专题24.4 垂径定理及其推论【十大题型】（举一反三）（沪科版）（解析版）.docx

1、专题24.4 垂径定理及其推论【十大题型】【沪科版】【题型1 由垂径定理及其推论判断正误】1【题型2 根据垂径定理与勾股定理综合求值】3【题型3 根据垂径定理与全等三角形综合求值】8【题型4 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】14【题型5 利用垂径定理求平行弦问题】19【题型6 利用垂径定理求同心圆问题】23【题型7 垂径定理的实际应用】27【题型8 垂径定理在格点中的运用】33【题型9 利用垂径定理求整点】38【题型10 利用垂径定理求最值或取值范围】41【知识点1 垂径定理及其推论】（1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧（2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直

2、径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧【题型1 由垂径定理及其推论判断正误】【例1】（2023春九年级单元测试）如图，CD是O的直径，弦ABCD于点E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（ ）AAE=BEBAD=BDCOE=DEDAC=BC【答案】C【分析】根据垂径定理判断即可；【详解】直径CD垂直于弦AB于点E，则由垂径定理可得，AE=BE，AD=BD，AC=BC，故选项A，B，D正确；OE=DE无法得出，故C错误故选C【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，

3、准确分析判断是解题的关键【变式1-1】（2023春北京海淀九年级人大附中校考阶段练习）在学习了圆这一章节之后,甲、乙两位同学分别整理了一个命题:甲:相等的弦所对的圆心角相等;乙:平分弦的直径垂直于这条弦.下面对这两个命题的判断,正确的是A甲对乙错B甲错乙对C甲乙都对D甲乙都错【答案】D【分析】根据在同圆或等圆中, 如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、 两条弦中有一组量相等, 则另外两组量也相等，可判断甲命题；由垂径定理可得判断乙命题.【详解】(1)在同圆或等圆中, 相等的弦所对的弧对应相等,故甲命题错误; (2)平分弦的直径垂直于不是直径的弦; 故乙命题项错误;故选D.【点睛】本题主要考查同圆

4、或等圆中，弧、弦、圆心角的关系及垂径定理.【变式1-2】（2023春全国九年级专题练习）下列命题正确的是（）A垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧B弦的垂直平分线经过圆心C平分弦的直径垂直于弦D平分弦所对的两条弧的直线垂直于弦【答案】ABD【分析】根据垂径定理及其推论进行判断即可【详解】A、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，正确；B、弦的垂直平分线经过圆心，正确；C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；D、平分弦所对的两条弧的直线垂直于弦，正确；故选ABD【点睛】本题考查了垂径定理：熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键【变式1-3】（2023福建三明泰安模拟）如图，AB是O的直径，弦CD

5、AB于点E，则下列结论正确的是（）ADE=BEBBC=BDCBOC是等边三角形D四边形ODBC是菱形【答案】B【详解】试题分析：ABCD，AB过O，DE=CE，BC=BD，根据已知不能推出DE=BE，BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形故选B【考点】垂径定理【题型2 根据垂径定理与勾股定理综合求值】【例2】（2023贵州遵义统考三模）在半径为r的圆中，弦BC垂直平分OA，若BC=6，则r的值是（）A3B33C23D332【答案】C【分析】设BC、OA交于D，根据题意和垂径定理得到OD=12r，BD=3，ODB=90，在RtOBD由勾股定理得到r2=32+r22，解方程即可得到答案【详解】解

6、：设BC、OA交于D，弦BC垂直平分OA，BC=6，OD=12OA=12r，BD=12BC=3，ODB=90，在RtOBD中，由勾股定理得OB2=OD2+BD2，r2=32+r22，解得r=23，故选C【点睛】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，利用方程的思想求解是解题的关键【变式2-1】（2023春浙江九年级统考阶段练习）如图，已知O的半径为5，弦AB=8，点E在AB上运动，连结OE，过点E作EFOE交O于点F，当EF最大时，OE+EF的值为 【答案】7【分析】当OEAB，EF最大，即点F与点B重合，过O作OEAB于E，连接OB，根据垂径定理得到BE=4，根据勾股定理得到OE=OB2-BE2，

