专题25平面几何A辑（学生版）备战2021年高中数学联赛之1981-2020年高中数学联赛二试试题分专题训练.docx

1、备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)专题25平面几何A辑历年联赛真题汇编1【2020高中数学联赛A卷(第02试)】如图,在等腰ABC中, AB=BC , I为内心, M为BI的中点,P为边AC上一点,满足AP=3PC,PI延长线上一点H满足MHPH,Q为ABC的外接圆上劣弧AB的中点.证明:BHQH.2【2020高中数学联赛B卷(第02试)】如图,A,B,C,D,E是圆上顺次的五点,满足ABC=BCD=CDE,点P,Q分别在线段AD,BE上,且P在线段CQ上.证明:PAQ=PEQ.3【2019高中数学联赛A卷(第02试)】如图，在锐角ABC中，M是BC边的中点点P在A

2、BC内，使得AP平分BAC.直线MP与ABP、ACP的外接圆分别相交于不同于点P的两点D、E.证明:若DE=MP，则BC=2BP.4【2019高中数学联赛B卷(第02试)】如图，点A、B、C、D、E在一条直线上顺次排列，满足BC=CD=ABDE，点P在该直线外，满足PB=PD.点K、L分别在线段PB、PD上，满足KC平分BKE，LC平分ALD.证明:A、K、L、E四点共圆.5【2018高中数学联赛A卷(第02试)】如图，ABC为锐角三角形，ABAC，M，N是BC边上不同的两点，使得BAM=CAN.设ABC和AMN的外心分别为O1，O2，求证：O1，O2，A三点共线.14【2011高中数学联赛(

3、第02试)】如图，P，Q分别是圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD的中点若BPA=DPA，证明：AQB=CQB.15【2010高中数学联赛(第02试)】如图，锐角ABC的外心为O，K是边BC上一点(不是边BC的中点)，D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M.求证：若OKMN，则A，B，D，C四点共圆.16【2009高中数学联赛(第02试)】如图，M，N分别为锐角ABC(AB)的外接圆上弧BC，AC的中点.过点C作PCMN交圆于点P，I为ABC的内心，联结PI并延长交圆于T.(1)求证：MPMT=NPNT；(2)在弧AB(不含点C)上任取一点Q(QA，T，B)

4、，记AQC，QCB的内心分别为I1,I2，求证：Q，I1，I2，T四点共圆.17【2008高中数学联赛(第02试)】如图，给定凸四边形ABCD，B+D180，P是平面上的动点，令f(P)=PABC+PDCA+PCAB，(1)求证：当f(P)达到最小值时，P，A，B，C四点共圆；(2)设E是ABC外接圆O的弧AB上一点，满足：AEAB=32,BCEC=3-1,ECB=12ECA，又已知DA，DC是圆O的切线，AC=2，求f(P)的最小值.18【2007高中数学联赛(第02试)】如图，在锐角ABC中，ABAC，过A作ABC的外接圆的切线L.又以A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于D，交直线l于

5、E，F.证明：直线DE，DF分别通过ABC的内心与一个旁心.(注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心).20【2004高中数学联赛(第02试)】在锐角ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB，AC于F，G两点.FG与AH相交于点K.已知BC=25，BD=20，BE=7.求AK的长.21【2003高中数学联赛(第02试)】过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B，所作割线交圆于C，D两点，C在P，D之间在弦CD上取一点Q，使DAQ=PBC.求证：DBQ=PAC.22【2003高中数学联赛(第02试)】设

6、三角形的三边长分别是整数l，m，n，且lmn，已知3l104=3m104=3n104，其中x=xx，而x表示不超过x的最大整数.求这种三角形的周长的最小值.23【2003高中数学联赛(第02试)】由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形，其中n=q2+q+l，l12q(q+1)2+l，q2，qN.已知任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q+2条连线段.证明：必存在一个空间四边形(即由四点A，B，C，D和四条连线段AB，BC，CD，DA组成的图形)24【2002高中数学联赛(第02试)】如图，在ABC中，A=60，ABAC，点O是外心.两条高BE，CF交于点H.点M，N分别

