专题25 最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型（解析版）.docx

1、专题25 最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造桥）再也不是问题！模型1.将军遛马模型

2、【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。【模型解读】已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线m同侧： 图1 图2（1）如图1，过A点作ACm,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。（2）如图2，过A点作AEm,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B,连接BE,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。【

3、最值原理】两点之间线段最短。例1（2023黑龙江九年级校考期中）问题背景（1）如图（1），在公路的一侧有，两个工厂，到公路的垂直距离分别为和，之间的水平距离为现需把厂的产品先运送到公路上然后再转送到厂，则最短路线的长是_问题探究（2）如图（2），和是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，点，重合，点，重合，将沿直线平移，得到，连接，试探究在平移过程中，是否存在最小值若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由问题解决（3）如图（3），A，B分别是河岸m一侧的两个旅游景点，它们到河岸的垂直距离分别是和，的水平距离是游客在景点游览完后，乘坐大巴先到河岸上的码头甲处，改乘游轮沿河航行到达码头乙，再乘坐

4、大巴到达景点请问码头甲，乙建在何处才能使从到的旅游路线最短，并求出最短路线的长【答案】（1）（2）存在，最小值为（3）最短路线长为【分析】（1）根据最短路径的作法，找出最短路径，再利用矩形的性质，求出和的距离，最后利用勾股定理即可求出最短路径；（2）根据平移的性质可知四边形和均为平行四边形，再利用最短路径作法得出即为最短距离，最后根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出答案；（3）根据题意画图可知四边形为平行四边形，最后根据勾股定理即可求出答案【详解】解：（1） 如图 （1）， 点 是公路上的一点， 假设先把产品运送到点 处， 再转送到 厂， 作点 关于 的 对称点， 连接， 连接 交于点，

5、则 ， 当点 与点 重合时， 取得最小值， 为 的长连接， 交于点， 过点 作 于点， 过点 作， 垂足为点，则，四边形 是矩形，又，即最短路线的长是故答案为：（2） 存在理由如下，如图 （2）， 过点 作直线， 作点 关于直线的对称点， 连接 ，交直线于点， 过点 作交直线 于点， 连接， 则由平移知，又 ，四边形 是平行四边形，由平移知，又，四边形 是平行四边形，当点 与点重合时， 最小， 最小值为 的长过点 作 交 的延长线于点， 则 为等腰直角三角形，的最小值为故答案为：存在，最小值为（3） 如图 （3），设码头乙为点， 码头甲为点， 连接， 过点 作， 且， 作点 关于 的对称点，

6、连接 交于点连接， 则是平行四边形， ， 点 ，N重合时，旅游路线最短过点 作直线， 过点 作 于点，则 ，故答案为：最短路线长为【点睛】本题考查了轴对称在最短路径问题中的应用，涉及到的知识点有矩形的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键在于如何利用轴对称找到最短路径例2（2022四川内江统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB6，AD4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EFBC，则AF+CE的最小值是 _【答案】10【分析】延长BC到G，使CGEF，连接FG，证明四边形EFGC是平行四边形，得出CEFG，得出当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，根据勾股

7、定理求出AG即可【详解】解：延长BC到G，使CGEF，连接FG，EFCG，四边形EFGC是平行四边形，CEFG，AF+CEAF+FG，当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，由勾股定理得，AG10，AF+CE的最小值为10，故答案为：10【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，根据题意作出辅助线，得出当A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，是解题的关键例3（2022四川自贡中考真题）如图，矩形中，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为_【答案】【分析】如图，作G关于AB的对称点G，在CD上截取CH=1，然后连接HG交AB于E，在EB上截取EF=1，此时G

8、E+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到GH=EG+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG的长，即可求解【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G，在CD上截取CH=1，然后连接HG交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小， GE=GE，AG=AG，四边形ABCD是矩形，ABCD，AD=BC=2CHEF，CH=EF=1， 四边形EFCH是平行四边形，EH=CF，GH=EG+EH=EG+CF，AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，AG=AG=1 DG=AD+AG=2+1=3，DH=4-1=3，即的最小值为故答案为：【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问

