专题29 椭圆及其性质（教师版）.docx

1、专题 29 椭圆及其性质（核心考点精讲精练）1.近几年真题考点分布圆锥曲线近几年考情考题示例考点分析关联考点2023 年全国乙（文科），第 11 题,5 分直线与圆的位置关系，参数方程2023 年全国乙（文科），第 13 题,5 分根据抛物线上的点求标准方程，抛物线的定义2023 年全国乙（理科），第 3 题,5 分2023 年全国乙（文科），第 3 题,5 分通过三视图求几何体的表面积2023 年全国乙（理科），第 5 题,5 分2023 年全国乙（文科），第 7 题,5 分根据标准方程确定圆的圆心和半径几何概型2023 年全国乙（理科），第 11 题,5 分2023 年全国乙（文科），第

2、12 题,5 分直线与双曲线的位置关系，求线段的中点坐标2023 年全国乙（理科），第 12 题,5 分直线与圆的位置关系向量的数量积2023 年全国乙（理科），第 20 题,12 分2023 年全国乙（文科），第 21 题,12 分1、根据离心率求椭圆方程；2、椭圆中的定点问题；2023 年全国甲（文科），第 7 题,5 分椭圆中焦点三角形的面积问题2023 年全国甲（理科），第 8 题,5 分2023 年全国甲（文科），第 9 题,5 分双曲线的渐近线、离心率、圆的中点弦2023 年全国甲（理科），第 12 题,5 分椭圆的定义、焦点三角形2023 年全国甲（理科），第 20 题,12 分

3、2023 年全国甲（文科），第 20 题,12 分1、根据直线与抛物线相交所得弦长求抛物线方程；2、抛物线中的三角形面积问题2.命题规律及备考策略【命题规律】1.对椭圆定义的考查，多以选择题或填空题的形式出现，主要考查椭圆的标准方程以及简单几何性质的应用，也有可能与函数的性质综合起来命题.2.对椭圆几何性质的考查，常常会结合圆锥曲线统一定义，通过给定直线与椭圆的位置关系，求相关的距离、交点坐标等，还可能考查椭圆的离心率等.【备考策略】1.了解椭圆产生的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.3.理解并掌握椭圆的标准方程以及简

4、单几何性质，包括定义、范围、对称性等；4.掌握圆锥曲线的统一定义，理解离心率等概念，并学会应用；5.掌握直线与椭圆的位置关系问题的解题的解题方法，理解并掌握常用的解题技巧；【命题预测】1.基础知识考查：这类题目主要考查学生对椭圆的基本性质和特征的掌握，如椭圆的定义、长轴和短轴、离心率等；2.解题方法考查：这类题目主要考查学生解决椭圆问题的解题方法和技巧，如椭圆与直线的位置关系、椭圆中的最值问题等；3.应用能力考查：这类题目主要考查学生运用椭圆的知识解决实际问题的能力，如利用椭圆解决工程问题、利用椭圆的性质解决物理中的力学问题；知识讲解一、椭圆的定义 平面内到两个定点21,FF的距离之和等于常数

5、 a2 (大于|21,FF|)的点的集合叫作 椭圆,这两个定点21,FF叫作椭圆的 焦点,焦点21,FF间的距离叫作椭圆的 焦距.(1)数学表达式为/)/2(2/2121FFaaPFPF.(2)在椭圆的定义中,特别要注意条件/221FFa,否则轨迹不是椭圆.当/221FFa 时,动点的轨迹是线段21,FF;当/221FFa 时,动点的轨迹是不存在的.二、椭圆的标准方程和几何性质 标准 方程)0(12222babyax)0(12222babxay 图形 性质 范围；axabyb;bxbaya 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 顶点 坐标),0,(),0,(21aAaA ),0(),0(21

6、bBbB),0(),0(21aAaA，)0(),0(21，bBbB 轴 长轴21AA的长为 2a;短轴21BB的长为 2b 焦距/,/21 FF 2c 离心率)1,0(ace cba,的关系 a2=b2+c2 1.点和椭圆的位置关系的判断:(1)点),(00 yxP在椭圆内1220220byax;(2)点),(00 yxP在椭圆上1220220byax;(3)点),(00 yxP在椭圆外1220220byax.2.与椭圆的焦点三角形相关的结论(含焦半径公式)椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形的问题常利用椭圆的定义、正弦定理和余弦定理.在以椭圆)0(12222bab

7、yax上一点)0)(,(000yyxP和焦点)0,(),0,(21cFcF 为顶点的21FPF中,若21PFF,则(1)0201/,/exaPFexaPF(焦半径公式,e 为椭圆的离心率),aPFPF2/21;(2)cos/2/42122212PFPFPFPFc;(3)2tan/sin/21202121bycPFPFSFPF,当by/0,即 P 为短轴端点时,21FPFS取得最大值,最大值为bc;(4)焦点三角形的周长为)(2ca.3.常用二级结论(1)过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦abAB22/,称为通径.(2)AB 为椭圆)0(12222babyax的弦,),(),(2211yxByxA

8、,弦中点为),(00 yxM.斜率:0202yaxbk.弦 AB 的斜率与弦中点 M 和椭圆中心O 的连线的斜率之积为定值22ab.(3)在椭圆12222 byax上一点),(00 yx处的切线方程为12020 byyaxx.椭圆的定义及应用(1)椭圆定义的应用主要有判断平面内动点的轨迹是否为椭圆,求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常将椭圆的定义和余弦定理结合使用,求解关于焦点三角形的周长和面积问题.根据条件求椭圆方程的主要方法(1)定义法:根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.(2)待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆中的ba,.当不知焦点在哪一个坐标轴上时

9、,一般可设所求椭圆的方程为)0,0,0(122mnmnymx,不必考虑焦点位置,用待定系数法求出nm,的值即可.求椭圆离心率的关键是借助图形建立关于cba,的关系式(等式或不等式),转化为关于e 的关系式,常用方法如下:(1)直接求出ca,利用离心率公式 e=求解;(2)由a 与b 的关系求离心率,利用变形公式 e=1 22求解;(3)构造ca,的齐次式,离心率e 的求解中可以不求出ca,的具体值,而是得出a 与c 的关系,从而求得e.利用椭圆的几何性质求值或范围的思路(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析,即使画不出图形,思考时也要联想到一个图形.(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及

10、一些不等式.例如,10,ebybaxa,在求椭圆相关量的范围时,要注意应用这些不等关系.(3)最值问题:列出关于所求值的表达式,构造基本不等式或利用函数单调性求解.直线与椭圆位置关系的判定方法:将直线与椭圆方程联立,消去 y(或 x)后得到关于 x(或 y)的一元二次方程,设其根的判别式为 ,0直线与椭圆相交;0直线与椭圆相切;0直线与椭圆相离.解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路 弦长的求解方法(1)当弦的两端点的坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.(2)当直线的斜率存在时,斜率为 k 的直线l 与椭圆相交于),(),(2211yxByxA两个不同的点,则弦长公式的常见形式有如下两种:/

11、1/212xxkAB 2122124)1(xxxxk;/11/212yykAB)0(4)()11(212212kyyyyk.考点一、椭圆的定义及应用 1已知椭圆 C：2212516xy 的左右焦点分别为 F1、F2，过左焦点 F1，作直线交椭圆 C 于 A、B 两点，则三角形 ABF2的周长为（）A10 B15 C20 D25【答案】C【分析】根据椭圆的定义求解即可【详解】由题意椭圆的长轴为22 2510a，由椭圆定义知11222,2AFF Ba AFBFa 2221122420ABFlABAFBFAFFBAFBFa 2椭圆 C：2214924xy 的焦点为1F，2F，点 P 在椭圆上，若18

12、PF ，则12PF F的面积为（）A48 B40 C28 D24【答案】D【分析】根据给定条件结合椭圆定义求出2|PF，再判断12PF F形状计算作答.【详解】椭圆 C：2214924xy 的半焦距5c，长半轴长7a，由椭圆定义得21|2|6PFaPF，而12|10F F，且2221212|FFPFPF，则有12PF F是直角三角形，1 2121|242PF FSPFPF，所以12PF F的面积为 24.3若椭圆22113xykk的焦点在 y 轴上，则实数 k 的取值范围是.【答案】(1,2)【分析】由椭圆的标准方程的特征列方程组求解可得.【详解】因为椭圆22113xykk的焦点在 y 轴上，

13、所以313010kkkk ，解得12k，即实数 k 的取值范围为(1,2).1（2023 届百校大联考数学试题（新高考）椭圆222133xyaa 的左、右焦点分别为1F，2F，A 为上顶点，若12AF F的面积为3，则12AF F的周长为（）A8 B7 C6 D5【答案】C【分析】设椭圆的半焦距为 c，由条件利用c 表示12AF F的面积，由条件列方程求 c，再由,a b c 关系求 a，根据椭圆定义求12AFAF，由此可求12AF F的周长.【详解】设椭圆222133xyaa 的半短轴长为b，半焦距为c，则3b，12AF F的面积12132SF Fbc 由题知 33c，所以1c ，222ab

14、c，由椭圆的定义知12AFAF 24a，又1222F Fc，所以12AF F的周长为426.2已知1F、2F 是椭圆22:143xyC 的两个焦点，P 是椭圆上一点，1260FPF，则12PF F的面积是（）A3 B2 C 433 D3 【答案】D【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理可求得12PFPF的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】由椭圆22:143xyC 的方程可得24a，23b ，1c ，则1224PFPFa，因为1260FPF，则2221212122cos60PFPFPFPFF F，即221212123PFPFPFPFF F，即121634PFPF，解得124PFPF，因此

15、，1 2123311sin604222PF FSPF PF.3椭圆22110064xy 的焦点为1F，2F，椭圆上的点 P 满足1260F PF，则点 P 到 x 轴的距离为（）A 64 33 B 91 33 C 32 39 D 643 【答案】C【分析】利用椭圆的定义以及余弦定理，可以解得12PFPF，一方面1 2121sin602PF FSPFPF，另一方面设点 P 到 x 轴的距离为d，则1 21212PF FSF Fd，所以121sin602 PFPF1212F Fd，即可求解【详解】易得226cab 设11PFr，22PFr，则 1220rr 在12PF F中，由余弦定理得22212

16、1 222cos60crrrr，即222121 2121 21 214434003rrrrrrrrrr，则 1 22563rr，所以1 21 211256364 3sin 6022323PF FSrr 设点 P 到 x 轴的距离为d，则1 212162PF FSF Fdd，故64 363d，解得32 39d 考点二、椭圆的标准方程1已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，若长轴长为 18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是（）A281x 272y 1 B281x 29y 1 C281x 245y 1 D281x 236y 1【答案】A【分析】根据条件，求得,a b c，进而可得

