专题31 中考热点新定义问题专项训练（解析版）.docx

1、专题31 中考热点新定义问题专项训练（解析版）专题诠释：新定义题型是近几年来中考的热点问题。它常集合数形结合思想，类比思想，转化思想，分类讨论思想，方程思想，函数思想于一体。常以压轴题身份出现。本专题精选新定义问题共20条，欢迎下载使用。一选择题1（2021河北模拟）对于实数x，y，我们定义符号maxx，y的意义：当xy时，maxx，yx，当xy时，maxx，yy例如max1，21，max3，则关于x的函数ymax3x，x+2的图象为（）ABCD思路引领：令3xx+2，解得x1，画出直线y3x和直线yx+2的图象即可判断解：令3xx+2，解得x1，直线y3x和直线yx+2的图象如图所示，它们的

2、交点坐标为（1，3），由图象可知，x1时，x+23x；当x1时，3xx+2，故关于x的函数ymax3x，x+2的图象是选项C中的图象故选：C总结提升：本题主要考查了函数的图象，正确画出函数图象并得出交点坐标是解答本题的关键二填空题2（2021深圳模拟）用“”“”定义新运算：对于数a，b，都有aba和abb例如323，322，则（20202021）（20212020） 思路引领：根据“”“”的运算法则进行计算即可得解解：aba，abb，（20202021）（20212020）202120202021故答案为：2021总结提升：本题考查了有理数的混合运算，读懂题目信息，理清新定义的运算方法是解题的

3、关键3（2021碑林区校级模拟）（正多边形的每个内角都相等）如图，在正八边形ABCDEFGH中，对角线BF的延长线与边DE的延长线交于点M，则M的大小为 思路引领：根据正求出多边形的内角和公式DEF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出BFE，计算即可解：八边形ABCDEFGH是正八边形，DEF（82）1808135，FEM45，DEFEFG，BF平分EFG，EFBBFG=12EFG67.5，BFEFEM+M，MBFEFEM，M22.5故答案为：22.5总结提升：本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形的内角的求法是解题的关键4（2019福田区三模）对于m，n（nm）我们定义运算

4、Anmn（n1）（n2）（n3）（n（m1），A73765210，请你计算A42 思路引领：将n4，m2代入公式求解可得解：A424（41）12，故答案为：12总结提升：本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是掌握新定义规定的运算法则5（2022春塔城地区期末）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：ab2a+3b如：1521+3517则不等式x40的解集为 思路引领：根据新定义规定的运算规则列出不等式，解不等式即可求得解：不等式x40化为：2x+120，2x12，x6，故答案为：x6总结提升：本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义列出关于x的不等式及解不等式的步骤6（20

5、22秋魏县期中）若x是不等于1的实数，我们把11x称为x的差倒数，如2的差倒数是112=1，1的差倒数为11(1)=12，现已知x1=13，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，依此类推，则x2022的值为 思路引领：根据差倒数的定义，通过计算发现每3次运算结果循环出现一次，由此可得x2022x32解：x1=13，x2=1113=32，x3=1132=2，x4=11(2)=13，每3次运算结果循环出现一次，20223674，x2022x32，x2022的值为2，故答案为：2总结提升：本题考查数字的变化规律，通过计算探索出运算结果的循环规律是解题的关键三解答题 7（2021

6、秋汉阳区期中）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”（1）请任意写出两个“极数” ， ；（2）猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（3）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数若四位数m为“极数”，记D（m）=m33，则满足D（m）是完全平方数的所有m的值是 思路引领：（1）根据“极数”的定义，任意写出两个“极数”即可；（2）由“极数”的定义可得出n99（10a+b+1），进而可得出任意一个“极数”都是99的倍数；（3）由（2）可得出D（m）3（10x+y+1），由D（m）为完全平方数，可得出10

