专题25 二次函数与全等三角形存在问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题（全国通用版）（解析版）.docx

1、专题25 二次函数与全等三角形存在问题1如图，抛物线C1：yx22x3与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，将抛物线C1向上平移1个单位得到抛物线C2，点Q（m，n）在抛物线C2上，其中m0且n0，过点P作PQy轴交抛物线C1于点P，点M是x轴上一点，当以点P、Q、M为顶点的三角形与AOQ全等时，点M的横坐标为_ 【答案】4【分析】此题首先需要确定全等的对应关系，函数图象向上平移后，两个函数上下间距为1，OA1，所以AO与PQ对应，AOQPQM，可确定OQQM，AQPB，得到两组线段相等后，设点M坐标，以两组线段相等为等量建立方程即可解决问题【详解】解：AOQPQM，AOPQAOQPQM，A

2、QPB，OQQMAQ2PB2，OQ2QM2设Q（m，m22m2），P（m，m22m3），M（a，0）如图，过点Q作QHAB，垂足为H，则在RtOHQ中，OQ2（m）2+（m22m2）2；在RtMHQ中，QM2（am）2+（m22m2）2；在RtAHQ中，AQ2（m+1）2+（m22m2）2；在RtPHB中，PB2（am）2+（m22m3）2由（m）2+（m22m2）2（am）2+（m22m2）2，解得m 由（m+1）2+（m22m2）2（am）2+（m22m3）2，解得a2（舍）或a4点M的横坐标为4【点睛】此题是代几综合问题，考查了全等关系在二次函数中的应用和二次函数中点坐标与线段长的转换，

3、首先要确定边角的对应关系，发现线段相等后，利用等量建立方程，只要确定了对应关系，此题就好解决了2如图，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30，在射线OC上取点A，过点A作AHx轴于点H在抛物线y=x2(x0)上取点P，在y轴上取点Q，使得以P、O、Q为顶点，且以点Q为直角顶点的三角形与AOH全等，则符合条件的点A的坐标是_ 【答案】【分析】此题应分四种情况考虑：POQ=OAH=60，此时A、P重合，可联立直线OA和抛物线的解析式，即可得A点坐标；POQ=AOH=30，此时POH=60，即直线OP：y=x，联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出OQ、PQ的长，由于POQAOH，那么OH=

4、OQ、AH=PQ，由此得到点A的坐标当OPQ=90，POQ=AOH=30时，此时QOPAOH，由此求得点A的坐标；当OPQ=90，POQ=OAH=60，此时OQPAOH，由此求得点A的坐标；【详解】当POQ=OAH=60，若以P，O，Q为顶点的三角形与AOH全等，那么A、P重合；由于AOH=30，设A坐标为（a，b），在直角三角形OAH中，tanAOH=tan30= ，设直线OA的方程为y=kx，把A的坐标代入得k=，直线OA的解析式： y=x，联立抛物线的解析式，得：，解得 ， ；A（，）；当POQ=AOH=30，此时POQAOH；易知POH=60，则直线OP：y= x，联立抛物线的解析式，

5、得： ，解得，；P（，3），即可得A（3，）；当OPQ=90，POQ=AOH=30时，此时QOPAOH；易知POH=60，则直线OP：y=x，联立抛物线的解析式，得：，解得 ，；P（，3），OP=2，QP=2，OH=OP=2，AH=QP=2，A（2，2）；当OPQ=90，POQ=OAH=60，此时OQPAOH；此时直线OP：y=x，联立抛物线的解析式，得：，解得 ， ；P（， ），QP=，OP=，OH=QP=，AH=OP=，A（，）综上可知：符合条件的点A有四个，且坐标为：（，），（3，），（，2），（，）【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质以及函数图象交点坐标的求法；由于全等三角形

6、的对应顶点不明确，因此要注意分类讨论思想的运用3（2021陕西西安市中考三模）如图，抛物线yax2bxc经过A(，0)，B(3，0)，C(0，3)三点，线段BC与抛物线的对称轴l交于点D，该抛物线的顶点为P，连接PA，AD，线段AD与y轴相交于点E（1）求该抛物线的表达式和点P的坐标；（2）在y轴上是否存在一点Q，使以Q，C，D为顶点的三角形与ADP全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）yx2x3，P（，4）；（2）存在，点Q的坐标为（0，7）【分析】（1）已知抛物线经过的三点坐标，直接利用待定系数法求解即可（2）先求出直线BC的解析式，从而得点D的坐标为D（，2）可

