专题27 倍长中线模型（原卷版）.docx

1、模块二 常见模型专练 专题27 倍长中线模型 例1 （2021黑龙江大庆统考中考真题）已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是_例2 （2021贵州安顺统考中考真题）（1）如图，在四边形中，点是的中点，若是的平分线，试判断，之间的等量关系解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，转化在一个三角形中即可判断，之间的等量关系_；（2）问题探究：如图，在四边形中，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，之间的等量关系，并证

2、明你的结论例3 （2021山东东营统考中考真题）已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”（1）猜想验证如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是_（2）探究证明如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展延伸如图3，当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；若，请直接写出线段AC、

3、BD、OC之间的数量关系 倍长中线模型概述：当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移。倍长中线模型模型：【倍长中线】 已知点D为ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE1）连接EC,则ABDECD，ABCE2）连接BE,则ADCEDB，ACBE证明：点D为ABC中BC边中点BD=DC在ABD和ECD中AD=ED1=2 ABDECD（SAS） ABD=ECD ABCEBD=DC在ADC和EDB中AD=EDADC=BDE ADCEDB（SAS） EBD=ACD ACBEBD=DC

4、【倍长类中线】已知点D为ABC中BC边中点，延长线段DF到点E使DF=DE,连接EC，则BDFCDE总结:【变式1】（2021浙江湖州统考二模）如图，在四边形中，点是的中点，则的长为（）A2BCD3【变式2】（2021贵州遵义校联考二模）如图，DE是ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若CEF的面积为12cm2，则SDGF的值为（）A4cm2B6cm2C8cm2D9cm2【变式3】（2022四川成都统考一模）在中，是边上的中线，记且为正整数则使关于的分式方程有正整数解的概率为_【变式4】（2021河南周口统考二模）如图，在中，为边的中点，若，则的长度为_【变式5】（202

5、2山东泰安校考二模）已知ABC中，BAC=60，以AB和BC为边向外作等边ABD和等边BCE(1)连接AE、CD，如图1，求证：AE=CD；(2)若N为CD中点，连接AN，如图2，求证：CE=2AN(3)若ABBC，延长AB交DE于M，DB=，如图3，则BM=_（直接写出结果）【培优练习】1如图，为的中线，则的长的取值范围是（）ABCD2如图，在中，是边上的中线，则的长度可能为（）A1B2C5D83如图，中，AD为中线，则AC长（）A2.5B2C1D1.54对于任意（见示意图）若 是的边上的中线，、的角平分线分别交、于点，连接，那么之间的数量关系正确的是（）ABCD5如图，中，点是边的中点，线

6、段平分的延长线交于点，且下列结论：；正确的个数为（）A1B2C3D46在中，则边上的中线的取值范围是_7如图，在中，为中线，且，则边的取值范围是_8如图，在ABC中，点D是BC的中点，点E是AD上一点，BE=AC若C=70，DAC=50，则EBD的度数为_9如图，在中， 是边上的中线延长到点，使，连接 (1)求证：；(2)与的数量关系是：_，位置关系是：_；(3)若，猜想与的数量关系，并加以证明10课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到的理由是 A

7、BCD(2)求得的取值范围是 ABCD(3)如图2，是的中线，交于E，交于F，且求证：11（1）阅读理解：如图，在中，若，求边上的中线的取值范围，并说明理由解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把，集中在中，体现了转化和化归的数学思想，利用三角形三边的关系即可判断（2）问题解决：如图，在中，D是边上的中点，于点D，交于点M，交于点N，连接，求证：；12某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，D是的中点，求边上的中线的取值范围小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程(1)求证：证明：延长到

8、点E，使在和中（已作）（对顶角相等）_（中点定义）（_）(2)由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是_；【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中(3)【问题解决】如下图，中，是的边上的中线，且，求的长13课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考：(1)由已知图能得到的理由是 (2)求得的取值范围是 (3)如图2，是的中线，交AC于E，交于F，且求证：14在中，垂足为，

9、点是延长线上一点，连接(1)如图，若，求的长；(2)如图，点是线段上一点，点是外一点，连接并延长交于点，且点是线段的中点，求证：15数学活动课中，老师给出以下问题：(1)如图1，在中，是边的中点，若，则中线长度的取值范围_(2)如图2，在中，是边的中点，过点的射线交边于，再作交边于点，连结，请探索三条线段、之间的大小关系，并说明理由(3)已知：如图3，且，是线段的中点求证：16(1)阅读理解：如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接(或将绕着点逆时针旋转得到)，把，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_；(2)问题解决：如图2，在

10、中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：；(3)问题拓展：如图3，在四边形中，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于，两点，连接，探索线段，之间的数量关系，并加以证明17课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：(1)如图1，ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程(2)如图2，AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由18【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，ABC中，若AB

11、8，AC6，求BC边上的中线AD的取值范围小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DEAD，连结BE请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到的理由是（）ASSSBSASCAASDASA(2)AD的取值范围是（）ABCD(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中【问题解决】如图，AD是ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AEEF求证：ACBF19我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接当时，我们称是的“旋补三角形”，

12、边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”特例感知：（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为_；如图3，当时，则长为_猜想论证：（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明20（1）方法呈现：如图：在中，若，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE，可证，从而把AB、AC，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图，在中，点D是BC的中点，于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图，在四边形ABCD中，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是的角平分线试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明