9、题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键例4（2023上江苏盐城九年级校联考阶段练习）如图，正方形内接于O，线段在对角线上运动，若O的周长为，则周长的最小值是 【答案】/【分析】过点作，令；可推出四边形为平行四边形，有；根据可知当时，周长有最小值.【详解】解：过点作，令O的周长为，O的半径为且四边形为平行四边形 由正方形的对称性可得：故：当时，周长有最小值此时：周长的最小值是故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质等推出当时，周长有最小值是解题关键例5（2023秋河南南阳九年级校联考期末）如图，在边长为的正方形中将沿射线平移，得到，连接、

10、求的最小值为_【答案】【分析】将ABC沿射线CA平移到ABC的位置，连接CE、AE、DE，证出四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形，根据平行四边形的性质和平移图形的性质，可得CE=CE，CG=DE，可得EC+GC=CE+ED，当点C、E、D在同一直线时，CE+ED最小，由勾股定理求出CD的值即为EC+GC的最小值【详解】如图，将ABC沿射线CA平移到ABC的位置，连接CE、AE、DE，ABGEDC且AB=GE=DC，四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形，AEBG，CG=DE，AECC，由作图易得，点C与点C关于AE对称，CE=CE，又CG=DE，EC+GC=CE+ED，当点C、

11、E、D在同一直线时，CE+ED最小，此时，在RtCDE中，CB=4，BD=4+4=8， CD=，即EC+GC的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查正方形的性质、图形的对称性、线段最短和平行四边形的性质与判定，解题的关键是将两条线段的和转化为同一条线段求解例6（2023贵州黔东南统考一模）如图，在菱形中，对角线，的长分别为，将沿射线的方向平移得到，分别连接，则的最小值为_【答案】【分析】连接与交于点，延长到，使得，连接，证明，得，当点、三点共线时，的值最小，由勾股定理求得便可【详解】解：如图所示，连接与交于点，延长到，使得，连接，四边形是菱形，由平移性质知，当点、三点共线时，的值最小，的最小值为

12、：，故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质，平移的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键模型2.将军过桥（造桥）模型【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。【模型解读】【单桥模型】已知，如图1将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A位置（图2 ）问题化为求AN+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3） 图1 图2 图

13、3 【双桥模型】已知，如图4，将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？ 图4 图5 图6考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起AP平移至AQ，NB平移至MB，化AP+QM+NB为AQ+QM+MB（如图5）当A、Q、M、B共线时，AQ+QM+MB取到最小值，再依次确定P、N位置（如图6）【最值原理】两点之间线段最短。例1（2023.浙江八年级期中）同学们已经学过一些平行线的性质，其实平行线的性质还有一些：（1）如图1，如果，在a上任取一点P，作PQb于点Q，则线段PQ

14、的长度叫a，b之间的距离.如果在a上再取一点M，作MNb于点N，则线段MN可以看成由线段PQ平移得到，即MN=PQ，这就得到平行线的又一条性质：平行线间的距离处处相等根据平移还有哪些线段相等 .（2）刚在（1）中提到的平行线性质在河上建桥也有广泛的应用：如图2，直线a，b表示一条河的两岸，且. 现在要在这条河上建一座桥使村庄A经桥过河到村庄B现在由小明、小红两位同学设计：小明：作ADa，交a于点D，交b于点C 在CD处建桥. 路径是A-C-D-B小红：作ADa，交a，b于点D，点C；把CD平移至BE，连AE，交b于G，作GFa于F. 在FG处建桥路径是A-G-F-B问：小明、小红谁设计的路径长

15、较短？再用平移等知识说明理由.（3）假设新桥就按小红的设计在FG处实施建造了，上游还有一座旧桥，凌晨3点某船从旧桥下到新桥下，到达后立即返回，来回穿梭于两桥之间，船在静水每小时16千米，水流每小时4千米，在当晚23点时有人看见船在离旧桥80千米处行驶求这两桥之间的距离.【答案】（1）PM=QN；（2）小红设计的路径较短，理由见解析；（3）200千米或120千米或100千米【分析】(1)易得PQMN，所以可得PM=QN；(2)根据小明的路径=AC+CD+DB，小红的路径=AE+EB，由平移可知CD=EB，DB=CE，在ACE中由两边之和大于第三边，可得出结论;(3)需要分情况讨论：船第一次到达新

