专题28 圆的方程及直线、圆的位置关系（学生版）.docx

1、专题28 圆的方程及直线、圆的位置关系（核心考点精讲精练） 1. 近几年真题考点分布圆锥曲线近几年考情考题示例考点分析关联考点2023年全国乙（文科），第11题,5分直线与圆的位置关系，参数方程2023年全国乙（文科），第13题,5分根据抛物线上的点求标准方程，抛物线的定义2023年全国乙（理科），第3题,5分2023年全国乙（文科），第3题,5分通过三视图求几何体的表面积2023年全国乙（理科），第5题,5分2023年全国乙（文科），第7题,5分根据标准方程确定圆的圆心和半径几何概型2023年全国乙（理科），第11题,5分2023年全国乙（文科），第12题,5分直线与双曲线的位置关系，求线段

2、的中点坐标2023年全国乙（理科），第12题,5分直线与圆的位置关系向量的数量积2023年全国乙（理科），第20题,12分2023年全国乙（文科），第21题,12分1、根据离心率求椭圆方程；2、椭圆中的定点问题；2023年全国甲（文科），第7题,5分椭圆中焦点三角形的面积问题2023年全国甲（理科），第8题,5分2023年全国甲（文科），第9题,5分双曲线的渐近线、离心率、圆的中点弦2023年全国甲（理科），第12题,5分椭圆的定义、焦点三角形2023年全国甲（理科），第20题,12分2023年全国甲（文科），第20题,12分1、根据直线与抛物线相交所得弦长求抛物线方程；2、抛物线中的三角形面

3、积问题2. 命题规律及备考策略【命题规律】1.本节内容为高考常考内容，常考选填题； 2.考查圆的方程，判断圆心与半径；3.考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系； 4.考查与圆相关的最值问题【备考策略】1.理解确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.3.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系,能根据给定两个圆的方程判断两个圆的位置关系.4.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.5.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.【命题预测】1.考查圆的方程，判断圆心与半径；2.考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系； 3.考

4、查与圆相关的最值问题知识讲解一、圆的定义和圆的方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程圆心:,半径:一般方程, 即x+D22+y+E22=D2+E2-4F4(D2+E2-4F0)圆心:,半径:1.几种特殊位置的圆的方程标准方程的设法一般方程的设法圆心在原点过原点圆心在轴上圆心在轴上与轴相切与轴相切2.以为直径端点的圆的方程为.二、点与圆的位置关系点 与圆的位置关系:1.若点在圆外,则 ;2.若点在圆上,则 ;3.若点在圆内,则 .求圆的方程的两种方法(1)几何法:根据圆的几何性质,直接求出圆心的坐标和半径,进而写出方程.(2)待定系数法:若已知条件与圆心和半径有关,则设圆的

5、标准方程,求出的值;选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于的方程组,进而求出的值.求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.定义法:根据圆与直线的定义列出方程.几何法:利用圆的几何性质列出方程.相关点代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题,充分体现了数形结合以及转化的数学思想,其中以下几类转化较为常见:(1)形如的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如的最值问题,可转化为两点间距离的平方的最值问题.求解形如(其

6、中均为动点)且与圆有关的折线段的最值问题的基本思路:(1)“动化定”,把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离;(2)“曲化直”,即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决. 利用已知或隐含的不等关系,先构建以待求量为元的不等式,再借助基本不等式求最值.三、判断直线与圆的位置关系常用的两种方法1.三种位置关系: 、 、 .2.两种研究方法(1)0 相交,=0 相切,0 相离.(2)dr相离.四、 圆与圆的位置关系设圆,圆.位置关系几何法:圆心距与的关系代数法:两圆方程联立组成方程组的解的情况外离 外切 相交 内切 内含 1.与圆的切线有关的结论(1)过圆上一点的切线方程为;(