17、椭圆的标准方程【详解】由题意，长轴218,9aa，长轴三等分后26,3cc，故22281 972bac，则该椭圆的标准方程是281x 272y 1 2（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）已知椭圆 C 的焦点为121,01,0FF()，()，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点.若222AFF B，1ABBF，则 C 的方程为 A2212xy B22132xy C22143xy D22154xy 【答案】B【分析】由已知可设2F Bn，则212,3AFn BFABn，得12AFn，在1AFB中求得11cos3F AB，再在12AF F中，由余弦定理得32n，从而可求解.【详解

18、】法一：如图，由已知可设2F Bn，则212,3AFn BFABn，由椭圆的定义有121224,22aBFBFnAFaAFn在1AF B中，由余弦定理推论得22214991cos2 233nnnF ABnn在12AF F中，由余弦定理得221442 2243nnnn，解得32n 222242 3,3,3 12,anabac 所求椭圆方程为22132xy，故选 B 法二：由已知可设2F Bn，则212,3AFn BFABn，由椭圆的定义有121224,22aBFBFnAFaAFn在12AF F和12BF F中，由余弦定理得22212221442 22 cos4,422 cos9nnAF Fnnn

19、BF Fn ，又2121,AF FBF F互补，2121coscos0AF FBF F，两式消去2121coscosAF FBF F,，得223611nn，解得32n 222242 3,3,3 12,anabac 所求椭圆方程为22132xy 【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养 3（2022 年全国高考甲卷数学（文）试题）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为 13，12,A A 分别为 C的左、右顶点，B 为 C 的上顶点若121BA BA ，则 C 的方程为（）A2211816xy B22198

20、xy+=C22132xy D2212xy 【答案】B【分析】根据离心率及12=1BA BA，解得关于22,a b 的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率22113cbeaa，解得2289ba，2289ba，12,A A 分别为 C 的左右顶点，则12,0,0AaAa，B 为上顶点，所以(0,)Bb.所以12(,),(,)BAab BAab，因为121BA BA 所以221 ab，将2289ba 代入，解得229,8ab，故椭圆的方程为22198xy+=.1（2014 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（大纲卷）已知椭圆 C：22221(0)xyabab的左右焦点为 F1,F2 离心

21、率为33，过 F2 的直线 l 交 C 与 A,B 两点，若 AF1B 的周长为4 3，则 C 的方程为（）A22132xy B2213xy C221128xy D221124xy 【答案】A【详解】若 AF1B 的周长为 43,由椭圆的定义可知44 3a,3a,33cea,1c ,22b，所以方程为22132xy.考点：椭圆方程及性质 2已知椭圆2222:10 xyEabab的右焦点 F 与抛物线212yx的焦点重合，过点 F 的直线交 E 于 A、B 两点，若 AB 的中点坐标为()1,1-，则 E 的方程为（）A2214536xy B2213627xy C2212718xy D22118

22、9xy 【答案】D【分析】利用点差法可求得222ab，再由3c 可得出2a、2b 的值，即可得出椭圆的标准方程.【详解】解：设 11,A x y、22,B xy，若 ABx轴，则 A、B 关于 x 轴对称，不合乎题意，将 A、B 的坐标代入椭圆方程得22112222222211xyabxyab，两式相减得22221212220 xxyyab，可得12121222120 xxyyyyaxxb，因为线段 AB 的中点坐标为()1,1-，所以，122xx，122yy ，因为抛物线212yx的焦点为3,0，所以3,0F，又直线 AB 过点3,0F，因此12121 011 32AByykxx，所以，22

23、21202ab，整理得222ab，又223cab，解得218a，29b，因此，椭圆 E 的方程为221189xy.3已知椭圆 C：222210 xyabab的长轴长为 4，若点 P 是椭圆 C 上任意一点，过原点的直线 l 与椭圆相交于 M、N 两点，记直线 PM、PN 的斜率分别为,PMPNKK，当14PMPNKK 时，则椭圆方程为（）A221164xy B22142xy C2214yx D2214xy 【答案】D【分析】设 00,P xy，则22220044ybb x，设直线 l 方程为 ykx，11,M x kx，11,Nxkx，由14PMPNKK 得2222010441ykxx，联立可

24、得22222101441bkxbx，由点 P 的任意性知210b ，即可求得椭圆方程.【详解】由长轴长为 4 得24a，解得2a，设00,P xy，直线 l 方程为 ykx，11,M x kx，11,Nxkx，则0101PMykxKxx，0101PNykxKxx，由14PMPNKK 得，0101010114ykxykxxxxx，即22201220114yk xxx，所以2222010441ykxx，又 P 在椭圆上，所以2200214xyb，即22220044ybb x，代入式得222222010441bb xkxx，即22222101441bkxbx，因为点 P 为椭圆上任意一点，所以该式恒

25、成立与0 x 无关，所以210b ，解得1b ，所以所求椭圆方程为2214xy 【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题 考点三、椭圆的几何性质1若椭圆221259xy 与椭圆2219,0259xykkkk，则两椭圆必定（）A有相等的长轴长 B有相等的焦距 C有相等的短轴长 D长轴长与焦距之比相等【答案】B【分析】分别求出椭圆221259xy 与椭圆221(09)259xykkk的长轴长、短轴长、焦距、焦点

26、坐标和离心率，由此能求出结果【详解】解：椭圆221259xy，可知5a，3b，4c，长轴长是 10，短轴长是 6；焦距是 8；焦点坐标是(4,0)；离心率是：45 椭圆2219,0259xykkkk中，125ak，19bk，14c，长轴长是 2 25k，短轴长是 2 9k；焦距是 8；焦点坐标是(4,0)；离心率是425k 椭圆221259xy 与椭圆2219,0259xykkkk关系为有相等的焦距 2已知椭圆2222:1(0)xyCabab，其左右焦点分别为12,F F，其离心率为12e，点 P 为该椭圆上一点，且满足123F PF，已知12F PF的内切圆的面积为3，则该椭圆的长轴长为（）

27、A2 B4 C6 D12【答案】D【分析】根据椭圆的离心率公式，再利用焦点三角的面积相等及椭圆长轴长即可求解.【详解】由12e，得12ca，即2ac.设12F PF的内切圆的半径为 r，则 因为12F PF的内切圆的面积为3，所以23r，解得3r （负舍），在12F PF中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知 122121tan2222F PFFSbracPF，即2333 bac，由222abc，联立，得3,6,3 3cab，所以该椭圆的长轴长为22 612a .3（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）设12FF，为椭圆22:+13620 xyC 的两个焦点，M 为C 上一

28、点且在第一象限.若12MF F为等腰三角形，则 M 的坐标为.【答案】3,15 【分析】根据椭圆的定义分别求出12MFMF、，设出 M 的坐标，结合三角形面积可求出 M 的坐标.【详解】由已知可得2222236,20,16,4abcabc，又 M 为C 上一点且在第一象限,12MF F为等腰三角形，11228MFF Fc24MF 设点 M 的坐标为0000,0,0 xyxy，则1 21200142MF FSF Fyy，又1 222014824 15,44 152MF FSy，解得015y，2201513620 x，解得03x （03x 舍去），M的坐标为3,15 【点睛】本题考查椭圆标准方程及

29、其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养 1（2023 年湖南省模拟数学试题）曲线221259xy 与曲线221925xykk（9k 且0k）的（）A长轴长相等 B短轴长相等 C焦距相等 D离心率相等【答案】C【分析】分析可知两曲线都表示椭圆，求出两椭圆的长轴长、短轴长、焦距以及离心率，可得出合适的选项.【详解】曲线221259xy 表示焦点在 x 轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为 45，焦距为8的椭圆 曲线221925xykk（9k 且0k）表示焦点在 y 轴上，长轴长为 2 25k，短轴长为 2 9k，焦距为 22598kk，离心率为

30、425k的椭圆 2（全国 1 卷）2021 届高三 5 月卫冕联考数学（文科）试题）已知椭圆C：2214xymm的离心率为33，则椭圆C 的长轴长为（）A2 3 B4 C4 3 D8【答案】C【分析】根据条件先计算出 c 的值，再根据离心率求解出m 的值，最后根据长轴长为24m 计算出长轴长.【详解】由题意知244cmm，所以2c，又因为2334m，所以8m，所以椭圆C 的长轴长为244 3m.3椭圆 C：222118xyb 的上、下顶点分别为 A，C，如图，点 B 在椭圆上，平面四边形 ABCD 满足90BADBCD，且2ABCADCSS，则该椭圆的短轴长为 【答案】6【分析】先由90BAD

31、BCD 判断出,A B C D 四点共圆，再由题设求出圆心，表示出圆的方程，将 B 点代入椭圆及圆，即可求出b，即可求得短轴长.【详解】由题意得(0,),(0,)Ab Cb，设1122(,),(,)B x yD x y，由90BADBCD 可得,A B C D 在以 BD为直径的圆上，又原点O 为圆上弦 AC 的中点，所以圆心在 AC 的垂直平分线上，即在 x 轴上，则120yy，又2ABCADCSS可得122xx，故圆心坐标为1,04x，所以圆的方程为22221119416xxyxy，将0,b 代入可得2221112bxy，又22112118xyb，解得29b，则3b，故短轴长为26b.考点

32、四、椭圆的离心率 1已知12,F F 是椭圆2222C:1(0)xyabab的两个焦点，P 为C 上一点，且1260FPF，213PFPF，则C 的离心率为（）A22 B216 C74 D 23 【答案】C【分析】根据椭圆的定义以及焦点三角形中的余弦定理即可建立齐次式求解.【详解】在椭圆2222:1(0)xyCabab中，由椭圆的定义可得122PFPFa，因为213PFPF，所以213,22aaPFPF，在12PF F中，122F Fc，由余弦定理得222121212122cosF FPFPFPF PFF PF，即222229374,4444aaaac 所以227,16ca 所以C 的离心率7

33、4cea.2（2018 年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷 II）已知1F，2F 是椭圆22221(0)xyCabab：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为36的直线上，12PF F为等腰三角形，12120F F P，则C 的离心率为（）A23 B 12 C 13 D 14 【答案】D【详解】分析：先根据条件得 PF2=2c,再利用正弦定理得 a,c 关系，即得离心率.详解：因为12PF F为等腰三角形，12120F F P，所以 PF2=F1F2=2c,由 AP 斜率为36得，2223112tan,sincos61313PAFPAFPAF，由正弦定理得2222