7、x+y+112，10x+y+127，10x+y+148，10x+y+175，解之可得出x，y的值，进而可得出m的值，即可得出结论解：（1）由“极数”的定义得，1287，2376，故答案为1287，2376；（2）任意一个“极数”都是99的倍数，理由如下：设任意一个“极数”为ab(9a)(9b)（1a9，0b9，且a、b为整数），则ab(9a)(9b)=1000a+100b+10（9a）+（9b）990a+99b+9999（10a+b+1），1a9，0b9，且a、b为整数，10a+b+1是整数，任意一个“极数”都是99的倍数（3）设四位数m为xy(9x)(9y)（1x9，0y9，且x、y为整数）

8、，四位数m为“极数”，D（m）=m33，D（m）=99(10x+y+1)33=3（10x+y+1）D（m）是完全平方数，1x9，0y9，且x、y为整数，10x+y+13412，10x+y+13927，10x+y+131648，10x+y+132575，x=1y=1或x=2y=6或x=4y=7或x=7y=4，m可以为1188或2673或4752或7425总结提升：本题考查了完全平方数以及倍数，解题的关键是：（1）根据“极数”的定义，任意写出两个“极数”；（2）根据“极数”的定义，找出n99（10a+b+1）；（3）根据D（m）是完全平方数，找出10x+y+1的值8（2022秋胶州市期末）道德经中

9、的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等现在我们来研究另一种特殊的自然数“纯数”定义：对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”例如：32是“纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24+25时，个位产生了进位（1）判断2022是否是“纯数”？请说明理由；（2）请直接写出2023到2050之间的“纯数”；（3）不大于100的“纯数”的个数为 思路引领：（1）根据“纯数”

10、的定义判断；（2）根据“纯数”的定义求解；（3）根据“纯数”的定义写出数，再查个数解：（1）计算2022+2023+2024时，各数位都不产生进位，2022是“纯数”；（2）2023到2050之间的“纯数”有：2030，2031，2032，；（3）不大于100的“纯数”有：0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，30，32，100共13个，故答案为：13总结提升：本题考查了整式的加减，理解新定义是解题的关键9（2021任城区二模）如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做“半高三角形”这条高称为“半高”如图1，对于ABC，BC边上的高AD等于BC的一半

11、，ABC就是“半高三角形”此时，称ABC是“BC边半高三角形”，AD是“BC边半高”；如图2，对于EFG，EF边上的高GH等于EF的一半，EFG就是半高三角形，此时，称EFG是EF边半高三角形，GH是“EF边半高”（1）在RtABC中，ACB90，AB10cm，若ABC是“BC边半高三角形”，则AC cm；（2）若一个三角形既是等腰三角形又是半高三角形，且“半高”长为2cm，则该等腰三角形底边长的所有可能值为 （3）如图3，平面直角坐标系内，直线yx+2与抛物线yx2交于R，S两点，点P是抛物线yx2上的一个动点，点Q是坐标系内一点，且使得RSQ为“RS边半高三角形”当点P介于点R与点S之间，

12、且PQ取得最小值时，求点P的坐标思路引领：（1）设ACh，则BC2AC2h，由勾股定理即可求解；（2）分“半高”是底边上的高、“半高”是腰上的高两种情况，分别求解即可；（3）当点P介于点R与点S之间时，与RS平行且与抛物线只有一个交点P时，PQ取得最小值，即可求解解：（1）设ACh，则BC2AC2h，由勾股定理得：h2+（2h）2102，解得：h25，故答案为25；（2）当“半高”是底边上的高时，如图1，AD是“半高”，AB、AC为等腰三角形的腰，由题意得：AD2，BC4；当“半高”是腰上的高时，如下图，底边为BC、“半高”CD为腰上的高，如图2，当ABC为锐角三角形时，CD2，ABAC4，在

