专题25函数与正方形存在性问题-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（原卷版）.docx

1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题25函数与正方形存在性问题解题策略经典例题【例1】（2022崂山区一模）如图，正方形ABCD，AB4cm，点P在线段BC的延长线上点P从点C出发，沿BC方向运动，速度为2cm/s；点Q从点A同时出发，沿AB方向运动，速度为1cm/s连接PQ，PQ分别与BD，CD相交于点E，F设运动时间为t（s）（0t4）解答下列问题：（1）线段CF长为多少时，点F为线段PQ中点？（2）当t为何值时，点E在对角线BD中点上？（3）当PQ中点在DCP平分线上时，求t的值；（4）设四边形BCFE的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式【例2】（2022春孟

2、村县期末）如图，在平面直角坐标系中直线l：y2x+10（k0）经过点C（3，4），与x轴，y轴分别交于点A，B，点D的坐标为（8，4），连接OD，交直线l于点M，连接OC，CD，AD（1）填空：点A的坐标为 ，点M的坐标为 ；（2）求证：四边形OADC是菱形；（3）直线AP：yx+5与y轴交于点P连接MP，则MP的长为 ；已知点E在直线AP上，在平面直角坐标系中是否存在一点F，使以O，A，E，F为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由【例3】（2022市中区二模）如图，直线AC与双曲线y（k0）交于A（m，6），B（3，n）两点，与x轴交于点C，直线AD与x轴

3、交于点D（11，0），（1）请直接写出m，n的值；（2）若点E在x轴上，若点F在y轴上，求AF+EF+BE的最小值；（3）P是直线AD上一点，Q是双曲线上一点，是否存在点P，Q，使得四边形ACQP是正方形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由【例4】（2022春渝中区校级月考）如图，抛物线yax2+bx3（a0）与x轴交于A、B（点A在点B的左侧），其中OA1，tanABC（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQAC交BC于Q，PHx轴交BC于H，求PQH周长最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线y水平向右平移1个单位得到新抛物线y

4、，点G为新抛物线y对称轴上一点，将线段AC沿着直线BC平移，平移后的线段记为A1C1，点K是平面内任意一点，在线段平移的过程中，是否存在以A1、C1、G、K为顶点且A1G为边的正方形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由培优训练一解答题1（2022春雨花区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1）点Q的坐标为（x2，y2），且x1x2，y1y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“坐标矩形”图为点P，Q的“坐标矩形”的示意图已知点A的坐标为（1，0）（1）若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“坐标矩形”的面积

5、；（2）点C在y轴上，若点A，C的“坐标矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（3）在直线y2x+7的图象上，是否存在点D，使得点A、D的“坐标矩形”为正方形，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由2（2022春凤山县期末）如图矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，OAa，OCb，且a，b满足+|b7|0，一次函数yx+5的图象与边OC，AB分别交于D，E两点（1）求点B的坐标；（2）直线OB与一次函数yx+5交于点M，求点M的坐标；（3）点G在线段DE上运动，过点G作GFBC，GHAB垂足分别为点F，H是否存在这样的点G，使以F，G，H，B为顶点的四边形是正方形？若存在，请

6、求出点G的坐标；若不存在，请说明理由3（2022春临西县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A，B，点P（1，m）在直线yx+3上（1）求点A，B的坐标（2）若C是x轴的负半轴上一点，且SPACSAOB，求直线PC的表达式（3）若E是直线AB上一动点，过点E作EQx轴交直线PC于点Q，EMx轴，QNx轴，垂足分别为M，N，是否存在点E，使得四边形EMNQ为正方形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由4（2022春开州区期末）如图，直线l1经过A（，0）、B（2，5）两点，直线l2：yx+3与直线交于点C，与x轴交于点D（1）求点C的坐标；（2）点P是

7、y轴上一点，当四边形PDCB的周长最小时，求四边形PDCB的面积；（3）把直线l1沿y轴向上平移9个单位长度，得到新直线l3与直线l2交于点E，试探究在x轴上是否存在点Q，在平面内存在点F使得以点D，Q，E，F为顶点的四边形是菱形（含正方形）？若存在，直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由5（2022春临高县期末）如图，已知一次函数yx+b的图象过点A（0，3），点P是该直线上的一个动点，过点P分别作PM垂直于x轴于点M，PN垂直y轴于点N，在四边形PMON上分别截取：PCMP，MBOM，OEON，NDNP（1）b ；（2）求证：四边形BCDE是平行四边形；（3）在直线yx+b上是否

