专题25以四边形为载体的几何综合问题-挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）（解析版）.docx

1、挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）专题25以四边形为载体的几何综合问题 【例1】（2022贵州黔西中考真题）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且EAF=45(1)当BE=DF时，求证：AE=AF；(2)猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；(3)如图2，连接AC，G是CB延长线上一点，GHAE，垂足为K，交AC于点H且GH=AE若DF=a，CH=b，请用含a，b的代数式表示EF的长【答案】(1)见解析(2)EF=DF+BE，见解析(3)22b+a【分析】（1）先利用正方表的性质求得AB=AD，B=

2、D=90，再利用判定三角形全等的“SAS”求得三角形全等，然后由全等三角形的性质求解；（2）延长CB至M，使BM=DF，连接AM，先易得ABMADFSAS，推出AM=AF，MAB=FAD，进而得到AEMAEFSAS，最后利用全等三角形的性质求解；（3）过点H作HNBC于点N，易得ABEGNHAAS，进而求出HN=22CH，再根据（2）的结论求解（1）证明：四边形ABCD是正方形，AB=AD，B=D=90在ABE和ADF中AB=ADB=DBE=DF，ABEADFSAS，AE=AF；（2）解：BE，EF，DF存在的数量关系为EF=DF+BE理由如下：延长CB至M，使BM=DF，连接AM，则ABM=

3、D=90在ABM和ADF中AB=ADABM=DBM=DF，ABMADFSAS，AM=AF，MAB=FADEAF=45，MAB+BAE=FAD+BAE=45MAE=FAE，在AEM和AEF中AM=AFMAE=FAEAE=AE，AEMAEFSAS，EM=EF，EM=BE+BM，EF=DF+BE；（3）解：过点H作HNBC于点N，则HNG=90GHAE，AKG=ABG=90，BGK=EAB在ABE和GNH中ABE=GNHBAE=NGHAE=GH，ABEGNHAAS，EB=HNHCN=45，HNC=90，sin45=HNHC，HN=22CH，由（2）知，EF=BE+DF=HN+DF=22b+a【点睛】

4、本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，作出辅助线，构建三角形全等是解答关键【例2】（2022辽宁丹东中考真题）已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG(1)如图1，当ADABAGAE1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；(2)如图2，当ADABAGAE2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，若AB5，AEB45

5、，请直接写出MND的面积【答案】(1)BEDG，BEDG(2)BE12DG，BEDG，理由见解析(3)SMNG94【分析】（1）证明BAEDAG，进一步得出结论；（2）证明BAEDAG，进一步得出结论；（3）解斜三角形ABE，求得BE3，根据（2）DGBE=2可得DG6，从而得出三角形BEG的面积，可证得MNDMNG，MNG与BEG的面积比等于1：4，进而求得结果（1）解：由题意得：四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，ABAD，AEAG，BADEAG90，BADDAEEAGDAE，BAEDAG，BAEDAG（SAS），BEDG，ABEADG，ADG+ADBABE+ADB90，BDG90，B

6、EDG；（2）BE12DG，BEDG，理由如下：由（1）得：BAEDAG，ADABAGAE2，BAEDAG，DGBE=ADAB=2，ABEADG，ADG+ADBABE+ADB90，BDG90，BEDG；（3）如图，作AHBD于H，tanABDAHBH=ADAB=2，设AH2x，BHx，在RtABH中，x2+（2x）2（5）2，BH1，AH2，在RtAEH中，tanABEAHEH，AHEH=tan45=1，EHAH2，BEBH+EH3，BDAB2+AD2=(5)2+(25)25，DEBDBE532，由（2）得：DGBE=2，DGBE，DG2BE6，SBEG12BEDG12369，在RtBDG和R

7、tDEG中，点M是BG的中点，点N是CE的中点，DMGM12BG,DN=GN=12EG，NMNM，DMNGMN（SSS），MN是BEG的中位线，MNBE，BEGMNG，SMNGSBEG（GMGB）214，SMNGSMNG14SBEG94【点睛】本题主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是类比的方法【例3】（2022湖南益阳中考真题）如图，矩形ABCD中，AB15，BC9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AFBE于F，CGBE于G，延长CG至点C，使CGCG，连接CF，AC(1)直接写出图中与AFB相似的一个三角形；(2)若四边形A

8、FCC是平行四边形，求CE的长；(3)当CE的长为多少时，以C，F，B为顶点的三角形是以CF为腰的等腰三角形？【答案】(1)答案不唯一，如AFBBCE(2)CE7.5(3)当CE的长为长为545或3时，以C，F，B为顶点的三角形是以CF为腰的等腰三角形【分析】（1）因为AFB是直角三角形，所以和它相似的三角形都是直角三角形，有三个直角三角形和AFB相似，解答时任意写出一个即可；（2）根据AFBBGC，得AFBG=ABBC，即AFBG=159=53，设AF5x，BG3x，根据AFBBCEBGC，列比例式可得CE的长；（3）分两种情况：当CFBC时，如图2，当CFBF时，如图3，根据三角形相似列比

9、例式可得结论（1）解：（任意回答一个即可）；如图1，AFBBCE，理由如下：四边形ABCD是矩形，DCAB，BCEABC90，BECABF，AFBE，AFB90，AFBBCE90，AFBBCE；AFBCGE，理由如下：CGBE，CGE90，CGEAFB，CEGABF，AFBCGE；AFBBGC，理由如下：ABF+CBGCBG+BCG90，ABFBCG，AFBCGB90，AFBBGC；（2）四边形AFCC是平行四边形，AFCC，由（1）知：AFBBGC，AFBG=ABBC ，即AFBG=159=53，设AF5x，BG3x，CCAF5x，CGCG，CGCG2.5x，AFBBCEBGC，CGBG=C

10、EBC ，即2.5x3x=CE9，CE7.5；（3）分两种情况：当CFBC时，如图2，CGBE，BGGF，CGCG，四边形BCFC是菱形，CFCB9，由（2）知：设AF5x，BG3x，BF6x，AFBBCE，AFBC=BFCE ，即5x9=6xCE，5x6x=9CE，CE545；当CFBF时，如图3，由（1）知：AFBBGC，ABBC=BFCG=159=53 ，设BF5a，CG3a，CF5a，CGCG，BECC，CFCF5a，FGCF2CG24a，tanCBECEBC=CGBG，CE9=3a4a+5a，CE3；综上，当CE的长为长为545或3时，以C，F，B为顶点的三角形是以CF为腰的等腰三角

11、形【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题【例4】（2022四川绵阳中考真题）如图，平行四边形ABCD中，DB23，AB4，AD2，动点E，F同时从A点出发，点E沿着ADB的路线匀速运动，点F沿着ABD的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动(1)如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为23秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；(2)如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为3个单位每秒，

12、运动时间为x秒，AEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？(3)如图3，H在线段AB上且AH13HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使EMHM并说明理由【答案】(1)EPPC=49；(2)y关于x的函数解析式为y=34x20x234x2+32x+32x2x4336+23x3x433x23；当x=433时，y的最大值为2+233；(3)当EFBD时，能使EMHM理由见解析【分析】（1）延长DF交CB的延长线于点G，先证得AFDBFG，可得AFFB=ADBG，根据题意可得AF=83，AE=23，可得到C

13、G=3，再证明PDEPGC，即可求解；（2）分三种情况讨论：当0x2时，E点在AD上，F点在AB上；当2x433时，E点在BD上，F点在AB上；当433x23时，点E、F均在BD上，即可求解；（3）当EFBD时，能使EMHM理由：连接DH，根据直角三角形的性质，即可求解 （1）解：如图，延长DF交CB的延长线于点G，四边形ABCD是平行四边形，CGAD，AFDBFG，AFFB=ADBG，点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，运动时间为23秒，AF=83，AE=23，AB=4，AD=2，BF=43， ED=43，8343=2BG，BG=1，CG=3，CGAD，PDEPGC，EPPC