34、sinsinPFPAFAFAPF,所以2112211313=4,5431211sin()3221313cac eacPAF.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,a b c 的方程或不等式，再根据,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3已知椭圆 C：22221xyab（0ab）的左右顶点分别为1A，2A，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bxayab相交，则椭圆 C 的离心率的取值范围为（）A60,3 B6,13 C2,13 D20,3.【答案】B【分

35、析】由题设以线段12A A 为直径的圆为222xya，根据直线与圆相交，利用点线距离公式列不等式求椭圆 C 的离心率的范围.【详解】由题设，以线段12A A 为直径的圆为222xya，与直线20bxayab相交，所以222abaab，可得222233()baca，即223e，又01e，所以613e.1如图，已知1F，2F 分别是椭圆的左、右焦点，现以2F 为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点 M，N 若过点1F 的直线1MF 是圆2F 的切线，则椭圆的离心率为（）A 3 1 B23 C22 D32【答案】A【分析】由切线的性质，可得2MFc，13MFc，再结合椭圆定义122MFMFa

36、，即得解【详解】因为过点1F 的直线1MF 圆2F 的切线，2MFc，122F Fc，所以13MFc 由椭圆定义可得1232MFMFcca，可得椭圆的离心率23 113cea 2（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷 II）已知1F，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PFPF，且2160PF F，则C 的离心率为（）A312 B23 C312 D 3 1 【答案】D【详解】分析：设2|PFm，则根据平面几何知识可求121,F FPF，再结合椭圆定义可求离心率.详解：在12F PF中，122190,60FPFPF F 设2|PFm，则1212|2,|3cF F

37、m PFm，又由椭圆定义可知122|(31)aPFPFm 则离心率22312(31)ccmeaam.点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.3已知椭圆222210 xyabab上存在点 P，使得213PFPF，其中1F，2F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A10,4 B 1,14 C 1,12 D 1,12【答案】D【分析】先由椭圆的定义结合已知求得12,PFP

38、F，再由1212PFPFF F求得,a c 的不等关系，即可求得离心率的取值范围.【详解】由椭圆的定义得122PFPFa，又213PFPF，132PFa，212PFa，而12122PFPFF Fc，当且仅当点 P 在椭圆右顶点时等号成立，即 31222aac，即2ac，则12cea，即 112e 考点五、与椭圆有关的最值问题 1已知椭圆221167xy 的右焦点为,F A是椭圆上一点，点0,4M，则 AMF 的周长最大值为（）A14 B16 C18 D20【答案】C【分析】设椭圆的左焦点为 F，由题可知5MFMF，28AFAFa，利用 AMAFMF，即可得出【详解】如图所示设椭圆的左焦点为 F

39、，则(3,0),(3,0)FF 22435MFMF，则8AFAF，AMAFMF，APF的周长858518AFAMMFAMMFAF ，当且仅当三点 M，F，A 共线时取等号 APF的周长最大值等于 18 2已知椭圆22:40C xym m的两个焦点分别为12,F F，点 P 是椭圆上一点，若12PF PF的最小值为 1，则12PF PF的最大值为（）A4 B2 C 14 D 12 【答案】D【分析】设00(,)P xy，求出焦点坐标，利用向量的坐标运算得出12PF PF，再根据椭圆的范围利用二次函数求最值即可得解.【详解】设00(,)P xy，由22:40C xym m可知13(,0)2mF，2

40、3(,0)2mF，1003(,)2mPFxy，0023(,)2mPFxy，22222012000033311(4)44442xmmPF PFxyxmxm ，0mxm，00 x时，12PF PF的最小值为112 m ，解得2m.当0 xm 时，12PF PF的最大值为 312 142 .3已知 F 是椭圆226428xy=1 的左焦点，P 为椭圆上的动点，椭圆内部一点 M 的坐标是（3，4），则|PM|+|PF|的最大值是（）A10 B11 C13 D21【答案】D【分析】利用椭圆的定义转化为 P 到 M 和到另一焦点的距离的差的最大值来解决.【详解】解：如图，由椭圆226428xy=1，得22

41、64,28,ab 2264286,cab 得6,0F，则椭圆右焦点为6,0F，则216PMPFPMaPFPMPF 221616364016521MF.当 P 与射线 MF与椭圆的交点0P 重合时取到等号,PMPF的最大值为 21.4若 P 为椭圆22125252xy 上的一点，1F，2F 分别是椭圆的左、右焦点，则12F PF的最大值为（）A30 B45 C60 D90【答案】D【分析】易知当点 P 为椭圆与 y 轴的交点时12F PF取最大值，再根据椭圆方程求出a、c，最后根据勾股定理逆定理计算可得.【详解】解：易知当点 P 为椭圆与 y 轴的交点时，12F PF最大，因为椭圆方程为2212

42、5252xy，所以5a、22255 22522cab，此时125PFPF，1225 2FFc，所以2221212PFPFF F，所以12F PF为等腰直角三角形，所以1290F PF 5已知点 P 在椭圆22193xy 上运动，点Q 在圆225(1)8xy上运动，则 PQ 的最小值为（）A2 B102 C1024 D104【答案】D【分析】先求出点 P 到圆心(1,0)A的距离的最小值，然后减去圆的半径可得答案【详解】设点(,)P x y，则22193xy，得2233xy，圆225(1)8xy的圆心(1,0)A，半径为104，则22222(1)21 33xAPxyxx 2224,3,33 xx

43、x，令22()24,3,33h xxxx，对称轴为32x，所以当32x 时，()h x 取得最小值2323352423222h，所以 AP 的最小值为102，所以 PQ 的最小值为 101010244.1（2021 年全国新高考卷数学试题）已知1F，2F 是椭圆C：22194xy 的两个焦点，点 M 在C 上，则12MFMF的最大值为（）A13 B12 C9 D6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MFMFa，借助基本不等式212122MFMFMFMF 即可得到答案【详解】由题，229,4ab，则1226MFMFa，所以2121292MFMFMFMF（当且仅当123MFMF时，等

44、号成立）2在椭圆2214xy 上有两个动点,P Q，1,0E为定点，EPEQ，则 EP QP的最小值为（）A 13 B 12 C 23 D1【答案】C【分析】由题意得22EQEEP QPEPEPEPEPQEP，然后转化为椭圆上的点 P 到点1,0E的距离的问题处理，根据二次函数的最值可得所求【详解】解：由题意得22EQEEP QPEPEPEPEPQEP 设椭圆上一点,P x y，则1,xEPy，2222223421114433EPxxyxx，又 22x，当43x 时，2EP取得最小值23 3在棱长为2 的正四面体 ABCD中，点 P 为 ABC 所在平面内一动点，且满足4 33PAPB，则 P

45、D的最大值为（）A3 B 2 103 C393 D2 【答案】B【分析】由题意可知，点 P 在 ABC 所在平面内的轨迹为椭圆，且该椭圆的焦点为 A、B，长轴长为 4 33，然后以线段 AB 的中点O 为坐标原点，直线 AB 所在直线为 x 轴，以 CO所在直线为 y 轴建立空间直角坐标系，求出椭圆的方程，利用二次函数的基本性质可求得 PD的最大值.【详解】如图所示，在平面 ABC 内，4 323PAPB，所以点 P 在平面 ABC 内的轨迹为椭圆，取 AB 的中点为点O，连接 CO，以直线 AB 为 x 轴，直线OC 为 y 建立如下图所示的空间直角坐标系Oxyz，则椭圆的半焦距1c ，长半

46、轴2 33a，该椭圆的短半轴为2233bac，所以，椭圆方程为2233104 xyz.点 D 在底面的投影设为点 E，则点 E 为 ABC 的中心，1133333OEOC，故点 E 正好为椭圆短轴的一个端点，22 333CEOC，则222 63DECDCE，因为222PDDEEP，故只需计算 EP的最大值.设,0P x y，则30,03E，则222222342 312 3543333333EPxyyyyyy，当333,933y 时，2EP 取最大值，即22max32 33516393939EP ，因此可得2241640999PD，故 PD的最大值为 2 103.【点睛】关键点点睛：本题考查线段

47、长度最值的求解，根据椭圆的定义得知点 P 的轨迹是椭圆，并结合二次函数的基本性质求解 EP的最大值是解题的关键，在求解时也要注意椭圆有界性的应用.4已知 F 是椭圆22xCy12：的左焦点，P 为椭圆 C 上任意一点，点Q 4,3，则 PQPF的最大值为（）A5 2 B3 2 C 34 D4 2 【答案】A【分析】由题意，设椭圆 C 的右焦点为F 1,0，由已知条件推导出 PQPFPQ2 2PF，利用 Q，F，P 共线，可得 PQPF取最大值【详解】由题意，点 F 为椭圆22xCy12：的左焦点，F1,0，点 P 为椭圆 C 上任意一点，点 Q 的坐标为4,3，设椭圆 C 的右焦点为F 1,0

48、，PQPFPQ2 2PF2 2PQPF，PQPFQF3 2，PQPF5 2，即最大值为 52，此时 Q，F，P 共线 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、定义及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程、定义和简单的几何性质，合理应用是解答的关键，着重考查了转化思想以及推理与运算能力 5已知12,F F 是椭圆22143xy 的左，右焦点，点 A 是椭圆上的一个动点，则12AF F的内切圆的半径的最大值是（）A1 B 12 C 13 D33【答案】D【分析】利用椭圆的定义即可求解.【详解】设12AF F的内切圆的半径为 r，由22143xy，则2a，3b，221cab 所以1224

49、AFAFa，1222F Fc，由12121211112222AF F rAF rAF rF Fy，即121211222Ar F FAFAFy，即3Ary，若12AF F的内切圆的半径最大，即Ay最大，又33Ay，所以 max33r.考点六、直线与椭圆的位置关系 1（2023 年山东省联考数学试题）已知椭圆22:163xyC，直线3:13l yx 交C 于,M N 两点，点 0,3P，则 PMN 的周长为【答案】4 6 【分析】由题知12PF F为等边三角形，直线l 过点1F，且倾斜角为30，进而得直线3:13l yx 为边2PF的中垂线，再根据椭圆的定义求解即可.【详解】解：由题知2226,3

50、,3abc，所以椭圆22:163xyC 的焦点坐标为123,0,3,0FF 所以，由0,3P得12122 3PFPFFF，所以，12PF F为等边三角形，且1260PF F 因为，当0y 时，解方程3013 x 得3x ，所以，直线3:13l yx 过点1F，且倾斜角为30，即1230MFFo，所以，直线3:13l yx 为12PF F为等边三角形中角12PF F的角平分线，所以，直线3:13l yx 为边2PF 的中垂线，所以22,MPMFNPNF，因为1212112,MFMFNFNFa NFMFMN 所以，PMN 的周长为22121244 6PMPNMNMFNFMNMFMFNFNFa.2（

