专题27.11 由平行线截得的比例线段（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）.docx

1、专题27.11 由平行线截得的比例线段（培优篇）（专项练习）一、单选题1如图，AD是ABC的中线，E是AD中点，BE的延长线与AC交于点F，则AF:AC等于()A1:2B2:3C1:3D2:52如图，正方形的边，上各有一个点，连结，且，点，分别在，边上，连结，其中与相交于点，为求出平行四边形的面积，只需知道下列哪条边的长度（ ）ABCD3如图，在RtABC中，ACB = 90，AC = BC = 4，CDAB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为（）ABCD4如图，ABC中，点D是BC延长线上一点，且CAD=90BAC，过点C作CEAD交AB于点E，且ACE=3BCE，A

2、C=3，BE=2，则CD的长为（）A8B7C6D55如图，直角三角形ABC中，AB6，AC8，BC10，BAC90，AD是BC边上的高，BE是角平分线下列结论中：AE3；AF3；DF2；DE/AB正确结论是（）ABCD6如图，在ABC中，过点A作AEBC于点E，过点C作CDAB于点D，AE，CD交于点F，连接BF将ABF沿BF翻折得到ABF，点A恰好落在线段AC上且BA交CD于点G，若AEEC，AC3，BE1，则BG（）A5BCD37如图，在中，过点作于点，过点作于点，、交于点，连接将沿翻折得到，点恰好落在线段上且交于点若，则（ ）ABCD38如图，在ABC中，AD平分BAC，按如下步骤作图：

3、分别以点A、D为圆心，大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；连结MN，分别交AB、AC于点E、F；连结DE，DF若BE8，AF4，CD3，则BD的长是（）A2B4C6D89在RtABC中，ACB90，A30，BC3cm，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC力向以每秒1cm的速度向终点C运动，将PQC翻折，点P的对应点为R，设点Q运动的时间为t秒，若四边形PCRQ为菱形，则t的值为（）AB2C1D10如图，已知直线AB：y=x+分别交x轴、y轴于点B、A两点，C（3，0），D、E分别为线段AO和线段AC上一动点，BE交y轴于点H，且

4、ADCE，当BDBE的值最小时，则H点的坐标为（）A（0，4）B（0，5）C（0，）D（0，）二、填空题11如图，菱形的四个顶点位于坐标轴上，对角线，交于原点，线段的中点的坐标为，是菱形边上的点，若是等腰三角形，则点的坐标可能是_12如图，在中，点是边上一点，且，连接，并取的中点，连接并延长，交于点，则的长为_13如图，点E、F分别是矩形ABCD边BC和CD上的点，把CEF沿直线EF折叠得到GEF，再把BEG沿直线BG折叠，点E的对应点H恰好落在对角线BD上，若此时F、G、H三点在同一条直线上，且线段HF与HD也恰好关于某条直线对称，则的值为_14如图，在中，点为中点，点在边上，将沿折叠至，若

5、，则_15如图，已知正方形ABCD的边长为4将正方形ABCD沿EF对折，使点D恰好落在边AB的中点G处，点C的对应点为点H，延长EG交CB的延长线于P，连接对角线BD，交折痕EF于Q，则线段PQ的长为_16如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-m，m）（m0），过点P的直线AB与x轴负半轴交于点A，与直线yx交于点B若点A的坐标是（6，0），且2AP3PB，则直线AB的函数表达式为_17如图，中，点在的延长线上，且，连接并延长，作于，若，则的面积为_18如图，在中，为边上的中线，是的角平分线，交于点F则的长为_三、解答题19在86的网格中，A，B，C是格点，D是AB与网格线的交点，仅用无刻

6、度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示：(1) 在线段AC上取点E，使DECD；(2) 画格点F，使EFAB；(3) 画点E关于AB的对称点G；(4) 在射线AG上画点P，使PDE与GAE互补20如图，在等边三角形中，点分别是边上的点，且，连接，交于点(1) 求证：(2) 若，求的值(3) 若点恰好落在以为直径的圆上，求的值21在ABCD中，点E是AB的中点，点P是BC上一点，连接DE，交AP于点MN是AP上一点，且AM=MN，连接BN并延长交DC于点F(1) 如图1，求证：四边形EBFD是平行四边形；(2) 如图2，连接MC交BF于点H，过点A作AGMC交DE于点G 求证：MC=2

