专题3-2 三角函数求w类型及换元归类（原卷版）.docx

1、专题3-2 三角函数求w类型及三角换元应用归类 目录题型01 平移型求w1题型02 单调区间及单调性求w2题型03 对称中心（零点）求w3题型04对称轴型求w4题型05 对称轴及单调性型求w5题型06“临轴”型求w6题型07“临心”型求w7题型08 区间内有“心”型求w8题型09 区间内无“心”型求w9题型10 区间内最值点型求w10题型11多可能性分析型求w10题型12三角应用：三角双换元11题型13三角应用：无理根号型12题型14三角应用：圆代换型12题型15三角应用：向量型换元13高考练场14 题型01 平移型求w 【解题攻略】 平移型求w，可以借助代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、

2、最低点或“零点”)坐标代入解析式，或者利用单调区间，再结合图形解出值或者范围。【典例1-1】（2023全国高三专题练习）已知函数，将的图像向右平移个单位长度后，若所得图像与原图像重合，则的最小值等于（）ABCD【典例1-2】（2022全国高三专题练习）将函数的图像向右平移个单位长度后与原函数图像重合，则实数的最小值是（）A2B3C6D9【变式1-1】（2021春浙江杭州高三学军中学校考开学考试）将函数的图像向左平移2个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值等于（）AB1CD2【变式1-2】（2024云南楚雄云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模）将函数（）的图象向右平移个单位长度后与函数的图象

3、重合，则的最小值为（）A1B2C4D5【变式1-3】（2023陕西西安西安市大明宫中学校考模拟预测）将的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（）ABCD题型02 单调区间及单调性求w 【解题攻略】 正弦函数在每一个闭区间（kZ）上都单调递增，在每一个闭区间（kZ）上都单调递减余弦函数在每一个闭区间2k，2k（kZ）上都单调递增，在每一个闭区间2k，2k （kZ）上都单调递减【典例1-1】（上海市川沙中学2021-2022学年高三下学期数学试题）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是_【典例1-2】（广西玉林市育才中学2022届高三12月月考数学试题）已知函数的图象关于直线对称

4、，且，在区间上单调，则的值为_.【变式1-1】函数 ,若在区间上是单调函数,且则的值为（ ）AB或CD或【变式1-2】若函数在上是增函数，则的取值范围是_.【变式1-3】（2022-2021学年度下学期高三数学备考总动员C卷）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是_.题型03 对称中心（零点）求w 【解题攻略】 正弦函数对称中心(k，0)(kZ) 余弦函数对称中心(k，0)(kZ)正切函数对称中心(，0)(kZ)【典例1-1】（2023全国高三专题练习）设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（）ABCD【典例1-2】（2022秋重庆高三统考期中）若存在实数， 使得函数的图象的一

5、个对称中心为，则的取值范围为（）ABCD【变式1-1】（2023春湖北荆州高三沙市中学校考阶段练习）已知，周期是的对称中心，则的值为（）ABCD【变式1-2】（2022秋高三课时练习）已知函数的部分图象如图，的对称中心是，则（）ABC3D【变式1-3】（2023秋江苏苏州高三校考阶段练习）设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（）ABCD题型04对称轴型求w 【解题攻略】 正弦函数对称轴（kZ）时，ymax1；（kZ）时，ymin1余弦函数对称轴x2k（kZ）时，ymax1；x2k（kZ）时，ymin1【典例1-1】（2022秋山西长治高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习）已知函

6、数的部分图象如图，的对称轴方程为，则（）A3B2CD1【典例1-2】（2022全国高三专题练习）若是函数图象的对称轴，则的最小正周期的最大值是（）ABCD【变式1-1】（2021秋云南昆明高三昆明市第三中学校考阶段练习）已知函数的图像关于对称，则函数的图像的一条对称轴是（）ABCD【变式1-2】（“超级全能生”高考全国卷26省9月联考乙卷数学试题）已知向量，函数，且，若的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值范围是（ ）ABCD【变式1-3】已知向量，函数，且，若的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值范围是ABCD 题型05 对称轴及单调性型求w【典例1-1】（2

7、021届重庆市南开中学高考冲刺二数学试题）已知函数，对任意的，都有，且在区间上单调，则的值为_.【典例1-2】（2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国卷?数学（二）试题）已知函数 的一条对称轴为，且在上单调，则的最大值为（ ）AB3CD【变式1-1】（四川省成都市新都区2020-2021学年高三诊断测试数学试题）已知函数满足，且在区间上单调，则的最大值为_【变式1-2】（2022全国高三专题练习）已知函数在 上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为，则的值可能是（）ABC1D【变式1-3】（2023内蒙古赤峰校考模拟预测）若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间0，上不单调，则的最小值为（）A9B