16、桥后返回距离旧桥80千米；船第一次返回旧桥，再向新桥行驶，距离旧桥80千米；船第二次到达新桥后返回距离旧桥80千米；船第二次返回旧桥，再向新桥行驶，距离旧桥80千米，这一次计算距离为60千米，不符合题意.【详解】（1）PQb，MNb，PQMN，则PM与QN都为线段PQ平移的距离,PM=QN（2）小红设计的路径较短，理由如下：小明的路径=AC+CD+DB，小红的路径=AE+EB，由平移可知CD=EB，DB=CE，在ACE中AC+CEAE，所以小红设计的路径短.（3）设两桥之间的距离为x千米(x80)，旧桥到新桥为顺水，速度为16+4=20千米/小时，新桥到旧桥为逆水，速度为16-4=12千米/小

17、时,行驶总时长为23-3=20小时.船第一次到达新桥后返回距离旧桥80千米，由题意得解得船第一次返回旧桥，再向新桥行驶，距离旧桥80千米，由题意得 解得船第二次到达新桥后返回距离旧桥80千米，由题意得， 解得船第二次返回旧桥，再向新桥行驶，距离旧桥80千米，由题意得， 解得因为船在两桥之间行驶，故此种情况不存在.综上，两桥间的距离为200千米或120千米或100千米.【点睛】本题考查最短路径设计问题，设计图可作为“造桥模型”记住，第（3）题考查船顺水于逆水航行问题，需要掌握顺水和逆水的速度计算，分类讨论是解题的关键.例2（2023.广东八年级专项训练）如图所示，某条护城河在处角转弯，河宽相同，

18、从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使到的路程最短，请确定两座桥的位置【答案】见解析【分析】由于含有固定线段“桥”，需要将点向下平移至点，点向右平移至点，构造平行四边形进行求解即可【详解】解：如图所示，将点向下平移至点，使的长等于河宽，将点向右平移至点，使的长等于河宽；连接，与河岸相交于点，；过点作于点D，过点作于点，则，即为两桥的位置，【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，由于有固定的长度的线段，常用的方法通过平移，构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答例3（2023广西二模）已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为

19、4千米，A、B两村庄的直线距离AB10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为()A2B1+3C3+D【答案】A【分析】作BB垂直于河岸，使BB等于河宽，连接AB，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条河岸，则MNBB且MNBB，于是MNBB为平行四边形，故MBBN；根据“两点之间线段最短”，AB最短，即AM+BN最短，此时AM+BNAB【详解】解：如图，作BB垂直于河岸，使BB等于河宽，连接AB，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条河岸，则MNBB且MNBB，于是MNBB为平行四边形

20、，故MBBN根据“两点之间线段最短”，AB最短，即AM+BN最短AB10千米，BC1+3+48千米，在RTABC中，在RTABC中，BC1+34千米，AB千米；故选A【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化例4（2023陕西西安校考模拟预测）如图，中，；垂足分别为点F和E点G和H分别是和上的动点，那么的最小值为_【答案】【分析】过点E作交于点I，连接易求出，易证四边形为平行四边形，得出，即说明当最小时，最小由当

21、点I，H，C三点共线时，最小结合平行四边形的判定和性质和勾股定理求出，即得出，即可得出答案【详解】解：如图，过点E作交于点I，连接中，四边形为平行四边形，同理可得出，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，当最小时，最小当点I，H，C三点共线时，最小，此时最小，如图，四边形为平行四边形，的最小值为 故答案为：【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，平行线的判定，两点之间线段最短等知识正确作出辅助线，理解当点I，H，C三点共线时，最小，即此时最小是解题关键例5（2023.山东中考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0），经过点A（-1，0），B（3，0），

22、C（0，3）三点(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当SNBC=SABC时，求N点的坐标；(3)在（2）问的条件下，过点C作直线lx轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值【答案】(1)y=-x2+2x+3，顶点M坐标为（1，4）；(2)点N坐标为（4，-5）；(3)当m=时，PM+PQ+QN有最小值，最小值为3+3【分析】（1）将点A、B、C坐标代入解析式，解关于a、b、c的方程组可得函数解析式，配方成顶点式即可得点M坐标；（2）设N