7、从而得到答案【详解】解：当OEAB，EF最大，即点F与点B重合，过O作OEAB于E，连接OB，AB=8，BE=4，OB=5，OE=OB2-BE2=3，OE+EF=OE+OB=7，故答案为7【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键.【变式2-2】（2023湖北孝感校联考一模）如图，ABC内接于O，OCOB，ODAB于D交AC于E点，已知O的半径为1，则AE2+CE2 的值为（）A1B2C3D4【答案】B【分析】连接BE，根据垂径定理得到AD=DB，得到EA=EB，EAO=EBO=ACO，根据勾股定理计算即可【详解】解：连接BE，如图，ODAB，AD=DB，EA=EB，E

8、AO=EBO=ACO，ECB+EBC=ECO+45+EBC=OBE+45+EBC=90，BEC=90，在直角BEC中，BE2+CE2=BC2，OCOB，且OC=OB=OABC2=2OA2=2，BE2+CE2=2，即AE2+CE2=2故选：B【变式2-3】（2023春江苏泰州九年级校考阶段练习）如图，在O中，AB是直径，P为AB上一点，过点P作弦MN，NPB=45（1）若AP=2，BP=6，求MN的长；（2）若MP=3，NP=5，求AB的长；（3）当P在AB上运动时（NPB=45不变），PM2+PN2AB2的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请求出其范围【答案】（1）214；（2）21

9、7；（3）不变，值为12【分析】（1）作OHMN于H，连接ON，先计算出OA=4，OP=2，在RtPOH中，由于OPH=45，则OH=22OP=2，再在RtOHN中，利用勾股定理计算出NH=14，然后根据垂径定理由OHMN得到HM=HN，所以MN=2NH=214；（2）作OHMN于H，连接ON，先计算出HM=HN=4，PH=1，在RtPOH中，由OPH=45得到OH=1，再在RtOHN中利用勾股定理可计算出ON=17，所AB=2ON=217；(3) 作OHMN于H，连接ON，根据垂定理得HM=HN，设圆的半径为R，在RtOHN中，利用勾股定理得到OH2+NH2=ON2=R2，在RtPOH中，由

10、OPH=45得OH=PH，则PH2+NH2=R2，然后变形PM2+PN2可得到2（PH2+NH2），所以PM2+PN2的值为2R2，又AB=2R，代入计算即可求出答案【详解】解：（1）作OHMN于H，连接ON，AP=2，BP=6，AB=8，OA=4，OP=2，在RtPOH中，OPH=45，OH=22OP=2，在RtOHN中，ON=4，OH=2，NH=NO2OH2=4222=14，OHMN，HM=HN，MN=2NH=214；（2）作OHMN于H，连接ON，则HM=HN，MP=3，NP=5， MN=8，HM=HN=4，PH=1，在RtPOH中，OPH=45，OH=1， 在RtOHN中，HN=4，O

11、H=1，ON=OH2+NH2=17，AB=2ON=217；（3）PM2+PN2AB2的值不发生变化，为定值12，作OHMN于H，连接ON，则HM=HN，设圆的半径为R，在RtOHN中，OH2+NH2=ON2=R2， 在RtPOH中，OPH=45，OH=PH，PH2+NH2=R2，PM2+PN2=（HM-PH）2+（NH+PH）2=（NH-PH）2+（NH+PH）2=2（PH2+NH2）=2R2又AB2=4R2，PM2+PN2AB2=2R24R2=12PM2+PN2AB2的值不发生变化，为定值12【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理【题型3

12、根据垂径定理与全等三角形综合求值】【例3】（2023春江苏九年级专题练习）如图，O的弦AB垂直于CD，点E为垂足，连接OE若AE1，AB=CD=6，则OE的值是（）A22B32C42D52【答案】A【分析】如图所示，过O点作OHAB于H点，OFCD于F点，连接OB、OC，根据垂径定理可求出EH的值，再证RtOBHRtOCF(HL)，可得OH=OF，根据正方形的判定可得四边形OHEF为正方形，由此即可求解【详解】解：如图所示，过O点作OHAB于H点，OFCD于F点，连接OB、OC，根据垂径定理得，DF=CF=12CD=126=3，AH=BH=12AB=126=3，AE=1，EH=AH-AE=3-

