专题3.25 弧长及扇形的面积（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）.docx

1、专题3.25 弧长及扇形的面积（培优篇）（专项练习）一、单选题1如图，的半径为3，是的弦，直径，则的长为（）ABCD2如图，在中，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为()A8B9C16D183如图，MON=40，以O为圆心，4为半径作弧交OM于点A，交ON于点B，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在MON的内部相交于点C，画射线OC交于点D，E为OA上一动点，连接BE，DE，则阴影部分周长的最小值为（）ABCD4如图，矩形ABCD中，,以AB为直径作，与CD相交于E,F两点，则图中阴影部分的面积是（）ABCD5如图，把半径为3的O沿弦AB，AC折叠，使和都经过圆心O，则阴

2、影部分的面积为（）ABCD6如图，在中，是的平分线，经过，两点的圆的圆心恰好落在上，分别与、相交于点、若圆半径为2则阴影部分面积（） ABCD7如图，正方形ABCD的边长为4，分别以正方形的三边为直径在正方形内部作半圆，则阴影部分的面积之和是（）A8B4C16D48如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为G上一动点，CFAE于F，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）ABCD9如图，矩形ABCD是由矩形ABCD绕C点顺时针旋转而得，且点A、C、D在同一条直线上，在RtABC中，若AB=2，AD=2，则对角线AC旋转所扫过的

3、扇形面积为（ ）ABCD10如图，在矩形中，为对角线，以为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，则阴影部分的面积为（）ABCD二、填空题11如图，在矩形ABCD中，点O在BC边上，以O为圆心，OB的长为半径画弧，这条弧恰好经过点D，且交AD于E点，则BE弧的长为_12如图，矩形中，以为直径的半圆与相切于点，连接，则阴影部分的面积为_（结果保留13如图，在边长为的菱形中，点分别是上的动点，且与交于点.当点从点运动到点时，则点的运动路径长为_14一个扇形的弧长为 6，圆心角为 120，则此扇形的面积为_15如图，正方形ABCD，边长为4，点P和点Q在正方形的边上运动，且PQ4，若点P从点B出发沿BC

4、DA的路线向点A运动，到点A停止运动；点Q从点A出发，沿ABCD的路线向点D运动，到达点D停止运动它们同时出发，且运动速度相同，则在运动过程中PQ的中点O所经过的路径长为_16如图，在菱形中，是对角线，O与边相切于点，则图中阴影部分的面积为_17如图，等边中，、分别为边、的三等分点，将绕点顺时针旋转100到的位置，则整个旋转过程中线段所扫过部分的面积为_18如图，把一个直角三角形ABC的斜边AB放在直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到ABC的位置设BC=2，AC=，则顶点A运动到点A的位置时，线段AB扫过的图形面积是_三、解答题19如图，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点B

5、顺时针方向旋转（090）得到矩形A1BC1D1，点A1在边CD上（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度；（2）将矩形A1BC1D1继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2，点D2在BC的延长线上，设边A2B与CD交于点E，若=1，求的值20在扇形中，半径，点P在OA上，连结PB，将沿PB折叠得到（1）如图1，若，且与所在的圆相切于点B求的度数求AP的长（2）如图2，与相交于点D，若点D为的中点，且，求的长21如图，的直径为，弦为的平分线交于点（1）求的长；（2）试探究之间的等量关系，并证明你的结论；（3）连接为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，当点在半

6、圆上从点运动到点时，求内心所经过的路径长22如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E、F分别从点D和点C出发，沿着射线DA、射线CD运动，且DECF，直线AF、直线BE交于H点（1）当点E从点D向点A运动的过程中：求证：AFBE；在图中画出点H运动路径并求出点H运动的路径长；（2）在整个运动过程中：线段DH长度的最小值为_线段DH长度的最大值为_23如图,在半径为2的O中,点Q为优弧MN的中点,圆心角MON=60,在弧QN上有一动点P,且点P到弦MN所在直线的距离为x.(1) 求弦MN的长;(2) 试求阴影部分面积y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(3) 试分析比较,阴影部分面积y

