=60，则线段AD的长为 【答案】23【分析】取折叠后的弧所在圆圆心为O，则O与O设等圆，A

4、CD是公共的圆周角，所以可以证得AB=AD，设O的半径为R，过O作OGAB于G，可得OAB=OBA=30，AB=2AG，即OG=1，根据勾股定理可得AG=3，即可求得【详解】设折叠后的AC所在圆的圆心为O，连接OA，ODAOD=2ACB=120连接OA，OB同理，AOB=120AOB=AODO与O是等圆AB=AD设O的半径为R过O作OGAB于GOA=OB，AOB=120OAB=OBA=30，AB=2AGOG=12OA=1AG=OA2-OG2=3AB=2AG=23故答案为：23【点睛】本题考查了圆中的折叠变换，垂径定理等，注意等圆中的公共角，公共弦，公共弧，这些都是相等的，利用这些等量关系，是解

5、决此类题的突破口3（2023春北京海淀九年级校考开学考试）如图，DE为半圆的直径，O为圆心，DE=62，延长DE到A，使得EA=2，直线AC与半圆交于B，C两点，且DAC=45(1)求弦BC的长；(2)求AOC的面积【答案】(1)22(2)8+22【分析】（1）过点O作OMBC于M，根据垂径定理得BM=CM，由DAC=45得到OM=AM，则OA=OM2+AM2=2OM，再根据勾股定理可计算出CM=OC2-OM2=2，进而可求BC；（2）由（1）可知：CM=2，OM=AM=4，则AC=AM+CM=4+2，然后根据三角形面积公式求解【详解】（1）解：过点O作OMBC于M，如图，则BM=CM，直径D

6、E=62，EA=2，OC=OD=OE=32，OA=OE+AE=42，DAC=45，则AOM=45OM=AM，则OA=OM2+AM2=2OM，OM=4，在RtCOM中，OC=32，CM=OC2-OM2=2，BC=2CM=22；（2）由（1）可知：CM=2，OM=AM=4，AC=AM+CM=4+2，SAOC=12OMAC=1244+2=8+22【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键4（2023春天津和平九年级天津市双菱中学校考开学考试）如图，射线PG平分EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心

7、，5为半径作O分别与EPF的两边相交于A、B和C、D，连接OA，且OAPE(1)求AP的长：(2)若弦AB=8，求OP的长【答案】(1)AP=5；(2)310【分析】（1）根据PG平分EPF得到EPG=FPG，根据OAPE得到POA=FPG，即可得到POA=APO，即可得到答案；（2）过O作OHAB，根据垂径定理得到AH，结合勾股定理即可得到OH，即可得到答案；【详解】（1）解：PG平分EPF，EPG=FPG，OAPE，POA=FPG，POA=APO，PA=OA，O的半径为5，AP=5；（2）解：过O作OHAB，OHAB，AB=8，AH=BH=4，PH=PA+AH=9，在RtAOH中：OH=5

8、2-42=3，在RtPOH中：OP=92+32=310；【点睛】本题考查垂径定理，角平分线的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线根据垂径定理得到线段关系及直角三角形5（2023秋湖北武汉九年级统考期中）以CD为直径的O中，AB为弦，分别过C、D点作AB的垂线，垂足分别为F、E点(1)如图1，若AB为O的直径，求证：AF=BE；(2)如图2，AB为O的非直径弦，试探究线段AF与BE间的数量关系，并说明理由【答案】(1)见解析(2)AF=BE，理由见解析【分析】（1）只需要证明COFDOE，得到OF=OE，再由OA=OB，即可证明AF=BE；（2）如图2，过O作MNAB交CF于M，交DE延长线于

9、N，过作OHAB于H，证明四边形OMFH，ONEH都是矩形，得到OM=FH，ON=HE，再证明CMODNO，得到OM=ON，则FH=EH，即可证明AF=BE【详解】（1）证明：CFAB，DEAB，CFDE，CFO=DEO=90，CFO=DEO，在COF和DOE中，CFO=DEOCOF=DOECO=DO，COFDOEAAS，OF=OE，又OA=OB，AF=BE；（2）解：AF=BE，理由如下：如图2，过O作MNAB交CF于M，交DE延长线于N，过作OHAB于H，CMO=DNO=90，AH=HB，CFAB，DEAB，四边形OMFH，ONEH都是矩形，OM=FH，ON=HE，在CMO和DNO中，CM