7、AG； 当点P为BC中点时，若BF=a，AP=b，且，直接写出相应的ABCD的面积（用含a，b的式子表示）22阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务角平分线分线段成比例定理：如图1，在ABC中，AD平分，则下面是这个定理的部分证明过程证明：如图2，过C作，交BA的延长线于点E(1)任务一：请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)任务二：如图3，ABC中，E是BC中点，AD是的平分线，交AC于F若，直接写出线段FC的长23已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，其中(1)若点，过点作，连接并延长与轴交于点，求的值；求证：；(2)若点，求的最小值24如图，在中，点为的中

8、点，点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，点出发后，过点作，交于点，连接设点的运动时间为(1) 用含的式子表示的长；(2) 求证：是等腰三角形；(3) 当时（点和点，点和点是对应顶点），求的值；(4) 连接，当的某一个顶点在的某条边的垂直平分线上时，直接写出的值参考答案1C【分析】作交于，根据平行线分线段成比例定理得到，得到答案解：作交于，是的中线，是中点，故选：【点拨】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、添加辅助线，找准对应关系是解题的关键2D【分析】解：设，根据正方形的性质及平行四边形的性质利用AAS易证明，得出，再根据平行成比例线段可得出，最后根据平行四边形的面

9、积等于大正方形的面积减去两组全等三角形的面积，化简即可得出答案解：设四边形ABCD为正方形，四边形EFGH是平行四边形HG=EF，在和中， 同理可证明SBGH=SDEF，SAGF=SCEH即S平行四边形EFGH=故选D【点拨】本题考查了平行四边形的性质、正方形的性质、平行线成比例线段、全等三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键3C【分析】过点F作FHAC于H，则AFHAEC，设FH为x，由已知条件可证明CHF是等腰直角三角形，用x分别表示出FH、CH，利用FH=CH列方程即可求出x的值，利用DF=CD-CF即可求解解：如图，过点F作FHAC于H在RtABC中，ACB=90，AC=

10、BC=4，AB= ，CDAB，CD=AD= ，FHEC，EC=EB=2，设FH=，则AH=，CH=4-，FCH=45CH=FH解得故选C【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键是做垂直，构造相似三角形4A【分析】运用等腰三角形的性质，平行线的性质，得到B=2BCE；作AFCE，垂足为F，延长AF交BC于点M，作EGAF，交BC于点G，由垂直平分线的性质定理，等腰三角形的性质，以及平行线的性质，求出BC的长度，即可得到答案解：CAD=90BAC，CEAD，；ACE=3BCE，AEC=3BCE=B+BCE，B=2BCE；作AFCE，垂足为F

11、，延长AF交BC于点M，作EGAF，交BC于点G，如图：ACE是等腰三角形，AF是CE的垂直平分线，CM=EM，MCE=MEC，BME=2MCE=B，BE=ME=MC=2，EGAF，GEC=90，MG=ME=MC=2，即，即，；故选：A【点拨】本题考查了平行线分线段成比例，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题5A【分析】先过点E作EGBC，垂足为点G，根据三角形的判定定理证明ABEGBE，再设AE=x，在RtCGE中，根据勾股定理解得AE=3，可判断；根据平行线的性质可知AEB=AFE，所以AF=AE=3，可判断；根

12、据ABC的面积可求得AD的长，由知AF=3，故可求DF的长，可判断；根据平行线分线段成比例可知，可判断；解：如图：过点E作EGBC，垂足为点G，EGB=EAB=90，BE是角平分线，ABE=GBE， ，ABEGBE(AAS)AE=GE，AB=BG=6，AC=AE+CE=8，CG=BC-BG=4，设AE=GE=x，CE=8-x，在RtCGE中，由勾股定理可得： ，解得x=3，AE=GE=3，故正确；由中ABEGBE，得AEB=GEB，EGBC，ADBC，EGAD，GEB=AFE，AEB=AFE，AF=AE=3，故正确；由ABC的面积，得 ，即 AD= ， ，故不正确；由得AE=3，CE=5， ，