13、RtADC中，AD=AC2CD2=23，在RtBCD中，BC=BD2+CD2=(423)2+22=2622；如图3，当ABC为钝角三角形时，CD2，ABAC4，同理可得：BC26+22；故答案为：4或26+22或2622；（3）将抛物线的表达式yx2与直线方程yx+2联立并解得：x1或2，即：点R、S的坐标分别为（1，1）、（2，4），则RS32，则RS边上的高为：1232=322，则点Q在于RS平行的上下两条直线上，如下图，设直线RS与y轴交于点N，故点N作NQTQ于点Q，则NQ=322，则QT=QHsin45=3，点T（0，5），则点M（0，5），点M于点T重合，则点Q的直线方程为：yx+

14、5，当该直线在直线RS的下方时，yx1，故点Q所在的直线方程为：yx+5或yx1；如图4，当点P介于点R与点S之间时，设与RS平行且与抛物线只有一个交点P的直线方程为：yx+d，将该方程与抛物线方程联立并整理得：x2xd0，1+4d0，解得：d=14，此时，x2x+14=0，解得：x=12，点P（12，14），此时，P（P）Q取得最小值总结提升：本题主要考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、根的判别式、三角形有关计算等，此类新定义型题目，通常按题设顺序逐次求解10（2022春梁平区期末）在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x=a+c3，y=b+d

15、3那么称点T是点A，B的融合点例如：A（1，8），B（4，2），当点T（x，y）满足x=1+43=1，y=8+(2)3=2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点（1）已知点A（1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l：y2x+3上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点试确定y与x的关系式若直线ET交x轴于点H，当TDH为直角时，求直线ET的解析式思路引领：（1）根据点T是点A，B的融合点的定义判断即可；（2）根据融合点的定义，构建关系式，可得结论；图中，当TDH90时，点T、D横坐标相同，再根据中得到

16、的横纵坐标关系即可求出点T坐标，再根据融合点定义求出点E坐标，求一次函数解析式即可解：（1）A （1，5），B（7，7），C（2，4），x=13（1+7）2，y=13（5+7）4，点C是点A、B的融合点；（2）点T（x，y）是点D，E的融合点，x=13（3+t），y=13（0+2t+3），y2x1；如图，当TDH90时，点T、D横坐标相同，xTxD3，yT2x12315，即T（3，5），点E（t，2t+3），点T（3，5），点D（3，0），且点T（x，y）是点D，E的融合点3=13（3+t），t6，点E（6，15），设直线ET的解析式为：ykx+b，把E（6，15），T（3，5），代入得：6k

17、+b=153k+b=5，解得：k=103b=5，直线ET的解析式为：y=103x5总结提升：本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的判定和性质，融合点的定义，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题11（2019浙江）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点点P为抛物线y（xm）2+m+2的顶点（1）当m0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数（2）当m3时，求该抛物线上的好点坐标（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边

18、界）恰好存在8个好点，求m的取值范围思路引领：（1）如图1中，当m0时，二次函数的表达式yx2+2，画出函数图象，利用图象法解决问题即可（2）如图2中，当m3时，二次函数解析式为y（x3）2+5，如图2，结合图象即可解决问题（3）如图3中，抛物线的顶点P（m，m+2），推出抛物线的顶点P在直线yx+2上，由点P在正方形内部，则0m2，如图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），求出抛物线经过点E或点F时m的值，即可判断解：（1）如图1中，当m0时，二次函数的表达式yx2+2，函数

19、图象如图1所示当x0时，y2，当x1时，y1，抛物线经过点（0，2）和（1，1），观察图象可知：好点有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），共5个（2）如图2中，当m3时，二次函数解析式为y（x3）2+5如图2当x1时，y1，当x2时，y4，当x4时，y4，抛物线经过（1，1），（2，4），（4，4），根据图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为（1，1），（2，4），（4，4）（3）由于0m2，取m1开始，发现抛物线内有10个好点，不符合意思，所以抛物线向下并向左移动，可得如图3中，抛物线的顶点P（m，m+2），抛物线的顶点P在直线yx+2上，点P在正方形内部，则0m2