51、2022 年北京市高考数学试题）已知椭圆2222:1(0)xyEabab的一个顶点为(0,1)A，焦距为2 3 (1)求椭圆 E 的方程；(2)过点(2,1)P 作斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 B，C，直线 AB，AC 分别与 x 轴交于点 M，N，当|2MN 时，求 k 的值【答案】(1)2214xy (2)4k 【分析】（1）依题意可得222122 3bccab，即可求出a，从而求出椭圆方程；（2）首先表示出直线方程，设11,B x y、22,C x y，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线 AB、AC 的方程，表示出Mx、Nx，根据NMMNxx得到方程，解得即可；

52、【详解】（1）解：依题意可得1b ，22 3c，又222cab，所以2a，所以椭圆方程为2214xy；（2）解：依题意过点2,1P 的直线为12yk x，设11,B x y、22,C x y，不妨令1222xx，由221214yk xxy ，消去 y 整理得22221416816160kxkk xkk，所以22221684 1 416160kkkkk，解得0k，所以21221681 4kkxxk，212216161 4kkx xk，直线 AB 的方程为1111yyxx，令0y，解得111Mxxy，直线 AC 的方程为2211yyxx，令0y，解得221Nxxy，所以212111NMxxMNxx

53、yy 2121121121xxk xk x 212122xxk xk x 2121212222xxxxk xx 12212222xxk xx，所以122122xxk xx，即 212122 121424xxx xkx xxx 即2222222221681616161616842414141414kkkkkkkkkkkkk 即222222222821 416162 1684 1 41 41 4kkkkkkkkkkkkk 整理得84kk，解得4k 3（2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 1 卷）已知椭圆 C：2222=1xyab（ab0），四点 P1（1,1），P2（0,1）

54、，P3（1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆 C 上.（）求 C 的方程；（）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l 过定点.【答案】(1)2214xy.(2)证明见解析.【详解】试题分析：（1）根据3P，4P 两点关于 y 轴对称，由椭圆的对称性可知 C 经过3P，4P 两点.另外由222211134abab知，C 不经过点 P1，所以点 P2 在 C 上.因此234,P P P 在椭圆上，代入其标准方程，即可求出 C 的方程；（2）先设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2，再设直线 l

55、的方程，当 l与 x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设 l：ykxm（1m ），将 y kx m代入2214xy，写出判别式，利用根与系数的关系表示出 x1+x2，x1x2，进而表示出12kk，根据121kk 列出等式表示出 k 和 m 的关系，从而判断出直线恒过定点.试题解析：（1）由于3P，4P 两点关于 y 轴对称，故由题设知 C 经过3P，4P 两点.又由222211134abab知，C 不经过点 P1，所以点 P2 在 C 上.因此222111314bab，解得2241ab.故 C 的方程为2214xy.（2）设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2，如果 l 与

56、x 轴垂直，设 l：x=t，由题设知0t，且2t，可得 A，B 的坐标分别为（t，242t），（t，242t）.则22124242122ttkktt ，得2t，不符合题设.从而可设 l：ykxm（1m ）.将 ykxm代入2214xy 得 222418440kxkmxm 由题设可知22=16 410km.设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2=2841kmk，x1x2=224441mk.而12121211yykkxx 121211kxmkxmxx 12121221kx xmxxx x.由题设121kk ，故12122110kx xmxx.即22244821104141mkmkm

57、kk.解得12mk.当且仅当1m 时，0，欲使 l：12myxm，即1122myx ，所以 l 过定点（2，1）点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.1（2021 年北京市高考数学试题）已知椭圆2222:1(0)xyEabab一个顶点(0,2)A，以椭圆 E 的四个顶点为顶点的四边形面积为4

58、5 （1）求椭圆 E 的方程；（2）过点 P(0，-3)的直线 l 斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 B，C，直线 AB，AC 分别与直线交3y 交于点 M，N，当|PM|+|PN|15 时，求 k 的取值范围【答案】（1）22154xy；（2）3,1)(1,3 【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求,a b，从而可求椭圆的标准方程.（2）设 1122,B x yC x y，求出直线,AB AC 的方程后可得,M N 的横坐标，从而可得 PMPN，联立直线 BC 的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简 PMPN，从而可求k 的范围，注意判别式的要求.【详解】（

59、1）因为椭圆过 0,2A，故2b，因为四个顶点围成的四边形的面积为4 5，故 1224 52ab，即5a，故椭圆的标准方程为：22154xy.（2）设 1122,B x yC xy，因为直线 BC 的斜率存在，故120 x x，故直线112:2yAB yxx，令=3y，则112Mxxy，同理222Nxxy.直线:3BC ykx，由2234520ykxxy可得224530250kxkx，故22900100 450kk，解得1k 或1k .又1212223025,4545kxxx xkk，故120 x x，所以0MNx x 又1212=22MNxxPMPNxxyy 2212121222212121

60、222503024545=5253011114545kkkx xxxxxkkkkkkxkxk x xk xxkk 故515k 即3k ，综上，31k 或13k.2（2022 年高考天津卷数学真题）椭圆222210 xyabab的右焦点为 F、右顶点为 A，上顶点为 B，且满足32BFAB (1)求椭圆的离心率 e；(2)直线 l 与椭圆有唯一公共点 M，与 y 轴相交于 N（N 异于 M）记 O 为坐标原点，若OMON，且 OMN的面积为3，求椭圆的标准方程【答案】(1)63e;(2)22162xy;【分析】（1）根据已知条件可得出关于 a、b 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）

61、由（1）可知椭圆的方程为2223xya，设直线l 的方程为 ykxm，将直线l 的方程与椭圆方程联立，由0可得出22231 3mak，求出点 M 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得2a 的值，即可得出椭圆的方程.【详解】（1）解：2222222222234332BFbcaabaabABbaba，离心率为22263cabeaa.（2）解：由（1）可知椭圆的方程为2223xya，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为 ykxm，联立2223ykxmxya得22221 3630kxkmxma，由22222222364 1 33031 3k mkmamak，2331Mkmxk ，21

62、3MMmykxmk，由OMON 可得222229131mkmk，由3OMNS可得231321 3kmmk，联立可得213k，24m，26a，故椭圆的标准方程为22162xy 3（2021 年天津高考数学试题）已知椭圆222210 xyabab的右焦点为 F，上顶点为 B，离心率为 2 55，且5BF （1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点 M，与 y 轴的正半轴交于点 N，过 N 与 BF 垂直的直线交 x 轴于点 P 若/MP BF，求直线l 的方程【答案】（1）2215xy；（2）60 xy.【分析】（1）求出 a 的值，结合c 的值可得出b 的值，进而可得出椭圆的方程；（

63、2）设点00,Mxy，分析出直线l 的方程为0015x xy y，求出点 P 的坐标，根据/MP BF 可得出MPBFkk，求出0 x、0y 的值，即可得出直线l 的方程.【详解】（1）易知点,0F c、0,Bb，故225BFcba，因为椭圆的离心率为2 55cea，故2c，221bac，因此，椭圆的方程为2215xy；（2）设点00,Mxy为椭圆2215xy 上一点，先证明直线 MN 的方程为0015x xy y，联立00221515x xy yxy，消去 y 并整理得220020 xx xx，2200440 xx，因此，椭圆2215xy 在点00,Mxy处的切线方程为0015x xy y.

64、在直线 MN 的方程中，令0 x，可得01yy，由题意可知00y，即点010,Ny，直线 BF 的斜率为12BFbkc ，所以，直线 PN 的方程为012yxy，在直线 PN 的方程中，令0y，可得012xy，即点01,02Py，因为/MP BF，则MPBFkk，即20000002112122yyx yxy，整理可得20050 xy，所以，005xy，因为222000615xyy，00y，故066y，05 66x ，所以，直线l 的方程为66166xy，即60 xy.【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为 ykxm与椭圆方程联立，由0 进行求解；

65、（2）椭圆22221xyab 在其上一点00,xy的切线方程为00221x xy yab，再应用此方程时，首先应证明直线00221x xy yab 与椭圆22221xyab 相切.考点七、椭圆的实际应用 1（2023 届江苏省调研测试数学试题）2022 年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面1S，近地点（长轴端点中离地面最近的点）距地面2S，地球的半径为 R，则该椭圆的短轴长为（）A12S S B122 S S C 12SRS

66、R D122SRSR【答案】D【分析】根据椭圆的远地点和近地点的距离可得12,acSR acSR，进而可求得2b，求得 b，可得答案.【详解】由题意得2221212,acSR acSRbacSRSR，故1212,22bSRSRbSRSR.2（2023 届河北省调研数学试题）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆22221xyab（0ab）的右焦点为(3,0)F，过 F 作直线 l 交椭圆于 A、B 两点，若弦 AB 中点坐标为(2,1)，则椭圆的面积为（）A36 2 B18 2 C9 2 D6 2 【答案】

67、C【分析】利用作差法构建斜率、中点坐标相关方程2121221212yyxxbxxyya，再结合22cab即可求解出 a、b，进而求出面积.【详解】设 11,A x y，22,B xy，则有22112222222211xyabxyab，两式作差得：2222121222xxyyab，即2121221212yyxxbkxxyya，弦 AB 中点坐标为(2,1)，则2212221221xxbbkyyaa ，又0(1)132k，22211ba，222ab，又223cab，可解得3 2a，3b，故椭圆的面积为9 2ab.3阿基米德在他的著作关于圆锥体和球体中计算了一个椭圆的面积当我们垂直地缩小一个圆时，我

68、们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率 与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的面积为6 2，两个焦点分别为12,F F，点 P 为椭圆 C 的上顶点直线 ykx与椭圆 C 交于 A，B 两点，若,PA PB 的斜率之积为89，则椭圆 C 的长轴长为（）A3 B6 C2 2 D4 2 【答案】B【分析】由题意得到方程组6 2ab 和2289ba，即可解出 a、b，求出长轴长.【详解】椭圆的面积6 2Sab，即6 2ab.因为点 P 为椭圆 C 的上顶点，所以 0,Pb.因为直线 ykx与椭圆 C 交于 A，B 两点，不妨设,A m n，则,Bm n且22221

69、mnab，所以22222a nmab.因为,PA PB 的斜率之积为89，所以89nbnbmm ，把22222a nmab代入整理化简得：2289ba 联立解得：3,2 2ab.所以椭圆 C 的长轴长为 2a=6.419 世纪法国著名数学家加斯帕尔蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.若圆2229xyb上有且只有一个点在椭圆2213xy 的蒙日圆上，则b 的值为（）A 1 B 5 C21 D 2 5【答案】C【分析】根据题意