14、=EDGC，EPPC=49；（2）解：根据题意得：当0x2时，E点在AD上，F点在AB上，此时AE=x，AF=3x，DB=23， AB=4，AD=2，AD2+BD2=AB2，ABD是直角三角形，ADAB=12，ABD=30，A=60，如图，过点E作EHAB交于H，EH=AEsin60=32x，y=12AFEH=123x32x=34x2；当x0时，y随x的增大而增大，此时当x=2时，y有最大值3；当2x433时，E点在BD上，F点在AB上，如图， 过点E作ENAB交于N，过点D作DMAB交于M，则ENDM，根据题意得：DE=x-2，BE=23+2x，在RtABD中，DM=ADsinA=3，AM=

15、1，ENDM，BENBDM，ENDM=BEBD，EN3=2+23x23EN=1+312x，y=12AFEN=12(3x)(1+312x)=34x2+3+32x，此时该函数图象的对称轴为直线x=3+1 ，当2x433时，y随x的增大而增大，此时当x=433时，y有最大值2+233；当433x23时，点E、F均在BD上，过点E作EQAB交于Q，过点F作FPAB交于P，过点D作DMAB于点M，AB+BF=3x，DA+DE=x，AB=4，AD=2，BE=23x+2，DF=4+3，PFDM，BFPBDM，BFBD=PFDM，即3x423=PF3，PF=32x2，EQ/DM，BEQBDM，BEBD=EQD

16、M，即23+2x23=EQ3，EQ=3+112x，y=12AB(EQPF)=124(3+112x32x+2)=6+231+3x，此时y随x的增大而减小，此时当x=433时，y有最大值2+233；综上所述：y关于x的函数解析式为y=34x20x234x2+32x+32x2x4336+23x3x433x23当x=433时，y最大值为2+233；（3）解：当EFBD时，能使EMHM理由如下：连接DH，如图，AH=13HB，AB=4，AH=1，由（2）得：此时AHAB，M是DF的中点，HM=DM=MF，EFBD，BDAD，EFAD，EM=DM=FM，EM=HM【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握平行

17、四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键【例5】（2022上海中考真题）平行四边形ABCD，若P为BC中点，AP交BD于点E，连接CE(1)若AE=CE，证明ABCD为菱形；若AB=5，AE=3，求BD的长(2)以A为圆心，AE为半径，B为圆心，BE为半径作圆，两圆另一交点记为点F，且CE=2AE若F在直线CE上，求ABBC的值【答案】(1)见解析；62(2)105【分析】（1）连接AC交BD于O，证AOECOE(SSS)，得AOE=COE，从而得COE=90，则ACBD，即可由菱形的判定定理得出结论；先证点E是ABC的重心，由重心性质得BE=2OE，然后设

18、OE=x，则BE=2x，在RtAOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在RtAOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,从而得9-x2=25-9x2，解得：x=2,即可得OB=3x=32，再由平行四边形性质即可得出BD长；（2）由A与B相交于E、F，得ABEF，点E是ABC的重心，又F在直线CE上，则CG是ABC的中线，则AG=BG=12AB，根据重心性质得GE=12CE22AE，CG=CE+GE=322AE，在RtAGE中，由勾股定理，得AG2=AE2-GEE=AE2-(22AE)2=12AE2,则AG=22AE,所以AB=2

19、AG=2AE，在RtBGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2=12AE2+（322AE）2=5AE2，则BC=5AE，代入即可求得ABBC的值(1)证明：如图，连接AC交BD于O，平行四边形ABCD，OA=OC，AE=CE，OE=OE，AOECOE(SSS)，AOE=COE，AOE+COE=180，COE=90，ACBD，平行四边形ABCD，四边形ABCD是菱形；OA=OC，OB是ABC的中线，P为BC中点，AP是ABC的中线，点E是ABC的重心，BE=2OE，设OE=x，则BE=2x，在RtAOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在RtAOB中，由勾股定理

20、，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,9-x2=25-9x2，解得：x=2,OB=3x=32，平行四边形ABCD，BD=2OB=62；(2)解：如图，A与B相交于E、F，ABEF，由（1）知点E是ABC的重心，又F在直线CE上，CG是ABC的中线，AG=BG=12AB，GE=12CE，CE=2AE，GE=22AE，CG=CE+GE=322AE，在RtAGE中，由勾股定理，得AG2=AE2-GEE=AE2-(22AE)2=12AE2,AG=22AE,AB=2AG=2AE，在RtBGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2=12AE2+（322AE）2=5AE2，BC=5A

21、E，ABBC=2AE5AE=105【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，重心的性质，勾股定理，相交两圆的公共弦的性质，本题属圆与四边形综合题目，掌握相关性质是解题的关键，属是考常考题目一、解答题【共20题】1（2022山西实验中学模拟预测）综合与实践：问题情境：在综合与实践课上，数学老师出示了一道思考题：如图，在正方形ABCD中，P是射线BD上一动点，以AP为直角边在AP边的右侧作等腰直角三角形APE，使得APE=90，AP=PE，且点E恰好在射线CD上(1)如图1，当点P在对角线BD上，点E在CD边上时，那么BP与CE之间的数量关系是_；探索发现：(2)当点E在正方形ABCD外部时如

22、图2与图3，（1）中的结论是否还成立？若成立，请利用图2进行证明；若不成立，请说明理由；问题解决：(3)如图4，在正方形ABCD中，AB=22，当P是对角线BD的延长线上一动点时，连接BE，若BE=62，求BPE的面积【答案】(1)CE=2BP；(2)成立，证明见解析；(3)1642【分析】（1）连接AC，根据正方形的性质和RtAPE是等腰直角三角形，证得ABPACE，可得ABAC=BPCE，即可；（2）连接AC，根据正方形的性质和RtAPE是等腰直角三角形，证得ABPACE，可得ABAC=BPCE，即可；（3）连接AC交BD于点F，过点E作EGBP交直线BP于点G，根据正方形的性质，可得AF

23、=BF=2，再证得FAPGPE，可得FP=EG，PG=AF=2，在RtEGB中，根据勾股定理可得EG=422，即可【详解】（1）解：如图，连接AC，四边形ABCD是正方形，AB=DA，BAD=ABC=90，ABP=ACE=BAC=45，cosBAC=BAAC=22，RtAPE是等腰直角三角形，PAE=AEP=45，BACCAP=PAECAP，BAP=CAE，ABPACE，ABAC=BPCE，BPCE=22即CE=2BP；故答案为：CE=2BP；（2）解：（1）中的结论还成立，证明如下：如图2，连接AC，四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=DA，BAD=ABC=90，ABP=ACE=BAC

24、=45，cosBAC=BAAC=22，RtAPE是等腰直角三角形，PAE=AEP=45，BAC+CAP=PAE+CAP，BAP=CAE，ABPACE，ABAC=BPCE，BPCE=22即CE=2BP；（3）解：如图4，连接AC交BD于点F，过点E作EGBP交直线BP于点G，四边形ABCD是正方形，AB=22，BC=AB=22，BAD=90，ACBD，ABD=45，AFB=AFD=90，BAC=45，FAP+APF=90，AF=BF，BF=AF=ABsin45=2，在RtAPE中，APE=90，AP=PE，APF+EPG=90，FAP=EPG，EGBG，AFP=PGE=90，FAPGPEAAS，

25、FP=EG，PG=AF=2，在RtEGB中，由勾股定理得，BE2=BG2+EG2，设FP=EG=x，622=2+x+22+x2，解得，x1=422，x2=422（舍去），即EG=422，SBPE=12BPEG=122+422422=1642【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键2（2022湖北武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连接CF，并延长CF交AD于点G求证：BCECDG；（2）

