专题3.1 导数的概念及其几何意义与运算【八大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）.docx

1、专题 3.1 导数的概念及其意义与运算【八大题型】【新高考专用】【题型 1 导数的定义及其应用】.2【题型 2 求（复合）函数的导数的方法】.3【题型 3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】.5【题型 4 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】.6【题型 5 已知切线（斜率）求参数】.8【题型 6 切线的条数问题】.9【题型 7两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】.11【题型 8与切线有关的最值问题】.13 1、导数的几何意义与运算 导数是高考数学的必考内容，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，主要涉及导数的运算及几何意义，一般以选择题、填空题的形式考察导数的几何意义、求曲线的切

2、线方程，导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档.【知识点 1 切线方程的求法】1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：求出函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数，即曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0)处切线的斜率；在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为 y=y0+f(x0)(x-x0).2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：设出切点坐标 T(x0,f(x0)(不出现 y0)；利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f(x0)(x-x0)；将已知条件代入中的切线方程求解.【知识点 2复合函数的导数】1.复合函数的定义一般地，对于两个函数 y=f

3、(u)和 u=g(x)，如果通过变量 u,y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 y=f(u)和 u=g(x)的复合函数，记作 y=f(g(x).2.复合函数的求导法则复合函数 y=f(g(x)的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为=，即 y 对 x 的导数等于 y对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.3.求复合函数导数的步骤第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；第三步：相乘：把上述求导的结果相乘；第四步：变量回代：把中间变量代回.【题型 1 导数的定义及其应用】【例 1】（2023 下山东高二

4、校联考阶段练习）若 lim0(2+)(2)=2，则(2)=（）A1B-1C2D-2【解题思路】根据导数的定义以及给出的极限值可得答案.【解答过程】lim0(2+)(2)=lim0(2+)(2)+(2)(2)=lim0(2+)(2)+lim0(2)(2)=2(2)=2，所以(2)=1.故选：B.【变式 1-1】（2022高二课时练习）设()是可导函数，且 lim0(02)(0)=2，则(0)=（）A12B-1C0D-2【解题思路】根据导数定义，即可求出【解答过程】因为 lim0(02)(0)=2 lim0(02)(0)2=2(0)=2，所以(0)=1，故选：B.【变式 1-2】（2022安徽合肥

5、合肥校考模拟预测）如图所示，连接棱长为 2cm 的正方体各面的中心得到一个多面体容器，从顶点 A 处向该容器内注水，直至注满水为止.已知顶点 B 到水面的距离 h 以每秒 1cm 的速度匀速上升，设该容器内水的体积(cm3)与时间(s)的函数关系是()，则函数=()的图象大致是（）ABCD【解题思路】根据函数变化的快慢以及切线斜率的几何意义即可得结果.【解答过程】通过几何体的特征可得，容器下半部分，“先小后大”，即以同样的高度变化时，体积变化速度越来越快；容器上半部分，“先大后小”，即以同样的高度变化时，体积变化速度越来越慢；即函数图象的切线斜率先增大后减小，故选：A.【变式 1-3】（202

6、2陕西宝鸡统考一模）设函数()在点0处附近有定义，且(0+)(0)=+()2,为常数，则（）A()=B()=C(0)=D(0)=【解题思路】由导函数的定义可得选项.【解答过程】解：因为(0+)(0)=+()2,为常数，所以(0)=lim0(0+)(0)=lim0(+)=，故选：C.【题型 2 求（复合）函数的导数的方法】【例 2】（2023湖北宜昌市一中校联考模拟预测）函数()=log21的导函数为（）A()=ln2B()=1ln2C()=ln2D()=1ln2【解题思路】直接代入求导公式，运用复合函数的求得法则即可求解.【解答过程】依题知，1 0，即 0，由求导公式：log =1ln，复合函

7、数的求导法则：设=()，则()=()()得：()=11ln2 (1)=ln2 (12)=1ln2，故选：D.【变式 2-1】（2023 上内蒙古通辽高三校考阶段练习）下列求导数运算错误的是（）A(3)=3ln3B(2ln)=2ln+C(cos)=sincos2D(2ln(2+1)=2ln22+1 2ln(2+1)【解题思路】根据求导运算法则得到答案.【解答过程】A 选项，(3)=3ln3，A 正确；B 选项，(2ln)=2ln+2 1=2ln+，B 正确；C 选项，(cos)=sincos2，C 错误；D 选项，(2ln(2+1)=2ln(2+1)ln2 12+1 (2+1)=2ln22+1