13、在RtADC中， ， ， ，DE不平行于AB，故错误；故选：A【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，三角形的面积等知识；正确把握知识点的应用是解题的关键；6C【分析】由题意，先证明ABECFE，得到EF=BE=1，然后由勾股定理求出AB=，再结合折叠的性质，以及平行线分线段成比例的性质，即可求出BG的长度解：CDAB，AEBC，AEC=ADF=90，AFD=CFE，BAE=FCE，CE=AE，ABECFE（ASA），EF=BE=1，在直角ACE中，AC=，AE=CE，ACE是等腰直角三角形，FAC=45，在直角ABE中，由勾股定理，得，由折叠的性质

14、，则，CE，BC=3+1=4，；故选：C【点拨】本题考查了平行线分线段成比例，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，熟练运用数形结合的思想进行分析7C【分析】由，可证明，再根据题意即可证明再由翻折的特点，可知，为等腰直角三角形，所以AE=EC=3，即求出AF长，由于，可证明,即可证明，由平行线分线段成比例，可推出，即可得出BG长度解：，由翻折可知：，由平行线分线段成比例又，根据勾股定理，故选C【点拨】本题考查直角三角形、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和平行线分线段成比例的性质综合性较强，证明并正确利

15、用平行线分线段成比例是解题关键8C【分析】根据已知条件得出DEAC，AE=AF=4，再根据平行线分线段成比例定理的推论，即可得到BD的长解：AD平分BAC，EADFAD，由作图可得，EF垂直平分AD，AEDE，EADEDA，FADEDA，AFEDEF，又EAED，EFAD，EF平分AED，AEFDEF，AEFAFE，AEAF4，即，BD6，故选：C【点拨】本题主要考查了基本作图以及平行线分线段成比例定理的运用，平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例9C【分析】作PEBC于E，根据菱形的性质得到QE=EC，根据直角三角形的性质得到AB=6cm，根据平行线分线段成比例定理得到比例式

16、，解出x的值即可解：作PEBC于E四边形PCRQ为菱形，QE=EC=（3t）ACB=90，A=30，BC=3cm，AB=6cm，BP=62tPEBC，ACB=90，PEAC，即，解得：t=1故选C .【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理、菱形的性质及翻折变换的性质，灵活运用翻折变换的性质、找准对应边和对应角是解题的关键10A【分析】作EFBC于F，设AD=EC=x利用勾股定理可得BD+BE=+=+，要求BD+BE的最小值，相当于在x轴上找一点M（x，0），使得点M到G（，3），K（，）的距离之和最小解：由题意A（0，），B（3，0），C（3，0），AB=AC=8，作EFBC于F，设AD=E

17、C=xEFAO，EF=，CF=，OHEF，OH=，BD+BE=+=+，要求BD+BE的最小值，相当于在x轴上找一点M（x，0），使得点M到K（，3），G（，）的距离之和最小设G关于x轴的对称点G（，），直线GK的解析式为y=kx+b，则有，解得k=，b=，直线GK的解析式为y=x，当y=0时，x=，当x=时，MG+MK的值最小，此时OH=4，当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（0，4），故选A【点拨】本题考查一次函数图象上的点的特征、轴对称最短问题、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题11或或【分析】根据线段的中点的坐标为，

18、易得，根据菱形的性质与直角三角形的性质，可得菱形的边长，然后分别从当时，当时，当时去分析求解即可求得答案解：过点作于，延长交于点，连接，点的坐标为，在中，点为菱形的边的中点，点是线段的中点，点是线段的中点，；过点作于，延长交于点，点为菱形的边的中点，点是线段的中点，点是线段的中点，由知：，；过点作于，延长交于点，连接，由知：，是等边三角形，点是线段的中点，是的垂直平分线，根据题意，菱形关于坐标轴和原点对称，综上所述，点的坐标是或或【点拨】本题考查菱形的性质，三角形的中位线，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，中点坐标等知识点掌握菱形的性质及分类讨论是解答本题