23、（t，-t2+2t+3）（t0），根据点N、C坐标用含t的代数式表示出直线CN解析式，求得CN与x轴的交点D坐标，即可表示BD的长，根据SNBC=SABC，即SCDB+SBDN=ABOC建立关于t的方程，解之可得；（3）将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M（1，1），连接MN交x轴于点Q，连接PQ，此时M、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=MQ+PQ+QN取最小值，由点M、N坐标求得直线MN的解析式，即可求得点Q的坐标，据此知m的值，过点N作NEx轴交MM延长线于点E，可得ME=6、NE=3、MN=3，即MQ+QN=3，据此知m=时，PM+PQ+QN的最小值为3+3【详解】（1）解：抛

24、物线y=ax2+bx+c（a0）经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），解得：，y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，则抛物线的顶点M坐标为（1，4）；（2）解：N是抛物线上第四象限的点，设N（t，-t2+2t+3）（t3），又点C（0，3），设直线NC的解析式为y=k1x+b1，则，解得：，直线NC的解析式为y=（-t+2）x+3，设直线CN与x轴交于点D，当y=0时，x=，D（，0），BD=3-， SNBC=SABC，SCDB+SBDN=ABOC，即BD|yC-yN|= 3-（-1）3，即（3-）3-（-t2+2t+3）=6，整理，得：t2-3t-4=0，解得：t1=4，t2

25、=-1（舍去），当t=4时，-t2+2t+3=-5，点N坐标为（4，-5）；（3）解：将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M（1，1），连接MN交x轴于点Q，连接PQ，则MM=3，P（m，3）、Q（m，0），PQx轴，且PQ=OC=3，PQMM，且PQ=MM，四边形MMQP是平行四边形，PM=QM，由作图知当M、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=MQ+PQ+QN取最小值，设直线MN的解析式为y=k2x+b2（k20），将点M（1，1）、N（4，-5）代入，得：，解得：，直线MN的解析式为y=-2x+3，当y=0时，x=，Q（，0），即m=，此时过点N作NEx轴交MM延长线于点E，在RtM

26、EN中，ME=1-（-5）=6，NE=4-1=3，MN=，MQ+QN=3，当m=时，PM+PQ+QN的最小值为3+3【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、勾股定理及根据两点间线段最短得到点P、Q的位置例6（2023春湖北武汉八年级统考期中）如图，在中，M、N分别是、边上的动点，且，则的最小值是_【答案】【分析】由可知为定长，在、间滑动，故由造桥选址模型进行平移，转化为两点间距离加上定长，再利用特殊角构造直角三角形，使用勾股定理求出两点间距离【详解】作交于点E，在取，连接，延长至点，使，连接，作于点，如下图：，为等边三角形，四

27、边形为平行四边形，同理得四边形与四边形为平行四边形，中，中，的最小值是【点睛】本题考查平移类最短路径，为造桥选址模型，即沿一个方向平移的定长线段两端到两个定点距离和最小，解题时需要理清楚是否含有定长平移线段，且利用平移求出最短路径位置求解长度时若有特殊角，通常采用构造直角三角形利用勾股定理求解的方法课后专项训练1（2021四川南充市中考真题）如图，在矩形ABCD中，把边AB沿对角线BD平移，点，分别对应点A，B给出下列结论：顺次连接点，C，D的图形是平行四边形；点C到它关于直线的对称点的距离为48；的最大值为15；的最小值为其中正确结论的个数是（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】D【分析】根

28、据平移的性质和平行四边形的判定方法判断，再利用等积法得出点C到BD的距离，从而对做出判断，再根据三角形的三边关系判断，如图，作关于的对称点，交于 连接，过作于 分别交于 证明 是最小值时的位置，再利用勾股定理求解，对做出判断【详解】解：由平移的性质可得AB/且AB=四边形ABCD为矩形AB/CD，AB=CD=15/CD且=CD四边形CD为平行四边形，故正确在矩形ABCD中，BD=25,过A作AMBD，CNBD，则AM=CNSABD=ABCD= BDAMAM=CN=12点C到的距离为24点C到它关于直线的对称点的距离为48故正确当在一条直线时最大，此时与D重合的最大值=15故正确， 如图，作关于