10、O=DNOCOM=DONCO=DO，CMODNOAAS，OM=ON，FH=EH，又AH=HB，AF=BE【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，全等三角形的性质与判定，垂径定理，矩形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键6（2023春安徽九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，A6,0，B0,8，点C在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，且CD=6，以CD为直径的第一象限作半圆，交线段AB于点E、F，则线段EF的最大值为（）A3.6B4.8C32D33【答案】B【分析】过CD的中点G作EF的垂线与AB交于点M，过点O作OHAB于H，连接OG、FG，先求出OA=6，OB=8，进而求出AB=1

11、0，再根据等面积法求出OH=4.8，由直角三角形斜边中线的性质得到OG=FG=3，由垂径定理得到EF=2FM，由FM=9-GM2，可知当GM最小时，FM最大，即EF最大，再由OG+GMOH，得到GM最小值=1.8，则FM最大值=9-1.82=2.4，即可得到EF最大值=4.8【详解】解：过CD的中点G作EF的垂线与AB交于点M，过点O作OHAB于H，连接OG、FG A6,0，B0,8OA=6，OB=8，AB=OA2+OB2=10，SABC=12OAOB=12ABOH，OH=OAOBAB=4.8；CD=6，COD=90，G为CD的中点，OG=FG=12CD=3，GMEF，GMF=90，EF=2F

12、M，FM=GF2-GM2=9-GM2，当GM最小时，FM最大，即EF最大，OG+GMOH，3+GM4.8，GM1.8，即GM最小值=1.8，FM最大值=9-1.82=2.4，EF最大值=4.8，故选B【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，坐标与图形，直角三角形斜边上的中线的性质，正确作出辅助线是解题的关键7（2023秋全国九年级专题练习）如图，AC=BD，ACBD于点E，若O的半径为2，则AD的长为（）A2B22C32D4【答案】B【详解】根据垂径定理可以得到OM=ON，再根据全等三角形的判定与性质，可以得到OAM=ODN，从而可以得到AOD=90，最后根据勾股定理即可求得AD的长【解答】

13、解：连接OA，OD，作ONBD于点N，AC=BD，OM=ON，在RtOAM和RtODN中，OA=ODOM=ON，RtOAMRtODN(HL)，OAM=ODN，ACBD，AED=90，ODN+ODA+EAD=90，OAM+ODA+EAD=90，即OAD+ODA=90，AOD=90，OA=OD=2，AD=OA2+OD2=22+82=22，故选：B【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答8（2023秋江苏镇江九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，P的圆心坐标是(3,a)(a3)，半径为3，函数y=x的图像被P截得的弦AB的长为4

14、2，则a的值是（） A4B3+2C32D3+3【答案】B【分析】作PCx轴于C，交AB于D，作PEAB于E，连接PB，求出D点坐标为(3,3)，可得OCD为等腰直角三角形，从而PED也为等腰直角三角形根据垂径定理得AE=BE=22，在RtPBE中，利用勾股定理求出PE=1，再求出PD的长即可求解【详解】解：作PCx轴于C，交AB于D，作PEAB于E，连接PB，如图，P的圆心坐标是(3,a)，OC=3,PC=a，把x=3代入y=x得y=3，D点坐标为(3,3)，CD=3，OCD为等腰直角三角形，PDE=ODC=45，PEAB，PED为等腰直角三角形，AE=BE=12AB=1242=22，在RtP