7、与的大小关系.24已知：如图，BC为O的弦，点A为O上一个动点，OBC的周长为16过C作CDAB交O于D，BD与AC相交于点P，过点P作PQAB交于Q，设A的度数为（1）如图1，求COB的度数（用含的式子表示）；（2）如图2，若ABC90时，AB8，求阴影部分面积（用含的式子表示）；（3）如图1，当PQ2，求的值参考答案：1C【分析】连接OC，利用垂径定理以及圆心角与圆周角的关系求出；再利用弧长公式即可求出的长.解：连接OC （同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）直径=（垂径定理） 故选C【点拨】本题考查了垂径定理、圆心角与圆周角以及利用弧长公式求弧长，熟练掌握相关定理和公式是解答本题的关键.2C

8、【分析】旋转后ABCA1BC1，则阴影部分面积=SABA1+SA1BC1-SABC.解：在ABC中，AB=6，旋转后ABCA1BC1，A1B=AB=6，A1BA是等腰三角形，A1BA=30，SABA1=9，阴影部分面积=SABA1+SA1BC1-SABC，阴影部分面积=9.【点拨】根据旋转的性质转化求解是解题的关键.3A【分析】利用作图可知OA=OB=OD=4，BOD=DOA=20，即可求出的长度，作D点关于OM的对称点F，连接EF、OF、BF，根据FOA=DOA=20，OF=OD=OB，ED=EF，得到BOF=60，得到OBF是等边三角形，则有BE+DE=BE+EF的最小值为BF=4（B、E

9、、F三点在同一直线上），则问题得解解：作D点关于OM的对称点F，连接EF、OF、BF，如图所示：根据题条件可知，BOD=DOA=20，D、F关于OM对称，FOA=DOA=20，OF=OD=OB，ED=EF，BOF=60，OBF是等边三角形，BF=OB=4，DE=EF，BE+DE=BE+EF，的长度为定值，要想求阴影部分的周长最小即求BE+DE的最小值，又BE+DE=BE+EF，要求BE+EF的最小值，由图可知当B、E、F三点在同一直线上时，BE+EF=BF，此时有最小值，OBF是等边三角形，BF=OB=4，BE+EF=BF=4此时最小，阴影部分的周长最小值为：，故选：A【点拨】本题考查了作图-

10、复杂作图：求出EB+ED的最小值为解答问题的关键，可考查了轴对称的性质和最短路线问题4D【分析】连接OF、OE，过点O作OHCD于点H，利用勾股定理求出FH=1，得到FOH=45，根据等腰三角形的三线合一的性质得到EF=2FH=2，EOF=90，再利用扇形EOF的面积减去EOF的面积即可得到答案.解：如图，连接OF、OE，过点O作OHCD于点H，OF=AB=，OH=BC=1，OHF=90，FH=OH,FOH=45，OF=OE，EF=2FH=2，EOF=90，阴影部分的面积是.故选：D【点拨】此题考查矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一的性质，扇形的面积公式，熟记弓形面积的计算方法：扇形面

11、积减去三角形的面积，是解题的关键.5C【分析】阴影部分面积是不规则图形，因此首先连接OA，OB，OC，将不规则图形转化为规则图形求面积求扇形面积需知道圆心角的度数，因此作圆心O关于弦AB，AC的对称点，即可得到OE=OA，即可得到AOC=AOB=BOC=120，从而求出扇形BOC的面积即阴影部分面积解：如图，连接OA，OB，OC，并做O点关于AC的对称点D点，连接OD，叫AC于点EOA=OB=OC，O点、D点关于AC的对称，OE=DE=1，OE=OA=OC，OCE=OAE =30AOC=120同理可得AOB=120，BOC=120，故选C【点拨】本题考查了求不规则图形的面积，此题用到了转化思想

12、，即将不规则图形的面积转化为规则图形的面积6C【分析】连接OD，OF首先证明ODAC，推出S阴S扇形OFA，再证明AOF是等边三角形即可解决问题解：连接OD，OFAD是BAC的平分线， DABDAC，ODOA，ODAOAD，ODADAC，ODAC，ODBC90，SAFDSOFA， S阴S扇形OFA，ODOA2，AB6，OB4，OB2OD，B30，A60，OFOA，AOF是等边三角形，AOF60，S阴S扇形OFA.故选：C【点拨】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是添加常用辅助线，用转化的思想思考问题7A【分析】先判断出两半圆交点为正方形的中心，连接OA，

