专题24以三角形为载体的几何综合问题 -挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）（解析版）.docx

1、挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）专题24以三角形为载体的几何综合问题 【例1】（2022山东枣庄中考真题）已知ABC中，ACB90，ACBC4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒(1)如图，若PQBC，求t的值；(2)如图，将PQC沿BC翻折至PQC，当t为何值时，四边形QPCP为菱形？【答案】(1)当t2时，PQBC(2)当t的值为43时，四边形QPCP为菱形【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可（2）作PDBC于D，PEA

2、C于E，证明出ABC为直角三角形，进一步得出APE和PBD为等腰直角三角形，再证明四边形PECD为矩形，利用勾股定理在RtPCE、RtPDQ中，结合四边形QPCP为菱形，建立等式进行求解【详解】（1）解：（1）如图，ACB90，ACBC4cm，ABAC2+BC242+42=42（cm），由题意得，AP2tcm，BQtcm，则BP（422t）cm，PQBC，PQB90，PQBACB，PQAC，BPQ=BACBQP=BCA，BPQBAC，BPBABQBC，422t42=t4，解得：t2，当t2时，PQBC（2）解：作PDBC于D，PEAC于E，如图，AP=2t，BQ=tcm，(0tBC，D是AB的

3、中点，F是BC延长线上一点，平移AB到FH，线段FH的中垂线与线段CA的延长线交于点E，连接EH、DE(1)连接CD，求证：BDC=2DAC；(2)依题意补全图形，用等式表示线段DE，DF，EH之间的数量关系，并证明【答案】(1)见解析(2)图见解析，结论：DE2+DF2=EH2，理由见解析【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线的性质即可解决问题；（2）图形如图所示，结论：DE2+DF2=EH2，想办法证明EDF=90即可（1）证明：连接CDACB=90，AD=DB，CD=AD=DB，DAC=DCA，BDC=DAC+DCA=2DAC；（2）解：图形如图所示，结论：DE2+DF2=EH2理由：连

4、接EF，AH，取FH的中点T，连接AT，DT，ET点E在FH的垂直平分线上，EF=EH，AD=DB，HT=TF，AB=FH，AD=FT=HT，ADFH，四边形AHTD，四边形ADFT是平行四边形，AHDT，ATDF，FDT=ATD=TAH，AHBF，HAC=ACB=90，EH=EF，HT=FT，ETFH，TEH=TEF，EAH=ETH=90，四边形A,E,H,T四点共圆，TAH=TEH，FDT=FET，E，D，F，T四点共圆，EDF+ETF=180，EDF=90，DE2+DF2=EH2【点睛】本题考查作图平移变换，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，平行四边

5、形的判定与性质，圆周角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型7（2022安徽合肥一六八中学模拟预测）知识呈现（1）如图1，在四边形ABCD中，ABC与ADC互余，我们发现四边形ABCD中这对互余的角可进行拼合：先作ADF=ABC，再过点A作AEAD交DF于点E，连接EC后，易于发现CD，DE，CE之间的数量关系是_；方法运用（2）如图2，在四边形ABCD中，连接AC，BAC=90，点O是ACD两边垂直平分线的交点，连接OA，OAC=ABC求证：ABC+ADC=90；连接BD，如图3，已知AD=m，DC=n，ABAC=2，求BD的长(用含m，n的式子表示)【答案】（

6、1）CD2+DE2=CE2；（2）详见解析；BD=5m2+4n2【分析】1利用勾股定理解决问题即可；2如图2中，连接OC，作ADC的外接圆O.利用圆周角定理以及三角形内角和定理，即可解决问题；如图3中，在射线DC的下方作CDT=ABC，过点C作CTDT于T.利用相似三角形的性质证明BD=5AT，求出AT，可得结论【详解】（1）解：ADC+ABC=90，ADF=ABC，CDE=ADC+ADF=90，CD2+DE2=CE2故答案为：CD2+DE2=CE2（2）证明：如图2中，连接OC，作ADC的外接圆O 点O是ACD两边垂直平分线的交点，点O是ADC的外心，AOC=2ADC，OA=OC，OAC=O

7、CA，AOC+OAC+OCA=180，OAC=ABC，2ADC+2ABC=180，ADC+ABC=90解：如图3中，在射线DC的下方作CDT=ABC，过点C作CTDT于T CTD=CAB=90，CDT=ABC，CTDCAB，DCT=ACB，CDCB=CTCA，CDCT=CBCA，DCB=TCA，DCBTCA，BDAT=CBCA，ABAC=2，AC：BA：BC=CT：DT：CD=1：2：5，BD=5AT，ADT=ADC+CDT=ADC+ABC=90，DT=255n，AD=m，AT=AD2+DT2=m2+(255n)2=m2+45n2，BD=5m2+4n2【点睛】本题属于四边形综合题，考查了勾股定