19、的关键12#【分析】利用ABC是直角三角形构造直角坐标系，过点D作DMAC于M，过点D作DNAB于N，利用图中各线段的长度，再结合一次函数、中点坐标公式可以求出图中各点的坐标，即可求出EF的长解：根据BAC=90可知ABC是直角三角形，则以直角ABC的顶点A点为坐标原点O，以AC为x轴，以AB为y轴构造直角坐标系，过点D作DMAC于M，过点D作DNAB于N，如图，由AB=AC=4，可知B点坐标为(4,0)，C点坐标为(0,4)，则直线BC的解析式为，BD=3CD，4CD=BC，DMAC，DNAB，有，则有，即有：，则可求得D点坐标为：(1,3)，又E点为AD中点，根据中点坐标公式又E点坐标为：

20、，则直线BE的解析式为：，则易得F点坐标为：，则EF的长度为：，故答案为：【点拨】本题考查了运用直角坐标系求线段的长度的问题，设计根据点的坐标求解一次函数解析式、中点坐标公式、线段长度公式等知识，利用直角三角形的特点构建直角坐标系是解答本题的关键13【分析】根据线段HF与HD也恰好关于某条直线对称，可得HF=HD，由折叠和同角的余角相等得，然后证明，再利用设元法即可解决问题解：线段HF与HD也恰好关于某条直线对称，HF=HD，HFD=FDH，BHF=2HFD由折叠可知：GF=CF，HG=CE=EG，BHG=BEG，CEF=GEF，BEG+CEF+GEF=180，2HFD +2CEF=180HF

21、D+CEF=90，又CFE +CEF=90，又HF=HD，DHF是等边三角形，CBD=CEF=30，设GF=CF=x，HF=DF=y，则HG=CE=EG=，HF=HG+GF=GE+CF，即y=x+，.【点拨】本题主要考查折叠的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质解决本题的关键是掌握翻折的性质14【分析】过点D作DHBC于点H，交BE于点F，设BE与CD交于点M，由题意易得MEC=EMC，DHAC，则有，然后设，则有，进而可得，最后根据勾股定理可求解解：过点D作DHBC于点H，交BE于点F，设BE与CD交于点M，如图所示：，DHAC，点为中点，点F是BE的中点，由折叠的性质可得：，DHAC

22、，设，则有，在RtACB中，由勾股定理得：，解得：（负根舍去），即；故答案为【点拨】本题主要考查平行线所截线段成比例、勾股定理、一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与判定、折叠的性质及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握平行线所截线段成比例、勾股定理、一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与判定、折叠的性质及直角三角形斜边中线定理是解题的关键15【分析】如图，过点F作FJAD于J，过点Q作QKBC于K想办法求出PB，BK，QK，再利用勾股定理即可解决问题解：如图，过点F作FJAD于J，过点Q作QKBC于K四边形ABCD是正方形，A=ABC=90，AB=AD=4，由翻折的性质可知，EG=DE，设EG=

23、DE=x，在RtAEG中，则有22+（4-x）2=x2，x=，EG=DE=，EFDG，FEJ+ADG=90，ADG+AGD=90，FEJ=AGD，A=FJE=90，FJ=AB=AD，FJEDAG（AAS），EJ=AG=2，DJ=CF=，BF=BC-CF=，BD=AB=4，DEBF，BQ：DQ=BF：DE=7：5，BQ=BD=，KBQ=45，BK=QK=，A=GBP=90，AG=GB，AGE=BGP，AGEBGP（ASA），AE=PB=，PK=PB+BK=+=，故答案为：【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角

24、形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题16y【分析】过点B作BEOA于点E，过点P作PQOA于Q，由2AP=3PB得出AQ：QE=AP：PB=3：2，PQ：BE=PA：AB=3：5，求出OE、QE、AQ，利用OA=OE+QE+AQ=6即可求解解：过点B作BEOA于点E，过点P作PQOA于Q，由题意得：AOB=60，PQBE，AQ：QE=AP：PB=3：2，PQ：BE=PA：AB=3：5，PQ=m，OQ=，BE=，在RtOBC中，OE=， ，解得：，设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（-6，0），代入得，解得，直线AB的解析式为y，故答案为y【点拨】本题主要考查的

