专题3.3 整式（解析版）.docx

1、专题3.3 整式 知识梳理知识点 单项式、多项式1.单项式：由数和字母的乘积构成的代数式，单独的一个数和字母也是单项式。（1）单项式的系数：单项式中的数字因数（2）单项式的次数：所有字母的指数和2.多项式：几个单项式的和叫做多项式，称为“几次（多项式的次数）几项（多项式的项数）式”。（1）多项式的项：每个单项式都叫做多项式的项（2）常数项：不含字母的项（3）多项式的次数：次数最高的项的次数3.整式：单项式与多项式统称整式课后培优练级练培优第一阶基础过关练1单项式的系数和次数分别是（）ABCD【答案】B【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数【详

2、解】解：单项式的系数和次数分别是、2故选：B【点睛】本题考查单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键2多项式的常数项是_，次数是_（）A1，3B1，2C1，3D1，2【答案】C【分析】根据多项式的项和次数的概念进行判断即可【详解】解：的常数项是1，次数是3，故选：C【点睛】本题考查多项式的项和次数的概念，熟知多项式的项和次数的概念是解答本题的关键其中，多项式的次数指次数最高的项的次数；常数项指不含字母的项3如图，是小明同学完成的判断题，他做对的题数是（）（）（）倒数等于本身的数有1和（）单项式的系数是，次数是2（）多项式是三次三

3、项式，常数项是1（）A2个B3个C4个D5个【答案】A【分析】各式利用绝对值，有理数的乘方、倒数、单项式、多项式判断即可【详解】解：，错误，小明做错；，正确，小明做错；倒数等于本身的数有1和，正确，小明做对；单项式的系数是，次数是1，错误，小明做错；多项式是一次三项式，常数项是1，错误，小明做对故选：A【点睛】此题考查了绝对值，有理数的乘方、倒数、单项式、多项式，解题的关键是掌握各自的概念4若是关于x，y的4次多项式，则（）AB7C11D23【答案】A【分析】利用多项式的次数为4与系数不为零构造方程，解方程即可【详解】解：是关于的4次多项式，解得，故选择：A【点睛】本题考查了代数式求值，多项式

4、的次数的定义，掌握多项式的次数为次数最高的项的次数是解题的关键5观察下面一列数：x，-2x2，3x3，-4x4，5x5，-6x6，根据你发现的规律，第n个数是（）AnxnB-nxnCD【答案】D【分析】通过观察可以发现：各单项式的系数的绝对值是连续的正整数，且奇数是正数，偶数为负数，字母指数与该项序号相同，即可解答【详解】通过观察可以发现第n个数是，故选D【点睛】本题考查单项式的变化规律观察得出各单项式的系数和次数的变化规律是解题关键6单项式的次数是 _【答案】6【分析】直接根据单项式的次数的定义得出答案，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数【详解

5、】解：单项式的次数是6故答案为：6【点睛】本题考查了单项式的次数，理解单项式的次数的定义是解题的关键7当k=_时，(k-1)a2-5a+3是a的一次多项式.【答案】1【分析】根据多项式的次数的定义得出，求解方程即可【详解】解：由题意得，解得：故答案为：1【点睛】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握多项式的次数的定义，即可完成8若多项式是关于x的一次多项式，则a的值为_【答案】0【分析】根据多项式为一次多项式得到三次项系数为0列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值【详解】解：根据题意得：，且，解得：故答案为：0【点睛】此题考查了多项式，熟练掌握多项式的定义是解本题的关键9多项式按字母降幂排

6、列是_【答案】【分析】先分清各项，然后按降幂排列的定义解答即可【详解】解：多项式的各项是，按x降幂排列为故答案为：【点睛】本题考查的多项式的按次数排列，本题降幂排即从x的最高次幂排到最低次幂10是关于x与y的五次三项式，则_；【答案】1【分析】由于原式是关于x与y的五次三项式，所以最高次数为5，再算出各个单项式的系数，最高为n，得出，再代入原式化简，因为原式是三项式，所以多出的项为0，即，最后将m和n代入求值即可【详解】原式中的次数为n，的次数为n-1，的次数为n-2，的次数为n-1，的次数为n-2，由于原式是关于x与y的五次三项式，而最高次数为n，代入原式得：，合并同类项得：，原式是关于x与