20、，如图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），当抛物线经过点E时，（2m）2+m+21，解得m=5132或5+132（舍弃），当抛物线经过点F时，（2m）2+m+22，解得m1或4（舍弃），当5132m1时，顶点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点总结提升：本题属于二次函数综合题，考查了正方形的性质，二次函数的性质，好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会正确画出图象，利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决问题，属于中考压轴题12（2022亭湖区校

21、级三模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线（1）如图1，在ABC中，ABAC，AD是ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点求证：四边形ABEF是邻余四边形（2）如图2，在54的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N若N为AC的中点，DE4BE，QB6，求邻余线AB的长思路引领：（1）由等腰三角形的“三线合一“性质可得ADBC，则可得DAB与DBA互余，即FAB与EBA互余，从而可得答案；（2）画出图

22、形即可（3）先由等腰三角形的“三线合一“性质可得BDCD、DMME，再判定DBQECN，从而列出比例式，将已知线段的长代入即可得解解：（1）ABAC，AD是ABC的角平分线，ADBC，ADB90，DAB+DBA90，FAB与EBA互余，四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；（3）ABAC，AD是ABC的角平分线，BDCD，DE4BE，BDCD5BE，CECD+DE9BE，EDF90，点M是EF的中点，DMME，MDEMED，ABAC，BC，DBQECN，QBNC=BDCE=59，QB6，NC=545，ANCN，AC2CN=1085，ABAC=1085总

23、结提升：本题考查了四边形的新定义，综合考查了等腰三角形的“三线合一“性质、相似三角形的判定与性质等知识点，读懂定义并明确相关性质及定理是解题的关键13（2021南丰县模拟）如果一个四边形的对角线把四边形分成两个三角形，一个是等边三角形，另一个是该对角线所对的角为60的三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的理想对角线，这个四边形称为理想四边形（1）如图1，在RtABC中，ACB90，B30，CDAB，E为BC中点，连接DE求证：四边形ADEC为理想四边形；（2）如图2，ABD是等边三角形，若BD为理想对角线，为使四边形ABCD为理想四边形，小明同学给出了他的设计图（见设计后的图），其中圆心角B

24、OD120；请你解释他这样设计的合理性（3）在（2）的条件下，若BCD为直角三角形，BC3，求AC的长度；如图3，若CDx，BCy，ACz，请直接写出x，y，z之间的数量关系思路引领：（1）证明ACBADC，推出ADCACB90，再证明CDE是等边三角形即可（2）如设计后的图中，ABD是等边三角形，当点C在BCD上时，DCB=12DOB60，满足条件（3）分两种情形：如图3中，当CDB90时，如图4中，当CBD90时，分别利用勾股定理求解即可以CD为边作等边ECD，连接BE，作EFBC交BC的延长线于F利用全等三角形的性质以及勾股定理可得结论解：（1）如图1，ACB90，B30，A60，CDA

25、B，BDC90，BCDB903060，E为BC中点，DECE，CDE是等边三角形，四边形ADEC为理想四边形；（2）如设计后的图中，ABD是等边三角形，ODOB，BOD120，当点C在BCD上时，DCB=12DOB60，故四边形ABCD为理想四边形（3）当CDB90时，如图3中，CDB90，BCD60，BC3，BDBCsin60=332，CBD30，ABD是等边三角形，ABBD=332，ABD60，ABC90，AC=AB2+BC2=(332)2+32=372；当CBD90时，如图4中，同法可得AC=AD2+CD2=(33)2+62=37；综上所述，AC的值为372或37如图5中，结论：x2+x

26、y+y2z2理由如下：以CD为边作等边ECD，连接BE，作EFBC交BC的延长线于FEDCADB60，EDBCDA，EDCD，BDAD，EDBCDA（SAS），ACBEz，ECDDCB60，CDCEx，ECF60，CEF30，CF=12EC=12xEF=3CF=32x在RtEFB中，BE2EF2+BF2，z2（32x）2+（y+12x）2，整理得：x2+xy+y2z2总结提升：本题属于四边形综合题，考查了理想四边形的定义，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确理解并运用新定义“理想四边形”和“理想对角线”，学会用分类讨论的思想思考问题14（2020