70、得椭圆2213xy 的蒙日圆方程为224xy，进而得该圆与已知圆相切，再根据圆的位置关系求解即可.【详解】解：根据题意，椭圆2213xy 的蒙日圆方程为224xy，因为圆2229xyb上有且只有一个点在椭圆2213xy 的蒙日圆上，所以该圆与已知圆相切，又两圆圆心间距离为24b，所以245b或241b（无解，舍去），解得21b 5古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了它们的光学性质比如椭圆，他发现如果把椭圆焦点 F 一侧做成镜面，并在 F 处放置光源，那么经过椭圆镜面反射的光线全部都会经过另一个焦点设椭圆方程2212221(0),xyabF Fab为其左、右焦点，若从右焦点2F 发出的

71、光线经椭圆上的点 A 和点 B 反射后，满足390,tan4BADABC，则该椭圆的离心率为 【答案】22/122【分析】根据光学性质，在1ABF 中由椭圆的定义可求出a，再由直角三角形求出c，计算离心率即可.【详解】由椭圆的光学性质可知，,BC AD 都经过1F，且在1ABF 中190BAF，13tan4ABF，如图，所以11|3,|4,|5AFk ABk BFk|，由椭圆的定义可知3454kkka，即3ak，又12|2AFAFa，可得2|633AFkkk，在12Rt AF F 中，2221212|AFAFFF，所以12|23 2F Fck，所以23 22262ckeak.1如图，一个装有某

72、种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点 M，N 到容器底部的距离分别是 12 和 18，则容器内液体的体积是（）A15 B36 C45 D48 【答案】C【分析】根据条件通过作垂线，求得底面圆的半径，将液体的体积看作等于一个底面半径为3，高为(12 18)的圆柱体积的一半，即可求解答案.【详解】如图为圆柱的轴截面图，过 M 作容器壁的垂线，垂足为 F,因为 MN 平行于地面，故30MNF ，椭圆长轴上的顶点 M，N 到容器底部的距离分别是 12 和 18，故18 126NF ,在 RtMFN中，tan302 3MFNF ，即圆柱的底

73、面半径为3 ，所以容器内液体的体积等于一个底面半径为3，高为(12 18)的圆柱体积的一半，即为21(3)30452.2黄金分割起源于公元前 6 世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前 4 世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，公元前 300 年前后欧几里得撰写几何原本时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为512，把512 称为黄金分割数.已知焦点在 x轴上的椭圆222151xym 的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数，则实数m 的值为（）A2

74、52 B 51 C2 D2 5 【答案】A【分析】根据题意确定222,(51)am b以及22(5 1)cm，再根据焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数列出等式，化简即可得答案.【详解】焦点在 x 轴上的椭圆222151xym 中，222,(51)am b，所以22(5 1)cm，由题意得 25122ca，即22251()2ca，即22(51)51()2mm，解得2 52m.3椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点.电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点2F 处，灯丝与反射镜的顶点 A 的距离21

75、.5cmF A，过焦点2F 且垂直于轴的弦5.4cmBC，在 x 轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（）cm.A10 B11 C12 D13【答案】C【分析】根据题设及椭圆参数关系有22221.525.4acbaabc求出椭圆参数，利用椭圆的性质知片门放在光线最强处应离灯丝 2c.【详解】由题设知：22221.525.4acbaabc，解得7.54.56abc ，所以片门放在光线最强处，片门应离灯丝为212c.【基础过关】1已知12,F F 分别为椭圆221169xy 的左，右焦点，A 为上顶点，则12AF F 的面积为（）A6 B15 C6 7 D3 7 【答案】D【分析

76、】根据椭圆方程求出焦点坐标和点 A 的坐标，进而求出三角形的面积.【详解】由椭圆方程221169xy 得 12127,00,3,7,0,2 7AFFF F.1 212112 733 722AF FASF Fy.2已知1F，2F 是椭圆2222:10 xyCabab的两个焦点，P 为椭圆 C 上一点，且1223F PF，若12PF F的面积为9 3，则b （）A9 B3 C4 D8【答案】B【分析】由椭圆定义与余弦定理，三角形面积公式求解【详解】法一：设1PFm，2PFn，则2mna，2222222cos 3cmnmnmnmn，24bmn 又 12sin9 323mn，2329 32b，解得3b

77、 法二：由焦点三角形面积公式得122tantan9 3323F PFSbbb 3（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标 I 卷）已知椭圆C：2221(0)4xyaa 的一个焦点为(2 0)，则C 的离心率为（）A 13 B 12 C22 D 2 23【答案】C【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为2 0，从而求得2c，再根据题中所给的方程中系数，可以得到24b ，利用椭圆中对应,a b c 的关系，求得2 2a，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知2c，因为24b ，所以2228abc，即2 2a，所以椭圆C 的离心率为2222 2e.点睛：

78、该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中,a b c 的关系求得结果.4（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标 3 卷）（2017 新课标全国卷文科）已知椭圆 C：22221(0)xyabab的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线20bxayab相切，则 C 的离心率为（）A63 B33 C23 D 13 【答案】A【详解】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点0,0，半径为ra，圆的方程为222xya，直线20bxayab 与圆相切，所以圆心到直线

79、的距离等于半径，即222abdaab，整理可得223ab=，即2223,aac即2223ac，从而22223cea，则椭圆的离心率2633cea，【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于,a b c 的方程或不等式，再根据,a b c 的关系消掉b 得到,a c的关系式，而建立关于,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.5已知椭圆 M：22211xyaa 的中心为O，过焦点 F 的直线l 与 M 交于 A，B 两点，线段 AF 的中点为P，若32OPPF，则椭圆 M 的方程为（）A2212xy B2213xy C

80、2214xy D2215xy 【答案】B【分析】设(,)A m n，2(1,0)Fa，利用中点坐标公式得到21(,)22manP，再利用32OPPF得到m、n、a 的方程组即可求解.【详解】设(,)A m n，2(1,0)Fa，则21(,)22manP，因为32OPPF，所以3AF，所以22222222213134441manmanmna，即22222222213131manmanmna，解得0m，21n ，23a ，所以椭圆 M 的方程为2213xy.6（2023 届浙江省名校联盟联考数学试题）已知点 4,0A、0,4B，直线25:4l x，动点 P 到点 A 的距离和它到直线l 的距离之比

81、为4:5，则 PB 的最大值是（）A 41 B 7 C5 2 D2 13 【答案】C【分析】设点,P x y，由题意可求出点 P 的轨迹方程，再利用平面内两点间的距离公式和二次函数的基本性质可求得 PB 的最大值.【详解】设点,P x y，由题意可得22442554xyx，整理可得221259xy，则2225259xy，其中 33y，所以，22222251642581684199PBxyyyyyy，所以，当94y 时，PB 取最大值，即max5 2PB.7已知O 为坐标原点，F 是椭圆2222:10 xyCabab的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点P 为C 上一点，且 PFx轴直线 A

82、P 与 y 轴交于点 E，若直线 BP经过OE 的中点，则C 的离心率为（）A 13 B 12 C 23 D 34 【答案】A【分析】由题意，根据椭圆的标准方程，写出顶点与焦点坐标，由垂直，求得点 P 的坐标，写出直线 AP，进而求出 E 的坐标，根据中点坐标公式，结合斜率公式，可得答案.【详解】由22221xyab，则,0,0AaB a，由22cab，则,0Fc，将 xc 代入方程C，则22221cyab，2bya，不妨设2,bPc a，直线 AP 的斜率222APbbakcaaac，则直线方程为222bbyxaacac，令=0 x，则2byac，即20,bEac，故OE 的中点为20,2b

83、ac，由直线 BP过OE 的中点，则 222bbacaaca，即222bba caa ca，22caca ，3ca，13cea.8已知1F，2F 是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点 P，使1290F PF，则椭圆的离心率的取值范围是 .【答案】2,12【分析】根据椭圆的性质，只需保证 P 为椭圆上下顶点时1290F PF即可，应用余弦定理列不等式，结合椭圆离心率范围求离心率取值范围.【详解】由椭圆性质知：当 P 为椭圆上下顶点时12F PF最大，所以椭圆上存在点 P 使1290F PF，只需12F PF最大的情况下，有222221241 2o02c saceaF PF，又椭圆离心率01e，故2

84、12e.故答案为：2,12 9（2023 年浙江省名校协作体模拟考试数学试题）已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)xyCabab的左右焦点，过1F 的直线与C 交于,P Q 两点，若12125PFPFFQ，则C 的离心率是（）A35 B34 C54 D53【答案】D【分析】由已知，画出图像，根据12125PFPFFQ，可令1FQt，然后表示出1PF，2PF，然后利用椭圆定义找到t 与 a 之间的关系，然后用 a 分别表示出 PQ、1QF、2QF，在2PQF 中，利用勾股定理判定22QPF，然后在12PF F中，可表示出c 与 a 之间的关系，从而求解离心率.【详解】由已知，可根据条件

85、做出下图：因为12125PFPFFQ，令1FQt，所以15PFt，252PFt，由椭圆的定义可知125152522PFPFattt，所以415ta，所以143PFa，223PFa，1415FQa，11442431515PQPFFaaaQ，由椭圆的定义可知12226215QFQFaQFa，在2PQF 中，22222QFQPPF，所以22QPF,在12PF F中，122F Fc，所以2112222F FF PPF 所以222221645549993ccaaceaa.所以C 的离心率是53.10已知 F 是椭圆22:143xyC 的左焦点，P 为椭圆 C 上任意一点，点 Q 坐标为(1,1)，则|P

86、QPF的最大值为（）A3 B5 C 41 D13【答案】B【分析】由22PQPFPQaPFQFa，结合图形即得.【详解】因为椭圆22:143xyC，所以2,3,1abc，1,0F，则椭圆的右焦点为1,0F，由椭圆的定义得：225PQPFPQaPFQFa，当点 P 在点 P处，取等号，所以 PQPF的最大值为 5.11已知点 P 是椭圆221129xy 上的任意一点，过点 P 作圆C：2211xy 的切线，设其中一个切点为 M，则 PM 的取值范围为（）A3,4 B3,15 C15,4 D3,2 3 【答案】B【分析】设,P x y，得到222PMPCMC213153 y，利用椭圆的范围求解.【

87、详解】解：设,P x y，则2222211PMPCMCxy，22112119yy，213153 y，因为 33y，所以2315PM，即 315PM.12已知 F 是椭圆22:115xyC m 的右焦点，点3 52,2A在C 上，直线 AF 与 y 轴交于点 B，点 P 为 C 上的动点，则 PA PB的最小值为（）A 514 B154 C 134 D 154【答案】C【分析】由题可得椭圆22:11615xyC，进而可得20,3 5B，利用向量数量积的坐标表示可得 PA PB200204542xyx，再结合条件及二次函数的性质即求.【详解】由题可得223 522115m，16m，即椭圆22:11