8、理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题8（2022浙江宁波一模）若一个三角形的两条边的和等于第三条边的两倍，我们把这个三角形叫做和谐三角形(1)已知ABC是和谐三角形，AB=3，BC=4，请直接写出所有满足条件的AC的长；(2)在ABC中AB=4，BC=8，D为BC边上一点，BD=2，连接AD，若ABD为和谐三角形，求AC的长；(3)如图，在等腰ABC中AB=AC，D为AC的中点，且DBC=A，E为AB上一点，满足AE:EB=3:2，连接DE求证：AED为和谐三角形【答案】(1)2或5或72；

9、(2)AC的长为6；(3)见解析【分析】（1）先确定出1AC7，再分三种情况，利用和谐三角形的定义求解即可；（2）先求出2AD6，再分三种情况：当ABAD2BD时，AD2BDAB0，不符合题意；当ABBD2AD时，AD12（ABBD）3，过点A作AFBC于F，利用勾股定理求出DF，然后可求AC；当BDAD2AB时，AD2ABBD2426，不符合题意；（3）设AE6x，则EB4x，进而表示出ABC10x，ADCD5x，再判断出ABCBDC，得出比例式求出BDBC52x，过点A作AMBC于M，则BMCM12BC52x2，进而求出AM5142x，过点D作DGBC于G，进而求出DG5144x，MG52

10、x4，BG152x4，过点D作DHAB于H，证明ADHBDG，可得ADBD=AHBG=DHDG，求出AH154x，DH574x，再用勾股定理求出DE，即可得出结论（1）解：根据三角形的三边关系得，1AC7，ABC是和谐三角形，当ACBC2AB时，AC2ABBC2342，当ACAB2BC时，AC2BCAB2435，当ABBC2AC时，AC12（ABBC）12（34）72，即满足条件的AC的长为：2或5或72；（2）解：在ABC中，AB4，BC8，4AC12，在ACD中，CDBCBD6，AB4，BD2，根据三角形的三边关系得，2AD6，ABD为和谐三角形，当ABAD2BD时，AD2BDAB0，不符

11、合题意；当ABBD2AD时，AD12（ABBD）12（42）3，如图，过点A作AFBC于F，在RtADF中，AF2=AD2DF2=9DF2，在RtABF中，AF2=AB2BF2=162+DF2，9DF2=162+DF2，DF34，AF2=9DF2=13516，CF634214，在RtACF中，根据勾股定理得ACAF2+CF2=13516+44116=6；当BDAD2AB时，AD2ABBD2426，不符合题意；综上，AC的长为6；（3）证明：AE：EB3：2，设AE6x，则EB4x，ABAEEB10x，ABAC，AC10x，点D为AC的中点，ADCD12AC5x，DBCA，CC，ABCBDC，A

12、BBD=ACBC=BCDC，10xBD=10xBC=BC5x，BDBC52x，如图，过点A作AMBC于M，则BMCM12BC52x2，根据勾股定理得，AMAB2BM2=5142x，过点D作DGBC于G，DGAM，CDGCAM，ADCD，CD=12AC，DG12AM5144x，MG12CM52x4，BGBMMG152x4，过点D作DHAB于H，AHD90BGD，ADBC，ADHBDG，ADBD=AHBG=DHDG，5x52x=AH152x4=DH5144x，AH154x，DH574x，EHAEAH94x，在RtDHE中，根据勾股定理得，DEEH2+DH2=94x2+574x2=4x，AE6x，A

13、D5x，AEDE2AD，AED为和谐三角形【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理以及二次根式的运算等知识，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键9（2022广东华南师大附中三模）在我们的数学课本上有这样一道练习题：已知，如图1所示，ABC中BAC=90，AB=AC，直线MN经过点A，BDMN，CEMN，垂足分别为点D，E试判断BD+CE与DE的关系，并给出证明(1)还记得是怎么做的吗？请你再做一遍(2)拓展探究：请从上面的练习题中获取灵感来解决下面的问题：已知，如图2，ABC、DEC均为等腰直角三角形，其中ACB=DCE=

14、90，连接BE、AD，过C点作CPBE于P，延长PC交AD于Q，试判断Q点在AD上的位置，并说明理由【答案】(1)DE=BD+CE，理由见解析(2)点Q为AD的中点，理由见解析【分析】（1）求出ABDCEA，根据全等三角形性质得出BD=AE，DA=CE，即可得出答案；（2）作AM垂直CQ的延长线于点M，作DNCQ，垂足为N，证得ACMCBP，得到AM=CP，同理可证DCNCEP，得到DN=CP，AM=DN，推出AMQDNQ，得到AQ=DQ，即Q为AD中点（1）DE=BD+CE，证明：由题意可知，BDMN与D，ECMN与E，BAC=90，BDA=CEA=BAC=90，DAB+EAC=90，ECA