7、y的五次三项式，的系数为0，即，故答案为：1【点睛】本题考查了关于多项式定义的参数问题，熟练掌握多项式的定义是解题的关键11已知关于的多项式是二次二项式.求：(1)的值.(2)代数式的值.【答案】(1)k=-2；(2)【分析】（1）根据多项式是二次二项式，可得出k+2=0，从而得出k的值；（2）把k=-2代入要求的式子，再进行计算即可得出答案（1）解：关于x的多项式是二次二项式，k+2=0，k=-2；（2）解：把k=-2代入得：=1+（-1）+1+（-1）=0【点睛】本题考查了多项式，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数12观察下面三行数：-2，4，-

8、8，16，-32，64，；0，6，-6，18，-30，66，；-1，2，-4， 8，-16，32，(1)写出第行数的第10个数；(2)观察第行数与第行数的关系，写出第二行的第n数；(3)取每行数的第9个数，计算这三个数的和【答案】(1)1024(2)(-2)n + 2(3)-1278【分析】（1）根据题意得：第行数的第1个数为，第行数的第2个数为，第行数的第3个数为，第行数的第4个数为，由此得到规律，即可求解；（2）根据题意得：第行数的第1个数为，第行数的第2个数为，第行数的第3个数为，第行数的第4个数为，由此得到规律可得第行数是第行的相应的数加上2；第行数的第1个数为，第行数的第2个数为，第

9、行数的第3个数为第行数的第4个数为，由此得到第行数是第行的相应的数乘以，即可求解；（3）由（2）得到第行数的第n个数为，可得到第行数的第9个数，第行数的第9个数为，第行数的第9个数为，即可求解(1)解：根据题意得：第行数的第1个数为，第行数的第2个数为，第行数的第3个数为，第行数的第4个数为，由此得到第行数的第n个数为，第行数的第10个数；(2)解：根据题意得：第行数的第1个数为，第行数的第2个数为，第行数的第3个数为，第行数的第4个数为，由此得到第行数是第行的相应的数加上2；第二行的第n数为；第行数的第1个数为，第行数的第2个数为第行数的第3个数为第行数的第4个数为，由此得到第行数是第行的相

10、应的数乘以；(3)解：由（2）得到第行数的第n个数为，第行数的第9个数，第行数的第9个数为，第行数的第9个数为，这三个数的和为【点睛】本题主要考查了数字类规律题，有理数的乘方运算，明确题意，准确得到规律是解题的关键培优第二阶拓展培优练1下列判断中正确的是（）A是四次三项式B单项式的系数是C的一次项系数是1D的次数与系数都是1【答案】D【分析】根据多项式的的项数和次数，单项式的系数和次数判断即可【详解】A 是三次三项式， 故选项错误，不符合题意；B 单项式的系数是， 故选项错误，不符合题意；C 的一次项系数是-1， 故选项错误，不符合题意；D 的次数与系数都是1， 故选项正确，符合题意；故选：D

11、【点睛】此题考查了单项式和单项式，解题的关键是知道是数，不是字母2按一定规律排列的单项式：3，第8个单项式是（）ABCD【答案】A【分析】观察每个单项式的系数和所含字母的指数，总结规律，根据规律解答即可【详解】解：由题意可知：单项式的系数是从3起的奇数，单项式中a的指数偶数，b的指数不变，所以第8个单项式是：故选：A【点睛】本题考查的是数字的变化规律、单项式的概念，正确找出单项式的系数和次数的变化规律是解题的关键3生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示即：212，224，238，2

12、416，2532，请你推算22022的个位数字是（）A8B6C4D2【答案】C【分析】利用已知得出数字个位数的变化规律进而得出答案【详解】解：212，224，238，2416，2532，尾数每4个一循环，202245052，22022的个位数字应该是：4故选：C【点睛】此题主要考查了尾数特征，根据题意得出数字变化规律是解题关键4将全体正奇数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第25行第20个数是（）A639B637C635D633【答案】A【分析】找出每一行第一个数的变化规律，进而可求第25行第20个数【详解】解：第1行第1个数为：1=12；第2行第1个数为：；第3行第1个数为：；第4行第