26、在（1）的条件下，如图2，延长BF交AD边于点H若CEBC=23，求GHDH的值；（3）如图3，四边形ABCD为矩形，同样沿着BE折叠，连接CF，延长CF，BF分别交AD于G，H两点，若ABBC=34,DHGH=45，则DEEC的值为_（直接写出结果）【答案】（1）见解析；（2）17；（3）174【分析】（1）根据AAS证明三角形全等即可；（2）如图2中，连接EH根据HF2+FE2=DH2+DE2，求出DE即可解决问题；（3）如图3中，连接HE由ABBC=34,DHGH=45，可以设AB=3x,BC=4x,DH=4m,HG=5m，根据相似三角形的判定和性质可得CE=12m，则DE=CDCE=3

27、x12m，利用勾股定理构建方程求解即可【详解】（1）证明：如图1中，BFE是由BCE折叠得到，BECF，ECF+BEC=90，四边形ABCD是正方形，D=BCE=90，ECF+CGD=90，BEC=CGD，在BCE和CDG中，BCE=DBEC=CGDBC=CD，BCE CDG（AAS）；（2）解：如图2中，连接EHBCE CDG，CE=DG，由折叠可知BC=BF,CE=FE，BCF=BFC，四边形ABCD是正方形，ADBC,BC=CD，BCG=HGF，BFC=HFG，HFG=HGF，HF=HG，CEBC=23，设CE=2x，则BC=CD=3x,FE=CE=2x，DE=CDCE=x，设HF=HG

28、=a，DH=DGHG=2xa，由折叠可知BFE=BCE=90，EFH=90，HF2+FE2=DH2+DE2，a2+（2x）2=（2xa）2+x2，x=4a或0（舍弃），DH=2xa=7a，GHDH=a7a=17；（3）解：如图3中，连接HE由ABBC=34,DHGH=45，设AB=CD=3x,BC=4x,DH=4m,HG=5m，由（2）知HF=HG=5m，DG=9m，由折叠可知BECF，ECF+BEC=90，D=90，ECF+CGD=90，BEC=CGD，BCE=D=90，CDG BCE，DGCE=CDBC=ABBC=34，9mCE=34，CE=12m=FE，DE=3x12m，D=HFE=90

29、 HF2+FE2=DH2+DE2，（5m）2+（12m）2=（4m）2+（3x12m）2，x=4m+17m或4m17m（舍弃），DE=3x12m=12m+317m12m=317m，DEEC=317m12m=174【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题3（2022浙江嘉兴一模）如图1，已知正方形ABCD和正方形CEFG，点B、C、E在同一直线上，BC=m(m1)，CE=1连接AF、BG(1)求图1中AF、BG的长（

30、用含m的代数式表示）(2)如图2，正方形ABCD固定不动，将图1中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转度（0BC，D是AB的中点，F是BC延长线上一点，平移AB到FH，线段FH的中垂线与线段CA的延长线交于点E，连接EH、DE(1)连接CD，求证：BDC=2DAC；(2)依题意补全图形，用等式表示线段DE，DF，EH之间的数量关系，并证明【答案】(1)见解析(2)图见解析，结论：DE2+DF2=EH2，理由见解析【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线的性质即可解决问题；（2）图形如图所示，结论：DE2+DF2=EH2，想办法证明EDF=90即可（1）证明：连接CDACB=90，AD=DB，CD=A

31、D=DB，DAC=DCA，BDC=DAC+DCA=2DAC；（2）解：图形如图所示，结论：DE2+DF2=EH2理由：连接EF，AH，取FH的中点T，连接AT，DT，ET点E在FH的垂直平分线上，EF=EH，AD=DB，HT=TF，AB=FH，AD=FT=HT，ADFH，四边形AHTD，四边形ADFT是平行四边形，AHDT，ATDF，FDT=ATD=TAH，AHBF，HAC=ACB=90，EH=EF，HT=FT，ETFH，TEH=TEF，EAH=ETH=90，四边形A,E,H,T四点共圆，TAH=TEH，FDT=FET，E，D，F，T四点共圆，EDF+ETF=180，EDF=90，DE2+DF

32、2=EH2【点睛】本题考查作图平移变换，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，平行四边形的判定与性质，圆周角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型5（2022浙江绍兴一模）如图，在正方形ABCD中，点E与点F分别在线段AC,BC上，且四边形DEFG是正方形(1)试探究线段AE与CG的关系，并说明理由(2)如图若将条件中的四边形ABCD与四边形DEFG由正方形改为矩形，AB=3，BC=4线段AE,CG在（1）中的关系仍然成立吗？若成立，请证明，若不成立，请写出你认为正确的关系，并说明理由当CDE为等腰三角形时，求CG的长【答案】(1

33、)AE=CG,AECG，理由见解析(2)位置关系保持不变，数量关系变为CGAE=34；理由见解析；当CDE为等腰三角形时，CG的长为32或2120或158【分析】（1）如图1，根据SAS证明ADEDGC，可得AE=CG，及ACG=90，则AGAC，所以AECG；（2）如图2，连接EG,DF交于点O，连接OC，根据矩形的性质和直角三角形斜边中线的性质得：OE=OF=OG=OD=OC，可知D,E,F,C,G在以点O为圆心的圆上，根据直径所对的圆周角是直角得ECG=90，再证明ADECDG，得CGAE=DCAD=34；先根据CGAE=34，设CG=3x,AE=4x，分三种情况：（i）当ED=EC时，

34、如图3，根据等腰三角形三线合一的性质和中位线定理可得x的值，从而计算CG的长；（ii）当DE=DC=3时，如图4，证明CDHCAD，列比例式可得CH的长，从而根据AE=4x=AC2CH=5295=75，求得x的值，同理可得CG的长；（iii）当CD=CE=3时，如图5，根据AE=2.，可得x的值，同理可得CG的长（1）AE=CG，AECG， 理由：如图1，四边形EFGD是正方形，DE=DG，EDC+CDG=90， 四边形ABCD是正方形，AB=CD，ADE+EDC=90， ADE=CDG， ADECDG， AE=CG，DCG=DAE=45， ACD=45， ACG=90， CGAC， 即AEC

35、G（2）位置关系保持不变，数量关系变为CGAE=34. 理由：如图2，连接EG,DF交于点O，连接OC，四边形EFGD是矩形，OE=OF=OG=OD， RtDGF中，OG=OF，RtDCF中，OC=OF，OE=OF=OG=OD=OC，D,E,F,C,G在以点O为圆心的圆上，DGF=90， DF为O的直径，DF=EG， EG也是O的直径，ECG=90，即AECG， DCG+ECD=90， DAC+ECD=90， DAC=DCG， ADE=CDG， ADECDG，CGAE=DCAD=34. 由知：CGAE=34.设CG=3x，AE=4x， 分三种情况：（i）当ED=EC时，如图3，过E作EHCD于

36、H，则EHAD，DH=CH， AE=EC=4x， 由勾股定理得：AC=AB2+BC2=32+42=5，8x=5， 即x=58.CG=3x=158； （ii）当DE=DC=3时，如图4，过D作DHAC于H，EH=CH， CDH=CAD，CHD=CDA=90， CDHCAD， CDCA=CHCD, 35=CH3, CH=95， AE=4x=AC2CH=5295=75， x=720， CG=3x=2120， （iii）当CD=CE=3时，如图5，AE=4x=53=2， x=12， CG=3x=32， 综上所述，当CDE为等腰三角形时，CG的长为32或2120或158【点睛】本题是四边形的综合题，考查

37、的是正方形的性质、菱形的性质、三角形相似的性质和判定、等腰三角形的判定、圆的定义以及全等三角形的判定和性质，掌握相关的性质定理，并采用分类讨论的思想是解题的关键6（2022广东揭西县宝塔实验学校三模）如图1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G(1)求线段CE的长；(2)如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且DMN=DAM，设DN=x求证四边形AFGD为菱形；是否存在这样的点N，使DMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)