7、求出AD并证明CDDP，利用三角函数及等腰三角形性质求出ADP120，则可根据点Q的位置在y轴上，分别从两种情况利用SAS判定两三角形全等的方法来求解【详解】解：（1）设抛物线的解析式为：ya（x）（x3），将C（0，3）代入得：a（0）（03）3，解得 a抛物线的解析式：y（x）（x3）x2x3yx2x3（x）24，P（，4）（2）存在，设直线BC的解析式：ykxb，依题意得： ，解得 直线BC的解析式为：yx3当x时，y2，D（，2）AD 4，CD2PDtanABD，ABD30l是抛物线的对称轴，点D在l上，ADBDABDBAD30ADB120ADFBDF60ADP120，QCD和APD中

8、，CDPD，且点Q在y轴上，当点Q在CD上方，DCQADP120，CQAD时，QCDAPD，设点Q（0，y），则CQy3，即y34，解得y7，Q（0，7），当点Q在CD下方时，CDQ120，此时点Q在抛物线的对称轴上综上，当QCDAPD时，点Q的坐标为（0，7）【点睛】此题属于二次函数综合题，难度较大，涉及到：函数解析式的确定以及全等三角形的应用等重点知识在解题时，一定要注意从图中找出合适的解题思路，能否将琐碎的知识运用到同一题目中进行解答，也是对基础知识掌握情况的重点考查4（2021北京市九年级月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bxc经过点A(，0)，B(，0)，C(0，3)（1

9、）求抛物线顶点P的坐标；（2）连接BC与抛物线对称轴交于点D，连接PC求证：PCD是等边三角形连接AD，与y轴交于点E，连接AP，在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使以Q，C，D为顶点的三角形与ADP全等若存在，直接写出点Q坐标，若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，点M是直线BC上任意一点，连接ME，以点E为中心，将线段ME逆时针旋转60，得到线段NE，点N的横坐标是否发生改变，若不改变，直接写出点N的横坐标；若改变，请说明理由【答案】（1）；（2）见解析；存在，或；（3）不改变，N的横坐标为,理由见解析【分析】（1）利用待定系数法求得二次函数的解析式，再用配方法解题；（2）利用勾股

10、定理求出PC,PD,CD的值，即可求解；存在，在对称轴上取一点Q，使得DQ=AD，连接AQ,证明，可解得，再根据对称性得到，当点与Q关于A对称时，解得；（3）设EN交DM于J，利用全等三角形的性质，证明点N在对称轴上即可【详解】解：（1）抛物线yax2bxc经过点A(，0)，B(，0)，C(0，3)；（2）设直线BC的解析式为，代入 B(，0)，C(0，3)，得直线BC的解析式为当时，PCD是等边三角形；存在，理由如下，在对称轴上取一点Q，使得DQ=AD，连接AQ,根据对称性可知，当点与Q关于A对称时，综上所述，满足条件的点Q的坐标为：或；（3）不改变，理由如下，设EN交DM于J，在对称轴上，

11、的横坐标为【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式、配方法求顶点坐标、全等三角形的判定与性质、正切、等边三角形的判定与性质等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键5如图所示，抛物线经过，三点，线段BC与抛物线的对称轴相交于点D设抛物线的顶点为P，连接PA，AD ，DP，线段AD与y轴相交于点E（1）求该抛物线的表达式（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以Q，C，D为顶点的三角形与ADP全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由（3）将绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴相交于点N，连接PM ，DN，若，求点N的坐标（

12、直接写出结果）【答案】（1）；（2）存在，点Q的坐标为，或；（3）点N的坐标为【分析】（1）已知抛物线经过的三点坐标，直接利用待定系数法求解即可；（2）先求出直线的解析式，求出点的坐标；方法1，设点Q的坐标为，利用两点间距离公式，再利用全等的条件可转化为方程组，从而求解；方法2，利用全等条件先确定点Q的几何位置，从而利用全等的条件得到对应线段的长来解决问题；注意分类讨论；（3）先证明，设点M的坐标为，可得，根据求出x的值，然后根据，可得结果【详解】解：（1）设抛物线的表达式为，将点代入后，得，解得抛物线的表达式为（2）设直线BC的解析式为，由题意，得，解得直线BC的解析式为由抛物线的表达式，得

