专题26.4 反比例函数（全章分层练习）（培优练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（人教版）.docx

1、专题26.4 反比例函数（全章分层练习）（培优练）一、 单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1（2023下江苏南京八年级统考期末）函数在平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图像是（）A B C D2（2020上重庆巴南九年级统考期末）已知实数使关于的反比例函数的图象在第二、四象限，且使关于的方程有实数解，若是整数，则所有满足条件的的值的和为（）A B C0 D13（2015四川成都统考一模）方程实数根的情况是（ ）A仅有三个不同实根 B仅有两个不同实根C仅有一个不同实根 D无实根4（2022辽宁沈阳东北育才双语学校校考三模）如图，曲线l是由函数在第一象

2、限内的图象绕坐标原点逆时针旋转得到的，过点，的直线与曲线相交于点，则的面积为（）A6 B C D5（2023下福建泉州八年级校考期中）如图，的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，的中点恰好落在轴上，已知，则的值为（）A B C4 D6（2023江苏无锡统考二模）如图，在y轴的右侧作正方形，其对角线交点在第一象限，反比例的图像经过点A和I，则的值为（）A B C D7（2023上湖南益阳九年级校联考期末）如图，直线与双曲线交于点A，B，与y轴交于点C，与x轴交于点D，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为点F，E，连接，若，则k的值为（） A3 B6 C D8（2023下浙江宁波九年级浙江省余姚市实验

3、学校校考期末）在平面直角坐标系中，对于任意一个不在坐标轴上的点，我们把称为点P的“和差点”若直线上有两点A、B，它们的和差点、均在反比例函数上，则的面积为（）A B C D9（2023下江苏连云港八年级统考期末）如图，点为反比例函数（，）上的一点，点为轴负半轴上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为点若点恰好也在反比例函数的图像上，且点的横坐标是点横坐标的两倍，则的值为（）A B C D10（2022下湖北武汉九年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校联考自主招生）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点D在第二象限，轴，且，于E，反比例函数，与边交于点F，连接若，则k的值为（）A B

4、C7 D二、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11（2022宁夏银川校考二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）是第一象限内一点，连接OA，将OA绕点A逆时针旋转90得到线段AB，若反比例函数（x0）的图象恰好同时经过点A、B，则k的值为 12（2020陕西九年级统考学业考试）反比例函数y（k0）的图象与以原点为圆心，为半径的圆的交点的横、纵坐标均为整数，那么k的值为 13（2018下江苏连云港八年级统考期末）如图，已知点是双曲线在第一象限上的一动点，连接，以为一边作等腰直角三角形（），点在第四象限，随着点的运动，点的位置也不断的变化，但始终在某个函数图像上运动，则这个函数

5、表达式为 14（2023下四川内江九年级统考阶段练习）如图，已知点A是一次函数的图像上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图像过点B，C，若的面积为14，则的面积是 15（2022上海闵行统考二模）如图，过原点且平行于的直线与反比例函数（,）的图像相交x于点C，过直线上的点，作轴于点B，交反比例函数图像于点D，且，那么点C的坐标为 .16（2022下江苏苏州八年级校考阶段练习）如图，已知点A是一次函数图象上一点，过点A作轴的垂线，是上一点在A上方，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点，若的面积为，则的面积是 1

6、7（2019湖北黄冈中考模拟）如图，直线yx1与x，y轴交于B、A，点M为双曲线y上的一点，若MAB为等腰直角三角形，则k 18（2023上湖南常德九年级校联考期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作交x轴于点B，作交反比例函数图象于点，过点作交x轴于点，再作交反比例函数图象于点，依次进行下去，则点的纵坐标为 三、解答题（本大题共6小题，共58分）19（8分）（2020陕西九年级统考阶段练习）如图，请用尺规作图法，在反比例函数的图象上作出一点，使（保留作图痕迹，不写作法）20（8分）（2023上山东泰安九年级统考期中）如图，正方形的边长为5，点的坐标为，点在轴上，若反比例函数的

7、图像过点求该反比例函数的表达式21（10分）（2023上上海杨浦八年级统考期中）如图，已知直线与双曲线交第一象限于点（1）求点的坐标和反比例函数的解析式；（2）将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若点C是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标22（10分）（2022广东佛山统考模拟预测）如图（1），正方形ABCD顶点A、B在函数y（k0）的图象上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变（1）若点A的坐标为（4,7），求正方形ABCD的面积；（2）如图（2），当k8时，求BD的长