38、3(2)见解析；x=52或2【分析】（1）由翻折可知：AD=AF=10DE=EF，设EC=x，则DE=EF=8x在RtECF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题（2）由ADEGCE计算出GC的长度，再证明四边形AFGD是平行四边形，根据一组邻边相等的平行四边形的菱形即可证明；若DMN 是直角三角形，则有两种情况，一是当MDN=90时，二是当DNM=90时，分别利用相似三角形的性质以及锐角三角函数的定义即可计算得出（1）解：四边形ABCD是矩形，AD=BC=10，AB=CD=8，B=BCD=90，由翻折可知：AD=AF=10DE=EF，设CE=x，则DE=EF=8x在RtABF中，BF= AF2

39、AB2=6，CF=BCBF=106=4，在RtEFC中，则有：(8x)2=x2+42，x=3，CE=3（2）证明：四边形ABCD是矩形，ADBCADEGCE，ADGC=DECE，AD=10，CE=3，DE=5，10GC=53，GC=6，由（1）可得：CF=4，GF=6+4=10，四边形AFGD是平行四边形，又AD=AF，平行四边形AFGD是菱形DMN=DAM，若DMN是直角三角形，则有两种情况，当MDN=90时，AD=GD，DAG=DGA又ADE=GDM=90，ADEGDM(ASA)DM=DE=5，又DMN=DAM，ADE=MDN=90，ADEMDNADMD=DEDN，即105=5x，x=52

40、；当DNM=90时，则MDN+DMN=90，又DMN=DAM，DAG=DGA，DMN=DGA，MDN+DGA=90，DMG=90，sinDAE= DEAE=DMAD，AE=AD2+DE2=55， 555=DM10，DM= 25，DMN=DAMsinDMN=sinDAMDEAE=DNDM，即555=x25解得：x=2，综上所述：x=52或2【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题7（2022福建省福州教育学院附属中学模拟预测）问题发

41、现(1)如图，RtABC中，C=90，AC=3，BC=4，点P是AB边上任意一点，则CP的最小值为_(2)如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值(3)如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AB边上一点，且AE=2，点F是BC边上的任意一点，把BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度若不存在，请说明理由【答案】(1)125(2)9625(3)存在，最小值为152，BF=3【分析】（1）根据点到直线的距离最小，再用三角形的面积即可得出结论；（2）先根据

42、轴对称确定出点M和N的位置，再利用面积求出CF，进而求出CE，最后用三角函数即可求出CM+MN的最小值；（3）先确定出EGAC时，四边形AGCD的面积最小，再用锐角三角函数求出点G到AC的距离，最后用面积之和即可得出结论，再用相似三角形得出的比例式求出CF即可求出BF（1）如图，过点C作CPAB于P，根据点到直线的距离垂线段最小，此时CP最小，在RtABC中，AC=3，BC=4，根据勾股定理得，AB=AC2+BC2=5，12ACBC=12ABCPCD=ACBCAB=125，故答案为125；（2）如图，作出点C关于BD的对称点E，连接CE交BD于点F，过点E作ENBC于N，交BD于M，连接CM，

43、此时CM+MN=EN最小；四边形ABCD是矩形，BCD=90，CD=AB=5，根据勾股定理得，BD=5，CEBD，12BDCF=12BCCD，CF=BCCDBD=125，由对称得，CE=2CF=245，在RtBCF中，cosBCF=CFBC=35，sinBCF=45，在RtCEN中，EN=CEsinBCE=24545=9625；即：CM+MN的最小值为9625；（3）存在如图3，四边形ABCD是矩形，CD=AB=3，AD=BC=4，ABC=D=90，根据勾股定理得，AC=5，AB=3，AE=2，点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，设点G到AC的距离为，S四边形AGCD=SACD+S

44、ACG=12ADCD+12AC=1243+125=52+6，要四边形AGCD的面积最小，即：最小，点G是以点E为圆心，BE=1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，EGAC时，最小，由折叠知EGF=ABC=90，延长EG交AC于H，则EHAC，在RtABC中，sinBAC=BCAC=45，在RtAEH中，AE=2，sinBAC=EHAE=45，EH=45AE=85，=EHEG=851=35，S四边形AGCD最小=52+6=5235+6=152，过点F作FKAC于K，EHFG，EHAC，四边形FGHK是矩形，FK=GH=35，FCK=ACB，CKF=CBA=90，CKF CBA，CFAC=F

45、KAB，CF5=353，CF=1BF=BCCF=41=3【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，点到直线的距离，轴对称，解本题的关键是确定出满足条件的点的位置，是一道很好的中考常考题8（2022广东 三模）特例发现：如图1，点E和点F分别为正方形ABCD边BC和边CD上一点，当CECF时，则易得BEDF，BEDF(1)如图2，点E为正方形ABCD内一点，且ECF90，CFCE，点E，F在直线CD的两侧，连接EF，BE，DF，探究线段BE与DF之间的关系，并说明理由；(2)如图3，在矩形ABCD中，ABBC12，点E在矩形ABCD内部，ECF90，点E，F在直线BC的两侧，CECF12

46、，连接EF，BE，DE，BF，DF请探究线段DE，BF之间的关系，并说明理由；(3)若（2）中矩形ABCD的边AB3，RtCEF的边CE1，当BEDF时，求BF的长【答案】(1)BE=DF，BEDF；理由见解析；(2)DE:BF=1:2，DEBF理由见解析；(3)210【分析】（1）由正方形的性质得出BCD=90，BC=CD，证明BCEDCF(SAS)，再由全等三角形的性质得BE=DF，CBE=CDF，由直角三角形的性质得出结论；（2）延长DE交BC，BF分别于点P，Q，证明出DCEBCF，由相似三角形的性质得出DEBF=CECF=12，CDE=CBF，则可得出结论；（3）由（2）得BQD=9

47、0，DE:BF=1:2，则(DE+QE)2+(BFQF)2=BD2，QE2+QF2=EF2，求出(QE+QF)2=10，(QEQF)2=0，可求出DE=10，则可得出答案（1）解：线段BE与DF之间的关系为BE=DF，BEDF理由如下：延长BE交DC，DF分别于点M，N，四边形ABCD是正方形，BCD=90，BC=CD，ECF=90，BCD=ECF=90，BCDDCE=ECFDCE，即BCE=DCF，CE=CF，BCEDCF(SAS)，BE=DF，CBE=CDF，BMC=DMN，CBE+BMC=CDF+DMN，CBE+BMC=90，CDF+DMN=90，DNM=90，BEDF；（2）解：线段D

48、E与BF之间的关系为DE:BF=1:2，DEBF理由如下：延长DE交BC，BF分别于点P，Q， 四边形ASBCD是矩形，BCD=90=ECF，AB=DC，BCDBCE=ECFBCE，即DCE=BCFAB:BC=1:2，CE:CF=1:2， DCBC=CECF，DCEBCF， DEBF=CECF=12，CDE=CBF，CPD=BPQ，CDE+CPD=CBF+BPQ，CDE+CPD=90，CBF+BPQ=90，BPD=90，DEBF；（3）解：连接BD，如图3，由已知得AB=3，CD=6，CE=1，CF=2，BD2=45，EF2=5，由（2）得BQD=90，DE:BF=1:2，则(DE+QE)2+

49、(BFQF)2=BD2，QE2+QF2=EF2，(DE+QE)2+QF2=DF2，(BFQF)2+QE2=BE2，BF=2DE，(DE+QE)2+QF2+(BFQF)2+QE2=45+5，BE2+DF2=50，DF=BE，BE2=DF2=25，(DE+QE)2+QF2=(2DEQF)2+QE2，DE=2QE+4QF3，(DE+QE)2+QF2=DF2，DE2+2DEQE=20，(2QE+4QF3)2+2QE2QE+4QF3=20，16(QE2+QF2)+40QEQF=180，由QE2+QF2=5得，2QEQF=5，QE2+QF2+2QEQF=5+5，QE2+QF22QEQF=55，(QE+QF