8、2ln(2+1)，D 正确.故选：C.【变式 2-2】（2023 上湖北高二期末）已知函数()=(4)cos2+sin，则()在=4处的导数为（）A26B24C22D 22【解题思路】对()求导，将=4代入求(4)即可.【解答过程】由已知可得()=2(4)sin2+cos，所以(4)=2(4)sin(2 4)+cos4，所以(4)=26故选：A.【变式 2-3】（2023 下黑龙江哈尔滨高二校考阶段练习）已知函数()=(+1)2+sin2+1，其导函数记为()，则(389)+(389)+(389)(389)=（）A2B2C3D3【解题思路】函数()=1+2+sin2+1，分析其性质可求(389

9、)+(389)的值，再求()并讨论其性质即可作答.【解答过程】由已知得()=1+2+sin2+1，则()=(2+cos)(2+1)(2+sin)2(2+1)2，显然()为偶函数.令()=()1=2+sin2+1，显然()为奇函数.又()为偶函数，所以(389)(389)=0，(389)+(389)=(389)+1+(389)+1=2，所以(389)+(389)+(389)(389)=2.故选：A.【题型 3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】【例 3】（2023河北唐山模拟预测）已知曲线()=2cos在=0处的切线为，则的斜率为（）Aln2Bln2C1D1【解题思路】由导数的几何意义结合导数运算即可

10、求解.【解答过程】对()=2cos求导得，()=(ln2)2 cos 2 sin，由题意曲线()=2cos在=0处的切线的斜率为=(0)=(ln2)20 cos0 20 sin0=ln2.故选：A.【变式 3-1】（2023新疆阿克苏校考一模）若直线=+与曲线=ln+1相切，则 k 的取值范围是（）A(,14B4,+)C4,+)D14,+)【解题思路】根据导数的几何意义，求导数的取值范围，即可求解.【解答过程】=1 12=(1 12)2+14 14，由导数的几何意义可知，14.故选：A.【变式 3-2】（2023内蒙古赤峰校联考一模）函数=()在(1,(1)处的切线如图所示，则(1)+(1)=

11、（）A0B12C32D-12【解题思路】根据切线过(2,0)和(0,1)，利用斜率公式求得(1)，写出切线方程，再令=1，求得(1)即可.【解答过程】因为切线过(2,0)和(0,1)，所以(1)=0+120=12，所以切线方程为=12 1，令=1，则=12，所以(1)=12，所以(1)+(1)=12+12=0.故选：A.【变式 3-3】（2023贵州校联考模拟预测）设点是函数()=3 12(1)+(2)图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）A0,34)B0,2)34,)C(2,34)D0,2)(34,)【解题思路】求出()，令=1后可求()，再根据导数的取值范围可得tan的

12、范围，从而可得的取值范围.【解答过程】()=3 12(1)+(2)，()=32 12(1)，(1)=3 12(1)，(1)=2，()=32 1 1，tan 1，0 2或34 0，则的取值范围是(,3)(1,+)，故选：D.【变式 6-2】（2023全国模拟预测）若过点(,0)与曲线()=+1e 相切的直线只有 2 条，则的取值范围是（）A(,+)B(,3)(1,+)C(1,3)D(,1)(3,+)【解题思路】求得()=e，求得切线方程,结合题意，转化为方程2+(1 )+1=0有 2 个不等实根，根据二次函数的性质，即可求解.【解答过程】设过点(,0)的直线与曲线()=+1e 相切于点(,+1e

13、)，由()=+1e，可得()=e，所以切线的斜率=e=+1e 0，整理得2+(1 )+1=0，因为切线有 2 条，所以切点有 2 个，即方程2+(1 )+1=0有 2 个不等实根，则=(1 )2 4 0，解得 3或 0)是曲线()=e与曲线()=ln+2的公切线，则+等于（）Ae+2B3Ce+1D2【解题思路】由()求得切线方程，结合该切线也是()的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线=+，从而求得正确答案.【解答过程】设(,e)是()图象上的一点，()=e，所以()在点(,e)处的切线方程为 e=e()，=e+(1 )e，令()=1=e，解得=e，(e)=lne+2=2 ，所以2e