15、BE中，PB=3，PE=32-(22)2=1，PD=2PE=2，a=3+2故选B【点睛】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，以及垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧正确作出辅助线是解答本题的关键【题型2 有直径，可作直径所对的圆周角】1（2023春北京海淀九年级专题练习）如图，AB是半O的直径，点C是弧AB的中点，D为弧BC的中点，连接AD，CEAD于点E则AEED（）A3B22C2+1D32-1【答案】C【分析】连接AC，BC，CD，在EA上取一点T，使得ET=EC，连接CT证明TA=TC=2EC，EC=DE，可得结论【详解】解：如图，连接A

16、C，BC、CDAB是直径，ACB=90AC=BC，AC=CBCAB=ABC=45CD=DB，CAD=DAB=12BAC=22.5AC=AC，ADC=ABC=45CEDE，CED=90ECD=EDC=45EC=DE在EA上取一点T，使得ET=EC，连接CT设EC=DE=ET=m，则CT=2mETC=45=TAC+ACT，TAC=TCA=22.5AT=TC=2mAE=AT+TE=2m+mAEED=2m+mm=2+1故选：C【点睛】本题考查圆圆周角定理及推论、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟知上述的定理或推论是解题的基础，根据题目特征，在EA上取点T，构造出两个特殊三角形CTE和AC

17、T是解题的关键2.（2023春江苏无锡九年级统考期中）如图，在ABC中，ACB=90(1)请在图1中BC上方作射线BP，使得PBA=CAB；在射线BP上作一点D，作以DB为直径的圆，使其恰好过点C；（作图使用没有刻度的直尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹，并在图中标注字母P、D）(2)在（1）中所作的图形中，设圆交AB于点E，若AC=2，AE=3，则DB的长为_（如需画草图，请使用图2）【答案】(1)见详解(2)9【分析】（1）以A为圆心，任意长度为半径作弧，分别交AC、AB于点M、N，再以点B为圆心，AM为半径作弧，以点J为圆心，MN为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP；再分别以B、C为圆心，

18、以大于12BC的长度为半径作弧，交于点H、I，作直线HI并交射线BP于点O；以点O为圆心，OC的长为半径作圆，即为所作图形；（2）连接DE、CD，首先证明点A、C、D在同一直线上，DAB为等腰三角形，易得AD=BD，AE=BE=12AB，结合等腰三角形的性质可得AB=2AE=6，在RtABC中，利用勾股定理可得BC2=AB2-AC2=32；设BD=x，则CD=x-2，在RtBCD中，利用勾股定理可解得x=9，即可获得答案【详解】（1）解：根据题意，作图如下：（2）连接DE、CD，如下图，BD为O直径，BED=BCD=90，又ACB=90，BCD+ACB=180，点A、C、D在同一直线上，PBA

19、=CAB，AD=BD，AE=BE=12AB，AC=2，AE=3，AB=2AE=6，在RtABC中，BC2=AB2-AC2=62-22=32，设BD=x，则CD=AD-AC=BD-AC=x-2，在RtBCD中，可有BC2+CD2=BD2，即32+(x-2)2=x2，解得x=9，BD=9故答案为：9【点睛】本题主要考查了作图-复杂作图、直径所对的圆周角为直角、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合运用所学知识是解题关键3（2023春黑龙江哈尔滨九年级哈尔滨市第六十九中学校校考学业考试）如图，AB、CD为O的弦，AB与CD相交于点E，AD=BC(1)如图1，求证：BE=DE；(2)如图2，点F

20、在BC上，连接DF、AD，若DF为直径，ABCD，求证：ADF=45；(3)如图3，在（2）的条件下，连接CF、BF，BFCF，若DE=8，BCF的面积为6，求AD的长【答案】(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析(3)10【分析】(1)连接BD，由AD=BC得到B=D即可证明BE=DE；(2)连接AF，由ABCD得到BED=90，由(1)中结论得到EBD=EDB=45，由同弧所对的圆周角相等得到EBD=AFD=45，最后根据DF是直径得到DAF=90即可证明；(3)连接EF，过F点作FHAB于H点，证明CFBE，设CF=a，CE=b，得到SBCF=SECF=12ab=6，进而得到ab=12