50、)2=10，(QEQF)2=0，QE=QF=102，DE=10，BF=2DE=210【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题9（2022浙江丽水一模）在菱形ABCD中，AB=6，A=60，点E在AD边上，AE=4，点P是边AB上一个动点，连结EP，将AEP沿EP翻折得到FEP(1)当EFAB时，求AEP的度数；(2)若点F落在对角线BD上，求证：DEFBFP；(3)若点P在射线BA上运动，设直线PF与直线BD交于点H，问当AP为何值时，BHP为直角三角形【答案】(

51、1)60；(2)见解析；(3)434或2+23或232或4+43【分析】（1）由平行线的性质得A+AEF=180，求得AEF=120，由翻折的性质可得AEP=FEP，即可求解；（2）易证ADB是等边三角形，由翻折可得EFP=A=60，证得DEF=PFB，即可证明相似；（3）如图2，当点P在线段AB上，PHB=90，延长EF交AB的延长线于点K，由翻折的性质可得：AP=FP，EF=AE=4，A=EFP=60，设AP=x，则FP=x，求得K=30，AK=2AE=8，EK=EF+FK=4+x，在RtAEK中， cosK=EKAK=32，求解即可得AP=434；如图3，当点P在线段AB上，HPB=90

52、，过点E作EQAB于点Q，由折叠的性质可得：APE=FPE=45，求得AQ=12AE=2，EQ=4222=23，PQ=EQ=23，即可得AP的长度；如图4，当点P在BA的延长线上，HPB=90，过点E作EMAB于点M，设AP=a，易得AM=12AE=2，EM=PM=2+a，在RtAEM中，EM=AE2AM2=23，2+a=23，求解即可；如图5，当点P在BA延长线上，PHB=90，延长EF交AB于点N，由翻折的性质可得：AP=FP，EF=AE=4，EAB=EFP=60，证得BPH=ANE=30，PF=PN=AP，EN=AEtanANE=433=43，即可求得AP的长度（1）解：EFAB，A+A

53、EF=180，A=60AEF=120FEP是由AEP翻折得到，AEP=FEP，AEP=12AEF=60；（2）证明：当点F在BD上时，如图1所示，菱形ABCD中，A=60，AD=AB，ADB是等边三角形，ADB=ABD=60FEP是由AEP翻折得到，EFP=A=60，EFD+PFB=120ADB=60EFD+DEF=120DEF=PFB在DEF和BFP中，EDF=PBF=60DEF=PFBDEFBFP；（3）解：如图2，当点P在线段AB上，PHB=90，延长EF交AB的延长线于点K， 由翻折的性质可得：AP=FP，EF=AE=4，A=EFP=60设AP=x，则FP=x，PHB=90，APF=1

54、50，BPH=30AEF=90，K=30，AK=2AE=8K=BPH=30，KF=PF=AP=x，EK=EF+FK=4+x，在RtAEK中，cosK=EKAK=32，即4+x8=32，解得：x=434，即AP=434；如图3，当点P在线段AB上，HPB=90，过点E作EQAB于点Q，由折叠的性质可得：APE=FPE=45，EQAB，A=60AEQ=30，PEQ=EPQ=45，AQ=12AE=2，EQ=4222=23，PQ=EQ=23，AP=AQ+PQ=2+23；如图4，当点P在BA的延长线上，HPB=90，过点E作EMAB于点M，设AP=a，EMAB，EAM=60，AEM=60，AM=12AE

55、=2由折叠的性质可得：APE=FPE=45，EMAB，APE=45EM=PM=2+a，在RtAEM中，EM=AE2AM2=23，2+a=23，解得：a=232，即AP=232；如图5，当点P在BA延长线上，PHB=90，延长EF交AB于点N，由翻折的性质可得：AP=FP，EF=AE=4，EAB=EFP=60PHB=90，PBH=60，BPH=30， EAB=60PAE=PFE=120AEF=90，AEN=90，ANE=30，BPH=30，PF=PN=AP，ANE=30，EN=AEtanANE=433=43，FN=EF+EN=4+43，AP=PF=PN=4+43综上，AP的长度为434或2+23

56、或232或4+43【点睛】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定，解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质和等腰三角形的性质等，第（3）问要注意分情况讨论，做到不重不漏10（2022广东深圳市南山外国语学校（集团）二模）问题初探：数学兴趣小组在研究四边形的旋转时，遇到了这样的一个问题如图1，四边形ABCD和BEFG都是正方形，BHAE于H，延长HB交CG于点M通过测量发现CMMG为了证明他们的发现，小亮想到了这样的证明方法：过点C作CNBM于点N他已经证明了ABHBCN，但接下来的证明过程，他有些迷茫了(1)请同学们帮小亮将剩余的证明过程补充完整；(2)深入研究：若将原

57、题中的“正方形”改为“矩形”（如图2所示），且ABBC=BGBE=k（其中k0），请直接写出线段CM、MG的数量关系为_；(3)拓展应用：在图3中，在RtABC和RtADE中，BAC=DAE=90，ACB=AED=30，连接BD、CE，F为BD中点，则AF与CE的数量关系为_【答案】(1)剩余的证明过程见解析(2)MG=k2CM(3)CE=23AF【分析】（1）过G作GQBM于点Q，易证EBHBGQ，CMNGMQ即可得出结论；（2）过点C作CNBM于点N，过G作GQBM于点Q通过证明ABHBCN，BEHBGQ即可得出结论；（3）延长AF至点G，使AF=FG，则四边形ABGF为平行四边形，通过证

58、明CAEABG即可得出结论（1）过G作GQBM于点Q，BHAE，GQB=BHE=90，HBE+BEH=90，正方形BEFG，BEBG，GBE=90，HBE+QBG=90，QBG=BEH，EBHBGQAAS，BHGQ，ABHBCN，BHCN，CNGQ，又CMN=QMG，CMNGMQAAS，CMMG，M为CG的中点（2）过点C作CNBM于点N，过G作GQBM于点QABC=90，ABH+CBN=90，ABH+BAH=90，CBN=BAHABHBCN，同理可得：BEHBGQABBC=BGBE=k，BHCN=GQBH=k，GQCD=k2，AMN=GMQ，CMNGMQ，MGCM=GQCD=k2，MG=k2

59、CM，（3）延长AF至点G，使AF=FG，AF=FG，BF=DF，四边形ABGF为平行四边形，ADBG，AD=BG，ABG+BAD=180，BAC=DAE=90，CAE+BAD=180，ABG=BAD，ACB=AED=30，AC=3AB，AE=3AD=3BGACAB=AEBG=3，CAEABG，ECAG=ACAB=3，EC2AF=3，EC=3AF【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形是性质和判定，相似三角形的性质和判定，熟练掌握相关内容，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键11（2022广东佛山市华英学校三模）已知，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AD

60、BC,ABCD，AC平分BAD(1)如图1，求证：四边形ABCD是菱形；(2)如图2，过点A作ANBC于N，若AC=6，BD=8，求AN的长；(3)如图3，CA=CB，点R为CB延长线上一点，连接OR交AB于点E，点F、H分别是AB、BC边上一点(BFBH)，且OF=OH，过点O作BC的垂线，垂足为M，HOM=BOR，当BF=10，BH=8时，求RB的长【答案】(1)见解析(2)AN=245(3)BR=6【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；（2）利用菱形面积的两种求法，构建关系式解决问题即可；（3）过点F作FQBC于点Q，过点O作OPAB于P.证明RtFOPRtHOM(HL)