7、在线段BH，HF上，且满足BM=CN.求MH+NHOH的值.25【2001高中数学联赛(第02试)】如图，在ABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N.求证：(1)OBDF，OCOE；(2)OHMN.优质模拟题强化训练1如图，在锐角ABC中，M是BC边的中点点P在ABC内，使得AP平分BAC.直线MP与ABP、ACP的外接圆分别相交于不同于点P的两点D、E.证明：若DE=MP，则BC=2BP.2如图所示，D是ABC中，边BC的中点，K为AC与ABD的外接圆O的交点，EK平行于AB且与圆O交于E，若AD=DE，求证：AB+AK=KC.3如图所示

8、，BE、CF分别是锐角三角形ABC的两条高，以AB为直径的圆与直线CF相交于点M、N，以AC为直径的圆与直线BE相交于点P、Q.证明：M、N、P、Q四点共圆.4如图，AB、PA、PBC分别为O的切线和割线，切点A是BD的中点，AC、BD相交于点E，AB、PE相交于点F，直线CF交O于另一点G、交PA于点K.证明：(1)K是PA的中点；(2)AG2=BGPG.5如图，设ABC的外接圆为O，BAC的角平分线与BC交于点D，M为BC的中点.若ADM的外接圆Z分别于AB、AC交于P、Q，N为PQ的中点，证明：MN/AD.6如图，O1、O2与O3交于点P，O1与O2的另一个交点为A，经过点A的一条直线分

9、别与O1、O2交于点B、C，AP的延长线与O3交于点D，作DEBC与O3交于点E，再作EM、EN分别与O1、O2切于点M、N.证明：EM2-EN2=DEBC.7如图，在锐角ABC中，E、E是边BC上的点，ABC、ABD、ADC的外心分别为O、P、Q证明：(1)APQABC；(2)若EOPQ，则QOPE8如图，ABC的内切圆I与三边BC、CA、AB分别切于点D、E、F，直线AI、BI与I分别交于点A1、A0、B1、B0(|AA1|AA0|,|BB1|AC，圆是ABC的外接圆，圆a2过点B且与AC切于点A，圆2过点C且与AB切于点A，圆a2与圆2交于A、D两点，射线BD与圆2交于点E，射线CD与圆

10、a2交于点F(点E、F均不与D重合)，直线BF与CE交于点P。证明：BAP=CAD。12如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且MC=MD分别过点C、D作边BC、AD的垂线，设两条垂线的交点为P.过点P作PQAB与Q.求证：PQC=PQD.13如图，在ABC中，ABC90，M为边AC的中点，ATAC，TM的延长线与BC交于点D，联结TB证明:ABTCAD14如图，已知M、N交于B、C两点，A、D分别在M、N上，且AC与N相切，CD与M相切，CB的延长线与ACD的外接圆交于点E证明：(1)AECD=EDAC；(2)EB=BC15如图，AB为O的一条切线，满足BDAO，AB与O的半径OC交

11、于点E，K力线段AE上一点，作ALOK与CK交于点L.证明：当且仅当CK与O相切时，CK=KL.16如图，设L、M、N分别为ABC的BAC、 CBA、 ACB内的点，且BAL= ACL， LBA= LAC， CBM= BAM， MCB= MBA， ACN= CBN， NAC= NCB证明：(1) AL、BM、CN三线交于一点P；(2)L、M、N、P四点共圆.17如图，ABC的内切圆分别与边BC、CA、AB切于点D、E、F，AD与BE交于点P，设点P关于直线EF、FD、DE的对称点分别X、Y、Z.证明：AX、BY、CZ三线共点.18如图，已知ABC内切圆I分别与边AB、BC、AC切于点F、D、Q，直线AD、CF分别与I交于另一点H、K,证明：FDHKFHDK=3.19如图，在ABC中，ABAC，H为ABC的垂心，M为边BC的中点，点S在边BC上且满足BHM=CHS，点A在直线HS上的投影为P.证明：MPS的外接圆与ABC的外接圆相切.20如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC与BD交于点N，AC的中点为M.若BC2CD2=BNDN，证明：MN2MC2+DN2DM2=1.