13、顶点P的坐标为当时，点D的坐标为方法1：设点Q的坐标为，在和中，若两个三角形全等，则有以下两种情况当，时，则，解得，点Q的坐标为，当，时，则，解得，点Q的坐标为，综上所述，点Q的坐标为，或方法2：点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点F的坐标为，如图所示，分以下四种情况当在y轴上，且时，此时的坐标为当在 PD延长线上，且时，此时的坐标为当在AD 延长线上，且时，连接，此时的坐标为当且时，同理可得，的坐标为综上所述，点Q的坐标为，或（3）如图所示，点D的坐标为，点B的坐标为，为等边三角形在和中，设点M的坐标为，又，即，解得（负值舍去），点N的坐标为 解后反思本题第（2）问考查“在平面直角坐

14、标系中是否存在点Q，使以Q，C，D为顶点的三角形与全等”，这里要注意由于对应点的不同，需要有分类讨论的意识方法1，设点Q的坐标为，利用两点间距离公式，再利用全等的条件可转化为方程组，从而求解；方法2，利用全等条件先确定点Q的几何位置，从而利用全等的条件得到对应线段的长来解决问题相对于以上两种解法，因为方法1需要解复杂的二元二次方程组，所以方法2的几何方法更为简捷6如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式（2）点是轴负半轴上的一点，且，点在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点，连接，当平分时，求点的坐标（3）直线交对称轴于点，是坐标平面内一

15、点，请直接写出与全等时点的坐标【答案】（1）；（2）点的坐标为：，；（3）若与全等，点有四个，坐标为，【分析】（1）用待定系数法，直接将代入解析式即可求解（2）由平分，平行即可求出，继而得出点坐标，由直线解析式即可求出与抛物线交点坐标即可（3）由三点的坐标可得三边长，由坐标可得和中，则另两组边对应相等即可，设点坐标为；利用两点间距离公式即列方程求解【详解】（1）抛物线经过，两点，解得：，抛物线的解析式为：（2）如图1，设对称轴与轴交于点，平分，又，在中，；当时，直线解析式为：，依题意得：解得：，点在对称轴右侧的抛物线上运动，点纵坐标，当时，直线解析式为：，同理可求：，综上所述：点的坐标为：，（

16、3）由题意可知：，直线经过，直线解析式为，抛物线对称轴为，而直线交对称轴于点，坐标为；，设点坐标为，则，则，若与全等，有两种情况，即，解得：，即点坐标为，即，解得：，即点坐标为，故若与全等，点有四个，坐标为，【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系7如图，抛物线y1ax2+bx+与x轴交于点A（3，0），点B，点D是抛物线y1的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C（1，0）（1）求抛物线y1所对应的函数解析式；（2）如图1，点M在抛物线y1上，横坐标为m，连接MC，若MCBDAC，求m

17、的值；（3）如图2，将抛物线y1平移后得到顶点为B的抛物线y2点P为抛物线y1上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线y2于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线y2于点R当以点P，Q，R为顶点的三角形与ACD全等时，请直接写出点P的坐标【答案】（1） ；（2）m的值为或2+；（3）P点坐标为（0，）或P（2，）【分析】(1)根据A、C两点的坐标用待定系数法求出解析式；(2)如图，当M点在x轴上方时，若M1CBDAC，则DACM1，先求直线AD的解析式，由点C的坐标可求出直线CM1的解析式，联立直线和抛物线方程可求出点M1的坐标，当点M在x轴下方时，由轴对称的性质可求出直线CM2的解析式，同

18、理联立直线和抛物线方程则求出点M的坐标；(3)先求出y2的解析式，可设出点P坐标，表示Q、R坐标及PQ、QR，根据以P，Q，R为顶点的三角形与ACD全等，分类讨论对应边相等的可能性即可求P点坐标【详解】(1)由题意得：，解得，抛物线y1所对应的函数解析式为；(2)当x1时，y=1，D(1，1)，设直线AD的解析式为ykx+n，解得：，直线AD的解析式为yx+，如图，当M点在x轴上方时，M1CBDAC，DACM1，设直线CM1的解析式为yx+b1，直线经过点C，-+b1=0，解得：b1=，直线CM1的解析式为yx+， ，解得：x=-2+，x=-2-(舍去)，m2+，当点M在x轴下方时，直线CM2

19、与直线CM1关于x轴对称，由轴对称的性质可得直线CM2的解析式为y-x-，解得：x=或x(舍去)，m=，综合以上可得m的值为或2+；(3)抛物线y1平移后得到y2，且顶点为B(1，0)，即y2=，设P(m，)，则Q(m，)，R(2m，)，当P在Q点上方时，PQ1m，QR22m，PQR与ACD全等，当PQDC且QRAC时，m0，P(0，)，R(2，)，当PQAC且QRDC时，无解；当点P在Q点下方时，同理：PQm1，QR2m2，可得P(2，)，R(0，)，综合可得P点坐标为(0，)或P(2，)【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质、待定系数法求函数的解析式，三角形全等的判定，应用了数