29、的对称点，交于 连接，过作于 分别交于 则 为的中位线， ， 由可得， 此时最小，由同理可得： 设 则 由勾股定理可得： 整理得： 解得：（负根舍去）， 故正确故选D【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质以及平移的性质,锐角三角函数的应用等知识点，熟练掌握相关的知识是解题的关键2（2023安徽中考学二模）如图，菱形ABCD的边长为2，ABC60，点E、F在对角线BD上运动，且EF2，连接AE、AF，则AEF周长的最小值是（）A4B4+C2+2D6【答案】D【分析】作AHBD，使得AHEF2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小，进而得出AEF周长的最小值即可【详解】解：如图作A

30、HBD，使得AHEF2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小，即AEF的周长最小AHEF，AHEF，四边形EFHA是平行四边形，EAFH，FAFC，AE+AFFH+CFCH，菱形ABCD的边长为2，ABC60，ACAB2，四边形ABCD是菱形，ACBD，AHDB，ACAH，CAH90，在RtCAH中，CH AE+AF的最小值4，AEF的周长的最小值4+26，故选：D【点睛】本题考查菱形的性质与动点问题最小值，构造辅助线转化相关的线段是解题关键3（2022重庆九龙坡统考一模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，ABC60，将ABD沿射线BD方向平移，得到EFG，连接EC、GC则EC+GC的最小

31、值为（）A2B4C2D4【答案】B【分析】连接AE，作点D关于直线AE的对称点H，连接DE，DH，EH，AH，CH由平移和菱形的性质可证明四边形CDEG为平行四边形，即得出，从而可得出，即CH的长为的最小值最后根据等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质与勾股定理求出CH的长即可【详解】如图，连接AE，作点D关于直线AE的对称点H，连接DE，DH，EH，AH，CH由平移的性质可知，四边形ABCD为菱形，四边形CDEG为平行四边形，由轴对称的性质可知， ，即CH的长为的最小值，四边形为平行四边形，为等边三角形，即为顶角是120，底角为30的等腰三角形，结合含30角的直角三角形和勾股定

32、理即可求故选B【点睛】本题考查平移的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轴对称变换，含30角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，综合性强，为选择题中的压轴题正确的作出辅助线是解题关键4（2023安徽合肥合肥寿春中学校考三模）在边长为2的正方形中，点E、F是对角线上的两个动点，且始终保持，连接、，则的最小值为（）AB3CD【答案】B【分析】过点作使，易得四边形为平行四边形，得到，进而得到，得到三点共线时，有最小值即为的长，利用勾股定理进行求解即可【详解】解：过点作使，则：四边形为平行四边形，当三点共线时，有最小值即为的长，四边形为正方形，即：的最小值为3故选B【点

33、睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理解题的关键是构造平行四边形，进行线段的转化5（2023广东九年级期中）如图，CD是直线x1上长度固定为1的一条动线段已知A（1，0），B（0，4），则四边形ABCD周长的最小值为 _【答案】【分析】在y轴上取点E，使BECD1，则四边形BCDE为平行四边形，根据勾股定理得到AB，作点A关于直线x1的对称点A，得到A、E、D三点共线时，AD+DE最小值为AE的长，根据勾股定理求出AE，即可得解；【详解】解：如图，在y轴上取点E，使BECD1，则四边形BCDE为平行四边形，B（0，4），A（1，0），OB4，OA1，OE3，AB，作点A关于

34、直线x1的对称点A，A（3，0），ADAD，AD+DEAD+DE，即A、E、D三点共线时，AD+DE最小值为AE的长，在RtAOE中，由勾股定理得AE，C四边形ABCD最小值AB+CD+BC+ADAB+CD+AE+1+5+6故答案为：【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题、勾股定理、位置与坐标，准确分析作图计算是解题的关键6（2022浙江金华八年级期末）在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图l所示然后固定纸片ABC，把纸片ADC沿AC的方向平移得到ADC，连AB，DB，DC，在平移过程中：（1）四边形ABCD的形状始终是 _；（2）AB+DB的最小值为 _【答案】