13、1=2，在RtOBH和RtOCF中，OB=OCBH=CF，RtOBHRtOCF(HL)，OH=OF，CDAB，HEF=90，OHE=OFE=90，四边形OHEF为正方形，OE是正方形的对角线，OE=2EH=22，故选：A【点睛】本题考查圆与三角形的综合，掌握圆的基础值，垂径定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键【变式3-1】（2023春全国九年级专题练习）如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作COEO交圆O于点C，作CDAB于点D，已知直径为10，OE4，求OD的长度【答案】3【分析】根据垂径定理的逆定理得到OEAF，由COEO，得

14、到OCAF，即可得到OAECOD，然后通过证得AEOODC，证得CDOE4，然后根据勾股定理即可求得OD【详解】解：E点为AF中点，OEAF，COEO，OCAF，OAECOD，CDAB，AEOODC，在AEO和ODC中，OAE=CODAEO=ODCOA=OC，AEOODC（AAS），CDOE4，OC5，ODOC2-CD252-423【点睛】本题考查垂径定理的逆定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握垂径定理和全等三角形的判定与性质是解答的关键【变式3-2】（2023上海统考中考真题）已知：在圆O内，弦AD与弦BC交于点G,AD=CB,M,N分别是CB和AD的中点，联

15、结MN,OG（1）求证：OGMN；（2）联结AC,AM,CN，当CN/OG时，求证：四边形ACNM为矩形【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连结OM,ON，由M、N分别是CB和AD的中点，可得OMBC，ONAD，由AB=CD， 可得OM=ON，可证RtEOPRtFOPHL，MG=NG，MGO=NGO，根据等腰三角形三线合一性质OGMN;（2）设OG交MN于E，由RtEOPRtFOP，可得MG=NG，可得CMN=ANM，CM=12CB=12AD=AN，可证CMNANM可得AM=CN，由CNOG，可得AMN=CNM=90，由AMN+CNM=180可得AMCN，可证ACNM是平行四边形，

16、再由AMN=90可证四边形ACNM是矩形【详解】证明：（1）连结OM,ON，M、N分别是CB和AD的中点，OM，ON为弦心距，OMBC，ONAD，GMO=GNO=90，在O中，AB=CD， OM=ON，在RtOMG和RtONG中，OM=ONOG=OG，RtGOMRtGONHL，MG=NG，MGO=NGO，OGMN; （2）设OG交MN于E，RtGOMRtGONHL，MG=NG，GMN=GNM，即CMN=ANM，CM=12CB=12AD=AN，在CMN和ANM中CM=ANCMN=ANMMN=NM，CMNANM，AM=CN,AMN=CNM，CNOG，CNM=GEM=90，AMN=CNM=90，AM

17、N+CNM=90+90=180，AMCN，ACNM是平行四边形，AMN=90，四边形ACNM是矩形【点睛】本题考查垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定，掌握垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定是解题关键【变式3-3】（2023春江西赣州九年级统考期末）按要求作图(1)如图1，已知AB是O的直径，四边形ACDE为平行四边形，请你用无刻度的直尺作出AOD的角平分线OP；(2)如图2，已知AB是O的直径，点C是BD的中点，ABCD，请你用无刻度的直尺在射线DC上找一点P，使四边形ABPD是平行四边形【答案】(

18、1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接AD，EC交于点F，作射线OF交O于点P，OP即为所求；（2）连接DB，OC交于点E，作射线AE交DC于点P， 四边形ABPD即为所求【详解】（1）解：如图1，连接AD，EC交于点F，作射线OF交O于点P，OP即为所求；四边形ACDE为平行四边形，AF=DF，OA=OD， OP是AOD的角平分线；（2）如图2，连接OD，连接DB，OC交于点E，作射线AE交射线DC于点P， 四边形ABPD即为所求；点C是BD的中点，OCDB,OD=OB，DE=EB，ABCD，ABE=PDE，在ABE与PDE中，ABE=PDEAEB=PEDDE=BE，ABEPDE，AB=D