21、；再证明四边形CEHF为矩形得到a+b=8，进而求出a、b的值，最后在RtCDF中由勾股定理求出DF=102，在等腰RtADF中，AD=DF2=10【详解】（1）证明：连接DB，如下图所示：AD=BC，B=D，EDB为等腰三角形，ED=EB（2）证明：连接AF，如下图所示：ABCD，BED=90，由(1)中结论得到EBD=EDB=45，同弧所对的圆周角相等，EBD=AFD=45，DF是直径，DAF=90，在RtADF中，ADF=90-AFD=90-45=45（3）解：连接EF，过F点作FHAB于H点，如下图所示：DF为直径，DCF=90=DEB，CFBE，设CF=a，CE=b，SBCF=SEC

22、F=12CFCE=12ab=6，ab=12，DCF=CEH=EHF=90，四边形CEHF为矩形，EH=CF=a，HF=CE=b，由(2)知，ABF=ADF=45，BFH为等腰直角三角形，HB=HF=b，又ED=EB=8，EB=EH+HB=a+b=8，联立：ab=12a+b=8，解得：a=2b=6或a=6b=2，又已知BFCF，即2ba，a=6b=2舍去，CF=2，CE=6，在RtCDF中，由勾股定理可知：DF=CD2+CF2=(8+6)2+22=102,在等腰RtADF中，AD=DF2=1022=10【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理、勾股定理运用、等腰三角形的性质等，综合性强，难

23、度较大4（2023广东广州校考一模）如图，在平面直角坐标系中，y轴的正半轴（坐标原点除外）上两点A(0,3)、B(0,7)，C为x轴的正半轴（坐标原点除外）上一动点当ACB取最大值时，点C的横坐标为（）A5B2C21D21【答案】D【分析】当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，AMB最大，根据圆周角定理得出对应的AEB最大，根据垂径定理和勾股定理即可求解【详解】解：如图所示，当以AB为弦的圆M与x轴正半轴相切时，AMB最大，ACB=12AMB此时的ACB最大，作MDy轴于D，连接MC、MB A(0,3)、B(0,7)，AD=BD=12AB=2，C与x轴相切于点C，CMx轴，OD=MC=MB=OA

24、+AD=3+2=5在直角BMD中，MD=52-22=21，OC=MD=21，点C的横坐标为21，故选：D【点睛】本题考查了圆的切线性质、圆周角定理、垂径定理以及勾股定理，正确理解当以AB为弦的圆与x轴相切时，对应的AEB最大是关键，解题时注意结合图形分析5（2023秋福建厦门九年级福建省厦门集美中学校考期中）如图，在O中，ADBC，连接AB、CD，当AB=2，CD=6时，则O半径长为 【答案】10【分析】作直径DE，连接AE、CE根据直径所对的圆周角是直角，得EAD=ECD=90，则AECB，得CE=AB，则CE=AB进而根据勾股定理即可求解【详解】解：如图，作直径DE，连接AE、CEDE是直

25、径，EAD=ECD=90，AEBC，又ADBC，AECB，CE=AB，CE=ABAB=2，CD=6，EC=2，在RtECD中，DE=EC2+DC2=22+62=210O半径长为10故答案为：10【点睛】此题综合运用了圆周角定理的推论、垂径定理的推论、等弧对等弦以及勾股定理，将AB转化为EC是解题的关键6（2023天津模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC的顶点A，B均在格点上，顶点C在网格线上，BAC=25（）线段AB的长等于 ；（）P是如图所示的ABC的外接圆上的动点，当PCB=65时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证

26、明） 【答案】 13； 如图，取格点D，连接AD并延长，与ABC的外接圆相交于点E，连接BE；取ABC的外接圆与网格线的交点F，G，连接FG与BE相交于点O；连接CO并延长，与ABC的外接圆交于点P，则点P即为所求【分析】（）利用勾股定理可得答案；（）利用勾股逆定理确定格点D，使得DAB=90，故EAC=90-BAC=90-25=65，取ABC的外接圆与网格线的交点F，G，使得FAG=90,则FG与BE相交于点O ，O为圆心，由同弧所对的圆周角相等，可得EAC=EBC=65，因为OB=OC，故OBC=PCB=65【详解】（）AB=22+32=13；故答案为：13（）利用勾股逆定理确定格点D，A