88、615xyC，1,0F，直线 AF 方程为3 512yx，20,3 5B，又3 52,2A，设00,Pxy，则220011615xy，00002,3 53 522,PAxPByyx，00003 53 5222yyPA PBxx 200204542xyx 2020015215 16454xxx 2049111664x，又044x，当04x 时，PA PB有最小值为 134.13已知点 P 是椭圆2216448xy 上异于顶点的动点，1F、2F 为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若 M 是12F PF平分线上的一点，且10F M MP，则 OM 的取值范围是（）A0,2 B0,3 C0,4 D

89、2,2 3 【答案】C【分析】延长2PF、1F M 相交于点 N，连接OM，利用椭圆的定义分析得出1212OMPFPF，设点00,Pxy，求出0 x 的取值范围，利用椭圆的方程计算得出012OMx，由此可得出结果.【详解】如下图，延长2PF、1F M 相交于点 N，连接OM，因为10F M MP，则1F MMP，因为 PM 为12F PF的角平分线，所以，1PNPF，则点 M 为1F N 的中点，因为O 为12F F 的中点，所以，2212111222OMF NPNPFPFPF，设点00,Pxy，由已知可得8a，4 3b，224cab，则088x 且00 x，且有22003484yx，2222

90、210000000003111481648864884422PFxyxxxxxxx，故21011682PFPFx，所以，120110,422OMPFPFx.14我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图假设“嫦娥四号”在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为 e，设月球的半径为 R，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为 r，则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（）A(1)11e reRee B(1)211e reRee C(1)11e reRee D(1)211e reRee【答案】B【分析】设卫星近地

91、点远地点离月球表面的距离分别为,r n，根据椭圆的性质以及离心率得出“嫦娥四号”到月球表面最远的距离.【详解】椭圆的离心率(0,1)cea，设卫星近地点远地点离月球表面的距离分别为,r n 则,11rR erRnacR racRacee ()121111rRrR eeenacRRrReeee 15已知椭圆2222:1(0)xyCabab过点31,2A，且离心率 e为 12 (1)求椭圆C 的方程；(2)E、F 是椭圆上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值.【答案】(1)22143xy；(2)证明见解析，12.【分析】（1）根

92、据椭圆离心率的公式，结合代入法、椭圆中,a b c 的关系进行求解即可；（2）设出直线方程与椭圆方程联立，求出 E、F 两点坐标，最后根据直线斜率的公式进行求解即可.【详解】（1）根据题意，22222914112abceaabc，解得2,3,1abc，椭圆C 的方程为：22143xy；（2）证明：设直线 AE 的方程为：312yk x，由22312143yk xxy，得2223442341230kxkkxkk，显然1是该方程的根，因此有22224123412313434xxkkkkEEkk，2222412312129,342 34kkkkEkk，由题可知直线 AF 的方程为312yk x，同理

93、可得2222412312129,342 34kkkkFkk，2222222212129121292 342 34121412341232423434EFkkkkkkkkkkkkkkk，直线 EF 的斜率为定值，且这个定值为 12.【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系求出两点坐标是解题的关键.16已知双曲线C 与椭圆22:11612xyE 有公共焦点，且它的一条渐近线方程为33yx.(1)求椭圆 E 的焦点坐标；(2)求双曲线C 的标准方程【答案】(1)(2 0)?；(2)2213xy.【分析】（1）由椭圆方程及其参数关系求出参数 c，即可得焦点坐标.（2）由渐近线及焦点坐标，可设双曲

94、线方程为223(0)xy，再由双曲线参数关系求出参数，即可得双曲线标准方程.【详解】（1）由题设，2216 122cab，又42 3ab，所以椭圆 E 的焦点坐标为(2 0)?.（2）由题设，令双曲线C 为223(0)xy，由（1）知：243c，可得3 ，所以双曲线C 的标准方程为2213xy.17已知椭圆C：22221xyab（0ab）的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为 12，长轴长为 4(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知直线l 的过定点1,04E ，若椭圆C 上存在两点 A，B 关于直线l 对称，求直线l 斜率k 的取值范围【答案】(1)22143xy；(2)2,2；【分析】（1）

95、由椭圆的离心率为12cea，长轴长为24a 求解；（2）设直线方程为：14yk x，1122,A x yA xy，AB 中点的坐标为00,xy，利用点差法求得中点坐标，再由线段 AB 的中点在椭圆内部，即2200143xy 求解.【详解】（1）解：因为椭圆的离心率为12cea，长轴长为24a，解得2,1ac，则23b ，所以椭圆C 的标准方程是22143xy；（2）易知直线的斜率存在，设直线方程为：14yk x，1122,A x yA xy，AB 中点的坐标为00,xy，则22112222143143xyxy，两式相减得 1212121234 xxxxyyyy，即0034kxy，又0014yk

96、 x，解得0031,4 kxy，因为线段 AB 的中点在椭圆内部，所以2200143xy，即2314143k，解得 2 b0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点 P 在椭圆 C 上，延长 PF2交椭圆 C 于点 Q，且|PF1|=|PQ|，若PF1F2的面积为233 b，则12|PQF F=（）A32 B 2 33 C3 D 4 33【答案】B【分析】利用焦点三角形的面积公式及椭圆的定义可得123F PF，进一步得F1PQ 为等边三角形，且PQx轴，从而可得解.【详解】由椭圆的定义，12|2PFPFa，由余弦定理有：2222212121212121224|4cos22PFPFPF PFcPFPF

97、cF PFPF PFPF PF 22212121212442|42|2|2|acPFPFbPFPFPFPFPFPF，化简整理得：212122|(cos1)bPFPFFPF，又1 2PF FS12121|sin2 PFPFF PF，由以上两式可得：1 221212221212212122sincossin22tancos122cos2PF FF PFF PFbbF PFF PFSbF PFF PF 由1 2212tan2PF FF PFSb，得22123tan32F PFbb，123F PF，又1PFPQ，所以F1PQ 为等边三角形，由椭圆对称性可知 PQx轴，所以1222 333PQF F.8

98、如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心 F 为圆心的圆形轨道上绕月球飞行，然后在 P 点处变轨进以 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月球飞行，最后在 Q 点处变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道绕月球飞行，设圆形轨道的半径为 R，圆形轨道的半径为 r，则下列结论中正确的序号为（）轨道的焦距为 Rr；若 R 不变，r 越大，轨道的短轴长越小；轨道的长轴长为 Rr；若 r 不变，R 越大，轨道的离心率越大 A B C D【答案】C【分析】根据椭圆中一个焦点与长轴两顶点的距离分别为,ac ac，分别结合圆的半径 R 和 r 分析选项即可求解.【详解】由椭圆的性质知，,acR acr

99、，解得2cRr，故正确；由知,22RrRrac，所以2222()()222244RrRrbacRr，若 R 不变，r 越大，2b 越大，轨道的短轴长越小错误；故错误；由知2aRr，故轨道的长轴长为 Rr，故正确；因为2221112RrcRrreRrRaRrRrr ，若 r 不变，R 越大，则21Rr 越小，所以 e越大，轨道的离心率越大，故正确.【点睛】关键点点睛：根据示意图，理解并找出椭圆中,a b c 与圆半径的关系，是解决问题的关键，属于中档题.9（2020 年新高考全国卷数学高考试题（山东）已知椭圆 C：22221(0)xyabab的离心率为22，且过点2,1A（1）求C 的方程：（2

100、）点 M，N 在C 上，且 AMAN，ADMN，D 为垂足证明：存在定点Q，使得 DQ 为定值【答案】（1）22163xy；（2）详见解析.【分析】（1）由题意得到关于,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.（2）方法一：设出点 M，N 的坐标，在斜率存在时设方程为 ykxm,联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,m k 的关系，进而得直线 MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置.【详解】（1）由题意可得：2222222411caababc，解得：2226,3abc，故椭圆方程为：22163xy.(2)方法一：通

101、性通法 设点1122,M x yN xy，若直线 MN 斜率存在时，设直线 MN 的方程为：ykxm，代入椭圆方程消去 y 并整理得：2221 24260kxkmxm，可得122412kmxxk ，2122261 2mx xk，因为 AMAN，所以0AM AN ，即 121222110 xxyy，根据1122,kxm ykxmy,代入整理可得：221 21212140 x xkmkxxkm，所以22222264121401 21 2mkmkkmkmkk，整理化简得231 210kmkm，因为(2,1)A不在直线 MN 上，所以 210km ，故 23101kmk，于是 MN 的方程为2133y

102、k x1k，所以直线过定点直线过定点21,33P.当直线 MN 的斜率不存在时，可得11,N xy，由0AM AN 得：111122110 xxyy，得1221210 xy，结合2211163xy 可得：2113840 xx，解得：123x 或22x（舍）.此时直线 MN 过点21,33P.令Q 为 AP 的中点，即4 1,3 3Q，若 D 与 P 不重合，则由题设知 AP 是 RtADP的斜边，故12 223DQAP，若 D 与 P 重合，则12DQAP，故存在点4 1,3 3Q，使得 DQ 为定值.方法二【最优解】：平移坐标系 将原坐标系平移，原来的 O 点平移至点 A 处，则在新的坐标系

103、下椭圆的方程为22(2)(1)163xy，设直线 MN 的方程为4mxny+=将直线 MN 方程与椭圆方程联立得224240 xxyy，即22()2()0 xmxny xymxny y，化简得22(2)()(1)0nymn xym x，即2(2)()(1)0yynmnmxx 设1122,M xyN xy，因为 AMAN则1212AMANyykkxx112mn，即3mn 代入直线 MN 方程中得()340n yxx则在新坐标系下直线 MN 过定点44,33，则在原坐标系下直线 MN 过定点21,33P 又 ADMN，D 在以 AP 为直径的圆上 AP 的中点 4 1,3 3 即为圆心 Q经检验，

104、直线 MN 垂直于 x 轴时也成立 故存在4 1,3 3Q，使得12 2|23DQAP 方法三：建立曲线系 A 点处的切线方程为 21163xy，即30 xy设直线 MA的方程为11210k xyk，直线 MB的方程为22210k xyk，直线 MN 的方程为0kxym由题意得121k k?-则过 A，M，N 三点的二次曲线系方程用椭圆及直线,MA MB 可表示为22112212121063xyk xykk xyk（其中 为系数）用直线 MN 及点 A 处的切线可表示为()(3)0kxymxy（其中 为系数）即22112212121()(3)63xyk xykk xykkxym xy 对比 x