20、形结合和分类讨论的数学思想8如图，抛物线与轴的交点分别为和点，与轴的交点为（1）求抛物线的解析式；（2）点是线段上一动点（不与点重合），过作平行于轴的直线与交于点，点、在线段上，点在线段上是否同时存在点和点，使得和全等，若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由；若，是的垂直平分线，求点的坐标【答案】（1）；（2）存在点，使得和全等，理由见解析；点【分析】（1）利用待定系数法，把A、C、G三点坐标代入一般式，解方程组可求得抛物线解析式；（2）分D在线段AO上和在线段OB上两种情况讨论；由已知点求出D点坐标，连接DN,证明DN/BC，则可证DN为ABC的中位线，根据题意可证DM=DN，即可求出M坐

21、标.【详解】（1）将点A，代入，得解得抛物线解析式为：（2）存在点，使得和全等当在线段上，时，和全等点坐标为由对称性，当点坐标为时，由点坐标为此时点在线段上满足条件，则点坐标为且连，则，则点为中点是的中位线点【点睛】本题考查二次函数综合题，待定系数法求二次函数解析式，三角形全等的判定定理，锐角三角函数解三角形.能在坐标轴中找准点的坐标与线段之间的关系是解决此题的关键.9（2020四川都江堰中考二模）如图，抛物线yax2+c（a0）与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点（点C在x轴正半轴上），ABC为等腰直角三角形，且面积为4现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线经过点C时，与x轴的另一交点为E

22、，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H（1）求a、c的值；（2）连接OF，求OEF的周长；（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使得以点P、Q、E为顶点的三角形与POE全等？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）20+4；（3）存在，点Q（6，2）或Q（6，3）【分析】（1）根据直角三角形的性质，可得B（2，0），A（0，2），C（2，0），将点代入解析式即可求a，c的值；（2）求出AB的直线解析为yx+2，设F（m，m+2），平移后抛物线解析式y（xm）2+m+2，将点C（2，0

23、）代入，得平移后抛物线解析式为yx2+6x10，进而求出点E的坐标，即可得出结论；（3）当P在x轴上方时，由PQEPOE，可得QEOE10，在RtQHE中，OH2，则Q（6，2）；当P在x轴下方时，PQOE10，过点P作PKHF与点K，可证明PKQQHE，则，则Q（6，3），即可得出结论.【详解】解：（1）ABC为等腰直角三角形，AOBC，ABC面积为4，BCOA4，OA2，BO4，B（2，0），A（0，2），C（2，0），点A，B在抛物线yax2+c上， ，即a、c的值分别为和2；（2）如图1，连接OF，由（1）可知：yx2+2，B（2，0），A（0，2），AB的直线解析为yx+2，平移后抛

24、物线顶点F在射线BA上，设F（m，m+2），平移后抛物线解析式y（xm）2+m+2，将点C（2，0）代入y（xm）2+m+2，得（2m）2+m+20，m6或m0（舍），F（6，8），平移后抛物线解析式为yx2+6x10，当y0时，x2+6x100，x2或x10，E（10，0），OE10，F（6，8），OF10，EF4， OEF的周长为OE+OF+EF10+10+420+4；（3）当P在x轴上方时，如图2，PQEPOE，QEOE10，在RtQHE中，HQ2， Q（6，2），当P在x轴下方时，如图3，PQEEOP，PQOE10，过点P作PKHF与点K，PK6，在RtPQK中，QK8， PQE90，

25、PQK+HQE90，HQE+HEQ90，PQKHEQ，PKQQHE90，PKQQHE， ,， QH3，Q（6，3），综上所述：满足条件的点Q（6，2）或Q（6，3）.【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，抛物线平移的特点，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，解题中注意分类讨论的思想.10已知抛物线y=x2+bx+c过点（-6,-2），与y轴交于点C，且对称轴与x轴交于点B（-2,0），顶点为A（1）求该抛物线的解析式和A点坐标；（2）若点D是该抛物线上的一个动点，且使DBC是以B为直角顶点BC为腰的等腰直角三角