61、，推出HOM=FOP=BOR，证明ROFROH(SAS)，推出RF=RH，设BR=x，则RF=RH=RB+BH=x+8，RQ=RB+BQ=x+5，在RtRFQ中，RQF=90，根据勾股定理FQ2+RQ2=RF2，构建方程求出x即可（1）证明：ADBC,ABCD四边形ABCD是平行四边形，AC平分BAD，BAC=DAC，ADBC，BCA=DAC，BCA=BAC，AB=CB，四边形ABCD是菱形；（2）解：ABCD是菱形，ACBD，OC=12AC=126=3，OB=12BD=128=4，BOC=90，在RtBOC中，根据勾股定理BC=OB2+OC2=32+42=5，S菱形ABCD=BCAN=4SB

62、OC=12ACBD，5AN=1268，AN=245；（3）解：AB=CB，AC=BC，AB=CB=AC，ABC是等边三角形，ABC=60，过点F作FQBC于点Q，FQB=90，BFQ=30，BQ=12BF=1210=5，在RtFBQ中，根据勾股定理FQ=BF2BQ2=10252=53，过点O作OPAB于P四边形ABCD是菱形，ABO=CBO=30，BOP=BOM=60，OPAB，OMBC，OP=OM，又OF=OH，RtFOPRtHOM(HL)，HOM=FOP=BOR，BOH+BOR=BOH+HOM=60，FOP+POE=BOR+POE=60，即ROF=ROH，又OF=OH,OR为公共边，ROF

63、ROH(SAS)，RF=RH，设BR=x，则RF=RH=RB+BH=x+8，RQ=RB+BQ=x+5，在RtRFQ中，RQF=90，根据勾股定理FQ2+RQ2=RF2，(x+5)2+(53)2=(x+8)2，解得x=6，BR=6【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题12（2022广东测试编辑教研五一模）在矩形ABCD中，ADCD，O是AC的中点，点P是AO上一点，连接PD，过点P作PEPD交BC于点E，连接DE(1)如图（1），点P在AO上运动时DEP的大

64、小是否改变？请说明理由(2)如图（2），连接PB，若PBAC，DEAC交AC于点H，PB=4，DP=26，求ADCD的值【答案】(1)不变，理由见解析(2)2【分析】（1）根据DCE=DPE=90，可知C，D，P，E四点共圆，可得DEP=ACD；（2）根据同角的余角相等可得DPH=ACD，则CD=DP=26，再利用两个角相等证明BPCABC，得PBBA=BCAC，设AD=BC=x，则AC=AB2+BC2，代入解方程即可（1）解：不变，理由如下：四边形ABCD是矩形，DCE=90，PEPD，DPE=90，C，D，P，E四点共圆，DEP=ACD，DEP的大小不改变（2）解：DEAC，PHE=PHD

65、=90，DEP+EPH=90，DPH+EPH=90，DEP=DPH，DEP=ACD，DPH=ACD，CD=DP=26，BPAC，BPC=90=ABC，又BCP=ACB，BPCABC，PBBA=BCAC，设AD=BC=x，则AC=AB2+BC2，AB=CD=DP=26，AC=x2+24，426=xx2+24，解得x=43，经检验，x=43是方程的根，ADCD=4326=2【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，证明C，D，P，E四点共圆是解题的关键13（2021吉林长春市赫行实验学校二模）阅读理解在学习中，我们学习了一个定理：直角三角形斜边上的

66、中线等于斜边的一半，即：如图1，在RtABC中，ACB=90，若点D是斜边AB的中点，则CD=12AB灵活应用如图2，ABC中，BAC=90，AB=6，AC=8，点D是BC的中点，将ABD沿AD翻折得到AED，连接BE，CE (1)根据题意，则DE的长为 (2)判断BCE的形状，并说明理由(3)请直接写出CE的长 【答案】(1)5(2)BCE是直角三角形，理由见解析(3)145【分析】（1）利用勾股定理求出BC，再利用翻折变换的性质可得DE=DB=5；（2）结论：BCE是直角三角形证明DE=DC=DB，可得结论；（3）设AD交BE于点T利用相似三角形的性质求出AT，再求出DT，利用三角形中位线

67、定理，可得结论（1）在RtABC中，BAC=90，AB=6，AC=8，BC=AC2+AB2=82+62=10，D是BC的中点，CD=DB=5，由翻折的性质可知，DE=DB=5故答案为：5；（2）结论：BCE是直角三角形理由：CD=DB，DE=DB，DE=DC=DB，CEB=90，BCE是直角三角形；（3）设AD交BE于点T由翻折的性质可知，AE=AB，DE=DB，AD垂直平分线段BE，ET=BT，ATB=90，CD=DB，CAB=90，DA=DB=DC=5，BAT=ABC，ATB=BAC=90，BTACAB， ATAB=ABCB， AT6=610，AT=185，DT=ADAT=5185=75，

68、ET=BT，CD=DB，EC=2DT=145故答案为：145【点睛】本题属于三角形综合题，考查了直角三角形斜边中线的性质，翻折变换，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型14（2022广东东莞市光明中学三模）ABC中，BAC=60，AB=AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作菱形ADEF，使DAF=60，连接CF(1)观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，AB与CF的位置关系为：_BC，CD，CF之间的数量关系为：_；(2)数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论，是否仍然成

69、立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明(3)拓展延伸：如图3，当点D在线段BC的延长线上时，设AD与CF相交于点G，若已知AB=4，CD=12AB，求AG的长【答案】(1)ABCF；CF+CD=BC(2)成立，证明见解析；不成立，证明见解析(3)AG=437【分析】1根据菱形的性质以及等边三角形的性质，推出DABFAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；根据全等三角形的性质得到CF=BD，再根据BD+CD=BC，即可得出CF+CD=BC；2依据ABDACF，即可得到ACF+BAC=180，进而得到AB/CF；依据ABDACF可得BD=CF，依据CDBD=BC，即可得出CD

70、CF=BC；3判定ABDACF，即可得到CF=BD=BC+CD=6，ACG=ABC=60=ADF，再根据AGCFGD，即可得到AGFG=CGDG=ACDF，进而得出AG的长（1）解：BAC=60，AB=AC，ABC是等边三角形，BAC=60=DAF，BAD=CAF，又菱形ADEF中，AD=AF，ABDACF，ACF=ABD=60，又ACB=60，ABC+BCF=180，ABCF；ABDACFBD=CF，又BD+CD=BC，CF+CD=BC，故答案为：ABCF；CF+CD=BC；（2）结论成立，而结论不成立证明：如图2，BAC=60，AB=AC，ABC是等边三角形，BAC=60=DAF，ABD=

71、120，BAD=CAF，又菱形ADEF中，AD=AF，ABDACF，ACF=ABD=120，又CAB=60，ACF+BAC=180，AB/CF；ABDACFBD=CF，又CDBD=BC，CDCF=BC；（3）解：如图3，连接DF，过A作AHBD于H，则AH=23，DH=2+2=4，RtADH中，AD=27，AF=AD，DAF=60，ADF是等边三角形，又BAC=60，AB=AC，BAD=CAF，ABDACF，CF=BD=BC+CD=6，ACG=ABC=60=ADF，又AGC=FGD，AGCFGD，AGFG=CGDG=ACDF=427，可设AG=4x，则FG=27x，CG=627x，DG=274

72、x，627x274x=427，解得x=73，AG=437【点睛】此题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质的综合运用，利用已知条件判定DABFAC和AGCFGD是解本题的关键15（2022福建省福州屏东中学三模）如图，抛物线y=ax24ax+2(a0)与y轴交于点A，对称轴交x轴于点B，点F是抛物线在第一象限内的一个动点，FCAB交y轴于点C，交x轴于点D，EFx轴于点E，点M是抛物线的顶点，已知在点F的运动过程中，FD的最大值是42(1)求点B的坐标与a的值；(2)当点D恰好是OB的中点时，求点E的坐标；(3)连结AM，