8、；（3）当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形ABCD有重叠部分时，求k的取值范围23（10分）（2023上四川成都九年级校考期中）如图，在矩形中，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点在边上，直线的解析式为，直线交于点，交于点（1）如图1，连接，求，的坐标；（2）如图1，若以和为邻边作矩形，求过点的反比例函数的表达式；（3）如图2，在第一象限内，直线上是否存在点，使是等腰直角三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由24（12分）（2023山东青岛校联考三模）某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），已知第

9、一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台；（1）直接写出y与x之间满足的函数关系式；产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变，经过统计，发现第1场第20场浮动价与发布场次x成正比，第21场第40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据：x（场）31025p（万元）10.61214.2（2）求p与x之间满足的函数关系式；（3）当产品销售单价为13万元时，求销售场次是第几场？（4）在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？参考答案：1A【分析】由，得到，函数的图象可以看作由函数的图象向右平移2个单位长度得到，据此可判断的图象解

10、：函数的图象可以看作由函数的图象向右平移2个单位长度得到故选：A【点拨】本题考查反比例函数的图象，理解两个函数图象的特点是解题的关键2C【分析】根据反比例函数图象所在象限和方程有实数根，确定m的取值范围，再取整数相加即可解：反比例函数的图象在第二、四象限，m-30，解得，m3，关于的方程有实数解，当方程是一元一次方程时，m=2，有实数根；当方程是一元二次方程时，解得m，0，m2，综上，m可取整数值有：-2，-1，0，1，2，它们的和为0，故选：C【点拨】本题考查了反比例函数的性质，一元二次方程根的判别式，解题关键是熟知相关知识，并能够灵活运用，注意分类讨论思想3C【分析】原方程有意义，则，把方

11、程去分母、整理可得，分解因式得，讨论其根的情况，即可解答解：原方程整理得，方程，其，无解，即故选：C【点拨】本题考查了二次函数、反比例函数的性质，主要应用了一元二次方程的根与判别式的关系4B【分析】根据曲线l是由函数在第一象限内的图象绕坐标原点逆时针旋转得到的，且，故以为轴，为坐标原点，建立新的平面直角坐标系，根据勾股定理求得新坐标系中，的坐标；求直线的解析式，根据直线与曲线相交于点，可求出点，坐标；根据计算即可解：以所在的直线为轴， 为坐标原点，建立新的坐标系，如图过点作轴交轴于点，作轴交轴于点,与轴交于点，设直线解析式为解得直线解析式为直线与曲线相交于点，故解得或，故选：B【点拨】本题考查

12、待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题5D【分析】连接，过点和点分别作轴的垂线段和，根据全等三角形的判定可得，推得；根据三角形的面积可得，推得，求解即可，注意解：连接，过点和点分别作轴的垂线段和，如图：，又，；，点在双曲线上，点在双曲线上，四边形是平行四边形，解得：（正数舍去），故选：D【点拨】本题主要考查了反比例函数的几何意义，平行四边形的面积，解决这类问题，要熟知反比例函数图象上点到轴的垂线段与此点与原点的连线组成的三角形面积是6C【分析】分别过、作轴的垂线，垂足为、，过点作轴的平行线，交于，交于，过点作轴于点，连接，证得

13、，则，同理，由点的坐标可得出，所以，所以，得到方程，即可求解解：如图，分别过、作轴的垂线，垂足为、，过点作轴的平行线，交于，交于，过点作轴于点，连接，四边形是正方形，同理，四边形是正方形，点是正方形的对角线的交点，是等腰直角三角形，反比例的图象经过点和，即，或（舍）故选：C【点拨】本题主要考查反比例函数图象上的点的特征，三角形全等的判定和性质，正方形的性质等内容，由点的坐标，得出点的坐标是解题关键7B【分析】根据点A，B在双曲线上，设，利用待定系数法求出直线AB解析式为，当时，则，计算得，根据三角形的面积公式得，则 ，进行计算即可得解：点A，B在双曲线上，设，设直线AB解析式为，将，代入，得，