27、D=22+32=13,AB=22+32=13,BD=12+52=26又132+132=262AD2+AB2=BD2DAB=90，EAC=90-BAC=90-25=65，EB是O的直径，由方格知FAG=90,则FG与BE相交于点O ，FG是O的直径O为圆心，AC=CEEAC=EBC=65，OB=OC，OBC=PCB=65故答案为：如图，取格点D，连接AD并延长，与ABC的外接圆相交于点E，连接BE；取ABC的外接圆与网格线的交点F，G，连接FG与BE相交于点O；连接CO并延长，与ABC的外接圆交于点P，则点P即为所求【点睛】此题考查的是勾股定理逆定理的应用，圆的基本性质，复杂的作图，掌握以上知识

28、是解题的关键7（2023春山东烟台九年级校联考期中）如图，AB，CD是O的直径，弦BE与CD交于点F，F为BE中点，AFED若AF=23，则BC的长为 【答案】26【分析】连接AE根据垂径定理可知CDBE根据直径所对圆周角为直角可知AEBE，即得出AEDF从而可判断四边形AEDF为平行四边形，得出AE=DF再根据三角形中位线的性质得出AE=2OF设OF=x，则AE=DF=2x，OD=OF+DF=3x，AB=2OD=6x，从而可利用勾股定理求出BE=AB2-AE2=42x，进而得出EF=12BE=22x再根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x,即可求出BF=22，CF=4，最后可求出BC的长【详

29、解】如图，连接AEF为BE中点，CD是O的直径，CDBEAB是O的直径，AEBE，AEDFAFED，四边形AEDF为平行四边形，AE=DFF为BE中点，O为AB中点，OF为ABE中位线，AE=2OF设OF=x，则AE=DF=2x，OD=OF+DF=x+2x=3x，AB=2OD=6x，BE=AB2-AE2=(6x)2-(2x)2=42x，EF=12BE=22xAF2=AE2+EF2，(23)2=(2x)2+(22x)2，解得：x1=1，x2=-1（舍），OF=1，BF=22，OC=OD=3，CF=OF+OC=4，BC=CF2+BF2=42+(22)2=26故答案为：26【点睛】本题考查垂径定理，

30、圆周角定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理以及三角形中位线的性质连接常用的辅助线是解题关键【题型3 利用四边形的对角互补，作辅助圆】1（2023秋浙江温州九年级期末）如图，点D，E，F分别在ABC的三边上，AB=AC，A=EDF=90，EFD=30，AB=1，下列结论正确的是（）ABD可求，BE不可求BBD不可求，BE可求CBD，BE均可求DBD，BE均不可求【答案】A【分析】连接AD，根据如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆，得出AEDF四点共圆，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，得出BAD=EFD=30，进而得出点D固定，即BD可求；当DEF绕点D旋转时

31、，保持EDF=90不变，根据如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆，得出AEDF四点共圆，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，得出BAD=EFD=30，进而得出点E可以在AB上任何地方，即可得出答案【详解】解：连接AD，A=EDF=90，A+EDF=180，AEDF四点共圆，BAD=EFD=30，点D固定，即BD可求；当DEF绕点D旋转时，保持EDF=90不变，则AEDF四点共圆，BAD=EFD=30依旧不变，即点E可以在AB上任何地方，BE不可求，综上可得：BD可求，BE不可求故选：A【点睛】本题考查了内接四边形的判定定理、圆周角定理、旋转的性质，解本题的关键在

32、得出AEDF四点共圆2（2023春广东梅州九年级校考开学考试）在平面直角坐标系中，已知点A-1,0和直线m的函数表达式为y=x，动点Bx,0在A点的右边，过点B作x轴的垂线交直线m于点C，过点B作直线m的平行线交y轴于点D，当CAD=45时，则x的值为 【答案】12或-13【分析】先根据题意画出图形，分两种情况：当点B在原点右边时，证明A、C、B、D四点共圆，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等从而得到ACD是直角三角形，分别在RtABC和RtACD中用x表示出AC，构造方程求解x值；如图2，当B点在A点右边，O点左边时，可得A、C、O、D四点共圆，根据同弧或等弧所对的圆周角相等从而得到ACD=9

