专题3.32 勾股定理（挑战综合压轴题分类专题）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）.docx

1、专题3.32 勾股定理（挑战综合压轴题分类专题）【综合类】【综合考点1】勾股定理探究勾股数1（2023春全国八年级期中）像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，那么a，b，c为勾股数你认为对吗？请说明理由2（2022秋江苏八年级专题练习）（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由【综合考点2】勾股定理勾股定理的证明3（2021内蒙古呼和浩特统考

2、二模）（1）如图是一个重要公式的几何解释请你写出这个公式； （2）如图，且B、C、D三点在一条直线上试证明； （3）伽菲尔德（Garfield，1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在新英格兰教育日志上），现请你尝试该证明过程 4（2022广东模拟预测）如图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c请你运用此图形证明勾股定理：a2+b2c2【综合考点3】勾股定理三

3、角形全等求线段长5（2022山东泰安统考一模）如图，在ABC和DCE中，ACDE，BDCE90，点A，C，D依次在同一直线上，且ABDE（1）求证：ABCDCE；（2）连结AE，当BC5，AC12时，求AE的长6（2022山东淄博模拟预测）如图，(1) 求证：(2) 若，求的长【综合考点4】勾股定理三角形全等求面积7（2023湖南长沙校考三模）如图，已知平分，且(1) 求；(2) 若，求的面积8（2016福建漳州统考一模）对某一种四边形给出如下定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，AC，A=70，B=80则C=

4、 度，D= 度（2）在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形ABCD”（如图2），其中ABC=ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立请你证明此结论；在的条件下，若ABC=ADC=90，AB=AD=4，BCD=60，求等对角四边形ABCD的面积【综合考点5】勾股定理探究线段关系三角形全等9（2023湖北武汉统考模拟预测）如图，和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上(1) 判断与间的数量关系，并说明理由；(2) 直接写出线段、间满足的数量关系10（2023吉林长春统考模拟预测）已知：如图，中，点D在边上，点A关于直线的对称点为E，射线交直线于点F，连接(1) 设，用含的代数式

5、表示的大小，并求的度数；(2) 用等式表示线段，之间的数量关系，并证明 【综合考点6】勾股定理折叠问题11（2018广东韶关统考一模）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F（1）求证：ABFEDF；（2）若AB=6，BC=8，求AF的长. 12（2023广东东莞校考二模）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，现将直角边沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，试求的长【综合考点7】勾股定理方程思想13（2022江苏无锡模拟预测）如图，在超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台AC，利用旗杆顶部的绳索，荡过90到达与高台AC水平距离为17米（即，米），高为3

6、米的矮台BD的顶端B(1) 求旗杆的高度OM；(2) 求玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN14（2017浙江金华统考一模）如图，一扇窗户用支架B-C-D固定，当窗户打开时，B、C、D三点在同一直线上，且，当窗户关上时A、D、B、C依次落在同一直线上，现测得AB=16cm，AD=12cm(1) 求BC的长；(2) 经测算，当BAD=120时窗户透光效果最好，为达到最佳效果，AD应调整为多少厘米？【综合考点8】勾股定理分类讨论思想15（2022四川达州模拟预测）如图，在RtABC中，ACBRt，AC8，AB10，动点D从点A出发，沿线段AB以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作DFAB交B

7、C所在的直线于点F，连结AF，CD设点D运动时间为t秒（1）BC的长为 ；（2）当t2时，求ADC的面积（3）当ABF是等腰三角形时，求t的值16（2023江苏苏州模拟预测）如图，在四边形ABCD中，ADBC，B90，AD2cm，AB3cm，BC6cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿ABC匀速运动，设线段DP扫过四边形ABCD所形成的阴影面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0t9），请解答以下问题：（1）边DC的长为 cm；（2）当点P在BC上运动时，求出阴影面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部

8、分？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使DPC恰好是直角三角形？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由【挑战类】【综合考点1】勾股定理探究勾股数17（2023河北一模）已知：整式，整式(1) 当时，写出整式的值_（用科学记数法表示结果）；(2) 求整式；(3) 嘉淇发现：当取正整数时，整式、满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由18（2018福建漳州统考一模）阅读：所谓勾股数就是满足方程x2+y2=z2的正整数解，即满足勾股定理的三个正整数构成的一组数我国古代数学专著九章算术一书，在世界上第一次给出该方程的解为：，y=mn，其中m