27、朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（t，0），B（t+2，0），C（n，1），若射线OC上存在点P，使得ABP是以AB为腰的等腰三角形，就称点P为线段AB关于射线OC的等腰点（1）如图，t0，若n0，则线段AB关于射线OC的等腰点的坐标是 ；若n0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1，求n的取值范围；（2）若n=33，且射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，则t的取值范围是 思路引领：（1）根据线段AB关于射线OC的等腰点的定义可知OPAB2，由此即可解决问题如图2中，当OPAB时，作PHx轴于H求出点P的横坐标，利用图象法即可解决问题（2）如图31中，作CHy轴

28、于H分别以A，B为圆心，AB为半径作A，B首先证明COH30，由射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，推出射线OC与A，B只有一个交点，求出几种特殊位置t的值，利用数形结合的思想解决问题即可解：（1）如图1中，由题意A（0，0），B（2，0），C（0，1），点P是线段AB关于射线OC的等腰点，OPAB2，P（0，2）故答案为（0，2）如图2中，当OPAB时，作PHx轴于H在RtPOH中，PHOC1，OPAB2OH=OP2PH2=2212=3，观察图象可知：若n0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1时，n3（3）如图31中，作CHy轴于H分别以A，B为圆心，AB为半径作A，

29、B由题意C（33，1），CH=33，OH1，tanCOH=CHOH=33，COH30，当B经过原点时，B（2，0），此时t4，射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，射线OC与A，B只有一个交点，观察图象可知当4t2时，满足条件，如图32中，当点A在原点时，POB60，此时两圆的交点P在射线OC上，满足条件，此时t0，如图33中，当B与OC相切于P时，连接BPOC是B的切线，OPBP，OPB90，BP2，POB60，OB=PBcos60=433，此时t=4332，如图34中，当A与OC相切时，同法可得OA=433，此时t=433，此时符合题意如图35中，当A经过原点时，A（2，0），

30、此时t2，观察图形可知，满足条件的t的值为：4332t2，综上所述，满足条件t的值为4t2或t0或4332t2或t=433故答案为：4t2或t0或4332t2或t=433总结提升：本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，线段AB关于射线OC的等腰点的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题15（2022房山区模拟）对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2，给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N（点M，N可以重合）使得AM2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系（1

31、）如图1，点C（3，0），D（0，1），E（0，1），点P在线段CE上运动（点P可以与点C，E重合），连接OP，DP线段OP的最小值为 ，最大值为 ；线段DP的取值范围是 ；在点O，点D中，点 与线段DE满足限距关系；（2）在（1）的条件下，如图2，O的半径为1，线段FG与x轴、y轴正半轴分别交于点F，G，且FGEC，若线段FG与O满足限距关系，求点F横坐标的取值范围；（3）O的半径为r（r0），点H，K是O上的两个点，分别以H，K为圆心，2为半径作圆得到H和K，若对于任意点H，K，H和K都满足限距关系，直接写出r的取值范围思路引领：（1）根据垂线段最短以及已知条件，确定OP，DP的最大值，最

32、小值即可解决问题；根据限距关系的定义判断即可；（2）根据两直线平行k相等计算设FG的解析式为：y=33x+b，得G（0，b），F（3b，0），分三种情形：线段FG在O内部，线段FG与O有交点，线段FG 与O没有交点，分别构建不等式求解即可；（3）如图31中，不妨设K，H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，根据H和K都满足限距关系，构建不等式求解即可解：（1）如图1中，点C（3，0），E（0，1），OE1，OC=3，EC2，ECO30，当OPEC时，OP的值最小，当P与C重合时，OP的值最大是3，RtOPC中，OP=12OC=32，即OP的最小值是32；如图2，当DPEC时，DP的值最小，RtDEP中