8、存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，请求出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由6（2022春番禺区期末）如图，已知一次函数yx+b的图象过点A（0，3），点P是该直线上的一个动点，过点P分别作PM垂直x轴于点M，PN垂直y轴于点N，在四边形OMPN的边上分别截取：OBOM，MCMP，OEON，NDNP（1）求b的值；（2）求证：四边形BCDE是平行四边形；（3）在直线yx+b上是否存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，请求出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由7（2022南京模拟）矩形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A在x轴的负半轴上，点B在y

9、轴的正半轴上，连接AB，将ABC沿AB折叠得ABE，AE交y轴于点D，线段OD、OA的长是方程x27x+120的两个根，且OAOD（1）请直接写出点A的坐标为 ，点D的坐标为 ；（2）点P为直线AB上一点，连接PO、PD，当POD的周长最小时，求点P的坐标；（3）点M在x轴上，点N在直线AB上，坐标平面内是否存在点Q，使以B、M、N、Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由8（2022前进区二模）PAC在平面直角坐标系中的位置如图所示，AP与y轴交于点B（0，2），点P的坐标为（1，3），线段OA，OC的长分别是方程x29x+140的两根，OCOA

10、（1）求线段AC的长；（2）动点D从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴负半轴向终点C运动，过点D作直线l与x轴垂直，设点D运动的时间为t秒，直线l扫过四边形OBPC的面积为S，求S与t的关系式；（3）M为直线l上一点，在平面内是否存在点N，使以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由9（2021黑龙江）如图，矩形ABOC在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，OA，OB的长是关于x的一元二次方程x29x+200的两个根解答下列问题：（1）求点A的坐标；（2）若直线MN分别与x轴，AB，AO，AC，y轴交于

11、点D，M，F，N，E，SAMN2，tanAMN1，求直线MN的解析式；（3）在（2）的条件下，点P在第二象限内，在平面内是否存在点Q，使以E，F，P，Q为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由10（2021秋化州市月考）如图，在矩形ABCD中，AB16cm，AD6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以每秒3cm的速度向点B移动，点Q以每秒2cm测得速度向点D移动，当点P到达点B处时，两点均停止移动（1）P，Q两点出发多长时间，线段PQ的长度为10cm？（2）是否存在某一时刻，使四边形PBCQ为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由11（202

12、2春海口期末）如图，直线yx+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线BC与x轴交于点C（3，0），P是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点P作直线PQx轴，交直线BC于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为点E、F（1）求直线BC的函数表达式；（2）设动点P的横坐标为t当t2时，求四边形PEFQ的周长；当t为何值时，四边形PEFQ是正方形；在x轴上存在点M，使得四边形PMQB是平行四边形，请直接写出此时点M的坐标12（2022春惠济区期末）如图1，已知正方形ABCD的边长为16，ABCD90，ABBCCDAD，点P为正方形ABCD边上的动点，动点P从点A出发，沿着ABCD运动到

13、D点时停止，设点P经过的路程为x，APD的面积为y（1）如图2，当x4时，y ；（2）如图3，当点P在边BC上运动时，y ；（3）当y24时，求x的值；（4）若点E是边BC上一点且CE6，连接DE，在正方形的边上是否存在一点P，使得DCE与BCP全等？若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由13（2022抚顺县一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2+bx2（a0）与x轴交于点A（1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；（2）求BCD的面积；（3）点M为抛物线上一动点，点N为平面内一点，以A，M，I，N为顶点作正方形，是否