9、n0，m、n是互质的奇数应用：当n=5时，求一边长为12的直角三角形另两边的长【综合考点2】勾股定理勾股定理的证明19（2022秋广东佛山八年级校联考阶段练习）一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法：如图1，火柴盒的一个侧面ABCD（是一个长方形）倒下到AEFG的位置，连接CF，此时，FAC90，设ABa，BCb，ACc请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理：a2+b2c220（2018秋江苏镇江八年级校联考期中）把一个直立的火柴盒放倒（如图），请你用不同的方法计算梯形ACED的面积，再次验证勾股定理？（设火柴盒截面宽为a，长为b，对角线为c）【综合考点3】勾

10、股定理三角形全等求线段长证明21（2023湖南娄底校考一模）已知：在ABC中，CA=CB，ACB=90，D为ABC外一点，且满足ADB=90（1）如图1，若，AD=1，求DB的长（2）如图1，求证：（3）如图2所示，过C作CEAD于E，BD=2，AD=6，求CE的长22（2017河北模拟预测）问题情景：一节数学课后，老师布置了一道练习题：如图1，已知RtABC中，ACBC，ABC90，CDAB于点D，点E，F分别在AD和BC上，12，FGAB于点G，求证：CDEEGF（1）阅读理解，完成解答：本题证明的思路可以用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地写出这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证

11、明结论：如图2，若CE平分ACD，其余条件不变，判断AE和BF的数量关系，并说明理由；（3）知识迁移探究发现：如图3，已知在RtABC中，ACBC，ACB90，CDAB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上，且ECEF，请直接写出BF与AE的数量关系（不必写解答过程）【综合考点4】勾股定理探究猜想与证明23（2018吉林长春校联考一模）在中，点为直线上一动点（点不与点、重合），以为直角边在右侧作等腰三角形，使，连接探究：如图，当点在线段上时，证明应用：在探究的条件下，若，,则的周长为 拓展：（1）如图，当点在线段的延长线上时，E之间的数量关系为 （2）如图，当点在线段的延长线上时，之间的

12、数量关系为 24（2023福建模拟预测）【知识感知】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形(1)【概念理解】如图2，在四边形中，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由(2)【性质探究】如图1，试探索垂美四边形两组对边与之间的数量关系，并证明你的猜想(3)【性质应用】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接已知，求长【综合考点5】勾股定理问题情景与拓展延伸25（2019吉林长春东北师大附中校考一模）问题提出如图，在ABC中，若AB6，AC4，求BC边上的中线AD的取值范围问题解决解决此问题可以用如下方法，延长AD到点E使DEAD，再连结BE（或将ACD绕着点D逆时针装转180得

13、到EBD），把AB、AC、2AD集中在ABE中，利用三角形三边的关系即可判断，由此得出中线AD的取值范围是 应用如图，如图，在ABC中，D为边BC的中点，已知AB5，AC3，AD2求BC的长拓展如图，在ABC中，A90，点D是边BC的中点，点E在边AB上，过点D作DFDE交边AC于点F，连结EF，已知BE4，CF5，则EF的长为 26（2023江西模拟预测）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，中，若，求边上的中线的取值范围小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到，依据是_A；B；C；D由“三角形的三边关

14、系”可求得的取值范围是_【初步运用】（2）如图，是的中线，交于，交于，且若，求线段的长【灵活运用】（3）如图，在中，为中点，交于点，交于点，连接试猜想线段三者之间的数量关系，并证明你的结论【综合考点6】勾股定理动点问题分类讨论与探究问题27（2016河南模拟预测）已知：ABC是等腰三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中PCQ=90，探究并解决下列问题：（1）如图，若点P在线段AB上，且AC=1+，PA=，则：线段PB= ，PC= ；猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为 ；（2）如图，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利