13、1个数为：；推导出一般性规律：即第n行第1个数为；第25行第1个数为：，第25行第20个数为：故选A【点睛】本题考查了数字的规律探究，推导出一般性规律是解题的关键5定义：一种对于三位数abc(其中在abc中，a在百位，b在十位，c在个位，a、b、c不完全相同)的F运算：重排abc的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差(允许百位数字为零)，例如abc463时，则经过大量运算，我们发现任意一个三位数经过若干次F运算都会得到一个固定不变的值；类比联想到：任意一个四位数经过若干次这样的F运算也会得到一个定值，这个定值为（）A4159B6419C5179D6174【答案】D【分析】设这个

14、四位数为1234，再进行若干次F运算即可得到这个定值【详解】由题意，不妨设这个四位数为1234，则经过第1次F运算的结果为，经过第2次F运算的结果为，经过第3次F运算的结果为，经过第4次F运算的结果为，由此可知，这个定值为6174，故选：D【点睛】本题考查了数字类的规律型问题，掌握理解F运算的定义是解题关键6若多项式xy|mn|+（n1）x2y2+1是关于x，y的三次多项式，则mn_【答案】3或1【分析】用多项式的次数求出m，n【详解】解：多项式xy|mn|+（n1）x2y2+1是关于x，y的三次多项式， n10，1+|mn|3， n1，|mn|2， mn2或nm2， m3或m1， mn3或1

15、故答案为：3或1【点睛】本题考查了多项式的次数，去绝对值运算，用次数建立等量关系是解题关键 7下列单项式：，根据你发现的规律，第2011个单项式是_【答案】【分析】发现规律：第奇数个单项式的符号为负，偶数个单项式的符号为正，第n个单项式的系数的绝对值为n，第n个单项式的幂的底数为x，指数为n，根据规律解答即可【详解】解：第奇数个单项式的符号为负，偶数个单项式的符号为正，第2011个单项式的符号为负，第n个单项式的系数的绝对值为n，第n个单项式的幂的底数为x，指数为n，第2011个单项式的系数为-2011，幂为，第2011个单项式是，故答案为：【点睛】本题考查了数字的变化规律，判断出单项式的符号

16、，系数以及幂与序号之间的关系是解决本题的关键8关于x、y的多项式是四次二项式，则_【答案】2或【分析】直接利用多项式的次数与系数确定方法分析得出答案【详解】解：关于x、y的多项式是四次二项式，当，|m+1|=3时，m=2；当m+3=0时，m=-3，原多项式为，综上所述，m的值为2或故答案为：2或【点睛】本题主要考查了多项式，正确分类讨论得出m的值是解题关键9如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍；拼第三个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；照这样拼图，则第四个图形需要_根火柴棍；第n个图形需要_根火柴棍【答案】 9 【分析】第一个用3根，第二个用

17、3+2=3+(2-1)2=5，第三个用3+2+2=3+(3-1)2=7，第四个用3+2+2+2=3+(4-1)2=9，第n个用3+(n-1)2=2n+1【详解】第一个用3根，第二个用3+2=3+(2-1)2=5，第三个用3+2+2=3+(3-1)2=7，第四个用3+2+2+2=3+(4-1)2=9，第n个用3+(n-1)2=2n+1，故答案为：9，2n+1【点睛】本题考查了整式的加减中规律探索，熟练掌握规律探索的基本方法是解题的关键10“科赫曲线”是瑞典数学家科赫1904构造的图案（又名“雪花曲线”）其过程是：第一次操作，将一个等边三角形每边三等分，再以中间一段为边向外作等边三角形，然后去掉中

18、间一段，得到边数为12的图第二次操作，将图中的每条线段三等分，重复上面的操作，得到边数为48的图如此循环下去，得到一个周长无限的“雪花曲线”若操作4次后所得“雪花曲线”的边数是_【答案】768【分析】根据最开始和前两次的操作归纳类推出一般规律，由此即可得出答案【详解】开始时，等边三角形的边数为3，第1次操作后所得“雪花曲线”的边数为，第2次操作后所得“雪花曲线”的边数为，归纳类推得：第n次操作后所得“雪花曲线”的边数为，其中n为正整数，则第4次操作后所得“雪花曲线”的边数为，故答案为：768【点睛】本题考查了图形的规律性问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键11已知，并且2ABC0(1)求多项