33、，OEC60，EDP30，DE2，cos30=DPDE，DP2=32，DP=3，当P与E重合时，DP的值最大，DP的最大值是2，线段DP的取值范围是：3DP2；故答案为：32，3，3DP2；根据限距关系的定义可知，线段DE上存在两点M，N，满足OM2ON，如图3，故点O与线段DE满足限距关系；根据限距关系的定义可知，线段DE上存在两点M，N，满足DM2DN，如图3，故点D与线段DE满足限距关系；故答案为：O和D；（2）点C（3，0），E（0，1），设直线CE的解析式为：ykx+m，3k+m=0m=1，解得：k=33m=1，直线CE的解析式为：y=33x+1，FGEC，设FG的解析式为：y=33

34、x+b，G（0，b），F（3b，0），OGb，OF=3b，当03b1时，如图5，线段FG在O内部，与O无公共点，此时O上的点到线段FG的最小距离为13b，最大距离为1+3b，线段FG与O满足限距关系，1+3b2（13b），解得3b13，b的取值范围为133b1；当13b6时，线段FG与O有公共点，线段FG与O满足限距关系，当3b6时，如图6，线段FG在O的外部，与O没有公共点，此时O上的点到线段FG的最小距离为3b1，最大距离为3b+1，线段FG与O满足限距关系，3b+12（3b1），而3b+12（3b1）总成立，3b6时，线段FG 与O满足限距关系，综上所述，点F横坐标的取值范围是：3b13

35、；（3）如图31中，不妨设K，H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，两圆的距离的最小值为2r4，最大值为2r+4，H和K都满足限距关系，2r+42（2r4），解得r6，故r的取值范围为0r6总结提升：本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系，限距关系的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型16（2022西城区校级模拟）点P（x1，y1），Q（x2，y2）是平面直角坐标系中不同的两个点，且x1x2若存在一个正数k，使点P，Q的坐标满足|y1y2|k|x1x2|，则称P，Q为一对“限斜点”，k叫做点P，Q的“限斜系数”，记作k（P，

36、Q）由定义可知，k（P，Q）k（Q，P）例：若P（1，0），Q（3，12），有|012|=14|13|，所以点P，Q为一对“限斜点”，且“限斜系数”为14已知点A（1，0），B（2，0），C（2，2），D（2，12）（1）在点A，B，C，D中，找出一对“限斜点”： ，它们的“限斜系数”为 ；（2）若存在点E，使得点E，A是一对“限斜点”，点E，B也是一对“限斜点”，且它们的“限斜系数”均为1求点E的坐标；（3）O半径为3，点M为O上一点，满足MT1的所有点T，都与点C是一对“限斜点”，且都满足k（T，C）1，直接写出点M的横坐标xM的取值范围思路引领：（1）根据定义通过计算求解即可；（2）设E

37、（x，y），由题意可得|y|x1|，|y|x2|，求解方程即可求点E的坐标；（3）由题意可知C点在直线yx上，T点在以M为圆心1为半径的圆上，M点在以O为圆心3为半径的圆上，则T点在以O为圆心2为半径的圆上或以O为圆心4为半径的圆上，当T点在直线yx上时，k1，再由k（T，C）1，可知T点在直线yx的上方，T点在直线yx的上方，直线yx4的上方，半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环内部解：（1）A（1，0），C（2，2），有|0+2|2|12|，A、C为一对“限斜点”，且“限斜系数”为2；A（1，0），D（2，12），有|012|=12|12|，A、D为一对“限斜点”，且“限斜系数”为12；故

38、答案为：A、C或A、D，2或12；（2）设E（x，y），|y|x1|，|y|x2|，|x1|x2|，解得x=32，y12，E（32，12）或（32，12）；（3）C（2，2），C点在直线yx上，MT1，T点在以M为圆心1为半径的圆上，M点在以O为圆心3为半径的圆上，T的轨迹是半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环，当T点在直线yx上时，设T（m，m），|m+2|k|m2|，k1，k（T，C）1，T点在直线yx的上方，直线yx4的上方，半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环内部，如图所示，322xM4总结提升：本题考查圆的综合应用，弄清定义，熟练掌握圆与直线的关系，绝对值方程的解法，数形结合解题是关