14、解得，直线的解析式为，当时， 即 k = 6，故选：B【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数与一次函数的相关知识，并正确计算8A【分析】设，则，由和均在反比例函数上，可得，从而求出点A的坐标为：或，点B的坐标为：或，即可求出结果解：设点A的坐标为：，点B的坐标为：，则，和均在反比例函数上，解得：、，、，当时，；当时，点A的坐标为：或，点B的坐标为：或，设一次函数与x的轴相交于点C，当时，即，点C的坐标为：，如图所示：，故选A【点拨】本题考查反比例函数和一次函数图象的点的坐标特征及解一元二次方程，熟练掌握反比函数上的点的横坐标与纵坐标的积等于反比例的比例系数

15、是解题的关键9B【分析】首先可证得，得出，再得出点的横坐标，进而得出点的纵坐标，再利用，求出点B的纵坐标，进而得出点的横坐标，最后根据，建立方程求解即可得出结论解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，由旋转知，点的横坐标是点横坐标的两倍，且点，点，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，故选：B【点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，构造出是解本题的关键10A【分析】延长交轴于点，过点作轴于点,根据已知可得轴;利用可得，得到;利用，四边形是菱形，可得设，则，由勾股定理可得，可得点坐标为，所以由于为矩形，可得点的坐标为，利用，列出关于的方程，

16、求得的值，的值即可求出解：延长交轴于点，过点作轴于点，如图：轴，轴，在和中，四边形是菱形，设，则反比例函数的图象经过点，,四边形为矩形点在反比例函数的图象上，,解得：故选：A【点拨】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，待定系数法，反比例函数图象上点的坐标的特征，三角形的全等的判定与性质，等腰直角三角形，菱形的性质，利用点的坐标表示相应线段的长度和利用线段的长度表示出相应点的坐标是解题的关键11【分析】先作辅助线构造全等三角形，利用旋转的性质证明，利用全等三角形性质表示出B点坐标，将点A、B代入反比例函数得出方程就可解出m，进而求出k值解：过点A作轴，过点B作，如图由旋转的性质得，在和中，则

17、点A，B都在反比例函数图像上，解得或（舍去）将A代入，解得故答案为：【点拨】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的性质和判定和待定系数法求反比例函数解析式，牢固掌握以上知识点并学会作辅助线是做出本题的关键122【分析】设反比例函数y（k0）的图象与以原点为圆心，为半径的圆的交点为（x，y），则有x2+y25，由于横、纵坐标均为整数，则x1，y2或x2，y1，最后代入y即可解：设反比例函数y（k0）的图象与以原点为圆心，为半径的圆的交点为（x，y），x2+y25，横、纵坐标均为整数，x1，y2或x2，y1，yk2，故答案为2【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，确定交点的横坐标和纵坐标

18、是解答本题的关键13【分析】设点B所在的反比例函数解析式为，分别过点A、B作AD轴于 D，BE轴于点E，由全等三角形的判定定理可知AODOBE（ASA），故可得出，即可求得的值解：设点B所在的反比例函数解析式为，分别过点A、B作AD轴于 D，BE轴于点E，如图：AOE+DOB=90，AOE+OAD=90，OAD=BOE，同理可得AOD=OBE，在AOD和OBE中， ， AODOBE（ASA），点B在第四象限，即， 解得，反比例函数的解析式为：故答案为【点拨】本题考查动点问题，难度较大，是中考的常考知识点，正确作出辅助线，证明两个三角形全等是解题的关键147【分析】过作轴于，交于，设，根据直角三

19、角形斜边中线是斜边一半得：，设，则，因为、都在反比例函数的图象上，列方程可得结论解：如图，过作轴于，交于轴， ，是等腰直角三角形，设，则，设，则，在反比例函数的图象上，解得，故答案为：【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键15（）【分析】由条件可求得D点坐标，则可求得反比例函数解析式，联立直线与反比例函数解析式可求得C点坐标解：A（1，3），ABx轴点B，AB=3， OB= 1，BD=1，D（1，1），点D在反比例函数图象上，解得k=1，反比例函数解析式为，联立直线与反比例函数解析式可得解得x=33y