15、+EAC=90，DAB=ECA，在ABD与CEA中，DAB=ECAADB=CEAAB=AC，ABDCEA（AAS），BD=AE，DA=CE，DE=DA+AE，DE=BD+CE（2）点Q为AD的中点理由如下：作AM垂直CQ的延长线于点M，作DNCQ，垂足为N，ACB=90，BPC=90，ACM+BCP=90，BCP+CBP=90，ACM=CBP，在ACM与BCP中，AMC=CBPACM=CBPAC=CB，ACMCBP（AAS），AM=CP，同理可证DCNCEP，DN=CP，AM=DN，又AMQ=DNQ，AQM=DQN，在AMQ与DNQ中，AMQ=DNQAQM=DNQAM=DN，AMQDNQ（AA

16、S），AQ=DQ，即Q为AD中点【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键10（2021吉林长春市赫行实验学校二模）阅读理解在学习中，我们学习了一个定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在RtABC中，ACB=90，若点D是斜边AB的中点，则CD=12AB灵活应用如图2，ABC中，BAC=90，AB=6，AC=8，点D是BC的中点，将ABD沿AD翻折得到AED，连接BE，CE (1)根据题意，则DE的长为 (2)判断BCE的形状，并说明理由(3)请直接写出CE的长 【答案】(1)5(2)BCE是直角三角形，理由见解

17、析(3)145【分析】（1）利用勾股定理求出BC，再利用翻折变换的性质可得DE=DB=5；（2）结论：BCE是直角三角形证明DE=DC=DB，可得结论；（3）设AD交BE于点T利用相似三角形的性质求出AT，再求出DT，利用三角形中位线定理，可得结论（1）在RtABC中，BAC=90，AB=6，AC=8，BC=AC2+AB2=82+62=10，D是BC的中点，CD=DB=5，由翻折的性质可知，DE=DB=5故答案为：5；（2）结论：BCE是直角三角形理由：CD=DB，DE=DB，DE=DC=DB，CEB=90，BCE是直角三角形；（3）设AD交BE于点T由翻折的性质可知，AE=AB，DE=DB，

18、AD垂直平分线段BE，ET=BT，ATB=90，CD=DB，CAB=90，DA=DB=DC=5，BAT=ABC，ATB=BAC=90，BTACAB， ATAB=ABCB， AT6=610，AT=185，DT=ADAT=5185=75，ET=BT，CD=DB，EC=2DT=145故答案为：145【点睛】本题属于三角形综合题，考查了直角三角形斜边中线的性质，翻折变换，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型11（2022广东东莞市光明中学三模）ABC中，BAC=60，AB=AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD

19、为边在AD右侧作菱形ADEF，使DAF=60，连接CF(1)观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，AB与CF的位置关系为：_BC，CD，CF之间的数量关系为：_；(2)数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论，是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明(3)拓展延伸：如图3，当点D在线段BC的延长线上时，设AD与CF相交于点G，若已知AB=4，CD=12AB，求AG的长【答案】(1)ABCF；CF+CD=BC(2)成立，证明见解析；不成立，证明见解析(3)AG=437【分析】1根据菱形的性质以及等边三角形的性质，推出DABFAC，根据全等三角形的性质即

20、可得到结论；根据全等三角形的性质得到CF=BD，再根据BD+CD=BC，即可得出CF+CD=BC；2依据ABDACF，即可得到ACF+BAC=180，进而得到AB/CF；依据ABDACF可得BD=CF，依据CDBD=BC，即可得出CDCF=BC；3判定ABDACF，即可得到CF=BD=BC+CD=6，ACG=ABC=60=ADF，再根据AGCFGD，即可得到AGFG=CGDG=ACDF，进而得出AG的长（1）解：BAC=60，AB=AC，ABC是等边三角形，BAC=60=DAF，BAD=CAF，又菱形ADEF中，AD=AF，ABDACF，ACF=ABD=60，又ACB=60，ABC+BCF=1

21、80，ABCF；ABDACFBD=CF，又BD+CD=BC，CF+CD=BC，故答案为：ABCF；CF+CD=BC；（2）结论成立，而结论不成立证明：如图2，BAC=60，AB=AC，ABC是等边三角形，BAC=60=DAF，ABD=120，BAD=CAF，又菱形ADEF中，AD=AF，ABDACF，ACF=ABD=120，又CAB=60，ACF+BAC=180，AB/CF；ABDACFBD=CF，又CDBD=BC，CDCF=BC；（3）解：如图3，连接DF，过A作AHBD于H，则AH=23，DH=2+2=4，RtADH中，AD=27，AF=AD，DAF=60，ADF是等边三角形，又BAC=6

