专题3.1 勾股定理（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）.docx

1、专题3.1 勾股定理（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】勾股定理1. 定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果有a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则有2. 变形公式有：；3. 解题的基本思想方法：勾股定理把“形”与“数”有机结合起来，就是把直角三角形中的这个图形的“形”与三边关系这个“数（量）”结合起来，这就是数形结合【知识点2】勾股定理的证明1. 常用的验证法：验证方法很多，有测量法、几何证明法，但最常用的是通过拼图，构造特殊图形，利用面积等关系进行证明。2. 经典的勾股定理证明方法：方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方

2、法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 所以.【考点一】勾股定理求线段长【例1】如图，嘉嘉在荡秋千时发现，秋千在静止位置时，下端离地面米，荡秋千到位置时，下端距静止位置的水平距离等于米，距地面米，求秋千的长 【答案】米【分析】根据题意，设为米，在中，根据勾股定理即可求解解：如图所示， 根据题意可知：，设为米，在中，秋千的长为米【点拨】本题主要考查直角三角形的勾股定理，掌握勾股定理的计算方法是解题的关键【举一反三】【变式1】如图，在中，求BC边上的高AD的长 【答案】12【分析】为高，那么题中有两个直角三

3、角形在这两个直角三角形中，设为未知数，可利用勾股定理都表示出长求得长，再根据勾股定理求得长即可解：设，则，在中，在中，解得，【点拨】本题考查了勾股定理，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破点主要利用了勾股定理进行解答【变式2】如图，在中，于求：(1)的长和的面积；(2)的长 【答案】(1) ，； (2) 【分析】（1）根据勾股定理求得的长；利用三角形的面积公式可求出的面积；（2）再根据三角形的面积公式是一定值求得即可（1）解：在中，（2）解：， ，【点拨】此题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键【考点二】勾股定理求

4、面积【例2】如图，在ABC中，于点D，请求出ABC的面积和CD的长 【答案】ABC的面积为，CD的长为cm【分析】根据直角三角形面积公式即可求解三角形的面积，再根据直角三角形面积的两种计算方法求出斜边上的高解：ACB=90答：ABC的面积为，CD的长为cm【点拨】本题考查直角三角形的性质及其面积公式，解题的关键是熟知三角形面积不变【举一反三】【变式1】计算图中四边形ABCD的面积. 【答案】246【分析】根据观察图形可以看出四边形ABCD的面积为ABD和BCD的面积之和，根据AD，AB可以计算ABD的面积和BD的长，根据CD，BD可以计算BCD的面积，即可解题解：在RtABD中，BD为斜边，A

5、D=12，AB=16，故四边形ABCD的面积为SABD+SBCD=1216+1520=96+150=246答：四边形ABCD的面积为246【点拨】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形面积计算方法，本题中正确的计算ABD和BCD的面积是解题的关键【变式2】已知：在中，、所对的边分别记作a、b、c如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作、，则有， (1) 如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分、，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论；(2) 分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S

6、2Sa，根据（2）中的探索，直接回答与有怎样的数量关系；(3) 若中，求出图4中阴影部分的面积【答案】(1)，证明见分析；(2)；(3)24【分析】（1）由扇形的面积公式可知，在RtABC中，由勾股定理得AC2BC2AB2，即S1S2S3；（2）根据（1）中的求解即可得出答案； （3）利用（2）中的结论进行求解（1）解：，根据勾股定理可知：，；（2）解：由（1）知，同理根据根据勾股定理：，从而可得；（3）解：由（2）知【点拨】本题考查勾股定理的应用，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用【考点三】勾股定理求两条线段的平方和【例3】已知将边长分别为a和2b（ab）的长方形分割成四个全等的直角三

7、角形，如图1，再用这四个三角形拼成如图2所示的正方形，中间形成一个正方形的空洞经测量得长方形的面积为24，正方形的边长为5试通过你获取的信息，求a2+b2和a2b2的值 【答案】a2+b225，a2b27【分析】根据勾股定理，长方形的面积为24，正方形的面积计算方法，列出关于a、b方程组，然后求解解：根据题意得a2+b25225，a2b24，a2+b2+2ab=49，a+b7，由图2得（a-b）2=52-24=1，ab，a-b=1，a2b2=（a+b）（a-b）=71=7，a2+b225，a2b27【点拨】本题考查勾股定理、正方形的性质及直角三角形解题的关键是根据图示找出大正方形、四个直角三角

8、形、小正方形间的数量关系【举一反三】【变式】如图，在ABC中，CE平分ACB，CF平分ACD，且EFBC交AC于M，若EF10，求CE2 CF2的值 【答案】100【分析】根据角平分线的定义推知ECF=90，然后在直角三角形ECF中利用勾股定理求CE2+CF2的值即可解： B、C、D三点在一条直线上，CE平分ACB，CF平分ACD，ECFECAFCAACBACD18090.CE2 CF2EF2 .EF10，CE2CF2102100.【点拨】本题考查勾股定理, 角平分线线的性 质.【考点四】勾股定理折叠问题【例4】如图，在中，D为上的一点，将沿折叠，点C恰好落在边上的点E处，若，求的长 【答案】