25、是一次函数图象与系数的关系、一次函数的性质，涉及到解直角三角形、平行线分线段成比例等知识点，综合性强，由一定的难度17【分析】过点B作BFCD于F，由“AAS”可证BFCCEA，可得CFAE，BFCE，由平行线分线段成比例可求EFDF，由三角形中位线定理可求BFCE，由三角形面积公式可求解解：如图，过点B作BFCD于F，BFCAEC90，BCF+FBC90，ACB90，BCF+ACE90，ACEFBC，在BFC与CEA中，BFCCEA（AAS），CFAE，BFCE，BFCD，AECD，BFAE，EFDF，又ABBD，BFAE，CEBF，EFDF，BCD的面积CDBF（）故答案为：【点拨】本题考

26、查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例，三角形中位线定理，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键18【分析】过点E作EGAB，垂足为G，证明CBEGBE，求得CE，EG，AE的长，过点F作FOAC，垂足为O，利用平行线分线段成比例定理求解即可解：AB=10，过点E作EGAB，垂足为G，是的角平分线，CBE=GBE，C=BGE=90，BE=BE，CBEGBE，BC=BG=6，EC=EG，设CE=x，则EG=x，AE=8-x,AG=AB-BG=4,在直角三角形AEG中，根据勾股定理，得，即，解得x=3，CE=3，AE=5，过点F作FOAC，垂足为O，FOBC，即F

27、O=2OE，AD是中线，BC=6，CD=3，FODC，解得OE=，在直角三角形OEF中，EF=故答案为：【点拨】本题考查了勾股定理，三角形全等，平行线分线段成比例定理，中线，角的平分线，构造辅助线实施全等证明，平行线分线段成比例证明是解题的关键19(1)作图见分析(2)作图见分析(3)作图见分析(4)作图见分析【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可；（2）取格点F，连接EF即可；（3）取格点N，连接EN，取格点K，L，连接KL交NE于点G，利用平行线分线段成比例定理即可确定，点G即为所求；（4）取格点M，连接CM，延长AG交CM于点P；点P即为所求解：(1)如图，点E即为所求；(2)如

28、图，线段EF即为所求；(3)取格点N，连接EN，此时， 取格点K，L，连接KL交NE于点G，此时， ， 如图，点G即为所求(4)取格点M，连接CM，延长AG交CM于点P由题意得，AB是EG的垂直平分线 ， ，如图，点P即为所求；【点拨】本题考查作图一轴对称变换，余角补角的定义，垂直平分线的性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题20(1)见分析(2)(3)2【分析】（1）由等边三角形的性质可得到，利用SAS可以判定；（2）根据，设，则，过点作交于点，利用平行线分线段成比例定理即可求解；（3）先由证得，延长，交圆于点，连接，则，在中，求得，

29、最后证得，利用相似三角形的对应边成比例即可求解解：(1)ABC是等边三角形，即，在和中， ，；(2)，设，则，过点作交于点，则，解得，(3),，是等边三角形， ，延长，交圆于点，连接，则，是圆的直径，中，【点拨】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直径等，根据题意作出适当的辅助线是解题的关键 21(1)证明过程见详解；(2)证明过程见详解，ABCD的面积【分析】（1）先证明ME是三角形ABN的中位线，推出DEFB，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可（2）先通过平行四边形的性质和等量代换证出点F是

30、CD的中点，故FH是DMC的中位线，再证明AMGMNH，所以MH=AG，等量代换得MC=MH+HC=2=2AG如下图，过点P作PR/BF，交AB的延长线于点R，过点C作CQBF，交AB的延长线于点Q，延长AP交CQ于点L，连接EF，从已知条件，判断图形中一定有一个直角三角形，由平行线的性质，逐步推出，b=；再带入上式可得是直角三角形，所以ANB=90，故AME=90，ABCD的面积就是4(1)解：AM=MN，点M是AN的中点，又点E是AB的中点，EM是的中位线，MEBN，即DEFB，在ABCD中，ABCD，即DFEB，四边形EBFD是平行四边形(2)证明：四边形EBFD是平行四边形，FHDM，