105、y项、x 项及 y 项系数得 121212(1),4(3),21(3).kkkkkmkkkm 将代入，消去,并化简得3210mk，即2133mk 故直线 MN 的方程为2133yk x，直线 MN 过定点21,33P 又 ADMN，D 在以 AP 为直径的圆上 AP 中点 4 1,3 3 即为圆心 Q 经检验，直线 MN 垂直于 x 轴时也成立故存在4 1,3 3Q，使得12 2|23DQAP 方法四：设1122,M x yN xy 若直线 MN 的斜率不存在，则1111,M x yN xy 因为 AMAN，则0AM AN，即1221210 xy 由2211163xy，解得123x 或12x（

106、舍）所以直线 MN 的方程为23x 若直线 MN 的斜率存在，设直线 MN 的方程为 ykxm，则222122()61 20 xkxmkxxxx 令2x ，则1222(21)(21)221 2kmkmxxk 又221221262ymyyyyykk，令1y ，则122(21)(21)1112kmkmyyk 因为 AMAN，所以 12122211AM ANxxyy2(21)(231)1 2kmkmk0，即21mk 或2133mk 当21mk 时，直线 MN 的方程为21(2)1ykxkk x 所以直线 MN 恒过(2,1)A，不合题意；当2133mk 时，直线 MN 的方程为21213333ykx

107、kk x，所以直线 MN 恒过21,33P 综上，直线 MN 恒过21,33P，所以4 2|3AP 又因为 ADMN，即 ADAP，所以点 D 在以线段 AP 为直径的圆上运动 取线段 AP 的中点为4 1,3 3Q，则12 2|23DQAP 所以存在定点 Q，使得|DQ 为定值【整体点评】（2）方法一：设出直线 MN 方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点 P，再根据平面几何知识可知定点Q 即为 AP 的中点，该法也是本题的通性通法；方法二：通过坐标系平移，将原来的 O 点平移至点 A 处，设直线 MN 的方程为4mxny+=，再通过与椭圆方程联立，构建齐次式，由韦达定理求出,

108、m n的关系，从而可知直线过定点 P，从而可知定点Q 即为 AP 的中点，该法是本题的最优解；方法三：设直线:MNykxm，再利用过点,A M N 的曲线系，根据比较对应项系数可求出,m k 的关系，从而求出直线过定点 P，故可知定点Q 即为 AP 的中点；方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解1222xx以及1211yy的计算 10（2023 届浙江省教学质量检测（二模）数学试题）已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为32，左、右顶点分别为 A、B，点 P、Q 为椭圆上异于 A、B 的两点，PAB 面积的最大值为2 (1)求椭圆C 的方程；(2

109、)设直线 AP、BQ的斜率分别为1k、2k，且1235kk 求证：直线 PQ经过定点 设PQB和PQA的面积分别为1S、2S，求12SS的最大值【答案】(1)2214xy；(2)证明见解析；154；【分析】（1）根据题意可得出关于a、b、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆C 的方程；（2）分析可知直线 PQ不与 y 轴垂直，设直线 PQ的方程为 xtyn，可知2n ，设点 11,P x y、22,Q xy.将直线 PQ的方程的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，利用1253kk 求出n 的值，即可得出直线 PQ所过定点的坐标；写出12SS关于t 的函数关系式，利用对勾函数的单调性

110、可求得12SS的最大值.【详解】（1）解：当点 P 为椭圆C 短轴顶点时，PAB 的面积取最大值，且最大值为 112222AB babab，由题意可得222322caabcab，解得213abc ，所以，椭圆C 的标准方程为2214xy.（2）解：设点 11,P x y、22,Q xy.若直线 PQ的斜率为零，则点 P、Q 关于 y 轴对称，则12kk，不合乎题意.设直线 PQ的方程为 xtyn，由于直线 PQ不过椭圆C 的左、右焦点，则2n ，联立2244xtynxy可得2224240tytnyn，22222244441640t ntntn，可得224nt，由韦达定理可得12224tnyyt

111、，212244ny yt，则2121242nty yyyn，所以，212121121112221212122122422222422222nyynytynyty ynykyxnnkxytynyty ynyyynyn 1211222222522223nyynynnnnyynyn，解得12n ，即直线 PQ的方程为12xty，故直线 PQ过定点1,02M .由韦达定理可得1224tyyt，1221541y yt，所以，21212121211422SSAMBMyyyyy y 2222222221154154 4154124444151415415ttttttttt，20t，则241515t，因为函数

112、 1f xxx在15,上单调递增，故221116 15415151515415tt，所以，12415416 1515SS，当且仅当0t时，等号成立，因此，12SS的最大值为154.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点00,xy，常利用直线的点斜式方程00yyk xx或截距式 ykxb 来证明

113、.11（2019 年北京市高考数学试题（文科）已知椭圆2222:1xyC ab 的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A.（）求椭圆 C 的方程；（）设 O 为原点，直线:(1)l ykxt t 与椭圆 C 交于两个不同点 P，Q，直线 AP 与 x 轴交于点 M，直线 AQ 与 x 轴交于点 N，若|OM|ON|=2，求证：直线 l 经过定点.【答案】（）2212xy；（）见解析.【分析】()由题意确定 a,b 的值即可确定椭圆方程；()设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定 OM,ON 的表达式，结合韦达定理确定 t 的值即可证明直线恒过定点.【详解】（）因为椭圆的右焦点为(1,0)，

114、所以 1225；因为椭圆经过点(0,1)A,所以1b ，所以2222abc，故椭圆的方程为2212xy.（）设1122(,),(,)P x yQ xy 联立2212(1)xyykxt t得222(1 2)4220kxktxt，21212224220,1 21 2kttxxx xkk ，121222()21 2tyyk xxtk，222212121222()1 2tky yk x xkt xxtk.直线111:1yAP yxx，令0y 得111xxy，即111xOMy；同理可得221xONy.因为2OM ON,所以1212121212211()1xxx xyyy yyy；221121ttt，解之

115、得0t，所以直线方程为 ykx，所以直线l 恒过定点(0,0).【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题 12已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为22，短轴长为 4；(1)求 C 的方程；(2)过点 3,0P 作两条相互垂直的直线上 1l 和 2l，直线 1l 与 C 相交于两个不同点 A，B，在线段 AB 上取点 Q，满足AQAPQBPB，直线 2l 交 y 轴于点 R，求 PQR 面积的最小值【答案】

116、(1)22184xy；(2)1.【分析】（1）由题可得2224,12cbbeaa，即得；（2）由题可设 1l 的方程为3xty，利用韦达定理法可得213tPQt，进而可得23 1PRt，然后利用面积公式及基本不等式即求.【详解】（1）由题可得2224,12cbbeaa，2 2,2ab，椭圆 C 的方程为22184xy；（2）由题可知直线 1l 的斜率存在且不为 0，设直线 1l 的方程为3xty，112200,A x yB xyQ xy，由223184xtyxy，可得222610tyty，由22236423280ttt，可得12t，或21t ，12122261,22tyyy ytt，由AQAP

117、QBPB及,P A Q B四点共线，知011202yyyyyy，21201222212632y ytytyytt，则220113tPQtyt，1l 和 2l 相互垂直，则 2l 的方程为13xyt ，令0 x，得3yt，0,3Rt，221133 1PRttt，PQR 面积为2221111113 1122322ttSPQ PRttttt，当且仅当1tt，即112t 等号成立，所以 PQR 面积的最小值为 1.【真题感知】1（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）设 O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:196xyC 的两个焦点，点 P在 C 上，123cos5F PF，则|OP（）A135

118、 B302 C145 D352【答案】B【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出12PF F的面积，即可得到点 P 的坐标，从而得出 OP 的值；方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出221212,PF PFPFPF，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出2212PFPF，即可根据中线定理求出【详解】方法一：设122,02F PF，所以1 22212tantan2PF FF PFSbb，由22212222cossin1 tan3coscos2cos+sin1 tan5F PF，解得：1tan2，由椭圆方程可知，222229,6,3abcab，所以，1

119、2121112 36222PF FppSF Fyy，解得：23py ，即2399162px，因此22930322ppOPxy 方法二：因为1226PFPFa，222121212122PFPFPF PFF PFF F，即2212126125PFPFPF PF，联立，解得：22121215,212PF PFPFPF，而1212POPFPF，所以1212OPPOPFPF，即221211221113 1530221 2222522POPFPFPFPF PFPF 方法三：因为1226PFPFa，222121212122PFPFPF PFF PFF F，即2212126125PFPFPF PF，联立，解得

120、：221221PFPF，由中线定理可知，222212122242OPF FPFPF，易知122 3F F，解得：302OP 【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大 2（2023 年高考全国甲卷数学（文）真题）设12,F F 为椭圆22:15xCy 的两个焦点，点 P 在C 上，若120PF PF，则12PFPF（）A1 B2 C4 D5【答案】B【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出12PF F的面积，即可解出；方法二：根据椭圆的定义以

121、及勾股定理即可解出【详解】方法一：因为120PF PF，所以1290FPF，从而1 22121tan 4512FPFSbPFPF，所以122PFPF 方法二：因为120PF PF，所以1290FPF，由椭圆方程可知，25 142cc，所以22221212416PFPFF F，又1222 5PFPFa，平方得：22121212216220PFPFPF PFPF PF，所以122PFPF 3（2023 年新课标全国卷数学真题）设椭圆2222122:1(1),:14xxCyaCya 的离心率分别为12,e e 若213ee，则a（）A 2 33 B2 C3 D6 【答案】A【分析】根据给定的椭圆方程

122、，结合离心率的意义列式计算作答.【详解】由213ee，得22213ee，因此224 1134aa，而1a ，所以2 33a.4（2023 年北京高考数学真题）已知椭圆2222:1(0)xyEabab的离心率为53，A、C 分别是 E 的上、下顶点，B，D 分别是 E 的左、右顶点，|4AC (1)求 E 的方程；(2)设 P 为第一象限内 E 上的动点，直线 PD与直线 BC 交于点 M，直线 PA与直线2y 交于点 N 求证：/MNCD【答案】(1)22194xy；(2)证明见解析；【分析】（1）结合题意得到53ca，24b ，再结合222acb，解之即可；（2）依题意求得直线 BC、PD与