20、=3或，C （）【点拨】本题考查了反比例函数的综合应用、待定系数法求函数解析式以及，函数图象的交点，联立方程组求交点是解题的关键16【分析】过作轴于，交于，设，根据直角三角形斜边中线是斜边一半得：，设，则，因为、都在反比例函数的图象上，列方程可得结论解：如图，过作轴于，交于轴， ，是等腰直角三角形，设，则，设，则，在反比例函数的图象上，解得，故答案为：【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键174【分析】直线与x轴、y轴分别相交于B、A，即可求得A、B两点坐标；由是以AB为底的等腰直角三角形，可求得，易

21、求得，即可利用AAS判定：，可得，即可得，又由，即可求得点M的坐标，进而求得k的值解：如图，作轴于点D，轴于点C直线与x轴，y轴分别相交于B、A，当时，；当时，点坐标的坐标为，B点坐标为，是以AB为底的等腰直角三角形，轴，轴，在和中，；，四边形OCMD是正方形，设，则，解得：，即，点M的坐标为：，故答案为4【点拨】本题考查了反比例函数的应用、待定系数法求函数的解析式、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质解题时注意掌握数形结合思想与方程思想的应用18【分析】由一次函数与反比例函数的图象交于点,可得；易得是等腰直角三角形，则分别过点, 作轴的垂线，垂足分别为 ,则是等腰直角三角形，设则则

22、 在反比例函数上，可得 的值，求出点的坐标，同理可得的坐标，以此类推，可得结论.解：如图，分别过点, 作轴的垂线，垂足分别为.一次函数与反比例函数的图象交于点，联立 ，解得 ，点的坐标为.，是等腰直角三角形.，设 则 点 的坐标为，点在反比例函数上,，解得或（负值舍去）.点的坐标为 ；， ，设 则点的坐标为 点在反比例函数 上,，解得 （负值舍去）.点的坐标为；同理点的坐标为；以此类推，可得点的纵坐标为，故答案为：【点拨】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质是正确解答的前提19见分析【分析】设点P（x,y），由点P在上可得x

23、y=4，由OP=可得，即可求得x=2，y=2，然后过A（2,0）作x轴的垂线，与反比例函数图象相交于点P，则点P即为所求.解：如图所示：过点A（2,0）作x轴的垂线，交反比例函数图象于点P，则点P即为所求.【点拨】本题综合考查了尺规作图，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理等知识，根据反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式和勾股定理得出点P的坐标是解决此题的关键.20【分析】过点作轴于，根据结合正方形的性质，利用勾股定理解得，在利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而确定点的坐标，然后利用待定系数法求解即可解：如下图，过点作轴于，四边形为正方形，且边长为5，点的坐标为，在和中，点的坐标为

24、，反比例函数的图像过点C，将点代入，可得，反比例函数的表达式为【点拨】本题主要考查了坐标与图形、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，待定系数法求反比例函数解析式等知识，解题关键是准确求得点坐标21（1）；（2）；（3） 或 【分析】（1）代入直线解析式，可得出点的横坐标，再将点的坐标代入反比例表达式即可求出；（2）根据题意，找出点的位置，过点作轴于点，过点作于点，可证 ，由此可得点的坐标，由待定系数法求可求出直线的解析式；（3）根据题意作出图形，由面积比可得 设点的横坐标为，由此表达点，的坐标，进而可得和的长度，得出关于的方程，解之即可.解：（1）点在直线，点在第一象限，且点的纵坐

25、标为4，,将点代入直线，；（2）根据题意，找出点的位置，过点作轴于点，过点作于点，由旋转可知，直线的解析式为：；（3）如图, ，即 ，即 ，设点的横坐标为，由（1）可知双曲线的解析式为，解得 或（负值舍去） ，点的坐标为 或 【点拨】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合题，涉及到全等三角形的判定与性质，三角形的面积、旋转的性质等知识，证得三角形全等，把面积比转化为线段的比值是解题关键22（1）32；（2）4；（3）【分析】（1）过点作轴于点，则利用正方形的性质得，再根据等角的余角相等得到，则利用“”可判断，从而得到，于是确定点的纵坐标为4，即可求出答案；（2）作轴于，轴于点，设，同理可得，利