9、【分析】根据折叠的性质可得，设，则，在中，列方程求解即可解：在中， AB=10由折叠性质可知，设，则，在中，解得，【点拨】本题考查了折叠问题以及勾股定理，运用折叠的性质以及勾股定理列方程求解是本题的关键【举一反三】【变式1】如图，直角三角形纸片的两直角边，现将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点C点E重合求的长 【答案】CD的长为【分析】根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得的长，从而利用勾股定理可求得的长解：，由折叠的性质得，设，则在中，答：的长为【点拨】本题考查了折叠的性质以及利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方【变式2】（1）如图，的斜边比直角边长

10、2cm，另一直角边长为6cm，求的长（2）拓展：如图，在图的的边上取一点D，连接，将沿翻折，使点B的对称点E落在边上 求的长 求的长 【答案】（1）10cm；（2） 4cm； 3cm【分析】（1）利用勾股定理，进行求解即可；（2）根据翻折得到，利用求出的长即可；在中，利用勾股定理进行求解即可解：（1）设，则，在中：，即：，解得：；（2）将沿翻折，使点B的对称点E落在边上，；将沿翻折，使点B的对称点E落在边上，设，则，在中：，即：，解得：；即：【点拨】本题考查勾股定理与折叠问题熟练掌握折叠的性质，对应边相等，对应角相等，以及勾股定理，是解题的关键【考点四】勾股定理动点与折叠问题【例5】【变式3】

11、如图，长方形ABCD中，DABBCD90，ADBC9，ABCD15点E为射线DC上的一个动点，ADE与ADE关于直线AE对称，当ADB为直角三角形时，求DE的长度 【答案】DE3或27【分析】分两种情况：点E在DC线段上，点E为DC延长线上的一点，进一步分析探讨得出答案即可解：如图1， 折叠，ADEADE，ADED90，ADAD，ADB90，B、D、E三点共线，ABD=BEC，ADB=C90，ADBC，ABDBEC，BEAB15， DEDE15123；如图2， ABD+CBEABD+BAD90，CBEBAD，在ABD和BEC中， ，ABDBEC，BEAB15，DEDE15+1227综上所知，D

12、E3或27【点拨】此题考查翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，分类探讨的思想方法是解决问题的关键【举一反三】【变式1】如图，在长方形ABCD中，已知AB=13，AD=5，动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，把ADP沿着AP翻折得到AEP（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角）(1)如图，射线PE恰好经过点B，求出此时t的值；(2)当射线PE与边AB交于点F时，是否存在这样的t的值，使得FE=FB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由；(3)在动点P从点D到点C的整个运动过程中，若点E到直线A

13、B的距离等于3，则此时t=_ 【答案】(1)1；(2)或13；(3)或10【分析】（1）由长方形性质得知，再证，则，然后由勾股定理得，则，由此得出结论（2）分两种情况：E在矩形内部和外部两种情况，分别根据等量关系列出方程即可解答（3）分两种情况：E在AB上方和下方两种情况，由折叠性质与勾股定理即可解答解：（1） 四边形ABCD是长方形， ， ，由翻折性质可知：， ，在中，由勾股定理得：，（2）存在，分两种情况：如图，当点E在长方形内部时：作于G，设，则由翻折可知， 在中，由勾股定理可得：，即 ，解得：，即， 在与 中： ，解得： 如图，当点P运动至与点C重合时，在与中： ， 综上，当或时，有（

14、3）过点E作交AB于点M，交CD于点N如图，点E在长方形内部： 则，在中，由勾股定理得： 在中，由勾股定理得：，即解得： 如图，点E在长方形外部：则，在中，由勾股定理得： 在中，由勾股定理得： ，即解得： 综上，若点E到直线AB的距离等于3，或【点拨】本题是几何综合题目，考查了轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，综合性强，熟练掌握轴对称的性质及勾股定理，进行分类讨论解题是本题的解题关键【变式2】在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是射线BC上一个动点，连接AE并延长交射线DC于点F，将ABE沿直线AE翻折到ABE，延长AB与直线CD交于点M(1) 求证：AM=MF；(2) 当

15、点E是边BC的中点时，求CM的长；(3) 当CF=4时，求CM的长 【答案】(1)见分析；(2)；(3)或 21【分析】（1）由折叠的性质及等腰三角形的判定可得出答案；（2）利用矩形的性质证得，根据全等三角形的性质得到，设，则由（1）知， ，在中利用勾股定理即可求解；（3）当时，设，应分两种情况：第一种情况，点在线段上，如图所示，则，；第二种情况，点在线段上，如图所示，则，在中，利用勾股定理即可求解解：（1）证明：四边形ABCD为矩形，ABCD，FBAF，由折叠可知：BAFMAF，FMAF，AMMF；（2）点E是边BC的中点，四边形ABCD为矩形，ABCD， FBAF，又，设，则由（1）知， 在中，解得，的长为；（3）当时，设，应分两种情况：第一种情况，点在线段上，如图所示，则，在中，解得，的长为； 第二种情况，点在线段的延长线上，如图所示，则，在中，解得，的长为 综上可知，当CF=4时，CM的长为或 21【点拨】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，分类讨论的思想是解题的关键