22、0，AB=AC，BAD=CAF，ABDACF，CF=BD=BC+CD=6，ACG=ABC=60=ADF，又AGC=FGD，AGCFGD，AGFG=CGDG=ACDF=427，可设AG=4x，则FG=27x，CG=627x，DG=274x，627x274x=427，解得x=73，AG=437【点睛】此题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质的综合运用，利用已知条件判定DABFAC和AGCFGD是解本题的关键12（2022辽宁鞍山二模）如图所示，在ABC中，点D是BC中点，点E是AC延长线上一点，连接BE、AD(1)如图1，若

23、ABC是等边三角形，点C是AE中点，若AD=23，求BE的长(2)如图2，过点C作CFAB，交AD的延长线于点F，若FAC=BEC，BE=2AD；BAC=60，求证：AB=EC；如图3，若CE=2AB，求CAB【答案】(1)43(2)证明见解析；45【分析】（1）根据ABC是等边三角形，点D是BC中点，得出ADBC，DAC=12BAC=30，根据三角形函数求出AC，即可得出AB=BC=AC=4，根据点C是AE中点，得出CE=AC=BC=4，即可求出E=EBC=30，证明ABE=ABC+EBC=90，解直角三角形即可得出答案；（2）连接EF，根据“AAS”证明ABDFCD，得出AD=DF，根据B

24、E=2AD，得出BE=AF，根据“SAS”证明ABEEFA，得出EF=AB，FEA=BAE=60，再根据CFAB，得出FCE=BAE=60，从而证明FEC为等边三角形，得出EF=EC，即可证明结论；根据解析可知，ABEEFA，从而得出EF=AB，FEA=BAE，根据平行线的性质得出FCE=BAE，即可得出FEC=FCE，证明CF=EF，最后根据勾股定理逆定理证明CEF为等腰直角三角形，即可得出CAB=CEF=45（1）解：ABC是等边三角形，点D是BC中点，ADBC，DAC=12BAC=30，在RtADC中AC=ADcos30=2332=4，AB=BC=AC=4，点C是AE中点，CE=AC=B

25、C=4，E=EBC，E+EBC=ACB=60，E=EBC=30，ABE=ABC+EBC=90，在RtABE中，BE=AEcos30=4+432=43（2）证明：连接EF，如图所示： 点D是BC中点，BD=CD，CFAB，ABD=FCD，BAD=CFD，ABDFCD（AAS），AD=DF，BE=2AD，BE=AF，FAC=BEC，AE=EA，ABEEFA（SAS），EF=AB，FEA=BAE=60，CFAB，FCE=BAE=60，FEC=FCE=60，FEC为等边三角形，EF=EC，AB=EC；解：连接EF，如图所示：根据解析可知，ABEEFA，EF=AB，FEA=BAE，CFAB，FCE=BA

26、E，FEC=FCE，CF=EF，EF=CF=AB，EF2+CF2=2AB2，CE=2AB，CE2=2AB2，EF2+CF2=CE2，CEF为等腰直角三角形，CEF=45，CAB=CEF=45【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理的逆定理，作出辅助线，构造全等三角形，证明ABEEFA，是解题的关键13（2021福建福州一模）如图，直角梯形ABCD中，ADBC，DAB=90，AD=4，AB=8，BC=10点E为线段DC的中点，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线ABC向点C运动，设点P的运动时间为t(1)点P在运

27、动过程中，BP=_；（用含t的代数式表示）(2)点P在运动过程中，如果以D、P、E为顶点的三角形为等腰三角形，求t的值；(3)当点P运动到线段BC上时，过点P作直线LDC，与线段AB交于点Q，使四边形DQPE为直角梯形，求此时直角梯形DQPE与直角梯形ABCD面积之比【答案】(1)丨8t丨(2)3或498或12(3)225448或2554【分析】（1）分点P在AB上运动时和点P在BC上运动时列出代数式即可；（2）分DE=DP、DP=PE、DE=PE情况求解即可；（3）分EDQ=DQP=90时和DEP=EPQ=90时两种情况，利用相似三角形的判定与性质求解即可（1）解：当点P在AB上运动时， B

28、P=ABAP=8t；当点P在BC上运动时BP=t8，故答案为：丨8t丨；（2）解：过D作DHBC于H，连接EH，则DHC=DHB=90，ADBC，DAB=90，ABC=DAB=90=DHB，四边形ABHD为矩形，DH=AB=8，BH=AD=4，DHAB，ADH=90，则CH=BC-BH=6，在RtDHC中，CD=DH2+CH2=82+62=10，E为CD的中点，DE=CE=EH=12CD=5，当DE=DP时，DP=5，点P在AB上，在RtADP中，AP=DP2AD2=5242=3，t=3；当DP=PE时，点P在AB上，取DH的中点F，连接EF并延长交AB于Q， 又E为CD的中点，EF= 12C