33、0，分别在RtAOD和RtACD中用x表示出AD，构造方程求解x值【详解】解：分两种情况：如图，当点B在原点右边时，Bx,0中x0，BC=OB=OD=x，AB=1+x，CBA=90，ABD=45，在RtABC中，根据勾股定理得AC2=x2+1+x2CAD=45，CBD=CBA+ABD=135，CAD+CBD=180A、C、B、D四点共圆连接CD，则ADC=ABC=90，又CAD=45，AD=CD在RtADO中，利用勾股定理可得AD2=1+x2，在RtACD中，AC2=2AD2=2（1+x2），x2+（1+x）2=2（1+x2），解得x=12如图，当B点在A点右边，O点左边时，此时OB=x同理可

34、得A、C、O、D四点共圆，ACD=90，在RtAOD中，AD2=1+x2，在RtABC中，AC2=1-x2+x2=2x2-2x+1在RtACD中，AD2=2AC2=4x2-4x+21+x2=4x2-4x+2，解得x=-13故答案为：12或-13【点睛】本题主要考查了一次函数图象和性质、勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，已知圆内接四边形求角度，对点B的位置分类讨论是解题的关键3（2023春重庆九龙坡九年级重庆市杨家坪中学校考期中）如图，正方形ABCD中，AB=7，点E、F分别在AD、AC上的两点，BFEF，AE=3，则四边形ABFE的面积为 【答案】25【分析】过F作GHBC于H，交AD于G

35、，由四边形ABCD是正方形，可得ADBC，BAC=45，BAD=90，而BFEF，即得BAE+BFE=180，A，B，F，E共圆，有BEF=BAC=45，故EF=BF，可得EGFFHBAAS，从而EG=FH，GF=BH，设EG=FH=x，可得3+x=7-x，解得x=2，得GF=BH=5，由三角形面积公式得SABF=352，SAEF=152，从而可得答案【详解】解：过F作GHBC于H，交AD于G，如图：四边形ABCD是正方形，ADBC，BAC=45，BAD=90，GHAD，EGF=90=FHB，BFEF，BAE+BFE=180，A，B，F，E共圆，BEF=BAC=45，BEF是等腰直角三角形，E

36、F=BF，EFG=90-BFH=FBH，EGFFHBAAS，EG=FH，GF=BH，设EG=FH=x，BAD=90=AGH=GHB，四边形AGHB是矩形，GH=AB=7，BH=AG=AE+EG=3+x，GF=GH-FH=7-x，3+x=7-x，解得x=2，GF=BH=5，SABF=12ABBH=1275=352，SAEF=12AEGF=1235=152，S四边形ABFE=352+152=25，故答案为：25【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理4（2023秋浙江嘉兴九年级校考期中）如图，ABC是等腰直角三角

37、形，ABAC4，点D是斜边BC的中点，将ABC绕点D旋转得到GEF，直线AG、FC相交于点Q，连接BQ，线段BQ长的最大值是 【答案】25+2【分析】连结DG，根据将ABC绕点D旋转得到GEF，可得ABCGEF，可得AD=GD，CD=FD，由ABC是等腰直角三角形，点D是斜边BC的中点，AD=GD=CD=FD，由旋转角相等可得ADG=CDF，可证DAQ=DCF，可知四点A、D、C、Q共圆如图，由ADDC，AC为四点A、D、C、Q共圆的直径，当BQ过圆心O时，BQ最大，然后利用勾股定理求出BO即可【详解】解：连结DG，将ABC绕点D旋转得到GEF，ABCGEF，AD=GD，CD=FD，ABC是等腰直角三角形，点D是斜边BC的中点，AD=GD=CD=FD，ADG=CDF，DAG=DGA=180-ADG2=180-CDF2=DCF=DFC，DAQ=DCF，