15、用图给出证明过程；（3）若动点P满足，求的值（提示：请利用备用图进行探求） 28（2020辽宁本溪统考一模）如图在中，直线，点是直线上的一个动点，连接，将绕逆时针旋转90得到，连接交直线于点（1）如图1，当点与点重合时，线段和线段的数量关系是_；（2）如图2，当点在点的右侧时，（1）问中的关系是否成立，请证明，若不成立，请写出你的结论并说明理由；（3）连接，若，请直接写出面积大小参考答案1a，b，c为勾股数；理由见分析【分析】根据完全平方公式求出，根据a，b，c是三个正整数可知a，b，c为勾股数解：a，b，c为勾股数，理由：，又，m表示大于1的整数，a，b，c是三个正整数，a，b，c为勾股数【

16、点拨】本题考查了勾股数，完全平方公式，熟练掌握勾股数的定义及整式的混合运算法则是解题的关键2（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数，理由见解答；（2）ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数，理由见解答【分析】（1）根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，即可判断3k，4k，5k（k是正整数）是不是一组勾股数；（2）根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，即可判断ak，bk，ck（k是正整数）是不是一组勾股数解：证明：（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数，理由如下：k是正整数，3k，4k，5k都是正整数，（3k）2+（4k

17、）2=（5k）2，3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数；（2）ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数，理由如下：a，b，c是一组勾股数，且k是正整数，ak，bk，ck是三个正整数，假设c最大，则a2+b2=c2，（ak）2+（bk）2=a2k2+b2k2=（a2+b2）k2=c2k2=（ck）2，ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数【点拨】本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，必须满足是正整数，同时还需验证两小边的平方和等于最长边的平方3（1） ；（2）见分析；（3）见分析【分析】（1）用两种方式表示大正方形的面积，即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质，即可得到结论；

18、（3）用两种方式表示梯形的面积，即可得到结论（1）解：由题意得：大正方形面积= ，大正方形面积= （2）证明：， ，由于B、C、D在一条直线上， ；（3）证明：梯形的面积= 另一方面，梯形可分成三个直角三角形，其面积= ，即【点拨】本题主要考查勾股定理的推理，全等三角形的性质以及完全平方公式，根据图形的特征用两种方式变式同一个图形的面积是关键4见分析【分析】根据大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积证明即可解：由题意得大正方形面积，小正方形面积，4个小直角三角形的面积，大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，【点拨】本题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键在于能够根

19、据题意知晓大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积5（1）见分析；（2）13【分析】根据题意可知，本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，根据判定定理，运用两直线平行内错角相等再通过AAS以及勾股定理进行求解解：（1）在ABC和DCE中ABCDCE（2）由（1）可得BC=CE=5在直角三角形ACE中【点拨】本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，熟练掌握判定定理运用以及平行的性质是解决此类问题的关键6(1)证明见分析；(2)【分析】由全等三角形的判定定理证得；由全等三角形的性质得出，由勾股定理可求出答案解：（1）证明：，在与中，；（2）解：，【点拨】本题考查了全等三

20、角形的判定与性质，勾股定理，证明是解题的关键7(1)见分析；(2)【分析】（1）根据全等三角形的判定方法证明即可；（2）根据全等三角形的性质，得，再根据勾股定理求出，即可得答案（1）解：平分，又，；（2）由（1）得：，【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是证明8（1）130，80；（2）CB=CD；16试题分析：（1）根据四边形ABCD是“等对角四边形”得出D=B=80，根据多边形内角和定理求出C即可；（2）连接BD，根据等边对等角得出ABD=ADB，求出CBD=CDB，根据等腰三角形的判定得出即可；连接AC，求出ABCADC，求出ACB=ACD=30，解直角三角形求

21、出AC和BC，根据三角形的面积公式求出即可解：（1）四边形ABCD是“等对角四边形”，AC，A=70，B=80，D=B=80，C=360808070=130，故答案为130，80；（2）证明：如图1，连接BD，AB=AD，ABD=ADB，ABC=ADC，ABCABD=ADCADBCBD=CDB，CB=CD；解：如图1，连接AC，在ABC和ADC中，ABCADCACB=ACD=BCD=60=30，在RtABC中，ACB=30，AB=AD=4，AC=2AB=8，BC=4，S四边形ABCD=2SABC=244=16考点：四边形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三

