专题24以三角形为载体的几何综合问题 -挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）（原卷版）.docx

1、挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用） 专题24以三角形为载体的几何综合问题 【例1】（2022山东枣庄中考真题）已知ABC中，ACB90，ACBC4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒(1)如图，若PQBC，求t的值；(2)如图，将PQC沿BC翻折至PQC，当t为何值时，四边形QPCP为菱形？【例2】（2022山东菏泽中考真题）如图1，在ABC中，ABC=45,ADBC于点D，在DA上取点E，使DE=DC，连接BE、CE(1)直接写出CE与AB的位置关系；(2)如图2

2、，将BED绕点D旋转，得到BED（点B，E分别与点B，E对应），连接CE、AB，在BED旋转的过程中CE与AB的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由；(3)如图3，当BED绕点D顺时针旋转30时，射线CE与AD、AB分别交于点G、F，若CG=FG,DC=3，求AB的长【例3】（2022山东济南中考真题）如图1，ABC是等边三角形，点D在ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60，得到线段AE，连接BD，DE，CE(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；(2)延长ED交直线BC于点F如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数

3、量关系为_；如图3，当点F为线段BC中点，且EDEC时，猜想BAD的度数，并说明理由【例4】（2022内蒙古鄂尔多斯中考真题）在ABC中，ABAC，BAC90，AD是ABC的角平分线(1)如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DEDF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是 ，位置关系是 ；(2)如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DEDF，EA的延长线交CF于点M（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；连接DM，求EMD的度数；若DM62，ED12，求EM的长【例5】（2022辽宁大连中考真题）综合与实践问题情境：数学活动课上，王

4、老师出示了一个问题：如图1，在ABC中，D是AB上一点，ADC=ACB求证ACD=ABC独立思考：（1）请解答王老师提出的问题实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答“如图2，延长CA至点E，使CE=BD，BE与CD的延长线相交于点F，点G，H分别在BF,BC上，BG=CD，BGH=BCF在图中找出与BH相等的线段，并证明”问题解决：（3）数学活动小组河学时上述问题进行特殊化研究之后发现，当BAC=90时，若给出ABC中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答“如图3，在（2）的条件下，若BAC=90，

5、AB=4，AC=2，求BH的长”26（2022山东烟台中考真题）(1)【问题呈现】如图1，ABC和ADE都是等边三角形，连接BD，CE求证：BDCE(2)【类比探究】如图2，ABC和ADE都是等腰直角三角形，ABCADE90连接BD，CE请直接写出BDCE的值(3)【拓展提升】如图3，ABC和ADE都是直角三角形，ABCADE90，且ABBCADDE34连接BD，CE求BDCE的值；延长CE交BD于点F，交AB于点G求sinBFC的值一、解答题【共20题】1（2022安徽合肥市五十中学新校二模）ABC和ADE都是等腰直角三角形，ABC=AED=90，F是BD的中点，连接CF、EF(1)如图，当

6、点D、E分别是线段AC、AB上的点时，求EFC的度数；(2)如图，当点E是线段AC上的点时，求证：EF=CF；(3)如图，当点A、E、F共线且E是AF的中点时，探究SBCF和SABF之间的数量关系2（2022上海华东师范大学松江实验中学三模）如图所示，BEF的顶点E在矩形ABCD对角线AC的延长线上，BC=1，AB=3，AE与FB交于点G，连接AF，满足ABFCEB，其中A对应C，B对应E，F对应B(1)求证：FAD=30(2)若CE=13，求tanFEA的值3（2022福建厦门市翔安区教师进修学校（厦门市翔安区教育研究中心）模拟预测）（1）问题发现：如图1，ABC与CDE均为等腰直角三角形，