73、作点E关于直线DF的对称点P，当点P落在线段AM上时，则点E的坐标为_.(直接写出答案)【答案】(1)B（2，0），a12；(2)E（1+7，0）；(3)E（3+172，0）【分析】（1）求出抛物线对称轴为x2，可得点B的坐标为（2，0），由题意可证明DEF是等腰直角三角形，可得EF的最大值为4，即MB4，将抛物线解析式化成顶点式，进而得出24a4，即可求出a的值；（2）求出直线CD的表达式，再与抛物线解析式联立，求出交点横坐标即可得出点E的坐标；（3）设点F（x，12x2+2x+2），则点E（x，0），证明四边形FPDE是正方形，可得点P的坐标为（12x2x2，12x2+2x+2），求出直线

74、AM的表达式，将点P坐标代入求出x的值，即可得出点E的坐标（1）解：抛物线y=ax24ax+2(a0)与y轴交于点A，对称轴交x轴于点B，当x0时，y2，A（0，2），对称轴为x4a2a2，点B的坐标为（2，0），OAOB2，AOB90，ABO45，FCAB交y轴于点C，交x轴于点D，EFx轴于点E，FDEDFE45，DF2EF，FD的最大值是42，EF的最大值为4，MB4，y=ax24ax+2=ax22+24a，24a4，a12；（2）点D恰好是OB的中点，D（1，0），CDOFDE45，OCOD1，点C的坐标为（0，1），设直线CD的表达式为ykxb（k0），代入C（0，1），D（1，0）

75、得：b=1k+b=0，解得：k=1b=1，直线CD的表达式为：yx1，由（1）知抛物线解析式为y=12x2+2x+2，联立y=x1y=12x2+2x+2，解得：x1=1+7，x2=17（不合题意，舍去），点E的坐标为（1+7，0）；（3）： 设点F（x，12x2+2x+2），则点E（x，0），EFED，点D的横坐标为：x（12x2+2x+2）12x2x2，如图，点E与点P关于直线DF对称，连接DP、FP、PE，DF垂直平分PE，FPFE，DPDE，EFED，FPFEDPDE，四边形FPDE是菱形，又FED90，菱形FPDE是正方形，点P的坐标为（12x2x2，12x2+2x+2），A（0，2）

76、，M（2，4），设直线AM的表达式为ymxn，代入A（0，2），M（2，4），得n=22m+n=4，解得：m=1n=2，直线AM的表达式为yx2，当点P落在线段AM上时，有12x2x2+2=12x2+2x+2，解得：x3+172或x3172（舍去），点E的坐标为（3+172，0），故答案为：（3+172，0）【点睛】本题考查了待定系数法的应用，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的性质，直线与抛物线的交点，轴对称的性质，正方形的判定和性质，解一元二次方程等知识，解题的关键是证出DEF是等腰直角三角形16（2022广东深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）【操作与发现】如图，在

77、正方形ABCD中，点N，M分别在边BC、CD上连接AM、AN、MNMAN45，将AMD绕点A顺时针旋转90，点D与点B重合，得到ABE易证：ANMANE，从而可得：DM+BNMN(1)【实践探究】在图条件下，若CN6，CM8，则正方形ABCD的边长是_(2)如图，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN、MN，MAN45，若tanBAN=13，求证：M是CD的中点(3)【拓展】如图，在矩形ABCD中，AB12，AD16，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN，已知MAN45，BN4，则DM的长是_【答案】(1)12(2)见解析(3)8【分析】（1）利用旋转的性质结

78、合SAS可以证明ANMANE，从而得到DM+BNMN，设正方形ABCD的边长为x，则BNx6，DMx8，利用勾股定理求得MN=10，从而列得方程求解即可求出正方形边长（2）根据设BNm，DMn，则MNm+ n，利用tanBAN=13，可得正方形边长为3m，从而得到CM=3m-n，CN2m，根据勾股定理得到：CM2+CN2=MN2，代入可得关于m，n得方程，继而得到3m2n，最后代入CM=3m-n得到DMCM，即M是CD的中点（3）延长AB至P，使BPBN4，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，将图补充成边长为16的正方形，从而得到与前两问的图形，利用PQBC可得

79、ABNAPE，继而求出PE的长度，从而利用前面的结论，并利用勾股定理列方程即可求出结果（1）解：四边形ABCD是正方形，ABCDAD，BADCD90，由旋转的性质得：ABEADM，BEDM，ABED90，AEAM，BAEDAM，BAE+BAMDAM+BAMBAD90，即EAM90，MAN45，EAN904545，MANEAN，在AMN和AEN中，AM=AEMAN=EANAN=AN，AMNAEN（SAS），MNEN，ENBE+BNDM+BN，MNBN+DM，在RtCMN中，由勾股定理得：CM2+CN2=MN2MN=CN2+CM2=62+82=10，则BN+DM10，设正方形ABCD的边长为x，则

80、BNBCCNx6，DMCDCMx8，x6+x810，解得：x12，即正方形ABCD的边长是12；故答案为：12；（2）证明：设BNm，DMn，由（1）可知，MNBN+DMm+n，B90，tanBAN=13，tanBAN=BNAB=13，AB3BN3m，CNBCBN2m，CMCDDM3mn，在RtCMN中，由勾股定理得：CM2+CN2=MN2（2m）2+（3mn）2（m+n）2，整理得：3m2n，CM2nnn，DMCM，即M是CD的中点；（3）解：延长AB至P，使BPBN4，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，如图所示：则四边形APQD是正方形，PQDQAPAB+

81、BP12+416，设DMa，则MQ16a，PQBC，ABNAPE，BNPE=ABAP=1216=34，PE=43BN=163，EQPQPE16163=323，由（1）得：EMPE+DM=163+a，在RtQEM中，由勾股定理得：EQ2+MQ2=EM2(323)2+(16a)2=(163+a)2，解得：a8，即DM的长是8；故答案为：8【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用勾股定理解直角三角形等知识，灵活运用前两问中结论DM+BNMN，已知直角三角形CMN中勾股定理结论CM2+CN2=MN2是解题的关键17（2022辽宁阜新中考真题）已知，四边形ABC

82、D是正方形，DEF绕点D旋转（DEAB），EDF=90，DE=DF，连接AE，CF(1)如图1，求证：ADECDF；(2)直线AE与CF相交于点G如图2，BMAG于点M，BNCF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；如图3，连接BG，若AB=4，DE=2，直接写出在DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值【答案】(1)见解析(2)见解析26【分析】1根据SAS证明三角形全等即可；2根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；作DHAG交AG于点H，作BMAG于点M，证明BMG是等腰直角三角形，求出BM的最小值，可得结论【详解】（1）证明：四边形ABCD是正方形，AD=DC，ADC=90DE=DF，ED

83、F=90ADC=EDF，ADE=CDF，在ADE和CDF中，DA=DCADE=CDFDE=DF ADECDFSAS；（2）证明：如图2中，设AG与CD相交于点P ADP=90，DAP+DPA=90ADECDF，DAE=DCFDPA=GPC，DAE+DPA=GPC+GCP=90PGN=90，BMAG，BNGN，四边形BMGN是矩形，MBN=90四边形ABCD是正方形，AB=BC，ABC=MBN=90ABM=CBN又AMB=BNC=90，AMBCNBMB=NB矩形BMGN是正方形；解：作DHAG交AG于点H，作BMAG于点M， DHA=AMB=90,ADH=90DAH=BAM,AD=ABAMBDH