13、OD，则可得出所产生的四个小弓形的面积相等，先得出2个小弓形的面积，即可求阴影部分面积解：由题意，易知两半圆的交点即为正方形的中心，设此点为O，连接AO，DO，则图中的四个小弓形的面积相等，两个小弓形面积S半圆AOD-SAOD=S半圆AOD-S正方形ABCD，又正方形ABCD的边长为4，得各半圆的半径为2，两个小弓形面积2244=24，S阴影2S半圆4个小弓形面积222（24）8，故选：A【点拨】本题考查了扇形的面积计算，正方形的性质，解答本题的关键是得出两半圆的交点是正方形的中心，求出小弓形的面积，有一定难度，注意仔细观察图形8B解：分析：连接AC，AG，由OG垂直于AB，利用垂径定理得到O

14、为AB的中点，由G的坐标确定出OG的长，在直角三角形AOG中，由AG与OG的长，利用勾股定理求出AO的长，进而确定出AB的长，由CG+GO求出OC的长，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的长，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半径，如图中红线所示，当E位于点B时，COAE，此时F与O重合；当E位于D时，CAAE，此时F与A重合，可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在直角三角形ACO中，利用锐角三角函数定义求出ACO的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出的长解：连接AC，AG

15、，GOAB，O为AB的中点，即AO=BO=AB，G（0，1），即OG=1，在RtAOG中，根据勾股定理得：AO=，AB=2AO=2，又CO=CG+GO=2+1=3，在RtAOC中，根据勾股定理得：AC=，CFAE，ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，当E位于点B时，COAE，此时F与O重合；当E位于D时，CAAE，此时F与A重合，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在RtACO中，tanACO=，ACO=30，度数为60，直径AC=2，的长为，则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长故选B【点拨】此题属于圆综合题，涉及的知识有：坐标与

16、图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长是解本题的关键9A解：根据题意得：ACB=30，则ACB=30，则ACA=90+30=120，根据勾股定理可得AC=4，则S=.考点：旋转图形、扇形的面积计算.10D【分析】如图，连接，过作于点,此时根据直角三角形的性质求得，再根据等边三角形判定得出为等边三角形，进而将问题转化到新的三角形之中，利用勾股定理求得，最终求阴影部分的面积转化为求解即可解：如下图，连接，过作于点,在矩形中， ，,又，为等边三角形， 故选：D【点拨】本题考察了直角三角形的性质、勾股定理的应

17、用、等边三角形的判定、割补法求面积、扇形面积计算等知识点，综合性较强，属于选择题中的压轴题，灵活运用相关定理和性质是解题的关键11分析：连接OE，根据矩形的性质，得到C=90，进而得到ODC=90，然后得出等边三角形EOD，可求BOE=60，再根据弧长公式求解即可.解：连接OE矩形ABCD中，BO=2CO=2DO=2CO=2ODC=30EDO=DOC=60OE=ODEOD=60BOE=60BE弧的长为.故答案为.【点拨】此题主要考查了矩形的性质和弧长公式，关键是根据矩形的性质得到30角，构造等边三角形.12【分析】如图所示，连接OE交BD于点F，利用切线的性质得OD=2，OEBC，易得四边形O

18、ECD为正方形，再证EFBOFD，即可将阴影部分面积转化为扇形OED的面积，最后利用扇形面积公式求解即可得出答案解：如图所示，连接OE交BD于点F， 以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，OD=2，OEBC，OE=OD=2，在矩形中， 四边形OECD为正方形，CE=OD=2，BE=BC-CE=2，BE=DO，AD/BC，EFBOFD，阴影部分的面积= .故答案为【点拨】本题考查了切线的性质、矩形的性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、扇形的面积公式等知识.正确添加辅助线、仔细识图从中得到阴影部分面积的求法是解题的关键.13【分析】根据题意证得，推出BPE =60，BPD =120，

19、得到C、B、P、D四点共圆，知点的运动路径长为的长，利用弧长公式即可求解解：连接BD，菱形中，C=A=60，AB=BC=CD=AD，ABD和CBD都为等边三角形，BD=AD，BDF=DAE=60，DF=AE，DBF=ADE，BPE=BDP+DBF =BDP+ADE=BDF =60，BPD=180-BPE=120，C=60，C+BPD =180，C、B、P、D四点共圆，即O是的外接圆，当点从点运动到点时，则点的运动路径长为的长，BOD =2BCD =120，作OGBD于G，根据垂径定理得：BG=GD=BD=，BOG =BOD =60，即，从而点的路径长为【点拨】本题考查了菱形的性质，等边三角形的