29、H=3，EFCH，CHD=EFD=DFQ=90，则四边形AQFD为矩形，FQ=AD=4，AQE=90，AQ=DF=4，在RtADP中，DP2=AD2+AP2=16+t2，在RtEPQ中，EQ=EF+FQ=7，PQ=丨t-4丨，PE2=EQ2+PQ2=49+（t-4）2，16+t2=49+（t-4）2，解得：t=4988，故P不可能在BC上；当DE=PE时，PE=5，57，点P在BC上，EH=DE=5，当P运动到H处时，有DE=PE，此时t=8+4=12；综上，满足条件的t值为3或498或12；（3）解：如图，当EDQ=DQP=90时，四边形DQPE为直角梯形，过D作DHBC于H，由（2）中知，

30、DH=8，CH=6，DE=5，CD=10，ADH=CHD=90，ADQ+QDH=CDH+QDH=90，ADQ=CDH，又A=CHD=90，ADQHDC，ADDH=AQCH=DQCD即48=AQ6=DQ10，AQ=3，DQ=5，则BQ=AB-AQ=8-3=5，PQDC，HCD=BPQ，又CHD=B=90，CDHPQB，BQDH=PQCD即58=PQ10，PQ=254，S直角梯形DQPES直角梯形ABCD=12(5+254)512(4+10)8=225448，如图，当DEP=EPQ=90时，四边形DQPE为直角梯形，由（2）中知，DH=8，CH=6，CE=5，CD=10， CHD=90，C=C，C

31、EP=CHD=90，EPCHDC，EPDH=CECH=CPCD即EP8=56=CP10，EP= 203，CP= 253，则PB=BC-CP=10-253=53，CDHPQB，PBCH=PQCD即536=PQ10，PQ=259，S直角梯形DQPES直角梯形ABCD=12(5+259)20312(4+10)8=2554，综上，直角梯形DQPE与直角梯形ABCD面积之比为225448或2554【点睛】本题考查四边形的动点问题，涉及相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、直角梯形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用分类讨论思想求解是

32、解答的关键，计算量较大，需要细心计算14（2021浙江宁波二模）如图，已知RtABC中，ABC90，BC=4，BA8，点D、E分别为BC、BA的中点，作直线AE、CD，设它们的交点为点P(1)猜想：在旋转的过程中，线段AE、CD有怎样的数量和位置关系？答：、(2)利用图2，证明你在（1）中的猜想(3)当点D恰好落在直线AE上时，求线段PC的长(4)在旋转过程中，直接写出PBC面积的最大值【答案】(1)AECD，AE2CD(2)见解析(3)45+2955或295455(4)4+23【分析】（1）可以猜想：AECD，AE2CD；（2）证明DBCEAB，即可求解；（3）如图1，当点P在线段AE时，在

33、RtPAC中，PA2PC2+AC2，即（2a25）2+a2（45）2，即可求解；如图2，当点P在AE的延长线上时，同理可解；（4）如图3，当CD（P）与圆B相切时，PBC面积最大，进而求解（1）解：可以猜想：AECD，AE2CD，故答案为：AECD，AE2CD；（2）证明：如图2，BD12BE，BC=12AB，DBC=ABE，DBCEAB，DCBBAE，AE2CD，AOPBOC，APCABC90，CDAE；（3）解：如图3，当点P在线段AE时，由（2）知，CP12AE，设PCa，则AE=2aEPDE25，PA2a25，AC=AB2+BC2=82+42=45在RtPAC中，PA2+PC2AC2，

34、即（2a25）2+a2（45）2，解得a45+2955（不合题意的值已舍去）；故PC45+2955，如图4，当点P在AE的延长线上时，由（2）知，CP12AE，设PCa，则AE=2aEPDE25，PA2a+25，在RtPAC中，PA2+PC8AC2，即（2a+25）2+a2（45）2，解得a295455（不合题意的值已舍去）；故PC295455，综上，PC45+2955或295455；（4）解：如图5，当CD（P）与圆B相切时，PBC面积最大，CDAP，DBCP，四边形BDPE为矩形PDBE4，在RtCDB中，BD2，BCD30，CD=23PCPD+CD=4+23，PBC面积12BDPC4+2

35、3【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了切线的性质、矩形的性质、相似三角形和判定与性质、直角三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中15（2021四川乐山三模）在ABC中，CACB，ACB点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，将线段AP绕点P逆时针旋转得到线段DP，连接AD，BD，CP(1)观察猜想如图1，当60时，BDCP的值是 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 (2)类比探究如图2，当90时，请写出BDCP，并就图2的情形说明理由(3)解决问题当90时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时ADCP的值【答案】(1)1，60