84、ABM=AHAH2=AD2DH2，AD=4，DH最大时，AH最小，DH最大值=DE=2BM最小值=AH最小值=23由2可知，BGM是等腰直角三角形，BG最小值=2BM=26【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题18（2022江苏镇江中考真题）已知，点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边AB、BC、CD、AD上(1)如图1，当四边形EFGH是正方形时，求证：AE+AH=AB；(2)如图2，已知AE=AH，CF=CG，当AE、CF的大小有_关系时，四边形EFGH是

85、矩形；(3)如图3，AE=DG，EG、FH相交于点O，OE:OF=4:5，已知正方形ABCD的边长为16，FH长为20，当OEH的面积取最大值时，判断四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论【答案】(1)见解析(2)AE=CF(3)平行四边形，证明见解析【分析】（1）利用平行四边形的性质证得BEF=AHE，根据角角边证明AEHBFE（2）当AE=CF，证得AEHFCG，EBF是等腰直角三角形，HEF=EFG=90，即可证得四边形EFGH是矩形（3）利用正方形的性质证得AEGD为平行四边形，过点H作HMBC，垂足为点M，交EG于点N，由平行线分线段成比例，设OE=4x，OF=5x，HN=，则可

86、表示出HN，从而把OEH的面积用x的代数式表示出来，根据二次函数求出最大值，则可得OE=OG，OF=OH，即可证得平行四边形（1）四边形ABCD为正方形，A=B=90，AEH+AHE=90四边形EFGH为正方形，EH=EF，HEF=90，AEH+BEF=90，BEF=AHE在AEH和BFE中，A=B=90，AHE=BEF，EH=FE，AEHBFEAH=BEAE+AH=AE+BE=AB；（2）AE=CF；证明如下：四边形ABCD为正方形，A=B=90，AB=BC=AD=CD，AE=AH，CF=CG，AE=CF，AH=CG，AEHFCG，EH=FGAE=CF，ABAE=BCCF，即BE=BF，EB

87、F是等腰直角三角形，BEF=BFE=45，AE=AH，CF=CG，AEH=CFG=45，HEF=EFG=90，EHFG，四边形EFGH是矩形（3）四边形ABCD为正方形，ABCDAE=DG，AEDG，四边形AEGD为平行四边形ADEGEGBC过点H作HMBC，垂足为点M，交EG于点N，HNHM=HOHFOE:OF=4:5，设OE=4x，OF=5x，HN=，则16=205x20，=44xS=12OEHN=124x4(4x)=8(x2)2+32当x=2时，OEH的面积最大，OE=4x=8=12EG=OG，OF=5x=10=12HF=OH，四边形EFGH是平行四边形【点睛】此题考查了正方形的性质，矩

88、形的判定和平行四边形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，有一定的综合性，解题的关键是熟悉这些知识并灵活运用19（2022浙江衢州中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分CBE交DE于点G (1)求证：DBG=90.(2)若BD=6，DG=2GE求菱形ABCD的面积.求tanBDE的值.(3)若BE=AB，当DAB的大小发生变化时（0DAB180），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值【答案】(1)见解析(2)24，49(3)ET103，理

89、由见解析【分析】（1）由菱形的性质可证得CBDABD12ABC，由BG平分CBE交DE于点G，得到CBGEBG12CBE，进一步即可得到答案；（2）连接AC交BD于点O,RtDOC中，OCCD2OD2=5232=4，求得AC8，由菱形的面积公式可得答案；由BGAC，得到DHDG=DOBD=12，DHHG，DG2DH，又由DG2GE，得到EGDHHG，则DHEH=12，再证明CDHAEH，CH13AC83，OHOCCH48343，利用正切的定义得到答案；（3）过点G作GTBC，交AE于点T，BGEAHE，得ABBE5，则EGGH，再证DOHDBG，得DHGHEG，由EGTEDA得GTAD=ETE

90、A=13，GT53，为定值，即可得到ET的值（1）证明：四边形ABCD是菱形，BCDC，ABCD，BDCCBD，BDCABD，CBDABD12ABC，BG平分CBE交DE于点G，CBGEBG12CBE，CBDCBG12（ABCCBE）1218090，DBG90；（2）解：如图1，连接AC交BD于点O，四边形ABCD是菱形，BD6，OD12BD3，ACBD，DOC90，在RtDOC中，OCCD2OD2=5232=4，AC2OC8，S菱形ABCD=12ACBD=1286=24，即菱形ABCD的面积是24如图2，连接AC，分别交BD、DE于点O、H，四边形ABCD是菱形，ACBD，DBG90BGBD

91、，BGAC，DHDG=DOBD=12，DHHG，DG2DH，DG2GE，EGDHHG，DHEH=12，ABCD，DCHEAH，CDHAEH，CDHAEH，CHAH=DHEH=12，CH13AC83，OHOCCH48343，tanBDEOHOD=49；（3）如图3，过点G作GTBC交AE于点T，此时ET103理由如下：由题（1）可知，当DAB的大小发生变化时，始终有BGAC，BGEAHE，EGGH=BEAB，ABBE5，EGGH，同理可得，DOHDBG，DHGH=DOBO，BODO，DHGHEG，GTBC，GTAD，EGTEDA，GTAD=EGED=ETEA=13，ADAB5，GT53，为定值，

92、此时ET13AE13（ABBE）103【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键20（2022辽宁朝阳中考真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，BAD60，BCD120，ABAD，连接AC求证：BC+CDAC(1)小明的思路是：延长CD到点E，使DEBC，连接AE根据BAD+BCD180，推得B+ADC180，从而得到BADE，然后证明ADEABC，从而可证BC+CDAC，请你帮助小明写出完整的证明过程(2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，BADBCD90，ABAD，连接AC，猜想BC，CD，

93、AC之间的数量关系，并说明理由(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，BADBCD90，ABAD6，AC与BD相交于点O若四边形ABCD中有一个内角是75，请直接写出线段OD的长【答案】(1)AC=BC+CD；理由见详解；(2)CB+CD=2AC；理由见详解；(3)333或33【分析】（1）如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AE证明ADEABC（SAS），推出DAE=BAC，AE=AC，推出ACE的等边三角形，可得结论；（2）结论：CB+CD=2AC如图2中，过点A作AMCD于点M，ANCB交CB的延长线于点N证明AMDANB（AAS），推出DM=BN，AM=AN，证明RtACMRtA

94、CN（HL），推出CM=CN，可得结论；（3）分两种情形：如图3-1中，当CDA=75时，过点O作OPCB于点P，CQCD于点Q如图3-2中，当CBD=75时，分别求解即可（1）证明：如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AEBAD+BCD=180，B+ADC=180，ADE+ADC=180B=ADE，在ADE和ABC中，DA=BAADE=BDE=BC，ADEABC（SAS），DAE=BAC，AE=AC，CAE=BAD=60，ACE的等边三角形，CE=AC，CE=DE+CD，AC=BC+CD；（2）解：结论：CB+CD=2AC理由：如图2中，过点A作AMCD于点M，ANCB交CB的延长线

95、于点NDAB=DCB=90，CDA+CBA=180，ABN+ABC=180，D=ABN，AMD=N=90，AD=AB，AMDANB（AAS），DM=BN，AM=AN，AMCD，ANCN，ACD=ACB=45，AC=2CM，AC=ACAM=AN，RtACMRtACN（HL），CM=CN，CB+CD=CNBN+CM+DM=2CM=2AC；（3）解：如图3-1中，当CDA=75时，过点O作OPCB于点P，CQCD于点QCDA=75，ADB=45，CDB=30，DCB=90，CD=3CB，DCO=BCO=45，OPCB，OQCD，OP=OQ，SOBCSCDO=12CDOQ12BCOP=CDBC，ODOB=CDCB=3，AB=AD=6，DAB=90，BD=2AD=23，OD=31+323=333如图3-2中，当CBD=75时，同法可证ODOB=13，OD=11+323=33，综上所述，满足条件的OD的长为333或33【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题