8、7C11D3题型06“临轴”型求w 【解题攻略】 若的图像关于直线对称,则或.【典例1-1】（2023秋四川绵阳高三四川省绵阳南山中学校考开学考试）已知函数的最大值为4，最小值为0，且该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为，直线是该函数图象的一条对称轴，则该函数的解析式是（）ABCD【典例1-2】（2023秋高三课时练习）已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值是（）ABCD【变式1-1】（2023秋河南洛阳高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习）已知，是函数图象上两条相邻的对称轴，则（）ABCD【变式1-2】（2023春广东佛山高三校考阶段练习）已知函数，且

9、图象的相邻两对称轴间的距离为.若将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，且当时，不等式恒成立，则的取值范围为（）ABCD【变式1-3】（2023春四川成都高三校联考阶段练习）已知直线是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，则的单调递增区间是（）ABCD题型07“临心”型求w 【解题攻略】 函数的性质：(1) .(2)周期(3)由 求对称轴，由求对称中心.(4)由求增区间；由求减区间.【典例1-1】（2023春广东珠海高三校考）已知函数的图象的一个对称中心的横坐标在区间内，且两个相邻对称中心之间的距离大于，则的取值范围为（）ABCD【典例1-2】（2023上天津东丽高三天津市第一百中学校考阶段

10、练习）函数，的最大值为2，其图象相邻两个对称中心之间的距离为，且的图象关于直线对称，则下列判断正确的是（）A函数在上单调递减B将图象向右平移个单位与原图象重合C函数图象关于点对称D函数的图象关于直线对称【变式1-1】（2023下河南焦作高三统考）已知函数的图象的一个对称中心的横坐标在区间内，且两个相邻对称中心之间的距离大于，则的取值范围为（）ABCD【变式1-2】（2023云南红河统考二模）已知函数（）的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则（）A2B4C8D16【变式1-3】（2021上四川雅安高三统考期末）已知函数，点和是其相邻的两个对称中心，且在区间内单调递减，则（）ABCD题型08 区

11、间内有“心”型求w 【解题攻略】 求w的表达式时，中不要把写成k,因为后面还有一个k, 中不要把写成k，否则不好研究w的最小值.它们本身就不一定相等.【典例1-1】（天津市部分区2020届高考二模数学试题）若函数()在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是（ ）ABCD【典例1-2】（2021春商洛）已知函数在，上恰有6个零点，则的取值范围是ABCD【变式1-1】（2022湖北模拟）已知函数在区间，上恰有三个零点，则的取值范围是【变式1-2】（云南省2020届高三适应性考试数学试题）若函数（，）图象过点，在上有且只有两个零点，则的最值情况为（）A最小值为，最大值为B无最小值，最大值

12、为C无最小值，最大值为D最小值为，最大值为【变式1-3】（2021年全国高考甲卷数学（理）试题变式题16-20题）设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是_题型09 区间内无“心”型求w 【解题攻略】 无“心”型求w，可以采用正难则反的策略把无交点问题转化为有交点的问题，利用补集思想得到最终的结果，对于其他否定性问题经常这样思考.【典例1-1】已知函数，若函数在区间内没有零点，则的取值范围为_.【典例1-2】（天津市南开中学2022届高三下学期统练二数学试题）已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是_.【变式1-1】函数，且，若的图像在内与轴无交点，则

13、的取值范围是_.【变式1-2】（2023春江西宜春高三江西省宜丰中学校考阶段练习）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（）ABCD【变式1-3】（2022全国高三专题练习）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（）ABCD题型10 区间内最值点型求w【解题攻略】 极值点最大值最小值的问题，可以转化为区间对称轴的个数，利用对称轴公式求解。【典例1-1】.已知函数（，），在内有相邻两个最值点，且最小值点距离

14、轴近，则的最小正整数值为（）A5B7C9D10【典例1-2】已知函数的图象关于点及直线对称，且在不存在最值，则的值为（）ABCD【变式1-1】（2022年全国高考乙卷数学（理）试题变式题13-16题）已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则_【变式1-2】（2022届湖南省长沙市第一中学高考模拟数学试题）已知函数，若，对任意恒有，在区间上有且只有一个使，则的最大值为（ ）ABCD【变式1-3】（【全国百强校】河北衡水金卷2022届高三12月第三次联合质量测评数学试题）已知函数，两个等式：对任意的实数均恒成立，且上单调，则的最大值为A1B2C3D4题型11多可能性分析型求w 【解题攻略】 解决

15、函数综合性问题的注意点 （1）结合条件确定参数的值，进而得到函数的解析式（2）解题时要将看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化【典例1-1】.函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减记满足条件的所有的值的和为，则的值为（ ）ABCD【典例1-2】（北京市西城区北京师范大学附属实验中学2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题）已知点，若三个点中有且仅有两个点在函数的图象上，则正数的最小值为_.【变式1-1】（北京市东城区2021-2022学年高三上学期数学试题）已知函数，曲线与直