31、EB=DF，E是AB的中点，EB=AB，四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，故EB=CD，DF=CD，即F是CD的中点，故FH是DMC的中位线，MH=HC，AG/MC，GAM=HMN，DE/BF，GMA=HNM，在AMG和MNH中，AMGMNH(ASA)，MH=AG，MH=HC，MC=MH+HC=2=2AG解：过点P作PRBF，交AB的延长线于点R，过点C作CQBF，交AB的延长线于点Q，延长AP交CQ于点L，连接EF，如下图所示DCAB，CQBF，四边形FBQC是平行四边形，四边形BQLN是梯形，BF=a，BF=CQ=DE=a，P是BC的中点，PR既是BQC的中位线，又是梯形BQLN的中

32、位线，R是BQ的中点，P是NL的中点，且PR=CQ=a，四边形EBFD是平行四边形，E是AB的中点，M是AN的中点，AM=MN，同理：MN=NL，设BR=m，NP=n， 则NL=2n，AE=EB=2m，AM=MN=2n，AB=4m，AP=5n，AP=b，b=5n，故n=b，根据平行线分线段成比例定理，得，BN=，即，又，AN=，AP=b，AN=，即b=，由，化简，得AB2=BN2+AN2，ANB=90，故AME=90，=a2n，=a2，=ab，AE=EB=DF=FC，AB/DC，=，S平行四边形ABCD=4，=4ab，=【点拨】此题考查了平行四边形的性质、中位线定理、平行线的性质以及勾股定理，

33、解题的关键是熟练运用以上知识正确作出辅助线，通过数形结合解决此题22(1)见分析(2)13【分析】（1）根据得到，2ACE，1E，根据12，得到ACEE，AEAC，得到；（2）根据AD平分BAC，AB=11，AC=15得到，得到，根据E是BC的中点，得到，根据EFAD，得到，CF=13(1)证明：证明的剩余部分，2ACE，1E，12，ACEE，AEAC，即(2)解：AD平分BAC，AB=11，AC=15,，E是BC的中点，EFAD，CF=13【点拨】本题考查了角平分线性质的证明和应用，解决问题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，线段的和差倍分关系23(1)1；见分析(2)【分析】（1）将点

34、A的坐标代入可得出答案；过点B作BDOP交x轴交于点D，延长AM交BD于点N，证明OAMOBD（ASA），得出OMOD；证明，则可得出结论；（2）取点E，连接BE，过点A作AHBE于H，过点M作PMBE于P，求出AH的长，则可得出答案解：(1)在的图象上，；过点作交轴交于点，延长交于点，由题意，可知，；，即；(2)如图，取点，连接，过点作于，过点作于，在中，在中，（当且仅当，三点共线时取等号，此时，点、重合），的最小值【点拨】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行线分线段成比例定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题

35、的关键24(1)(2)见分析(3)(4)或或或3【分析】（1）根据题意列出代数式即可；（2）根据等边对等角，平行线的性质，等角对等边证明等腰三角形即可；（3）根据全等三角形的性质可得，列出一元一次方程解方程求解即可；（4）分四种情形，当点C在DQ的垂直平分线上时，连接CD，过点D作DTBC于T，过点作于点，连接，当点A在DQ的垂直平分线上时，当点C在PD的垂直平分线上时，当点B在PD的垂直平分线上时，分别求解即可解：(1)(2)是等腰三角形(3)即解得(4)当在的垂直平分线上时，连接，过点作于点，过点作于点，连接，如图，中，为的中点，为的中点，即解得当点在的垂直平分线上时，如图，此时，此时当在的垂直平分线上时，如图，此时当点在的垂直平分线上时，此时综上所述，满足条件的的值为或或或3【点拨】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，分类讨论是解题的关键