22、角形；勾股定理9(1)见分析；(2)，理由见分析【分析】（1）根据已知条件得出，即，即可得出；（2）证明，得出，进而根据四边形内角和为，求得，进而勾股定理即可得证解：（1）理由如下，和都是等腰直角三角形，；（2），如图所示，连接，由（1）可得，在四边形中，是直角三角形，又是等腰直角三角形，即,又，【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键10(1)，；(2)，证明见分析【分析】（1）由轴对称的性质得，再由直角三角形的性质得，进而可证，则，再利用三角形外角的性质即可求出的度数；（2）过C作于C交的延长线于点M，证明，得CM=CF，再证明

23、，得，则MF=AF+MA=AF+BF，然后在由勾股定理即可得出结论解：（1）A、E关于直线对称，（2）线段，之间的数量关系过C作于C交的延长线于点MA、E关于对称又，【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等明三角形是解题的关键11（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据矩形的性质可得AB=CD，C=A=90，再根据折叠的性质可得DE=CD，C=E=90，然后利用“角角边”证明即可；（2）设AF=x，则BF=DF=8-x，根据勾股定理列方程求解即可解：（1）证明：在矩形ABCD中，AB=CD，A=C=90，由折

24、叠得：DE=CD，C=E=90，AB=DE，A=E=90，AFB=EFD，ABFEDF（AAS）；（2）解：ABFEDF，BF=DF，设AF=x，则BF=DF=8x，在RtABF中，由勾股定理得：BF2=AB2+AF2，即（8x）2=x2+62， x=，即AF=【点拨】本题考查了翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，翻折前后对应边相等，对应角相等，利用勾股定理列出方程是解题的关键12【分析】由勾股定理求得，然后由翻折的性质求得，设，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可解：设，勾股定理得：，根据翻折的性质可得，在中，解得：（），的长为【点拨】本题主要考查的是翻折变换以及勾

25、股定理的应用，熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键13(1)旗杆的高度OM为15米；(2)玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米【分析】（1）如图，过点作，过点作，设，由题意知四边形均为矩形，由得，得的值，由计算即可（2）在中，由计算求解即可（1）解：如图，过点作，过点作，设 四边形均为矩形在和中解得：旗杆的高度为15米（2）解：由题意知在中，玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米【点拨】本题考查了三角形全等，勾股定理等知识解题的关键在于灵活运用三角形全等，勾股定理求线段长14(1)8cm(2)cm【分析】（1）根据题意，设BC=x，则DC=x+4，根据勾股定理计算即可

26、求解；（2）过点作于点，设AE=x，根据含30度角的直角三角形的性质、勾股定理可得DE=，在中，勾股定理即可求解（1）解：设BC=x，当窗户关上时A、D、B、C依次落在同一直线上，AB=16cm，AD=12cm，DC=x+4， 当窗户打开时，B、C、D三点在同一直线上，且，由勾股定理得，得x=8cm，即BC 的长为8cm；（2）解：如图，过点作于点，设AE=x，则DE=，在中，由勾股定理得：，得x=，则AD=cm【点拨】本题考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键15（1）6；（2）；（3）或或2【分析】（1）根据勾股定理计算即可；（2）过点C作CHAB于H

27、，根据等面积法计算即可；（3）根据等腰三角形的性质分类讨论即可；解：（1）在RtABC中，ACB90，AC8，AB10，由勾股定理得：BC，故答案为：6；（2）如图1，过点C作CHAB于H，SABCACBCABCH，则8610CH，解得：CH，当t2时，AD224，则SADC4；（3）当FAFB时，DFAB，ADAB105，t52；当AFAB10时，ACB90，则BF2BC12，ABDFBFAC，即10DF128，解得：DF，由勾股定理得：AD，t2；当BFAB10时，BF10，BC6，CFBFBC1064，由勾股定理得：AF，BFBA，FDAB，ACBF，DFAC8，AD，t422；综上所述