19、式C；(2)若a，b满足|2a4|b1|0，求（1）中多项式C的值【答案】(1)7a2b1(2)-29【分析】（1）根据多项式的运算法则，代入A、B，可求出多项式C；（2）去绝对值求出a、b，代入可求解（1）由题意得：C2AB2（2a2b+3ab22）（6ab2+3a2b+5）4a2b6ab2+4+6ab23a2b57a2b1；（2）由题意得：2a+40，b10，解得：a2，b1原式7（2）211741128129【点睛】本题考查多项式的化简求值，灵活运用运算法则为关键12已知有理数a、b、c在数轴上所对应的点分别是A、B、C三点，且a、b、c满足：多项式x|a|（a2）x7是关于x的二次三项

20、式；（b1）2|c5|0(1)直接写出a，b，c的值；(2)点P为数轴上C点右侧一点，且点P对应的数为y，化简|y2|2|1y|y5|；(3)点A在数轴上以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C在数轴上分别以每秒m个单位长度和4个单位长度的速度向右运动（其中m4），若在整个运动的过程中，点B到点A的距离与点B到点C的距离差始终不变，求m的值【答案】(1)a2，b1，c5(2)2y5(3)1.5【分析】（1）由非负数的性质和二次三项式的定义可求a，b，c的值；（2）由y的取值范围，根据绝对值的性质化简即可；（3）设运动时间为t秒，则t秒后点A表示的数为2t，点B表示的数为1mt，点C表示

21、的数为54t，由题意列出等式，整理后根据距离差始终不变求解即可（1）解：（b1）2|c5|0，b10，c50，b1，c5，多项式x|a|（a2）x7是关于x的二次三项式，|a|2且a20，a2，a2，b1，c5；（2）点P为数轴上C点右侧一点，y5，|y2|2|1y|y5|y22（y1）（y5）y22y2y52y5；（3）设运动时间为t秒，则t秒后点A表示的数为2t，点B表示的数为1mt，点C表示的数为54t，根据题意得：1mt（2t）54t（1mt）1（2）（51），整理得：（2m3）t50，在整个运动的过程中，点B到点A的距离与点B到点C的距离差始终不变，2m30，m1.5【点睛】本题考查

22、了非负数的性质，多项式的定义，绝对值的性质以及用数轴上的点表示数，熟练掌握基础知识是本题的关键培优第三阶中考沙场点兵1（2021四川绵阳中考真题）整式的系数是（）A-3B3CD【答案】A【分析】根据单项式的系数的定义求解即可【详解】解：的系数为-3，故选A【点睛】本题主要考查了单项式的系数，解题的关键在于能够熟练掌握单项式的系数的定义2（2021海南中考真题）下列整式中，是二次单项式的是（）ABCD【答案】B【分析】根据单项式的定义、单项式次数的定义逐项判断即可得【详解】A、是多项式，此项不符题意；B、是二次单项式，此项符合题意；C、是三次单项式，此项不符题意；D、是一次单项式，此项不符题意；

23、故选：B【点睛】本题考查了单项式，熟记定义是解题关键3（2021云南中考真题）按一定规律排列的单项式：，第n个单项式是（）ABCD【答案】A【分析】根据题目中的单项式可以发现数字因数是从1开始的正整数的平方，字母的指数从1开始依次加1，然后即可写出第n个单项式，本题得以解决【详解】解：一列单项式：，.，第n个单项式为，故选：A【点睛】本题考查数字的变化类、单项式，解答本题的关键是明确题意，发现单项式的变化特点，求出相应的单项式4（2022重庆中考真题）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有5个正方形，第个图案中有9个正方形，第个图案中有13个正方形，第个图案中有17个正方形，此规律排

24、列下去，则第个图案中正方形的个数为（）A32B34C37D41【答案】C【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+41；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+42；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+43；第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：49+1=37故选：C【点睛】本题主要考查了图形的变化规

25、律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键5（2022云南中考真题）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，第n个单项式是（）A(2n-1)B(2n+1)C(n-1)D(n+1)【答案】A【分析】系数的绝对值均为奇数，可用(2n-1)表示；字母和字母的指数可用xn表示【详解】解：依题意，得第n项为（2n-1）xn，故选：A【点睛】本题考查的是单项式，根据题意找出规律是解答此题的关键6（2022湖北鄂州中考真题）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数