35、 平行四边形 2【分析】（1）利用平移的性质证明即可（2）如图2中，作直线DD，作点C关于直线DD的对称点C，连接DC，BC，过点B作BHCC于H求出BC，证明AB+BD=BD+CD=BD+DCBC，可得结论【详解】解：（1）如图2中，AD=BC，ADBC，四边形ABCD是平行四边形，故答案为：平行四边形（2）如图2，作直线DD，作点C关于直线DD的对称点C，连接DC，BC，过点B作BHCC于H四边形ABCD是正方形，AB=BC=2，ABC=90，AC=AB=2，BJAC，AJ=JC，BJ=AC=，BJC=JCH=H=90，四边形BHCJ是矩形，BJ=CJ，四边形BHCJ是正方形，BH=CH=

36、，在RtBHC中，BH=，HC=3，四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，AB+BD=BD+CD=BD+DCBC，AB+BD2，AB+DB的最小值为2，故答案为：2【点睛】本题考查作图-平移变换，轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型7（2022下辽宁沈阳八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，在矩形 ABCD 中，AD=BC=3，DBC=60，将DAB 沿射线 DB方向平移得到DAB，连接 CD和 CB， 则 CD+CB的最小值为 【答案】【分析】作C点关于BD的对称点C ，连接 过点作过点C作，两平行线交于点G，则四边形是平行四边形，

37、当C，G，三点共线时， 的值最小，求出CG的值即可所求【详解】解：如图所示：作C点关于BD的对称点，连接过点作过点C作，两平行线交于点G，四边形是平行四边形，当三点共线时，的值最小，最小值为CG的长度，在中，在中，故答案为：【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，通过构造平行四边形边进行转化，再利用将军饮马问题进行求解是解题的关键8（2023山东潍坊八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，是轴上的一条动线段，且，当取最小值时，点坐标为_.【答案】【分析】如图把点A向右平移1个单位得到E（1，1），作点E关于x轴的对称点F（1，-1），连接BF，BF与x轴的交点即为

38、点Q，此时AP+PQ+QB的值最小，求出直线BF的解析式，即可解决问题【详解】解：如图把点4向右平移1个单位得到E（1，1），作点E关于x轴的对称点F（1，-1），连接BF，BF与x轴的交点即为点Q，此时4P+PQ+QB的值最小.设最小BF的解析式为y=kx+b，则有解得直线BF的解析式为y=x-2，令y=0，得到x=2.Q（2.0）故答案为（2，0）.【点睛】本题考查轴对称最短问题、坐标与图形的性质、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，学会构建一次函数解决交点问题，属于中考常考题型9（2023四川成都模拟预测）如图，菱形的边在轴上，顶点坐标为，顶点坐标为，点在轴上，线

39、段轴，且点坐标为，若菱形沿轴左右运动，连接、，则运动过程中，四边形周长的最小值是_【答案】13+【分析】由题意可知AD、EF是定值，要使四边形周长的最小，AEDF的和应是最小的，运用“将军饮马”模型，根据点E关于AD的对称点为O，过点A作AF1DF，当O，A，F1三点共线时，AE+DF=OA+AF1=OF1，为所求线段和的最小值，再求四边形周长的最小值【详解】点坐标为，点坐标为，OC4，OD3，在RtCOD中，CD5，四边形是菱形，ADCD5，坐标为，点 在轴上，线段轴，EF8， 连接OA，过点A作AF1DF交EF于点F1，则四边形ADFF1是平行四边形，FF1=AD=5，EF1=EF-FF1

40、=3，点E，O关于AD对称，OA=AE，当O，A，F1三点共线时，AE+DF=OA+AF1=OF1，为所求线段和的最小值，在RtOEF1中，OF1，四边形周长的最小值：ADEFAEDF ADEF OF15813+【点睛】本题考查菱形，勾股定理，平移，轴对称，解决问题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股定理解直角三角形，平移图形全等性，轴对称性质10（2023重庆校考三模）如图，在边长为1的菱形ABCD中，将沿射线BD的方向平移得到，分别连接，则的最小值为 【答案】【分析】过点C作直线，以直线l为对称轴作点的对称点E，连接CE，AC，证明，求得，根据三角形三边关系可知当点，C，E共线时，的最小值是【