20、判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，弧长公式等知识，解题的关键是学会准确寻找点的运动轨迹1427【分析】先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式求解即可解：设扇形的半径为r，则解得：扇形的面积故答案为：【点拨】本题考查的知识点是弧长公式以及扇形的面积公式，熟记公式内容是解此题的关键15解：画出点O运动的轨迹，如图虚线部分，则点P从B到A的运动过程中，PQ的中点O所经过的路线长等于3，故答案为：316【分析】连接OD，先求出等边三角形OAB的面积，再求出扇形的面积，即可求出阴影部分的面积解：如图，连接OD，AB是切线，则ODAB，在菱形中，AOB是等边三角形，AOB

21、=A=60，OD=，扇形的面积为：，阴影部分的面积为：；故答案为：【点拨】本题考查了求不规则图形的面积，扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确求出等边三角形的面积和扇形的面积17【分析】连接BH、，过点H作HMBC于点M，根据等边三角形的性质和已知条件可求得AH=AO=2，HC=OB=4，在RtHCM中，求得CM=2，HM=2，在RtHBM中，求得，由旋转可得HOB，即可得线段所扫过部分的面积为，由此即可求解解：连接BH、，过点H作HMBC于点M，为等边三角形，C=60，AH=AO=2，HC=OB=4，在RtHCM中，C=60，HC=4，CM=2，HM=2，BC=6

22、，BM=4，在RtHBM中，BM=4，HM=2，由旋转可得HOB，线段所扫过部分的面积为：故答案为：【点拨】本题考查了旋转的旋转、等边三角形的性质及扇形的面积公式，正确得出线段所扫过部分的面积为是解决问题的关键18【分析】在直角ABC中，BC=2，AC=，根据勾股定理得到AB的长为4求出CAB、CBA，顶点A运动到点A的位置时，AB扫过的面积=扇形 BAA+圆环BJKB+ 圆环 AKLA-弓形BM，根据扇形的面积公式可以进行计算解：在RtACB中，BC=2，AC=，由勾股定理得：AB=4，AB=2BC，CAB=30，CBA=60，ABA=120，ACA=90，过点C作CFAB，作CFAB，垂足

23、分别是F，F，CF=CF=，AB扫过的面积=扇形BAA+圆环BJKB+圆环AKLA-弓形BM， = =故答案为：【点拨】本题考查了扇形的面积计算，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质的应用，本题的关键是弄清线段AB扫过图形的形状19（1）D到点D1所经过路径的长度为；（2）（负根已经舍弃）解：分析：（1）作A1HAB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形解直角三角形，求出ABA1，得到旋转角即可解决问题；（2）由BCEBA2D2，推出，可得CE=，由-1推出，推出A1C=，推出BH=A1C=，可得m2-n2=6，可得1-=6，由此解方程即可解决问题；解：（1）作A1HAB于H，连接

24、BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形AD=HA1=n=1，在RtA1HB中，BA1=BA=m=2，BA1=2HA1，ABA1=30，旋转角为30，BD=，D到点D1所经过路径的长度= （2）BCEBA2D2，CE=-1，A1C=，BH=A1C=，m2-n2=6，m4-m2n2=6n4，1-=6，（负根已经舍弃）【点拨】本题考查轨迹，旋转变换、解直角三角形、弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型20（1）60；（2）【分析】(1)根据图像折叠的性质，确定角之间的关系，通过已知的角度来间接求所求角的角度；求的长，先连接，先在中，求出；再在中，求出即可得到

25、答案；（2）要求的长，扇形的半径已知，就转化成求的度数，连接，通过条件找到角之间的等量关系，再根据三角形内角和为，建立等式求出，最后利用弧长的计算公式进行计算解：（1）如图1，为圆的切线由题意可得，如图1，连结，交BP于点Q则有在中，在中，（2）如图2连结OD设点D为的中点由题意可得，又，解得【点拨】本题考查了求线段的长度和弧长的长度问题，解题的关键是：根据题目中的条件，找到边角之间的等量关系，通过等量代换的思想间接求出所需要求的量21（1）；（2），证明见分析；（3）【分析】(1)根据直径所对的角是90，判断ABC和ABD是直角三角形，根据圆周角ACB的平分线交O于D，判断ADB为等腰直角三