36、(2)2(3)2+2或2-2【分析】（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O证明CAPBAD（SAS），即可解决问题（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E证明DABPAC，即可解决问题（3）分两种情形：如图31中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H证明ADDC即可解决问题如图32中，当点P在线段CD上时，同法可证：DADC解决问题（1）解：如图1中，延长CP交BD的延长线于ECA=CB,ACB=60，CAB为等边三角形，又将线段AP绕点P逆时针旋转60得到线段DPAP=DP，APD=60APD为等边三角形，CABA，PADA，PADCAB60，

37、PAD-PABCAB-PABCAPBAD，CABA，PADA，CAPBAD（SAS），PCBD，ACPABD，AOCBOE，BEOCAO60，BDPC=1，故答案为1，60（2）BDCP=2，理由：如图2中，设BD交AC于点OPADCAB45，PACDAB，ABACADAP2，DABPAC，PCADBA，BDPC =ABAC2，（3）如图31中，当点D在线段PC上时CEEA，CFFB，EFAB，EFCABC45，PAO45，PAOOFH，POAFOH，HAPO，APC90，EAEC，PEEAEC，EPAEAPBAH，HBAH，BHBA，ADPBDC45，ADB90，BDAH，DBADBC22.

38、5，ADBACB90，A，D，C，B四点共圆，DACDBC22.5，DCAABD22.5，DACDCA22.5，DADC，设ADa，PD22a，ADCP=aa+22a=22解法二：在RtPAD中，E是AC的中点，PEEAEC，EPCECP，CEF45EPC+ECP，EPCECP22.5，PDA45ACD+DAC，DAC22.5，ADDC，设PDa，则ADDC2a，ADCP=2aa+2a=22，如图33中，当点P在线段CD上时，同理可得DA=DC,设ADa，PD22a，PCa22a，ADPC=aa22a=2+2【点睛】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，

39、全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.16（2021四川眉山三模）如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连接AE，将AE绕着E点沿顺时针方向旋转90后与DCG的角平分线相交于点F，过F点作BC的垂线交BC的延长线于点G(1)求证：ABEEGF；(2)若EC2，求证ABEEGF；(3)当EC为何值时，CEF的面积最大，并求出其最大值【答案】(1)见解析(2)见解析(3)当EC5时，SECF有最大值为252【分析】（1）根据正方形的性质以及垂直的定

40、义和角的互余关系可得BAEFEG，再结合BFGC90，即可得ABEEGF；（2）由ABEEGF可得ABEGBEFG，然后再求出AB、BE的长以及EG和FG的关系，从而求得FG=8，即FG=BE，最后判定三角形全等即可；（2）设CEx，则BE10x，根据CF平分DCG，FCG=45，即有CGF是等腰直角三角形，则有EGCECGxFG，根据）（1）的结论有ABEG=BEFG，据此即可用x表示出FG，则可得到SECF=12xx10，最后根据二次函数的性质即可求解即可（1）解：（1）四边形ABCD是正方形，EFAE，BFGCAEF90，BAE+AEB90，AEB+FEG90，BAEFEG，BFGC90

41、，ABEEGF（2）解：ABEEGF，ABEGBEFG，ABBC10，EC2，BEBCEC1028，CF是DCG的角平分线，DCG90，FCG45，即CGF是等腰直角三角形，CGFG，EGEC+CG2+FG，102+FG=8FG，解得：FG8，FGBE，又BAEFEG，BFGC90，ABEEGF（AAS）（3）解：设CEx，则BE10x，EGCE+CGx+FG，由（1）知ABEEGF，ABEGBEFG，即10x+FG=10xFG，解得FG10x，SECF12CEFG12x（10x）12（x210x）12（x5）2+252，当x5时，SECF有最大值为252【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定

42、与性质、正方形的性质以及二次函数的应用等知识点，得到SECF=12x52+252是解答本题的关键17（2018广东陆丰市湖东中学一模）如图，ABC是等边三角形，D是射线BC上的一个动点（点D不与B，C重合），ADF是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交射线AC于点E，连接BF(1)如图1，点D在线段BC上时，求证：AFBADC；(2)请判断图1中四边形BCEF的形状，并说明理由；(3)若D点在BC边的延长线上，如图2，其它条件不变，请问（2）中结论还成立吗？如果成立，请说明理由【答案】(1)见解析(2)四边形BCEF是平行四边形，见解析(3)成立，理由见解析【分析】（1）根据等边三角