26、形，求点D坐标；（3）若点M是第二象限内该抛物线上的一个动点，经过点M的直线MN与y轴交于点N，是否存在以O、M、N为顶点的三角形与OMB全等？若存在，请求出直线MN的解析式；若不存在，请说明理由【答案】(1)A点的坐标为（2，6）；（2）D点的坐标为：（2，2）；（3）存在直线MN的解析式为y=6或y=x+2【分析】（1）首先依据顶点坐标先求出b的值，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）过B点作CB的垂线交抛物线与D，然后过D点作x轴的垂线，垂足为E，通过三角形全等即可求得点D的坐标（3）由于三角形的各边，只有OB=2是确定长度的，因此可以以OB为基准进行分类讨论：OB=OM因为第二

27、象限内点P到原点的距离均大于4，因此OBOM，此种情形排除；OB=ON分析可知，只有如答图2所示的情形成立；OB=MN分析可知，只有如答图3所示的情形成立【详解】（1）对称轴与x轴交于点B（2，0），A的横坐标为：x=2，=2，解得；b=2，抛物线为y=x22x+c，抛物线y=x2+bx+c过点（6，2），代入得2=（6）22（6）+c，解得c=4，该抛物线的解析式为：y=x22x+4，y=x22x+4=（x2+4x+4）+6）=（x+2）2+6A点的坐标为（2，6）；（2）过B点作CB的垂线交抛物线与D，然后过D点作x轴的垂线，垂足为E，CBD=90，CBO+EBD=90，BCO+CBO=9

28、0，EBD=BCO，CBO=BDE，在CBO与BDE中CBOBDE（ASA）DE=OB=2，BE=OC=4D点的坐标为（2，2）或（6.2），把（2，2）或（6.2）分别代入y=x22x+4，（2，2）合适，（6，2）不合适，D点的坐标为：（2，2）图1（3）存在若以O、M、N为顶点的三角形与OBM全等，可能有以下情形：（I）OB=OM由图象可知，OM最小值为4，即OMOB，故此种情形不存在（II）OB=ON若点M在y轴正半轴上，如答图2所示：图2此时OBMOMN，OMB=OMN，即点P在第二象限的角平分线上，ON=OB=2，M点坐标为：（4，-4），直线PE的解析式为：y=x+2；若点E在y

29、轴负半轴上，易知此种情形下，两个三角形不可能全等，故不存在（III）OB=MNOB=2，第二象限内对称轴左侧的点到y轴的距离均大于2，则点M只能位于对称轴右侧或与顶点A重合若点M位于第二象限内抛物线对称轴的右侧，易知OMN为钝角三角形，而OMB为锐角三角形，则不可能全等；若点M与点A重合，如答图3所示，此时OBMOMN，四边形MNOB为矩形，图3直线MN的解析式为：y=6综上所述，存在以O、M、N为顶点的三角形与OMB全等，直线MN的解析式为y=6，y=x+2考点：二次函数综合题11定义：对于抛物线yax2+bx+c（a、b、c是常数，a0），若b2ac，则称该抛物线为黄金抛物线例如：y2x2

30、2x+2是黄金抛物线（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；（2）若抛物线yax2+bx+c（a、b、c是常数，a0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；（3）将黄金抛物线y2x22x+2沿对称轴向下平移3个单位直接写出平移后的新抛物线的解析式；设中的新抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，动点Q在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、B为顶点的三角形与AOB全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明【答案】（1）如yx2，yx2x+1，yx2+2x+4等（答案不唯一）；（2）详见解析；（3）y2x22x1

31、；符合条件的点P的坐标：（0，1），（1，1），（，），（，）【分析】（1）按照黄金抛物线的定义给a、b、c赋值即可；（2）将acb2代入判别式当中，消去ac，然后对b分等于0和不等于0两种情讨论即可；（3）根据“上加下减”写出平移后的抛物线解析式即可；根据所给的限制条件，只能画出四种图形，分别写出相应的P点坐标即可；【详解】（1）答：如yx2，yx2x+1，yx2+2x+4等；（2）依题意得b2ac，b24acb24b23b2，当b0时，0，此时抛物线与x轴有一个公共点，当b0时，0，此时抛物线与x轴没有公共点；（3）抛物线y2x22x+2向下平移3个单位得到的新抛物线的解析式为y2x22x1，存在如图：若BQAO，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点P，P点的坐标为：（0，1），（1，1），此时，AOBBQP；若BQBO，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点P，令2x22x1，解得：x或x，P点的坐标为：（，），（，）此时，AOBPQB；综上所述，有四个符合条件的点P的坐标：（0，1），（1，1），（，），（，）【点睛】此题主要考查新定义下抛物线的性质，熟练掌握，即可解题.