26、学模型2n来表示即：212，224，238，2416，2532，请你推算22022的个位数字是（）A8B6C4D2【答案】C【分析】利用已知得出数字个位数的变化规律进而得出答案【详解】解：212，224，238，2416，2532，尾数每4个一循环，202245052，22022的个位数字应该是：4故选：C【点睛】此题主要考查了尾数特征，根据题意得出数字变化规律是解题关键7（2020湖南娄底中考真题）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（）A135B153C170D189【答案】C【分析】由观察发现每个正方形内有：可求解，从而得到，再利用之间的关系求解即可【详解】解：

27、由观察分析：每个正方形内有： 由观察发现： 又每个正方形内有： 故选C【点睛】本题考查的是数字类的规律题，掌握由观察，发现，总结，再利用规律是解题的关键8（2022广东中考真题）单项式的系数为_【答案】3【分析】单项式中数字因数叫做单项式的系数，从而可得出答案【详解】的系数是3，故答案为：3【点睛】此题考查了单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式系数的定义9（2022湖北十堰中考真题）如图，某链条每节长为，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为，按这种连接方式，50节链条总长度为_【答案】91【分析】通过观察图形可知，1节链条的长度是，2节链条的长度是（2.82-1），3节链条的长度是（2.8

28、3-12），n节链条的长度是2.8n-1（n-1），据此解答即可求解【详解】解：2节链条的长度是（2.82-1），3节链条的长度是（2.83-12），n节链条的长度是2.8n-1（n-1），所以50节链条的长度是：2.850-1（50-1）=140-149=91故答案为：91【点睛】此题考查的图形类规律，关键是找出规律，得出n节链条长度为2.5n-0.8（n-1）10（2021贵州黔西中考真题）已知2a5b3，则2+4a10b_【答案】8【分析】先变形得出2+4a10b2+2（2a5b），再代入求出答案即可【详解】解：2a5b3，2+4a10b2+2（2a5b）2+238，故答案为：8【点睛】

29、本题考查了求代数式的值，掌握整体代入法是解此题的关键11（2020四川绵阳中考真题）若多项式是关于x，y的三次多项式，则_【答案】0或8【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出答案【详解】解：多项式是关于，的三次多项式，或，或，或8故答案为：0或8【点睛】本题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键12（2021湖南湘潭中考真题）单项式的系数是_.【答案】3【分析】根据单项式的系数定义判断即可.【详解】单项式，其中数字因式为3，则单项式的系数为3.故答案为3.【点睛】本题考查了单项式的系数定义的掌握情况，单项式的系数：单项式中的数字因数.13（2022黑龙江大庆中考真题）观察下

30、列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是_【答案】49【分析】根据题意可知：第1个图案中有六边形图形：1+2+1=4个，第2个图案中有六边形图形：2+3+2=7个，由规律即可得答案【详解】解：第1个图案中有六边形图形：1+2+1=4个，第2个图案中有六边形图形：2+3+2=7个，第3个图案中有六边形图形：3+4+3=10个，第4个图案中有六边形图形：4+5+4=13个，第16个图案中有六边形图形：16+17+16=49个， 故答案为：49【点睛】此题考查图形的变化规律，解题的关键是找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题14（2020黑龙江大庆中考真题）如图，把同样大小的黑

31、色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为_【答案】440【分析】先观察图形得出前四个图中黑色棋子的个数，再归纳类推出一般规律，由此即可得【详解】观察图形可知，黑色棋子的个数变化有以下两条规律：（1）正多边形的各顶点均需要1个黑色棋子（2）从第1个图开始，每个图的边上黑色棋子的个数变化依次是即第1个图需要黑色棋子的个数为第2个图需要黑色棋子的个数为第3个图需要黑色棋子的个数为第4个图需要黑色棋子的个数为归纳类推得：第n个图需要黑色棋子的个数为，其中n为正整数则第20个图需要黑色棋子的个数为故答案为：440【点睛】本题考查了整式的图形规律探索题，依据图形，正确归纳类推出一般规律是解题关键