16、线相交，若存在相邻两个交点间的距离为，则的所有可能值为_【变式1-2】（上海市晋元高级中学2022届高三数学试题）已知，若存在使得集合中恰有3个元素，则的取值不可能是（ ）ABCD【变式1-3】（2021淮北二模）已知函数满足，且在区间上单调，则满足条件的个数为A7B8C9D10题型12三角应用：三角双换元 【解题攻略】 形如， 等，均可以用三角换元来解决.在利用三角换元时，一定要注意角度限制，因为对于三角函数的值域都是-1，1，但其角度有多种形式，于是我们在设置角度时要抓住2点：（1） 设置的角度要使三角函数的范围为-1，1，（2）根号要能直接开出来.就如本题来讲，令，此时，于是.【典例1-

17、1】（2023全国高三专题练习）设、且，求的取值范围是 .【典例1-2】（2020江西校联考模拟预测）若等差数列满足，且，求的取值范围（）ABCD【变式1-1】（2021宁夏石嘴山高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）已知，求的取值范围为（）ABCD【变式1-2】（江西省抚州市金溪一中等七校2021-2022学年高三考试数学试题（B卷）已知满足，则的取值范围为ABCD【变式1-3】（浙江省嘉兴市2022届高三试数学试题）已知实数满足,则的取值范围是_题型13三角应用：无理根号型 【解题攻略】无理根号型求范围，可以通过换元求得：1.单根号，一般是齐次关系。2.双根号，不仅仅是齐次关系，并且平方后能消

18、去x。3.式子可能具有“轮换特征”4.一定要注意取值范围之间的变化与互相制约。 【典例1-1】.求函数的值域.【典例1-2】求函数的值域.【变式1-1】若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .【变式1-2】（新疆莎车县第一中学2022届高三上学期第三次质量检测数学试题）函数y=x-4-x2的值域为_【变式1-3】（2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷（七）数学（理）试题）已知，则的最大值为_.题型14三角应用：圆代换型 【解题攻略】 圆代换型，利用圆的参数方程，注意尽量代换规范：余弦对应x，正弦对应y的参数方程是：【典例1-1】（上海市第二中学2020-2021学年高三下学期5月月考

19、数学试题）知点A(2,0)，点P是以原点为圆心，1为半径的圆上的任意一点，将点P绕点逆时针旋转90得点Q，线段AP的中点为，则|MQ|的最大值是_【典例1-2】设圆O:x2+y2=1上两点Ax1,y1，Bx2,y2满足：OAOB=-12，则x1-2y1+x2-2y2的取值范围是_.【变式1-1】已知是单位圆（圆心在坐标原点）上任一点，将射线绕点逆时针旋转到交单位圆于点，则的最大值为_.【变式1-2】设圆上两点，满足：，则的取值范围是_.【变式1-3】（2020黑龙江哈尔滨哈尔滨三中校考一模）已知点为圆上任一点，分别为椭圆的两个焦点，求的取值范围 .题型15三角应用：向量型换元 【解题攻略】 向

20、量中的三角换元原理之一，就是源于,实质是圆。所以模定值，可以用圆的参数方程代换。【典例1-1】（2022上广东佛山高三统考）菱形中，点E，F分别是线段上的动点（包括端点），则 ，的最小值为 .【典例1-2】（2020江苏南通江苏省如皋中学校考模拟预测）已知，则向量的最小值为 .【变式1-1】（2024上重庆高三重庆南开中学校考阶段练习）平面向量，满足，则的最大值为 .【变式1-2】（2023全国高三专题练习）已知向量，满足，则的最大值为 .【变式1-3】（2023上海上海市七宝中学校考模拟预测）已知为单位向量，向量满足，则的取值范围是 . 高考练场1.（2023湖南长沙长沙一中校考模拟预测）设

21、函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得的图象与图象重合，则（）A，B，C，D，2.（湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（二）数学试题）已知函数，其中，若在区间上单调递减，则的最大值为_3.（2022四川绵阳统考模拟预测）若存在实数，使得函数(0)的图象的一个对称中心为(，0)，则的取值范围为（）ABCD4.（2023安徽滁州安徽省定远中学校考一模）已知直线是函数（）图象的一条对称轴，则在上的值域为（）ABCD5.（2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国卷?数学（理）（二）试题）已知函数 的一条对称轴为，且在上单调，则的最大值为

22、（ ）AB3CD6.（2023全国统考高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（）ABCD7.（2020海南海口高三海南中学校考阶段练习）已知点，为曲线()(常数)的两个相邻的对称中心，若该曲线在点，处的切线互相垂直，则的值为 .8.（四川省内江市威远县威远中学校2022-2023学年高三数学试题）已知函数 (0)，若在上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围是_.9.（2023秋江苏扬州高三扬州中学校考阶段练习）已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，若函数在上没有零点，则的取值范围

23、是（）ABCD10.已知函数，其中，为的零点，且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是_11.（河北省衡水市第十四中学2020-2021学年高三四调数学试题）已知函数f（x）=cos（x+）（0，|），x=-为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则的最大值为_12.（江苏省泰州中学2020-2021学年高三上学期第二次检测数学试题）已知非负实数，满足，则的最大值为_.13.函数yx的最小值为_14.（广东省清远市恒大足球学校2020届高三上学期九月月考数学试题）若，那么的最大值为_.15.在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_