41、详解】解：如图，过点C作直线，以直线l为对称轴作点的对称点E，连接CE，AC，设AC与BD交于点O，与直线l交于点F，则，由，易得，由平移的性质可知，在中，在中，由三角形的三边关系可得，当点，C，E共线时，即的最小值是，故答案为：【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，平移的性质，正确的理解题意是解答本题的关键11（2023.广东省深圳市九年级期中）如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，A=60，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PMx轴于点M点，点

42、E与E关于x轴对称，连接BP、EM（1）请直接写出点A的坐标为_，点B的坐标为_；（2）当BP+PM+ME的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为_； 【答案】（1）（2，2），（4，2）；（2）（2，）；【分析】（1）由30直角三角形的性质求出OD的长，再由平行四边形的性质求出BD的长即可解决问题；（2）首先证明四边形OPME是平行四边形，可得OP=EM，因为PM是定值，推出PB+ME=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME的长度最小；【详解】解：（1）如图1中，在RtADO中，A=60，AOD=30AD=2，OD =2，A（2，2），四边形ABCO是平行四边形，AB=OC=6，DB=62=

43、4，B（4，2）；（2）如图1中，连接OPEF垂直平分线段OD，PMOC，PEO=EOM=PMO=90，四边形OMPE是矩形，PM=OE=OE=OE，PM=OE，PMOE，四边形OPME是平行四边形，OP=EM，PM是定值，PB+ME=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME的长度最小，当O、P、B共线时，BP+PM+ME的长度最小直线OB的解析式为y=x，P（2，）故答案为（2，）【点睛】本题考查了四边形综合题、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、最短问题等知识，解题的关键是学会利用两点之间线段最短，解决最短问题12（成都市2022-2023学年八年级期末）如图，在平面直角坐标系中有，两

44、点将直线：向上平移个单位长度得到直线，点在直线上，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，则折线的长的最小值为 【答案】【分析】先证四边形是平行四边形，可得，则，即当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，即有最小值，即可求解【详解】解：如图，将点沿轴向下平移个单位得到，以为斜边，作等腰直角三角形，则点，连接，是等腰直角三角形，将直线：向上平移个单位长度得到直线，四边形是平行四边形，当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，即有最小值，点，点，折线的长的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，一次函数的应用，添加恰当辅助线构造平行四边形是解

45、题的关键13（广西2021年中考数学真题）如图，已知点，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，的对应点分别为，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为 【答案】【分析】先通过平移和轴对称得到当B、E、三点共线时，的值最小，再通过设直线的解析式并将三点坐标代入，当时，求出a的值，最后将四边形周长与时的周长进行比较，确定a的最终取值，即可得到平移后的抛物线的解析式【详解】解：，由平移的性质可知：,四边形的周长为；要使其周长最小，则应使的值最小；设抛物线平移了a个单位，当a0时，抛物线向右平移，当a0时，抛物线向左平移；，将向左平移2个单位得到，则由平移的性质可知：，将关于x轴的对称点记为点E，则

46、，由轴对称性质可知，,，当B、E、三点共线时，的值最小，设直线的解析式为：，当时，将E点坐标代入解析式可得：，解得：，此时，此时四边形的周长为；当时，此时四边形的周长为：；，当时，其周长最小，所以抛物线向右平移了个单位，所以其解析式为：；故答案为：【点睛】本题综合考查了平移、轴对称、一次函数的应用、勾股定理、抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是理解并确定什么情况下该四边形的周长最短，本题所需综合性思维较强，对学生的综合分析和计算能力要求都较高，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等14（2023上陕西西安九年级校考阶段练习）（1）问题提出如图，在中，点D，E分别是的中点若点M，N分别是和上