28、，ABF是等腰三角形时，t的值为或或2 【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用和等腰三角形的性质，准确计算是解题的关键16（1）5；（2）（3t9）；（3）存在，；（4）5或【分析】（1）过点D作DEBC于点E，根据勾股定理求解即可；（2）当点P在BC上运动时，画出相应图形，利用梯形的面积公式计算即可；（3）假设存在，先计算梯形ABCD的面积以及ABD的面积，由此可判断使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分，则点P在线段BC上，再结合（2）的关系式计算即可；（4）假设存在，分两种情况讨论，当点P在AB上时，当点P在BC上时，结合图形逐个计算即可解：（1）如图，过点D作DEBC于点E， 由

29、题意可得：四边形ABED为长方形，ADBE2cm，ABDE3cm，DEC90，又BC6cm，CEBCBE4cm，在中，cm，故答案为：5；（2）如图，当点P在BC上运动时，3t9， ，阴影面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的关系式为（3t9）；（3）假设存在某一时刻t，使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分，由题意可得：，当t3时，点P与点B重合， 此时，点P在线段BC上，线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分，即：，解得：，存在某一时刻t，使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分，此时；（4）假设存在某一时刻t，使DPC恰好是直角三角形，当点P在线段AB上时，则0t3

30、，APt，BP3t，AB90，由图可知，若DPC是直角三角形，则PDC90， ，解得：（符合题意），当点P在线段BC上时，则3t9，BPt3，CP9t，PEBEBP2(t3)5t，DECDEB90，由图可知，若DPC是直角三角形，则DPC90， 此时点P与点E重合，tAB+BE3+25，综上所述，存在某一时刻t，使DPC恰好是直角三角形，此时t的值为5或【点拨】本题考查了勾股定理的应用以及梯形与三角形的面积公式，能够根据题意画出相应图形，对（3）进行分类讨论是解决本题的关键17(1)；(2)；(3)正确，理由见分析【分析】根据题意可得，把代入计算应用科学记数法表示方法进行计算即可得出答案；把，

31、代入中，可得，应用完全平方公式及因式分解的方法进行计算即可得出答案；先计算，计算可得，应用勾股定理的逆定理即可得出答案（1）解：，当时，原式 ；故答案为：；（2） ；（3）嘉淇的发现正确，理由如下： ，当取正整数时，整式、满足一组勾股数【点拨】本题主要考查了勾股定理及逆定理，科学记数法，熟练掌握勾股定理及逆定理，科学记数法的计算方法进行求解是解决本题的关键18当时，一边长为12的直角三角形另两边的长分别为35，37【分析】分类讨论：；，结合已知条件，借助于方程解答解：，直角三角形一边长为12，有三种情况：当 时，解得，（舍去）该情况符合题意当时，为奇数，舍去当时，此方程无实数解综上所述：当时，

32、一边长为12的直角三角形另两边的长分别为35，37【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握分类讨论的思想来求解19见分析【分析】用两种方法求出梯形CBFG的面积，列出等式，即可证明.解：证明： 整理得：【点拨】本题考查勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理以及梯形面积公式是解题关键.20见分析.【分析】四边形ACED的面积从大的一方面来说属于直角梯形，可利用直角梯形面积公式进行表示；从组成来看，由三个直角三角形组成，应利用三角形的面积公式来进行表示.解：【点拨】本题考查勾股定理的证明，利用面积的不同表示方式列出等式是解答本题的关键.21（1）；（2）见分析；（3）2【分析】（1）在RtA

33、BC中，根据勾股定理，得AB=2，在RtABD中，根据勾股定理，得；（2）过C点作CFCD，构造手拉手模型，运用等腰直角三角形的性质可得证；（3）过C点作CFCD，构造手拉手模型，运用三角形全等可得证（1）解：在RtABC中，在RtABD中，（2）证明：如图，过C点作CFCD交DB的延长线于点FACB=DCF=90，ACD=BCF，CAD+CBD=360(ACB+ADB)=180，CBF+CBD=180，CAD=CBF，又CA=CB，CADCBF(ASA)，CD=CF，AD=BF，DF=DB+BF=DB+DA，（3）解：如图，过C点作CFCD交AD与F点，ACB=DCF=90，即ACF+BCF