7、2)过圆上一点的切线方程为;(3)过圆外一点作圆的两条切线,切点分别为,则过两点的直线方程为.2.直线被圆截得的弦长弦心距,弦长的一半及圆的半径构成一直角三角形,且有.3.两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆,圆.若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线的方程由-得到,即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.4.常用的圆系方程(1)圆心为定点的同心圆系方程为,其中为定值,是参数.(2)半径为定值的圆系方程为,其中为参数,是定值.(3)过圆与直线的交点的圆系方程为.(4)过圆与圆交点的圆系方程为,此圆系中不含圆.判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法:利用与的关系.(2

8、)代数法:联立方程之后利用判断.(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系适用于动直线问题.圆的切线方程的求法(1)几何法:设切线方程为,利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离,然后令,进而求出.(2)代数法:设切线方程为,与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令其根的判别式,进而求得.注意:若点在圆上(即为切点),则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条(若通过上述方法只求出一个,则说明另一条切线的斜率一定不存在,此时另一条切线的方程为).求解圆的弦长的3种方法1.几何法:根据半

9、径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形,求解.2.公式法:根据公式求解.3.距离法:联立直线与圆的方程,解方程组求出两交点的坐标,用两点间距离公式求解.几何法判断圆与圆的位置的步骤(1)确定两圆的圆心坐标和半径长.(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距和,的值.(3)比较,的大小,写出结论.若两圆相交,则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去项得到.同时与两个圆相切的直线称为两圆的公切线.当两圆的位置关系不同时,公切线的条数也不同.具体情况如下表:位置关系切线条数外离4外切3相交2内切1内含0考点一、圆的标准方程与一般方程1圆关于直线对称的圆的方程是（）ABCD2与圆同圆心，且过点

10、的圆的方程是（）ABCD3（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 1若圆与圆C关于直线对称，则圆C的方程为（）ABCD2若方程表示一个圆，则m的取值范围是（）ABCD3（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）过四点中的三点的一个圆的方程为 考点二、与圆有关的轨迹问题1若圆与圆关于直线对称，且过点C（a，a）的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（）ABCD2（2023年河北省模拟数学试题）点A是圆上的一个动点，点，当点A在圆上运动时，线段的中点P的轨迹方程为 .3已知圆C1：（x3）2y21和圆C2：（x3）2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则

11、动圆圆心M的轨迹方程为 .4（2023-2024学年湖北省模拟考试数学试题）已知圆O的直径，动点M满足，则点M的轨迹与圆O的相交弦长为（）ABCD1（2023年广东省模拟数学试题）点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（）ABCD2已知两条直线，有一动圆（圆心和半径都在变动）与都相交，并且被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为（）ABCD3（2023年山东省模拟数学试题）两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹长为（）ABCD4已知点是圆上的定点，点是圆内一点，、为圆上的动点(1)求线段AP的中点的轨迹方程(2)若，求线段中点的轨迹方程考点三、

12、与圆有关的最值问题1若x，y满足，则的最小值是（）A5BCD无法确定2（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）已知M：，直线：，为上的动点，过点作M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（）ABCD3（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A1B2C3D44（2018年全国卷理数高考试题）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）ABCD5若圆）与圆交于A、B两点，则tanANB的最大值为（）ABCD1已知点是圆上的动点，则的最大值为（）ABC6D52已知圆的方程为，点在直线上，线段为圆的直

13、径，则的最小值为（ ）A2BC3D3（2021年北京市高考数学试题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则（ ）ABCD4已知边长为2的等边三角形，是平面内一点，且满足，则三角形面积的最小值是（）ABCD5已知圆：与圆：相外切，则的最大值为（）A2BCD4考点四、直线与圆的位置关系1（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（）Ay=2x+1By=2x+Cy=x+1Dy=x+2若直线 与圆相交于两点， 且(其中为原点)， 则的值为（）A或BC或D3（2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题）已知抛物线上三

14、点，直线是圆的两条切线，则直线的方程为（）ABCD4若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（）A B C D1已知直线经过点，且与圆相切，则的方程为（）ABCD2设为实数，若直线与圆相交于M，N两点，且，则（）A3B-1C3或-1D-3或13（2023届广东省二模数学试题）若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（）AB0C2D0或24已知直线l：与圆C：交于A，B两点，O为坐标原点，则的最小值为（）ABCD考点五、圆与圆的位置关系1已知两圆分别为圆和圆，这两圆的位置关系是（）A相离B相交C内切D外切2设圆，圆，则圆，的公切线有（）A1条B2条C3条D4条3已知圆，则这两圆的公共弦长