19、P， ABDP，四边形ABPD是平行四边形【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，垂径定理，三线合一，掌握以上知识是解题的关键【题型4 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】【例4】（2023春九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，P的圆心坐标是(3,a)(a3)，半径为3，函数y=x的图像被P截得的弦AB的长为42，则a的值是（） A4B3+2C32D3+3【答案】B【分析】作PCx轴于C，交AB于D，作PEAB于E，连接PB，求出D点坐标为(3,3)，可得OCD为等腰直角三角形，从而PED也为等腰直角三角形根据垂径定理得AE=BE=22，在RtPBE中，利用勾股定理求出PE=1，再求出P

20、D的长即可求解【详解】解：作PCx轴于C，交AB于D，作PEAB于E，连接PB，如图，P的圆心坐标是(3,a)，OC=3,PC=a，把x=3代入y=x得y=3，D点坐标为(3,3)，CD=3，OCD为等腰直角三角形，PDE=ODC=45，PEAB，PED为等腰直角三角形，AE=BE=12AB=1242=22，在RtPBE中，PB=3，PE=32-(22)2=1，PD=2PE=2，a=3+2故选B【点睛】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，以及垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧正确作出辅助线是解答本题的关键【变式4-1】（2023全国九年级专题

21、练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10,0)，点B的坐标是(8,0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标【答案】点C的坐标为(1,3)【分析】连接CM，作MNCD于N，CHOA于H，根据题意得CD=OB=8，CN=MH，CH=MN，根据垂径定理得出CN=DN= 12 CD=4MO=MC=5, 在RtMNC中，勾股定理得出MN=3,进而得出C的纵坐标为3，又OH=OM-MH=5-4=1，即可求解【详解】解：如图，连接CM，作MNCD于N，CHOA于H四边形OCDB为平行四边形，B点的坐标是(8,0)，CD=OB=8，CN=MH，CH=MN又M

22、NCD，CN=DN= 12 CD=4点A的坐标是(10,0)，OA=10，MO=MC=5在RtMNC中，MN= CM2-CN2 = 52-42 =3CH=3又OH=OM-MH=5-4=1点C的坐标为(1,3)【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键【变式4-2】（2023江苏南京九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点已知A（6，0），B（2，0），C（0，3），则点D的坐标为 【答案】(0,-4)【详解】设圆心为P，过点P作PEAB于点E，PFCD于点F，先根据垂径定理可得EAEB4，FCFD，进

23、而可求出OE2，再设P（2，m），即可利用勾股定理表示出PC2，PA2，最后利用PAPA列方程即可求出m值，进而可得点D坐标【解答】解：设圆心为P，过点P作PEAB于点E，PFCD于点F，则EAEBAB24，FCFD，OEEBOB422，E（2，0），设P（2，m），则F（0，m），连接PC、PA，在RtCPF中，PC2（3m）2+22，在RtAPE中，PA2m2+42，PAPC，（3m）2+22m2+42，m12（舍正），F（0，-12），CFDF3-(-12)72，ODOF+DF12+724，D（0，4），故答案为：（0，4）【点睛】本题考查垂径定理，涉及到平面直角坐标系，勾股定理等，解题

24、关键是利用半径相等列方程【变式4-3】（2023春湖北鄂州九年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，O经过点0,10，直线y=kx+2k-4与O交于B、C两点，则弦BC的最小值是（）A62B103C85D以上都不对【答案】C【分析】易知直线y=kx+2k-4过定点D(-2,-4)，运用勾股定理可求出OD，由O经过点0,10，可求出半径OB=10，由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题【详解】解：对于直线y=kx+2k-4，当x=-2时，y=-4，故直线y=kx+2k-4恒经过点(-2,-4)，记为点D由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的