7、ACB=DCE=90，则线段AE、BD的数量关系为_，AE、BD所在直线的位置关系为_；（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为DCE中DE边上的高，请判断ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由4（2020重庆市育才中学二模）（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B=ADC=90 E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中BAE、FAD、EAF之间的数量关系小王同学探究此问题的方法：延长FD到点G，使DG=BE连接AG先证明ABEADG，再证AEFAGF，可得出结论，他的结论应是 【灵活运用】（2）如图，若在四边形ABCD

8、中，AB=AD，B+D=180， F、F分别是BC、CD上的点且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立？请说明理由【延伸拓展】（3）如图，在四边形ABCD中，ABC+ADC=180，AB=AD若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，仍然满足EF=BE+FD，请写出EAF与DAB的数量关系，并给出证明过程5（2022北京市三帆中学模拟预测）已知四边形ABCD，A=120，C=60，AB=AD，CDBC，AE是BAD的角平分线，交射线BC于E，线段DC的延长线上取一点F使BE=DF，直线EF，AB交于点G(1)补全图形；(2)猜想AEG的形状，并证明你的猜想；(3)求AB与FG的数量关系6（

9、2022北京市第十九中学三模）如图，在ABC中，ACB=90，ACBC，D是AB的中点，F是BC延长线上一点，平移AB到FH，线段FH的中垂线与线段CA的延长线交于点E，连接EH、DE(1)连接CD，求证：BDC=2DAC；(2)依题意补全图形，用等式表示线段DE，DF，EH之间的数量关系，并证明7（2022安徽合肥一六八中学模拟预测）知识呈现（1）如图1，在四边形ABCD中，ABC与ADC互余，我们发现四边形ABCD中这对互余的角可进行拼合：先作ADF=ABC，再过点A作AEAD交DF于点E，连接EC后，易于发现CD，DE，CE之间的数量关系是_；方法运用（2）如图2，在四边形ABCD中，连

10、接AC，BAC=90，点O是ACD两边垂直平分线的交点，连接OA，OAC=ABC求证：ABC+ADC=90；连接BD，如图3，已知AD=m，DC=n，ABAC=2，求BD的长(用含m，n的式子表示)8（2022浙江宁波一模）若一个三角形的两条边的和等于第三条边的两倍，我们把这个三角形叫做和谐三角形(1)已知ABC是和谐三角形，AB=3，BC=4，请直接写出所有满足条件的AC的长；(2)在ABC中AB=4，BC=8，D为BC边上一点，BD=2，连接AD，若ABD为和谐三角形，求AC的长；(3)如图，在等腰ABC中AB=AC，D为AC的中点，且DBC=A，E为AB上一点，满足AE:EB=3:2，连

11、接DE求证：AED为和谐三角形9（2022广东华南师大附中三模）在我们的数学课本上有这样一道练习题：已知，如图1所示，ABC中BAC=90，AB=AC，直线MN经过点A，BDMN，CEMN，垂足分别为点D，E试判断BD+CE与DE的关系，并给出证明(1)还记得是怎么做的吗？请你再做一遍(2)拓展探究：请从上面的练习题中获取灵感来解决下面的问题：已知，如图2，ABC、DEC均为等腰直角三角形，其中ACB=DCE=90，连接BE、AD，过C点作CPBE于P，延长PC交AD于Q，试判断Q点在AD上的位置，并说明理由10（2021吉林长春市赫行实验学校二模）阅读理解在学习中，我们学习了一个定理：直角三

12、角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在RtABC中，ACB=90，若点D是斜边AB的中点，则CD=12AB灵活应用如图2，ABC中，BAC=90，AB=6，AC=8，点D是BC的中点，将ABD沿AD翻折得到AED，连接BE，CE (1)根据题意，则DE的长为 (2)判断BCE的形状，并说明理由(3)请直接写出CE的长 11（2022广东东莞市光明中学三模）ABC中，BAC=60，AB=AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作菱形ADEF，使DAF=60，连接CF(1)观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，AB与CF的位置关系为：_BC，CD，CF之间