47、的动点，则的最小值是_（2）问题探究：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处，才能使从A到B的路径最短博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过A作河岸的垂线，使，为河宽，连接，与河的一岸交于点N，此时在点N处建桥，可使从A到B的路径最短你认为小旭的说法正确吗？请说明理由（3）问题解决：如图，在矩形中，E、F分别在上，且满足，若边长为10的正方形在线段上运动，连接，当取值最小时，求的长【答案】（1）3；（2）小旭的说法正确，理由见解析；（3）38或14【分析】（1）连接，过点A作于点F，根据两点之间线段最短，可得当时，最短，此时点N与点F重合，即的最小值

48、为的长，再根据直角三角形的性质，即可求解；（2）根据题意可得四边形为平行四边形，从而得到，再根据“两点之间线段最短”，当点，N，B三点共线时，最短，即可求解；（3）过点N分别作，分别交于点H，G，连接交于点T，过点G作于点X，则，证明四边形，四边形都是平行四边形， 可得，从而得到当点H，T，G三点共线时，的值最小，此时点N与点T重合，然后证明，可得，可求得的长；过点Q分别作，分别交于点K，L，连接交于点S，当点K，S，L三点共线时，的值最小，此时点N与点S重合，同理可求出的长，即可求解【详解】解：（1）如图，连接，过点A作于点F，当时，最短，此时点N与点F重合，即的最小值为的长，的最小值为3；

49、故答案为：3（2）解：小旭的说法正确，理由如下：根据题意得：，四边形为平行四边形，根据“两点之间线段最短”，当点，N，B三点共线时，最短，为河宽，在点N处建桥，可使从A到B的路径最短（3）如图，过点N分别作，分别交于点H，G，连接交于点T，过点G作于点X，则， 根据题意得：，四边形，四边形都是平行四边形， ， 即当点H，T，G三点共线时，的值最小，此时点N与点T重合，解得：，；如图，过点Q分别作，分别交于点K，L，连接交于点S，当点K，S，L三点共线时，的值最小，此时点N与点S重合，同理；综上所述，当取值最小时，的长为38或14【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，相

50、似三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，熟练掌握直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用类比思想解答是解题的关键15（2023.广安九年级月考）如图，抛物线，经过点，三点求抛物线的解析式及顶点M的坐标；连接AC、MB，P为线段MB上的一个动点（不与点M、B重合），过点P作x轴的垂线PQ，若OQ=a，四边形ACPQ的面积为s，求a为何值时，面积s最大；点N是抛物线上第四象限的一个定点，坐标为 ，过点C作直线轴，动点在直线l上，动点在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，的和最小，并求出和的最小值【答案】（1）；M（1,4）（2）当，面积最大，最大为.（）【分

51、析】（1）抛物线过，可求得解析式；（2）将用含的代数式表示，并配方成顶点式求出最大值；（3）根据选址造桥模型，将顶点向下平移三个单位得，当 在同一条直线上时，取得最小值.【详解】(1)抛物线经过点，,解得 =,顶点M的坐标为（1,4）（2）连接AC、MB，P为线段MB上的一个动点（不与点M、B重合），过点P作x轴的垂线PQ.设P点的坐标为 ，如图所示.P在直线MB上，设直线MB为 解得 直线MB的解析式为，P点坐标为， ，整理即当，面积最大，最大为.（3）将顶点向下平移三个单位得 ，连接 交轴于点，连接如图所示，则.，轴，且，四边形为平行四边形,有图知三点共线时，取最小值.设直线的解析式为，将

52、点，N 求得直线的解析式为，当时，即，即，此时过点作轴交延长线与点，在中，,即,当时，的最小值为.【点睛】本题考查二次函数的综合问题，求最大值将函数用顶点式表示，其中第三问根据选址造桥模型确定M对应点的位置，当 在同一条直线上时，取得最小值.进而求解.16（2023陕西咸阳校考一模）【问题提出】（1）如图1，点A、B在直线l的同侧，点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，A、B两点的水平距离，点P是直线l上的一个动点，则的最小值是_；【问题探究】（2）如图2，在矩形中，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，求的最小值；【问题解决】（3）如图3，某公园有一块形状为四边形的空地，管理人员规划修两条小路和（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在和上分别选取点M、N，沿、和修建地下水管，为了节约成本，要使得线段、与之和最小