43、形的性质可得AB=AC，AF=AD，BAC=FAD=60，然后求出BAF=CAD，再利用“边角边”证明AFB和ADC全等；（2）四边形BCEF是平行四边形，因为AFBADC，所以可得ABF=C=60，进而证明ABF=BAC，则可得到FBEC，又EFBC，所以四边形BCEF是平行四边形；（3）根据（1）的思路可得AFBADC；根据“SAS”可得AFBADC；可得CD=BF，ABF=ACD=120，根据平行线判应可得BFAE，根据平行四边形的判应可得四边形BCEF是平行因边形（1）证明：ABC和ADF都是等边三角形，AF=AD，AB=AC，FAD=BAC=60又FAB=FADBAD，DAC=BAC

44、BAD，FAB=DAC，在AFB和ADC中，AF=AD,BAF=CAD,AB=AC,AFBADCSAS（2）解：由（1）得AFBADC，ABF=C=60又BAC=C=60，ABF=BAC，FBAC又BCEF，四边形BCEF是平行四边形（3）解：成立，理由如下：ABC和ADF都是等边三角形，AF=AD，AB=AC，FAD=BAC=60又FAB=BACFAE，DAC=FADFAE，FAB=DAC，在AFB和ADC中，AF=AD,BAF=CAD,AB=AC,AFBADCSAS，AFB=ADC又ADC+DAC=ACB=60，EAF+DAC=FAD=60，ADC=EAF，AFB=EAF，BFAE又BCE

45、F，四边形BCEF是平行四边形【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形判定和性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键18（2022山东东营中考真题）ABC和ADF均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿AB、BC运动，运动到点B、C停止.(1)如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段CD、EF的数量关系是_，位置关系是_；(2)如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)当点D运动到什么位置时，四边形CEFD的面积是ABC面积的一半，请直

46、接写出答案；此时，四边形BDEF是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明.【答案】(1)CD=EF，CDEF(2)CD=EF，CDEF，成立，理由见解析(3)点D运动到BC的中点时，BDEF是菱形，证明见解析【分析】（1）根据ABC和ADF均为等边三角形，得到AF=AD，AB=BC，FAD=ABC=60，根据E、D分别与点A、B重合，得到AB=AD，EF=AF，CD=BC，FAD=FAB，推出CD=EF，CDEF；（2）连接BF，根据FAD=BAC=60，推出FAB=DAC，根据AF=AD，AB=AC，推出AFBADC，得到ABF=ACD=60，BF=CD，根据AE=BD，推出BE=C

47、D，得到BF=BE，推出BFE是等边三角形，得到BF=EF，FEB=60，推出CD=EF， CDEF；（3）过点E作EGBC于点G，设ABC的边长为a，AD=h，根据AB=BC，BD=CD= 12BC= 12a， BD=AE，推出AE=BE= 12AB，根据AB=AC， 推出ADBC，得到EGAD，推出EBGABD，推出EGAD=BEAB=12，得到EG=12AD= 12h，根据CD=EF， CDEF，推出四边形CEFD是平行四边形，推出SCEFD=CDEG=12a12=1212a=12SABC，根据EF=BD，EFBD，推出四边形BDEF是平行四边形，根据BF=EF，推出BDEF是菱形（1）

48、ABC和ADF均为等边三角形，AF=AD，AB=BC，FAD=ABC=60，当点E、D分别与点A、B重合时，AB=AD，EF=AF，CD=BC，FAD=FAB，CD=EF，CDEF；故答案为：CD=EF，CDEF；（2）CD=EF，CDEF，成立证明：连接BF，FAD=BAC=60，FAD-BAD=BAC-BAD，即FAB=DAC，AF=AD，AB=AC，AFBADC(SAS)，ABF=ACD=60，BF=CD，AE=BD，BE=CD，BF=BE，BFE是等边三角形，BF=EF，FEB=60，CD=EF，BCEF，即CDEF，CD=EF， CDEF；（3）如图，当点D运动到BC的中点时，四边形

49、CEFD的面积是ABC面积的一半，此时，四边形BDEF是菱形证明：过点E作EGBC于点G，设ABC的边长为a，AD=h，AB=BC，BD=CD= 12BC= 12a， BD=AE，AE=BE= 12AB，AB=AC， ADBC，EGAD，EBGABD，EGAD=BEAB=12，EG=12AD= 12h，由（2）知，CD=EF， CDEF，四边形CEFD是平行四边形，S四边形CEFD=CDEG=12a12=1212a=12SABC,此时，EF=BD，EFBD，四边形BDEF是平行四边形，BF=EF，BDEF是菱形【点睛】本题主要考查了等边三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定

50、与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的判定，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定19（2022辽宁鞍山中考真题）如图，在ABC中，AB=AC，BAC=120，点D在直线AC上，连接BD，将DE绕点D逆时针旋转120，得到线段DE，连接BE，CE(1)求证：BC=3AB；(2)当点D在线段AC上（点D不与点A，C重合）时，求CEAD的值；(3)过点A作ANDE交BD于点N，若AD=2CD，请直接写出ANCE的值【答案】(1)证明见解析；(2)3(3)5719或2121【分析】（1）作AHBC于H，可得BH