26、角形，然后根据勾股定理求出值；(2)延长CA到F，使AF=CB，可证CDF为等腰直角三角形,从而得到CA、CB、CD 之间的等量关系；(3)作辅助线，连接OM，PM,正确构造图形，确定M的运动轨迹是圆弧形，先求的长度，再得到点M经过路径的长解：是直径是的平分线在中，证明如下延长到，使，连接又为等腰直角三角形连接点为的内心所以点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上（分左右两种情况）；设所在圆的圆心弧的长为=点经过路径长为=【点拨】本题综合考查了圆周角定理，全等三角形，等腰直角三角形，圆弧的长，勾股定理等知识，解答此题要抓住三个关键，(1)判断出ABC和 ABD是直角三角形，以便利用勾股定理；

27、(2)判断出线段CDF和ABD是等腰直角三角形，然后将各种线段转化到等腰直角三角形中利用勾股定理解答，(3)通过作辅助线，正确构造图形，确定M的运动轨迹是圆弧形，再利用弧长公式解答22（1）见分析；3；（2）【分析】（1）证明ABEDAF，运用互余原理证明即可；根据AHB=90，且AB是定长，判定点H在以AB为直径的圆上，且H可以与M，B重合即运动路径是一段优弧，根据弧长公式计算即可；（2）根据圆的性质，当O，H，D共线，且H在O，D之间时最短，根据勾股定理计算即可根据圆的性质，当O，H，D共线，且H在O，D之外时最长，根据勾股定理计算即可解：（1）四边形ABCD是正方形，AB=DA=CD，B

28、AE=ADF=90，DECF，AE=DF，ABEDAF，ABE=DAF，ABE+AEB=90，DAF+AEB=90，AHE=90，AFBE；点H运动路径画图如下，AHB=90，且AB是定长，点H在以AB为直径的圆上，且H可以与M，B重合即运动路径是一段优弧， 设AB的中点为点O，连接BD，设BD 的中点为点M，连接OMBOM=90，AB=4，圆的半径为2，弧长为=3；（2）根据圆的性质，当O，H，D共线，且H在O，D之间时最短，当H与点G重合时，最短，AD=4，AO=2，DO=；DH=DO-OG=，故答案为：根据圆的性质，当O，H，D共线，且H在O，D之外时最大，当H与点Q重合时，最大，AD=

29、4，AO=2，DO=；DH=DO+OQ=，故答案为：【点拨】本题考查了正方形的性质，弧长公式，圆的基本性质，圆的定义，三角形的全等判定与性质，熟练运用正方形的性质，灵活运用弧长公式和圆的性质是解题的关键23（1）MN2；（2）；（3）见分析【分析】（1）根据有一个角是60的等腰三角形是等边三角形，可得出OMN是等边三角形，即OM=ON=MN=2,（2）根据三角形的面积公式，即可列出y，x的函数关系式,（3）根据等底等高的三角形的面积相等，可以过点O作OPMN，以此线段为分界线进行分情况讨论解：(1)OM=ON,MON=60,MON是等边三角形,MN=OM=ON=2.(2)作OHMN于H点,.在

30、RtOHN中,.,即.(3)令,即,.当时,;当时,;当时,.【点拨】本题主要考查了圆的综合题,解题时,利用了勾股定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质以及扇形面积的计算,解决本题的关键是要熟练利用相关几何定理和性质.24（1）COB2；（2）阴影部分面积；（3）.【分析】（1）根据圆周角定理可得COB2A2；（2）当ABC90时，可得点P与圆心O重合，根据OBC的周长为16以及AB8，可求得O的半径为5，可得出扇形COB的面积以及OBC的面积，进而得出阴影部分面积；（3）由CDABPQ，可得BPQBDC，CPQCAB，即，两式子相加可得，即可得出的值解：（1）A的度数为，COB2A2，（2）当ABC90时，AC为O的直径，CDAB，DCB1809090，BD为O的直径，P与圆心O重合，PQAB交于Q，OQBC，CQBQ，AB8，OQAB4，设O的半径为r，OBC的周长为16，CQ8r，（8r）2+42r2，解得r5，CB6，阴影部分面积；（3）CDABPQ，BPQBDC，CPQCAB，PQ2，2【点拨】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，构造相似三角形得出PQ，AB，CD之间的关系是解决（3）问的关键