14、e=e，1 =(1 )e，所以=0或=1（此时为=e，=0，不符合题意，舍去），所以=0，此时可化为 1=1 (0),=+1，所以+=1+1=2.故选：D.【变式 7-1】（2023 上陕西高三校联考阶段练习）函数()=ln在区间(1,6)的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围（）A(1,6)B(1,3)C(3,4)D(4,6)【解题思路】由导数的几何意义求解即可.【解答过程】设切点横坐标为0，所作切线斜率为，则=(0)=1 0，当 0时，=1 0 0，故不存在12=1；当 0时，满足：1 0(1 )(1 6)1.所以：3 0，0时，导函数单调递增，()(2,+)，由题意得1,2,(1)

15、(2)=1 (2)=1(1)故 2 1，解得0 1；(2)当 13，与 0)与函数(),()的图象都相切，则4+1的最小值为4e.【解题思路】利用导数的几何意义可列出不等式组，得=e2，再根据基本不等式即可求解.【解答过程】根据题意作出草图如下：设直线=与函数()=ln,()=e图像分别相切与点和，(1,e1)，(2,ln2)，()=，()=e，则有2=ln2=2 和 e1=e1=1，解得：2=e，1=1，因为0，所以0,0，=e=e，得=e2，4+1=4e2+1 24e2=4e，当且仅当4e2=1，即=12e时取等号.即4+1的最小值为4e.故答案为：4e.【变式 8-2】（2023湖南娄底

16、统考模拟预测）已知函数()=ln +ln+3(1)，若曲线=()的一条切线为直线 l：4 +3=0，则的最小值为4e【解题思路】根据题意，设切点为(0,0)，将切点分别代入函数()以及切线上，且(0)=4，得到方程化简可得=e(102 40)，从而求得其最小值.【解答过程】设切点为(0,0)，0 0，则(0,0)在 l：4 +3=0上，即0=40+3，因为()=ln +ln+3(1)，则()=1 1，又因为直线的斜率为 4，则(0)=10 1=4，所以1=1400，因为(0,0)在()=ln +ln+3(1)上，所以0=ln0 0+ln+3，由可得40+3=ln0 0+ln+3，将代入中可得，

17、40+3=ln0 00140+ln+3，化简可得ln+ln0 1=0，即=e0，由可得，=e00140=e(102 40)，令10=,0，则=2 4=(2)2 4,0，当=2时，即0=12时，min=22 4 2=4，所以当0=12时，()min=e (4)=4e，故答案为:4e.【变式 8-3】（2023上海黄浦上海市敬业中学校考三模）已知函数()=12 sin(2+3)的图像在(1,(1)处的切线与在(2(2)处的切线相互垂直，那么|1 2|的最小值是2.【解题思路】求出()，根据导数的几何意义得到cos(21+3)cos(22+3)=1，根据余弦函数的最值可得cos(21+3)=1且co

18、s(22+3)=1，或cos(21+3)=1且cos(22+3)=1，分两种情况求出|1 2|，然后求出其最小值即可.【解答过程】因为()=12 sin(2+3)，所以()=12 cos(2+3)2=cos(2+3)，依题意可得(1)(2)=1，所以cos(21+3)cos(22+3)=1,所以cos(21+3)=1且cos(22+3)=1，或cos(21+3)=1且cos(22+3)=1，当cos(21+3)=1且cos(22+3)=1时，21+3=21，1 ，22+3=22+，2 ，所以1 2=(1 2)2，1 ，2 ，所以|1 2|=|(1 2)2|，1 ，2 ，所以当1 2=0或1 2