34、=BCD+BCF=90，ACF=BCD，AFC=FCD+CDA=90+CDA，CDB=CDA+ADB=90+CDA，AFC=CDB，又CA=CB，CAFCBD(AAS)，CF=CD，AF=BD，CDF是等腰直角三角形，又CEAD，E为DF中点，AD=6，AF=BD=2，FD=ADAF=4，【点拨】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的全等，手拉手模型的构造，熟练构造手拉手模型是解题的关键.22（1）见分析；（2）AEBF；理由见分析；（3）AEBF【分析】（1）先证明CEEF，利用AAS定理证明CDEEGF（AAS）即可；（2）先证ACE2，再证明ACEBEF（A

35、AS），即可得证AEBF；（3）作EHBC与H，设DEx，求出AE3x，再证出BFx，即可得出结论解：（1）证明：ACBC，ACB90，AB45，CDAB，CDB90，DCB45，ECFDCB+145+1，EFCB+245+2，12，ECFEFC，CEEF，CDAB，FGAB，CDEEGF90，在CDE和EGF中，CDEEGF（AAS）；（2）证明：由（1）得：CEEF，AB，CE平分ACD，ACE1，12，ACE2，在ACE和BEF中，ACEBEF（AAS），AEBF；（3）解：AEBF，作EHBC与H，如图3所示：设DEx，根据题意得：BEDEx，ADBD2x，CDAD2x，AE3x，根据

36、勾股定理得：BCAC2x，ABC45，EHBC，BHx，CHBCBHx，ECEF，FHCHx，BFxxx，AEBF【点拨】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键23探究：证明见分析；应用：；拓展：（1），（2）【分析】探究：判断出，再用即可得出结论；应用：先算出，进而算出，再用勾股定理求出，即可得出结论；拓展：（1）同探究的方法得出，得出，即可得出结论；（2）同探究的方法得出，得出，即可得出结论解：探究：， 应用：在中，由探究知，在中，根据勾股定理得，的周长为故答案为拓展：（1）同探究的方法得，故答案为；（2）同探究的方法得， ，故答案为【点拨】本题

37、考查全等三角形的性质，能够在复杂图形中找出全等三角形是解题关键.24(1)是，见分析；(2)，见分析；(3)【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算解：（1）如图2，四边形是垂美四边形证明：连接交于点E，点A在线段的垂直平分线上，点C在线段的垂直平分线上，直线是线段的垂直平分线，即四边形是垂美四边形；（2）猜想结论如图1，已知四边形中，由勾股定理得，；（3）如图3，连接，即，在B和中，又，即，四边形是垂美四边形，由（2）得，【点拨】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定

38、义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键25（1）1AD5；（2）2；（3）【分析】证明得，再根据三角形三边关系求得AE的取值范围，进而得结论；延长AD到E，使得，连接BE，证明得，再证明，由勾股定理求得BD，进而得BC；延长FD到G，使得，连接BG，EG，证明，得，再证明，由勾股定理求得EG，由线段垂直平分线性质得EF解：在和中，故答案为；延长AD到E，使得，连接BE，如图，在和中，；延长FD到G，使得，连接BG，EG，如图，在和中，故答案为【点拨】本题考查几何变换综合题、三角形的中线、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，

39、体会出现中点的辅助线的添加方法，属于中考压轴题26（1）A，；（2）7；（3），证明见分析【分析】（1）证明，即可求解；根据得出，根据三角形三边关系得出，进而即可求解；（2）如图，延长至，使，连接，证明，根据即可求解；（3）延长到点，使，连接，证明，得出，进而得出，在中，根据勾股定理得出，等量代换即可求解（1）解：在和中，故选：A； 由（1）得：，在中，即，故答案为：； （2）解：如图，延长至，使，连接，是的中线，又， （3）解：线段、之间的等量关系为：； 延长到点，使，连接，如图所示：，是的中点，在和中，即，在中，由勾股定理得：，【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形三边