25、弦最短，即当ODBC时，BC最短，连接OB，如图所示，D(-2,-4)，OD=-22+-42=25，O经过点0,10，OB=10，BD=OB2-OD2=102-252=45，OBBC，BC=2BD=85，弦BC的最小值是 85故选：C【点睛】本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点(-2,-4)以及运用“过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短”这个经验是解决该题的关键【题型5 利用垂径定理求平行弦问题】【例5】（2023全国九年级专题练习）在半径为10的O中，弦AB=12，弦CD=16，且ABCD，则AB与CD之间的距离是 【答案】2或14【分析】由于弦

26、AB与CD的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：弦AB与CD在圆心同侧；弦AB与CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可【详解】解：当弦AB与CD在圆心同侧时，如图，过点O作OFAB，垂足为F，交CD于点E，连接OA，OC，ABCD，OECD，AB=12，CD=16，CE=8，AF=6，OA=OC=10，由勾股定理得：EO=102-82=6，OF=102-62=8，EF=OF-OE=2；当弦AB与CD在圆心异侧时，如图，过点O作OECD于点E，反向延长OE交AB于点F，连接OA，OC，同理EO=102-82=6，OF=102-62=8，EF=OF+OE=14，所以

27、AB与CD之间的距离是2或14故答案为：2或14【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解【变式5-1】（2023春浙江杭州九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = 【答案】32【分析】连接OF，过点O作OHEF，垂足为H，根据垂径定理，在OHF中，勾股定理计算【详解】如图，连接OF，过点O作OHEF，垂足为H，则EH=FH=12EF=2，GB=5，OF=OB=52，在OHF中，勾股定理，得OH=(52)2-22=32，四边形ABCD是矩形，四边形OADH也是矩形，AD=OH=32，故

28、答案为：32【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键【变式5-2】（2023春九年级课时练习）如图，AB，CD是半径为15的O的两条弦，AB24，CD18，MN是直径，ABMN于点E，CDMN于点F，P为EF上任意一点，则PAPC的最小值为 【答案】212【分析】由于A、B两点关于MN对称，因而PAPCPBPC，即当B、C、P在一条直线上时，PAPC的值最小，即BC的值就是PAPC的最小值【详解】解：连接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于HAB24，CD18，MN是直径，ABMN于点E，CDMN于点F，BE12AB12，CF12CD9，OE=OB2-BE2=9，OF

29、=OC2-CF2=12，CHOEOF91221，BHBEEHBECF12921，在RtBCH中，根据勾股定理得：BC=BH2+CH2=212，即PAPC的最小值为212故答案为：212【点睛】本题考查垂径定理以及最短路径问题，灵活根据垂径定理确定最短路径是解题关键【变式5-3】（2023全国九年级专题练习）如图，A，B，C，D在O上，AB/CD经过圆心O的线段EFAB于点F，与CD交于点E，已知O半径为5（1）若AB=6，CD=8，求EF的长；（2）若CD=46，且EF=BF，求弦AB的长；【答案】（1）7；（2）8【分析】（1）连接AO和DO，由垂径定理得AF=12AB=3，再由勾股定理求出

30、OF的长，同理求出OE的长，即可求出EF的长；（2）连接BO和DO，先由垂径定理和勾股定理求出OE的长，设EF=BF=x，在RtOBF中，利用勾股定理列式求出x的值，得到BF的长，即可求出AB的长【详解】解：（1）连接AO和DO，EFAB，且EF过圆心，AF=12AB=3，AO=5，OF=AO2-AF2=4，AB/CD，EFCD，同理DE=12CD=4，OE=OD2-DE2=3，EF=OF+OE=4+3=7；（2）如图，连接BO和DO，CD=46，DE=26，OE=OD2-DE2=1，设EF=BF=x，则OF=x-1，在RtOBF中，OF2+BF2=BO2，x-12+x2=25，解得x1=4，

31、x2=-3（舍去），BF=4，AB=2BF=8【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理，并能够结合勾股定理进行运用求解【题型6 利用垂径定理求同心圆问题】【例6】（2023春湖北孝感九年级校联考阶段练习）如图，两个圆都是以O为圆心（1）求证：AC=BD；（2）若AB=10，BD=2，小圆的半径为5，求大圆的半径R的值【答案】（1）见解析；（2）41【分析】（1）作OEAB，由垂径定理得AE=BE，CE=DE，即可得到AC=BD；（2）连接OB，OD，由AB=10，则BE=5，由勾股定理，得OE2=OD2-DE2，OE2=OB2-BE2，DE=BE-BD=5-2=3，即可求出大圆半