19、=1时，|1 2|取得最小值2.当cos(21+3)=1且cos(22+3)=1时，21+3=21+，1 ，22+3=22，2 ，所以1 2=(1 2)+2，1 ，2 ，所以|1 2|=|(1 2)+2|，1 ，2 ，所以当1 2=0或1 2=1时，|1 2|取得最小值2.综上所述：|1 2|的最小值是2.故答案为：2.1（2023全国统考高考真题）曲线=e+1在点(1,e2)处的切线方程为（）A=e4 B=e2 C=e4 +e4D=e2 +3e4【解题思路】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.【解答过程】设曲线=e+1在点(1,e2

20、)处的切线方程为 e2=(1)，因为=e+1，所以=e(+1)e(+1)2=e(+1)2，所以=|=1=e4所以 e2=e4(1)所以曲线=e+1在点(1,e2)处的切线方程为=e4 +e4.故选：C.2（2021全国统考高考真题）若过点(,)可以作曲线=e的两条切线，则（）Ae Be C0 eD0 e【解题思路】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线=的图象，根据直观即可判定点(,)在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.【解答过程】在曲线=上任取一点(,)，对函数=求导得=，所以，曲线=在点处的切线方程为 =()，即=+(

21、1 )，由题意可知，点(,)在直线=+(1 )上，可得=+(1 )=(+1 )，令()=(+1 )，则()=().当 0，此时函数()单调递增，当 时，()0，此时函数()单调递减，所以，()max=()=，由题意可知，直线=与曲线=()的图象有两个交点，则 ()max=，当 0，当 +1时，()0，作出函数()的图象如下图所示：由图可知，当0 时，直线=与曲线=()的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线=的图象如图所示，根据直观即可判定点(,)在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0 0和 0时设切点为(0,ln0)，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方

22、程，再根据切线过坐标原点求出0，即可求出切线方程，当 0和 0时设切点为(0,ln0)，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0，即可求出切线方程，当 0时=ln，设切点为(0,ln0)，由=1，所以|=0=10，所以切线方程为 ln0=10(0)，又切线过坐标原点，所以ln0=10(0)，解得0=e，所以切线方程为 1=1e(e)，即=1e；当 0时=ln，设切点为(0,ln0)，由=1，所以|=0=10，所以切线方程为 ln0=10(0)，又切线过坐标原点，所以ln0=10(0)，解得0=e，所以切线方程为 1=1e(e)，即=1e；因为=ln|是

23、偶函数，图象为：所以当 0时=ln，设切点为(0,ln0)，由=1，所以|=0=10，所以切线方程为 ln0=10(0)，又切线过坐标原点，所以ln0=10(0)，解得0=e，所以切线方程为 1=1e(e)，即=1e；当 0；()是奇函数【解题思路】根据幂函数的性质可得所求的().【解答过程】取()=4，则(12)=(12)4=1424=(1)(2)，满足，()=43，0时有()0，满足，()=43的定义域为，又()=43=()，故()是奇函数，满足.故答案为：()=4（答案不唯一，()=2()均满足）.6（2022全国统考高考真题）若曲线=(+)e有两条过坐标原点的切线，则 a 的取值范围是

24、(,4)(0,+)【解题思路】设出切点横坐标0，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于0的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.【解答过程】=(+)e，=(+1+)e，设切点为(0,0),则0=(0+)e0,切线斜率=(0+1+)e0,切线方程为：(0+)e0=(0+1+)e0(0),切线过原点，(0+)e0=(0+1+)e0(0),整理得：02+0 =0,切线有两条，=2+4 0,解得 0,的取值范围是(,4)(0,+),故答案为：(,4)(0,+).7（2021全国统考高考真题）已知函数()=|1|,1 0，函数()的图象在点(1,(1)和点(2,(2)的两条切线互相垂直，且分别交 y 轴于 M，N 两点，则|取值范围是(0,1)【解题思路】结合导数的几何意义可得1+2=0，结合直线方程及两点间距离公式可得|=1+21|1|，|=1+22|2|，化简即可得解.【解答过程】由题意，()=|1|=1 ,0 1,0，则()=,0，所以点(1,1 1)和点(2,2 1)，=1,=2,所以1 2=1,1+2=0，所以:1+1=1(1),(0,11 1+1)，所以|=12+(11)2=1+21|1|，同理|=1+22|2|,所以|=1+21|1|1+22|2|=1+211+22=1+211+21=1 (0,1).故答案为：(0,1).