51、32AB，BC2BH，进而得出结论；（2）证明ABDCBE，进而得出结果；（3）当点D在线段AC上时，作BFAC，交CA的延长线于F，作AGBD于G，设ABAC3a，则AD2a，解直角三角形BDF，求得BD的长，根据DAGDBF求得AQ，进而求得AN，进一步得出结果；当点D在AC的延长线上时，设ABAC2a，则AD4a，同样方法求得结果（1）证明：如图1，作AHBC于H，ABAB，BAHCAH12BAC1212060，BC2BH，sin60BHAB，BH32AB，BC2BH3AB；（2）解：ABAC，ABCACB180BAC2180120230，由（1）得，BCAB=3，同理可得，DBE30，

52、BEBD=3，ABCDBE，BCAB=BEBD，ABCDBCDBEDBC，ABDCBE，ABDCBE，CEAD=BEBD=3；（3）：如图2，当点D在线段AC上时，作BFAC，交CA的延长线于F，作AGBD于G，设ABAC3a，则AD2a，由（1）得，CE=3AD=23a，在RtABF中，BAF180BAC60，AB3a，AF3acos6032a，BF3asin60332a，在RtBDF中，DFADAF2a+32a=72a，BDBF2DF2=332a2+72a2=19a，AGDF90，ADGBDF，DAGDBF，AGBFADBD，AG332a=2a19a，AG=3319a，ANDE，ANDBD

53、E120，ANG60，ANAGsin60=331923a=61919a，ANCE=61919a23a=5719，如图3，当点D在AC的延长线上时，设ABAC2a，则AD4a，由（1）得，CE3AD=43a，作BRCA，交CA的延长线于R，作AQBD于Q，同理可得，ARa，BR3a，BD=3a2+5a2=27a，AQ3a=4a27a，AQ=237a，AN=237a23=47a，ANCE=47a43a=2121，综上所述：ANCE的值为5719或2121【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是正确分类和较强的计算能力20（2022辽宁朝阳中考

54、真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，BAD60，BCD120，ABAD，连接AC求证：BC+CDAC(1)小明的思路是：延长CD到点E，使DEBC，连接AE根据BAD+BCD180，推得B+ADC180，从而得到BADE，然后证明ADEABC，从而可证BC+CDAC，请你帮助小明写出完整的证明过程(2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，BADBCD90，ABAD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，BADBCD90，ABAD6，AC与BD相交于点O若四边形ABCD中有一个内角是75，请直接写出线段OD的长【答案】(1)AC

55、=BC+CD；理由见详解；(2)CB+CD=2AC；理由见详解；(3)333或33【分析】（1）如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AE证明ADEABC（SAS），推出DAE=BAC，AE=AC，推出ACE的等边三角形，可得结论；（2）结论：CB+CD=2AC如图2中，过点A作AMCD于点M，ANCB交CB的延长线于点N证明AMDANB（AAS），推出DM=BN，AM=AN，证明RtACMRtACN（HL），推出CM=CN，可得结论；（3）分两种情形：如图3-1中，当CDA=75时，过点O作OPCB于点P，CQCD于点Q如图3-2中，当CBD=75时，分别求解即可（1）证明：如图1中，

56、延长CD到点E，使DE=BC，连接AEBAD+BCD=180，B+ADC=180，ADE+ADC=180B=ADE，在ADE和ABC中，DA=BAADE=BDE=BC，ADEABC（SAS），DAE=BAC，AE=AC，CAE=BAD=60，ACE的等边三角形，CE=AC，CE=DE+CD，AC=BC+CD；（2）解：结论：CB+CD=2AC理由：如图2中，过点A作AMCD于点M，ANCB交CB的延长线于点NDAB=DCB=90，CDA+CBA=180，ABN+ABC=180，D=ABN，AMD=N=90，AD=AB，AMDANB（AAS），DM=BN，AM=AN，AMCD，ANCN，ACD=

57、ACB=45，AC=2CM，AC=ACAM=AN，RtACMRtACN（HL），CM=CN，CB+CD=CNBN+CM+DM=2CM=2AC；（3）解：如图3-1中，当CDA=75时，过点O作OPCB于点P，CQCD于点QCDA=75，ADB=45，CDB=30，DCB=90，CD=3CB，DCO=BCO=45，OPCB，OQCD，OP=OQ，SOBCSCDO=12CDOQ12BCOP=CDBC，ODOB=CDCB=3，AB=AD=6，DAB=90，BD=2AD=23，OD=31+323=333如图3-2中，当CBD=75时，同法可证ODOB=13，OD=11+323=33，综上所述，满足条件的OD的长为333或33【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题