40、关系，熟练掌握以上知识是解题的关键27（1），2；（2）证明见试题解析；（3）或解：试题分析：（1）由已知条件求出AB的长，再减去PA就可得PB的长；如图1，连接BQ，先证APCBQC，可得：BQ=AP=，CBQ=A=45，由此可得PBQ是直角三角形，即可计算出PQ=，从而根据PCQ是等腰直角三角形可得PC=2；由中的证明可知：AP=BQ，PBQ是直角三角形，由此即可得到：PB2+BQ2=AP2+PB2=PQ2；（2）如图2，连接PB，先证APCBQC，得到BQ=AP，CBQ=A=45，由此可得PBQ是直角三角形，从而可得：PB2+BQ2=PB2+AP2=PQ2，即（1）中所猜想结论仍然成立；

41、（3）如图3，分点P在点A、B之间和在点A、B的同侧两种情况讨论即可；试题解析：（1）如图：ABC是等腰直直角三角形，AC=1+，ACB=90，AB=，PA=，PB=AB-PA=.ABC和PCQ均为以点C为直角顶点的等腰直角三角形，AC=BC，PC=CQ，ACP=BCQ，APCBQCBQ=AP=，CBQ=A=45PBQ为直角三角形PQ=PC=PQ=2故答案为，2；如图1，猜想PA2+PB2=PQ2，理由如下：由中证明可知：APCBQC，BQ=AP，CBQ=A=45，又CBA=45，CBQ+CBA=PCQ=90，BQ2+PB2=PQ2，PA2+PB2=PQ2.（2）如图：连接BQ，ABC和PCQ

42、均为以点C为直角顶点的等腰直角三角形，AC=BC，PC=CQ，ACP=BCQ，APCBQCBQ=AP，CBQ=A=45又ABC=45，ABC+CBQ=ABQ=90，PBQ=90，在RtPBQ中，BQ2+PB2=PQ2，PA2+PB2=PQ2.（3）如图：过点C作CDAB，垂足为D由ABC中，ACB=90，AC=BC可得：AD=BD=CD=AB；设AB=，则AD=BD=CD=，当点P位于点A、D之间的点P1处时 ，P1A=AB=DC= ，P1D=AD=，在RtCP1D中，由勾股定理得：CP1=，在RtACD中，由勾股定理得：AC= ，；当点P位于点A和点B的同侧的点P2处时，P2A=AB=AD=

43、P2D=P2A+AD=，在RtCP2D中，由勾股定理得：P2C=，在RtACD中，由勾股定理得：AC=，；综上所述，的比值为或点睛：（1）本题第1小题问和第2小题的解题要点是一致的，就是连接BQ，利用等腰直角三角形的性质证得APCBQC，得到PA=QB，CBQ=CAP=45，就可把PA、PB、BQ三条分散的线段集中到RtPBQ中，由勾股定理就可得到三条线段间的数量关系；（2）讨论本题第3小题时，需注意点P的位置存在两种情形，讨论时不要忽略了其中任何一种.28（1）；（2）成立，理由见分析；（3）6或12【分析】（1）根据题意得：等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形BEF全等，易证；（2）过点作

44、交于点，连接HF，易证，从而可证，记得求解本题；（3）过点C向BF作垂线交于点P，过点B向AC作垂线交于点Q，结合勾股定理算得的BE和BF的长度，即可求得BQ的长度和BG的长度，从而算出QG和CG，由（2）知，故求的面积就是求的面积，即可求解本题（注意分情况考虑）解：（1）当点与点重合时，等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形BEF全等，易得BFAC且平分AC；故；（2）成立，理由：过点作交于点，连接HF，绕逆时针旋转90得到， ，（3）当E在A右侧时，如图：过点C向BF作垂线交于点P，过点B向AC作垂线交于点Q，为等腰直角三角形，且BQAC，G为AC的中点，由勾股定理计算得：，Q为AC的中点，BG=GF，又BG=GF且和同高，；同理可求当E在A左侧时，；故的面积为6或12【点拨】本题是全等三角形以及勾股定理的结合考查，解题的难度比较大，解题的关键是做出合适的辅助线