123、 PA的方程，从而求得点,M N 的坐标，进而求得MNk，再根据题意求得CDk，得到MNCDkk，由此得解.【详解】（1）依题意，得53cea，则53ca，又,A C 分别为椭圆上下顶点，4AC，所以 24b ，即2b，所以2224acb，即22254499aaa，则29a，所以椭圆 E 的方程为22194xy.（2）因为椭圆 E 的方程为22194xy，所以 0,2,0,2,3,0,3,0ACBD，因为 P 为第一象限 E 上的动点，设,03,02P m nmn，则22194mn，易得0223 03BCk ，则直线 BC 的方程为223yx，033PDnnkmm，则直线 PD的方程为33ny

124、xm，联立22333yxnyxm，解得3 32632612326nmxnmnynm，即3 32612,326326nmnMnmnm，而220PAnnkmm，则直线 PA的方程为22nyxm，令=2y，则222nxm，解得42mxn，即4,22mN n，又22194mn，则22994nm，22872 18mn，所以122641223263 32696182432643262MNnnmnnmknmnmnmnmmnmn 2222226482464824986123696123672 18nmnmnmnmnmmnmnmnnm 22222324126482429612363332412nmnmnmnmn

125、mnmnmnm，又0223 03CDk，即MNCDkk，显然，MN 与CD不重合，所以/MNCD.5（2022 年全国高考甲卷数学（理）试题）椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点为 A，点 P，Q 均在 C 上，且关于 y 轴对称若直线,AP AQ的斜率之积为 14，则 C 的离心率为（）A32 B22 C 12 D 13 【答案】A【分析】设 11,P x y，则11,Qx y，根据斜率公式结合题意可得2122114yxa，再根据2211221xyab，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】方法一：设而不求 设 11,P x y，则11,Qx y 则由14AP

126、AQkk得：21112211114APAQyyykkxaxaxa，由2211221xyab，得2221212baxya，所以2221222114baxaxa，即2214ba，所以椭圆C 的离心率22312cbeaa，故选 A.方法二：第三定义 设右端点为 B，连接 PB，由椭圆的对称性知：PBAQkk 故14APAQPAPBkkkk ，由椭圆第三定义得：22PAPBbkka，故2214ba 所以椭圆C 的离心率22312cbeaa.6（2022 年全国新高考 I 卷数学试题）已知椭圆2222:1(0)xyCabab，C 的上顶点为 A，两个焦点为1F，2F，离心率为 12 过1F 且垂直于2A

127、F 的直线与 C 交于 D，E 两点，|6DE，则ADEV的周长是【答案】13【分析】利用离心率得到椭圆的方程为222222213412043xyxyccc，即，根据离心率得到直线2AF 的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线 DE 的斜率，写出直线 DE 的方程：3xyc，代入椭圆方程22234120 xyc，整理化简得到：22136 390ycyc，利用弦长公式求得138c，得1324ac，根据对称性将ADEV的周长转化为2F DE的周长，利用椭圆的定义得到周长为413a.【详解】椭圆的离心率为12cea，2ac，22223bacc，椭圆的方程为222222213412043xyxyccc

128、，即，不妨设左焦点为1F，右焦点为2F，如图所示，222AFaOFcac，23AF O，12AF F为正三角形，过1F 且垂直于2AF 的直线与 C 交于 D，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，直线 DE 的斜率为33，斜率倒数为3，直线 DE 的方程：3xyc，代入椭圆方程22234120 xyc，整理化简得到：22136 390ycyc，判别式22226 34 13 9616ccc ，2121322 6 461313cDEyy ，138c，得1324ac，DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22ADDFAEEF，ADEV的周长等于2F DE的周长，利用椭圆的定义得到2F

129、 DE周长为222211121222413DFEFDEDFEFDFEFDFDFEFEFaaa.故答案为：13.7（2021 年全国高考乙卷数学（理）试题）设 B 是椭圆2222:1(0)xyCabab的上顶点，若C 上的任意一点 P 都满足|2PBb，则C 的离心率的取值范围是（）A2,12 B 1,12 C20,2 D10,2 【答案】C【分析】设00,Pxy，由 0,Bb，根据两点间的距离公式表示出 PB，分类讨论求出 PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可【详解】设00,Pxy，由 0,Bb，因为 2200221xyab，222abc，所以2223422222220000022221

130、ycbbPBxybaybyabbbcc，因为0byb，当32bbc ，即 22bc时，22max4PBb，即 max2PBb，符合题意，由22bc可得222ac，即 202e；当32bbc ，即22bc时，42222maxbPBabc，即422224babbc，化简得，2220cb，显然该不等式不成立【点睛】本题解题关键是如何求出 PB 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值 8（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）已知椭圆 C1：22221xyab(ab0)的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合，C1 的中心与 C2 的顶点重合.过

131、 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A，B 两点，交 C2 于 C，D两点，且|CD|=43|AB|.（1）求 C1 的离心率；（2）设 M 是 C1 与 C2 的公共点，若|MF|=5，求 C1 与 C2 的标准方程.【答案】（1）12；（2）221:13627xyC，22:12Cyx.【分析】（1）求出 AB、CD，利用43CDAB可得出关于a、c 的齐次等式，可解得椭圆1C 的离心率的值；（2）方法四由（1）可得出1C 的方程为2222143xycc，联立曲线1C 与2C 的方程，求出点 M 的坐标，利用抛物线的定义结合5MF 可求得c 的值，进而可得出1C 与2C 的标准方程.【

132、详解】（1）,0F c，ABx轴且与椭圆1C 相交于 A、B 两点，则直线 AB 的方程为 xc，联立22222221xcxyababc，解得2xcbya，则22bABa，抛物线2C 的方程为24ycx，联立24xcycx，解得2xcyc，4CDc，43CDAB，即2843bca，223bac，即222320caca，即22320ee，01eQ，解得12e，因此，椭圆1C 的离心率为 12；（2）方法一：椭圆的第二定义 由椭圆的第二定义知20|MFeaxc，则有200|aMFexaexc，所以0152ax，即0210 xa 又由0|5MFxc，得052 ax 从而21052 aa，解得6a 所

133、以3,6,3 3,6cabp 故椭圆1C 与抛物线2C 的标准方程分别是2221,123627xyyx 方法二：圆锥曲线统一的极坐标公式 以(c,0)F为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系 由（）知2ac，又由圆锥曲线统一的极坐标公式2|1 coscMF，得25 5cosc，由132|11cos2cMF，得3105cosc，两式联立解得3c 故1C 的标准方程为2213627xy，2C 的标准方程为212yx 方法三：参数方程 由（1）知2,3ac bc，椭圆1C 的方程为2222143xycc，所以1C 的参数方程为 =2 cos,=3 sin（为参数），将它代入抛物线22:4Cycx

134、的方程并化简得23cos8cos30，解得1cos3 或cos3 （舍去），所以2 2sin3，即点 M 的坐标为 22 6,33cc 又|5MF ，所以由抛物线焦半径公式有5Mxc，即 253 cc，解得3c 故1C 的标准方程为2213627xy，2C 的标准方程为212yx 方法四【最优解】：利用韦达定理 由（1）知2ac，3bc，椭圆1C 的方程为2222143xycc，联立222224143ycxxycc，消去 y 并整理得22316120 xcxc，解得23xc或6xc（舍去），由抛物线的定义可得25533cMFcc，解得3c .因此，曲线1C 的标准方程为2213627xy，曲线

135、2C 的标准方程为212yx.【整体点评】(2)方法一：椭圆的第二定义是联系准线与离心率的重要工具，涉及离心率的问题不妨考虑使用第二定义，很多时候会使得问题简单明了.方法二：圆锥曲线统一的极坐标公式充分体现了圆锥曲线的统一特征，同时它也是解决圆锥曲线问题的一个不错的思考方向.方法三：参数方程是一种重要的数学工具，它将圆锥曲线的问题转化为三角函数的问题，使得原来抽象的问题更加具体化.方法四：韦达定理是最常用的处理直线与圆锥曲线位置关系的方法，联立方程之后充分利用韦达定理可以达到设而不求的效果.9（2020 年海南省高考数学试卷（新高考全国卷）已知椭圆 C：22221(0)xyabab过点 M（2

136、，3）,点 A 为其左顶点，且 AM 的斜率为 12 ，（1）求 C 的方程；（2）点 N 为椭圆上任意一点，求 AMN 的面积的最大值.【答案】（1）2211612xy；（2）18.【分析】(1)由题意分别求得 a,b 的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点 N 的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点 N 到直线 AM 的距离即可求得三角形面积的最大值.【详解】(1)由题意可知直线 AM 的方程为：13(2)2yx，即24 xy.当 y=0 时，解得4x ，所以 a=4，椭圆2222:10 xyCabab过点 M(2，3)，可得249116b，解得

137、b2=12.所以 C 的方程：2211612xy.(2)设与直线 AM 平行的直线方程为：2xym，如图所示，当直线与椭圆相切时，与 AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为 N，此时 AMN 的面积取得最大值.联立直线方程2xym与椭圆方程2211612xy，可得：2232448myy，化简可得：2216123480ymym，所以221444 16 3480mm ，即 m2=64，解得 m=8，与 AM 距离比较远的直线方程：28xy，直线 AM 方程为：24 xy，点 N 到直线 AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：8412 5514d，由两点之间距离公式可得22|

138、(24)33 5AM.所以 AMN 的面积的最大值：112 53 51825.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题 10（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）已知椭圆 C1：22221xyab(ab0)的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合，C1 的中心与 C2 的顶点重合过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A，B 两点，交 C2 于 C，D 两点，且|CD|=43|AB|（1）求 C1

139、的离心率；（2）若 C1 的四个顶点到 C2 的准线距离之和为 12，求 C1 与 C2 的标准方程【答案】（1）12；（2）1C：2211612xy，2C：28yx.【分析】（1）根据题意求出2C 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设,A C 在第一象限，运用代入法求出,A B C D 点的纵坐标，根据4|3CDAB，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；【详解】解：（1）因为椭圆1C 的右焦点坐标为：(c,0)F,所以抛物线2C 的方程为24ycx，其中22cab.不妨设,A C

140、在第一象限，因为椭圆1C 的方程为：22221xyab，所以当 xc时，有222221cybyaba ，因此,A B 的纵坐标分别为2ba，2ba；又因为抛物线2C 的方程为24ycx，所以当 xc时，有242yc cyc ，所以,C D 的纵坐标分别为2c，2c，故22|bABa，|4CDc.由4|3CDAB得2843bca，即2322()ccaa，解得2ca （舍去），12ca.所以1C 的离心率为 12.（2）由（1）知2ac，3bc，故22122:143xyCcc，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c，(2,0)c，(0,3)c，(0,3)c，2C 的准线为 xc .由已知得312cccc ，即2c.所以1C 的标准方程为2211612xy，2C 的标准方程为28yx.【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.