15、为（）A4BC2D11（2023届广西阶段性联合检测数学（文）试题）圆与圆的位置关系为（）A相交B内切C外切D相离2已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于（）A14B34C14或45D34或143已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为（）ABCD4设与相交于两点，则 考点六、圆在情景中的应用1古希腊数学家阿波罗尼斯（约前262前190年）的著作圆锥曲线论是古代光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，圆上有且仅有一个点P满足，则r的取值为（）A1B5C1或5D不存在219世纪法国著名数学

16、家加斯帕尔蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.若圆上有且只有一个点在椭圆的蒙日圆上，则的值为（）ABCD1古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262公元前190年)的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k0且k1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O(0，0)，A(3，0)，动点P(x，y)满，则动点P轨迹与圆的位置关系是（）A相交B相离C内切D外切2

17、19世纪法国著名数学家加斯帕尔蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则b的值为（）ABCD【基础过关】1已知圆的圆心在直线x2y30上，且过点A(2，3)，B(2，5)，则圆的一般方程为 .2（2023年四川省模拟数学试题）自引圆的割线ABC，则弦中点P的轨迹方程 .3过点作圆的切线，则切线方程为（）ABCD或4（2022年北京市高考数学试题）若直线是圆的一条对称轴，则（）ABC1D5圆的

18、圆心和半径分别是（）A，B，C，D，6已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（）ABCD7若实数满足，则的最大值是（）ABCD8已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（）AB2C4D9（2020年北京市高考数学试题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（）A4B5C6D710（2023届广东省调研数学试题）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（）AB9C4D811直线分别与x轴，y轴交于两点，点在圆，则面积的取值范围是（）ABCD12（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的

19、距离为（）ABCD13已知直线与圆交于两个不同点，则当弦最短时，圆与圆的位置关系是（）A内切B相离C外切D相交14古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262公元前190年）的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆已知 ，圆上有且仅有一个点 P满足，则r的取值可以为（ ）A1B2C3D4【能力提升】1求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程（）ABCD2已知直线与圆相交于两点，当变化时，的面积的最大值为（）ABCD3已知为正方体表面上的一动点，且满足，则动点运动轨迹的周长为 . 4（2024届

20、河北省调研监测数学试题）过圆：上一点作圆：的两切线，切点分别为，设两切线的夹角为，当取最小值时， .5（2023届湖北省调研数学试题）若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则 .6直线被圆O；截得的弦长最短，则实数m= .7已知抛物线，圆，直线与交于A、B两点，与交于M、N两点，若，则()ABCD8已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（）A外离B相交C内切D外切9已知过点的动直线l与圆C：交于A，B两点，过A，B分别作C的切线，两切线交于点N若动点，则的最小值为（）A6B7C8D910古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262公元前190年）的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，著

21、作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（）ABCD11已知：，直线：，为直线上的动点，过点作的切线，切点为，当四边形的面积取最小值时，直线AB的方程为 12（2022年全国新高考I卷数学试题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 13平面上两点A、B，则所有满足且k不等于1的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知圆上的动点P满足：其中O为坐标原点，A点的坐标为.(1)直线上任取一点Q，作圆的切线，切点分别为M，N，求四边形面积的最小值；(2)在（1）的条件

22、下，证明：直线MN恒过一定点并写出该定点坐标.【真题感知】1（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（）ABCD2（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（）ABCD3（2023年新课标全国卷数学真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（）A1BCD4（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数满足，则的最大值是（）AB4CD75（2023年新课标全国卷数学真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 6（2022年全国新高考II卷数学试题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 7（2022年高考天津卷数学真题）若直线与圆相交所得的弦长为，则 8（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 9（2020年浙江省高考数学试题）设直线与圆和圆均相切，则 ；b= 10（2020年天津市高考数学试题）已知直线和圆相交于两点若，则的值为