32、径.【详解】解：（1）如图：作OEAB于E，由垂径定理，得：AE=BE，CE=DE，BE-DE=AE-CE，即AC=BD；（2）如图，连接OD，OB，AB=10，BE=AE=5，DE=5-2=3，在RtOBE和RtODE中，由勾股定理，得：OE2=OD2-DE2，OE2=OB2-BE2，OD2-DE2=OB2-BE2，即52-32=OB2-52，解得：OB=41.大圆的半径为41.【点睛】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理进行计算是解题的关键.【变式6-1】（2023春浙江台州九年级统考期末） 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧已

33、知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm【答案】134【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图作OEAB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32，OEAB，AE=EB=100cm，在RTOAE中OE2=OA2-AE2=r2-1002，在RTOCE中，OE2=OC2-CE2=r+322-1402，则r2-1002=r+322-1402 解得：r=134故答案为：134【点睛】本题考查垂径定理等

34、知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题【变式6-2】（2023春九年级课时练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（）cm.A6B42C43D45【答案】C【分析】作ODAB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.【详解】解：作ODAB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，OA=OD=4，CD=2，OC=2，AC=OA2-OC2=23，A

35、B=2AC=43.故答案为C.【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.【变式6-3】（2023浙江杭州九年级）如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形ABCD的边AB和CD分别是两圆的弦，则矩形ABCD面积的最大值是 【答案】16【分析】过点O作OPAB于P并反向延长交CD于N，作OMAD于点M，连接OA、OD，根据面积之间的关系得出SAOD=12S矩形APND=14S矩形ABCD，从而得出S矩形ABCD最大时，SAOD也最大，过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得hOD，利用三角形的面积公式即可求出SAOD的最大值，从而求出结论【详解】

36、解：过点O作OPAB于P并反向延长交CD于N，作OMAD于点M，连接OA、ODAO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PNCD，OM=AP根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点，S矩形APND=12S矩形ABCDAOD的高OM等于矩形APND的宽，AOD的底为矩形APND的长SAOD=12S矩形APND=14S矩形ABCDS矩形ABCD最大时，SAOD也最大过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得hOD（当且仅当ODOA时，取等号）SAOD=12AOh12AOOD=1224=4故SAOD的最大值为4S矩形ABCD的最大值为414=16故答案为：16【点睛】此题考

37、查的是垂径定理、各图形面积的关系和三角形面积的最值问题，掌握垂径定理、利用边的关系推导面积关系和垂线段最短是解决此题的关键【题型7 垂径定理的实际应用】【例7】（2023浙江温州校联考二模）如图，是某隧道的入口，它的截面如图所示，是由APB和直角ACB围成，且点C也在APB所在的圆上，已知AC=4m，隧道的最高点P离路面BC的距离DP=7m，则该道路的路面宽BC= m；在APB上，离地面相同高度的两点E，F装有两排照明灯，若E是AP的中点，则这两排照明灯离地面的高度是 m【答案】 221 702+2【分析】先求得圆心的位置，根据垂径定理得到AM=CM=2，即可求得半径为5，根据勾股定理即可求得CD，进而求得BC，根据勾股定理求得PA，从而以及垂径定理求得PN，利用勾股定理求得ON，通过证得EOKOPN求得EK=ON，进一步即可求得EQ【详解】作AC的垂直平分线OM，交PD于O，交AC于M，则O是圆心，连接OC，OD=MC=12AC=2，PD=7，圆的半径为7-2=5，CD=OC2-OD2=52-22=21，BC=2CD=221，连接PA、OE交于N，作AHPD于H，EQBC于Q，PD=7，DH=AC=4，PH=7-4=3，AH=CD=21，PA=AH2+PH2=30，E是AP的中点，OE垂直平分PA，