13、的数量关系为：_；(2)数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论，是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明(3)拓展延伸：如图3，当点D在线段BC的延长线上时，设AD与CF相交于点G，若已知AB=4，CD=12AB，求AG的长12（2022辽宁鞍山二模）如图所示，在ABC中，点D是BC中点，点E是AC延长线上一点，连接BE、AD(1)如图1，若ABC是等边三角形，点C是AE中点，若AD=23，求BE的长(2)如图2，过点C作CFAB，交AD的延长线于点F，若FAC=BEC，BE=2AD；BAC=60，求证：AB=EC；如图3，若CE=2AB，求CAB1

14、3（2021福建福州一模）如图，直角梯形ABCD中，ADBC，DAB=90，AD=4，AB=8，BC=10点E为线段DC的中点，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线ABC向点C运动，设点P的运动时间为t(1)点P在运动过程中，BP=_；（用含t的代数式表示）(2)点P在运动过程中，如果以D、P、E为顶点的三角形为等腰三角形，求t的值；(3)当点P运动到线段BC上时，过点P作直线LDC，与线段AB交于点Q，使四边形DQPE为直角梯形，求此时直角梯形DQPE与直角梯形ABCD面积之比14（2021浙江宁波二模）如图，已知RtABC中，ABC90，BC=4，BA8，点D、E分别为BC、BA的

15、中点，作直线AE、CD，设它们的交点为点P(1)猜想：在旋转的过程中，线段AE、CD有怎样的数量和位置关系？答：、(2)利用图2，证明你在（1）中的猜想(3)当点D恰好落在直线AE上时，求线段PC的长(4)在旋转过程中，直接写出PBC面积的最大值15（2021四川乐山三模）在ABC中，CACB，ACB点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，将线段AP绕点P逆时针旋转得到线段DP，连接AD，BD，CP(1)观察猜想如图1，当60时，BDCP的值是 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 (2)类比探究如图2，当90时，请写出BDCP，并就图2的情形说明理由(3)解决问题当90时，若点E，F

16、分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时ADCP的值16（2021四川眉山三模）如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连接AE，将AE绕着E点沿顺时针方向旋转90后与DCG的角平分线相交于点F，过F点作BC的垂线交BC的延长线于点G(1)求证：ABEEGF；(2)若EC2，求证ABEEGF；(3)当EC为何值时，CEF的面积最大，并求出其最大值17（2018广东陆丰市湖东中学一模）如图，ABC是等边三角形，D是射线BC上的一个动点（点D不与B，C重合），ADF是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交射线AC于点

17、E，连接BF(1)如图1，点D在线段BC上时，求证：AFBADC；(2)请判断图1中四边形BCEF的形状，并说明理由；(3)若D点在BC边的延长线上，如图2，其它条件不变，请问（2）中结论还成立吗？如果成立，请说明理由18（2022山东东营中考真题）ABC和ADF均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿AB、BC运动，运动到点B、C停止.(1)如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段CD、EF的数量关系是_，位置关系是_；(2)如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)当点D运动到什么位置

18、时，四边形CEFD的面积是ABC面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形BDEF是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明.19（2022辽宁鞍山中考真题）如图，在ABC中，AB=AC，BAC=120，点D在直线AC上，连接BD，将DE绕点D逆时针旋转120，得到线段DE，连接BE，CE(1)求证：BC=3AB；(2)当点D在线段AC上（点D不与点A，C重合）时，求CEAD的值；(3)过点A作ANDE交BD于点N，若AD=2CD，请直接写出ANCE的值20（2022辽宁朝阳中考真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，BAD60，BCD120，ABAD，连接AC求证：BC+CDAC(1)小明的思路是：延长CD到点E，使DEBC，连接AE根据BAD+BCD180，推得B+ADC180，从而得到BADE，然后证明ADEABC，从而可证BC+CDAC，请你帮助小明写出完整的证明过程(2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，BADBCD90，ABAD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，BADBCD90，ABAD6，AC与BD相交于点O若四边形ABCD中有一个内角是75，请直接写出线段OD的长