14、存在点M，使点I恰好落在对称轴上？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由14（2022海州区一模）已知，一次函数ykx+b的图象分别与坐标轴交于点A（4，0），B（0，2），二次函数的图象与y轴交于点C（0，4），顶点坐标为（2，2）在x轴正半轴上有一动点P（m，0），过点P作x轴的垂线，分别与直线AB和抛物线交于点E，F，分别过点F，E作y轴的垂线，垂足为G，H，得到矩形EFGH（1）求直线AB与抛物线的函数表达式；（2）求矩形EFGH周长的最小值及此时点P的坐标；（3）以OP为边在x轴上方作正方形OPMN（点N在y轴正半轴上），是否存在点P，使正方形OPMN与矩形EFGH重合部分

15、的面积是矩形EFGH面积的一半若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由15（2022成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（1）b ，c ；（2）若点D为第四象限内抛物线上的一个动点，过点D作DEy轴交BC于点E，过点D作DFBC于点F，过点F作FGy轴于点G，求出DE+FG的最大值及此时点D的坐标；（3）若点P是该抛物线对称轴上的一点，点Q为坐标平面内一点，那么在抛物线上且位于x轴上方是否存在点M，使四边形OMPQ为正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由16（2022吉安一模）已知抛

16、物线C1：yax22ax3（a0）（1）当a1时，抛物线C1的顶点坐标为 将抛物线C1沿x轴翻折得到抛物线C2，则抛物线C2的解析式为 （2）无论a为何值，直线ym与抛物线C1相交所得的线段EF（点E在点F左侧）的长度都不变，求m的值和EF的长；（3）在（2）的条件下，将抛物线C1沿直线ym翻折，得到抛物线C3，抛物线C1，C3的顶点分别记为P，Q，是否存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出a的值：若不存在，请说明理由17（2007河南）如图，对称轴为直线x的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上

17、一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由18（2022春鼓楼区校级期末）如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线与直线yx+m只有一个交点，求m的值；（3）Q是抛物线上除点P外一点，BCQ与BCP的面积相等，求点Q的坐标；（4）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点

18、M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E是否存在点M、N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由19（2021秋郧阳区期末）如图，已知抛物线yax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C（0，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P为对称轴上一动点，求APC周长的最小值；（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的面积；如果不存在，请说明理由20（2022香坊区校级开学）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、C

19、分别在x轴、y轴正半轴上，四边形OABC是正方形，抛物线yx2+bx+c经过点B、C，OA18（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D是OA的中点，经过点D的直线交AB于点E、交y轴于点F，连接BD，若EDA2ABD，求直线DE的解析式；（3）如图3，在（2）的条件下，点G在OD上，连接GC、GE，点P在AB右侧的抛物线上，点Q为BP中点，连接DQ，过点B作BHBP，交直线DP于点H，连接CH、GH，若GCGE，DQPQ，求CGH的周长21（2021咸丰县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l，P是该抛物线上一

20、动点，其横坐标为m，过点P作PQl于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为以PQ，QM为边作矩形PQMN（1）求抛物线的解析式；（2）当点Q与点M重合时，求m的值；（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值；（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，求m的取值范围22（2021越秀区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线lP是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQl于点Q；M是直线l上的一点，其纵坐标为m+，以PQ，QM为边作矩形PQMN（

21、1）求b的值（2）当点Q与点M重合时，求m的值（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值（4）抛物线在矩形PQMN内的部分称为被扫描部分请问该抛物线是否全部被扫描？若是，请说明理由，若否，直接写出抛物线被扫描部分自变量的取值范围23（2020吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线lP是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQl于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为m+以PQ，QM为边作矩形PQMN（1）求b的值（2）当点Q与点M重合时，求m的值（3）当矩形PQMN是正方形，

22、且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围24（2022二道区校级二模）在平面直角坐标系中，抛物线yax24ax+2（a0）与x轴交于A、B两点（1）抛物线yax24ax+2（a0）经过的定点的坐标为 （2）当点A（3，0）在这个函数图象时，求抛物线的函数关系式；抛物线上有一点P，连结AP、BP，若ABP的面积为时，求点P的坐标；当mxm+2时，函数的最大值与最小值的差是3，求m的值；（3）在抛物线yax24ax+2（a0）上的点M、C的横坐标分别为、4，连结CM，将线段CM绕点M逆时针旋转90的线段MD，以CM、MD为邻边作正方形CMDN当抛物线在正方形CMDN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小或y随x的增大而增大时，直接写出a的取值范围