26、用全等的性质得，则，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，解方程组求出、，从而得到、两点的坐标，即可求出答案；（3）先利用待定系数法求出直线解析式为，直线解析式为，设点的坐标为，则点坐标为，若当点在直线上时，则，解得，可确定此时点的坐标，从而得到此时的值；当点在直线上时，则，同样可确定此时点的坐标和的值，所以可确定当变化的正方形与（2）中的正方形有重叠部分时的取值范围（1）解：如图（1），过点作轴于点，则，点的坐标为，四边形为正方形，在和中，根据勾股定理得，正方形的面积为32；（2）解：如图（2），过点作轴于，过点作轴于点，设，则，同（1）的方法得，点、在反比例函数的图象上，或（舍去），的坐

27、标为，即的长为4；（3）解：设直线的解析式为，把，代入得，解得，直线解析式为，同样可求得直线解析式为，由（2）可知是等腰直角三角形，设点的坐标为，点坐标为，当点在直线上时，则，解得，此时点的坐标为，；当点在直线上时，有，此时点的坐标为，；综上可知：当变化的正方形与（2）中的正方形有重叠部分时，的取值范围为【点拨】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的图象与性质，正方形的性质，全等三角形的性质，利用待定系数法求一次函数解析式等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键23（1），；（2）；（3）点坐标为或或【分析】（1）根据点在直线上，当时解出的值即可求出点的坐标，根据、的纵坐标相等，再

28、代入直线上，即可求出点的坐标；（2）设的坐标为，根据矩形性质以及等腰直角三角形性质，当时，在外边，故不成立；当时，利用勾股定理求出点坐标，设点，结合矩形对边相等即可求出点坐标，再设反函数解析式，代入求解即可；（3）分三种情况：当时，在上方与在下方时，通过三角形全等得到对应边相等，进行求解；当时，在上方，同样的方法进行求解，得到不在边上，不符合题意；当时，且在第一象限，以同样的方法结合全等三角形求解即可（1）解：为矩形，点的坐标为，点的坐标为，直线的解析式为，当，解得：，；（2）设的坐标为，四边形为矩形，为直角三角形，当时，在外边，故不成立；当时，解得：，设点，设过点的反比例函数为，解得：，过点

29、的反比例函数为；（3）使是等腰直角三角形，设，当时，如下图，在上方，过点作交轴于，交与延长线于，是等腰直角三角形， ，又，解得：，；在下方，如下图，过点作交轴于，交与延长线于，是等腰直角三角形， 同理可证，解得：，当时，的坐标为或；当时，如下图，在上方，过点作轴于，是等腰直角三角形， 同理可证，解得：，此时不在边上，不符合题意；当时，且在第一象限，如下图，过点作交轴于，与交于点，是等腰直角三角形， 同理可证，解得：，综上所述点坐标为或或【点拨】本题考查了一次函数的综合题，矩形的性质，等腰三角性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角坐标系中两点间的距离，反比例函数解析式得求解，正确作出辅助线

30、，分情况讨论是解答本题的关键24（1）；（2）其中为正整数；（3）第15场和第35场；（4）第21场获得的利润最大，最大利润为145万元【分析】（1）根据第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台，即可解答；（2）根据题意设出相应的函数表达式，然后通过表格中的数据求出表达式中的未知量即可；（3）把分别代入（2）中两个解析式中即可求解；（4）分别表示出利润的相关函数，再在自变量取值范围内研究哪一场获得的利润最大，最大利润是多少（1）解：第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台，与的函数关系式为（2）解：设基本价为，第1场第20场，且为正整数，设与的函数关系式为，依题意得，解得，第21场第40场，即且为正整数时，设与的函数关系式为，即依题意得，解得，综上所述，其中为正整数；（3）解：当时，解得；，解得故当产品销售单价为13万元时，销售场次是第15场和第35场（4）解：设每场获得的利润为（万元）当且为正整数时，在对称轴的左侧，随的增大而增大，当时，最大，最大利润为（万元）当且为正整数时，随的增大而减小，当时，最大，最大利润为（万元），在这40场产品促销会中，第21场获得的利润最大，最大利润为145万元【点拨】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数，是函数的综合运用，解题的关键是：理解题意，会求出各函数的解析式，在根据函数的图象及性质解答，题目较难