39、键17（2020密云区一模）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P，给出如下定义：经过点P且平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做点P的“特征线”例如：点M（1，3）的特征线是yx+2和yx+4；（1）若点D的其中一条特征线是yx+1，则在D1（2，2）、D2（1，0）、D3（3，4）三个点中，可能是点D的点有D2；（2）已知点P（1，2）的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线与x轴相交于点A，直线ykx+b（k0）经过点P，且与x轴交于点B若使BPA的面积不小于6，求k的取值范围；（3）已知点C（2，0），T（t，0），且T的半径为1当T与点C的特征线存在交点时，直接写出t的取值范围思路引领：

40、（1）画出图形，根据点的特征线的定义解决问题即可（2）过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为yx+b，求出PAB的面积为6时点B的坐标，再利用待定系数法求直线PB的解析式，结合图形即可解决问题（3）如图3中，由题意点C的特征线的解析式为yx2或yx+2，设当T与直线yx+2相切于点M时，当T与直线yx2相切于点N时，分别求出OT，OT结合图象即可解决问题解：（1）如图1中，观察图象可知，点D2的特征线是yx+1故答案为D2（2）如图2中，设过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为yx+b，1+b2，b1，过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为yx+1，A（1，0），

41、当BPA的面积6时，12AB26，AB6，B（5，0）或（7，0），当ykx+b经过P（1，2），B（5，0）时，k+b=25k+b=0解得k=12，当直线ykx+b经过P（1，2），B（7，0）时，k+b=27k+b=0，解得k=14，观察图形可知满足条件的k的值为14k12且k0（3）如图3中，由题意点C的特征线的解析式为yx2或yx+2，当T与直线yx+2相切于点M时，连接TM，在RtTCM中，TMC90，MCT45，MTMC1，TC=2TM=2，OT22，此时t22当T与直线yx2相切于点N时，同理可得OT2+2，此时t2+2，结合图象可知满足条件的t的值为：22t2+2总结提升：本题

42、属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，一次函数的性质，三角形的面积，点P的“特征线”的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题18（2022秋西城区校级期中）已知函数yx2+bx+c（x2）的图象过点A（2，1），B（5，4）（1）直接写出yx2+bx+c（x2）的解析式；（2）如图，请补全分段函数y=x2+2x+1(x2)x2+bx+c(x2)的图象（不要求列表）并回答以下问题：写出此分段函数的一条性质： ；若此分段函数的图象与直线ym有三个公共点，请结合函数图象直接写出实数m的取值范围；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记（2）中函数的

43、图象与直线y=12x1围成的封闭区域（不含边界）为“W区域”，请直接写出区域内所有整点的坐标思路引领：（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据函数图象写出性质即可；由图象可求出m的取值范围；（3）根据图象求整点坐标即可解：（1）把A（2，1），B（5，4）代入解析式得：4+2b+c=125+5b+c=4，解得b=6c=9，yx2+bx+c（x2）的解析式为yx26x+9；（2）如图所示：性质：抛物线关于点（2，1）成中心对称，故答案为：抛物线关于点（2，1）成中心对称；由图象可得：实数m的取值范围为0m2；（3）如图：由函数图象可得：“W区域“内所有整点的坐标为（0，0），（1，1）总结

44、提升：本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，关键是对函数性质的掌握和运用19（2021春丰台区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，过T（半径为r）外一点P引它的一条切线，切点为Q，若0PQ2r，则称点P为T的伴随点（1）当O的半径为1时，在点A（3，0），B（1，3），C（2，1）中，O的伴随点是 ；点D在直线yx+3上，且点D是O的伴随点，求点D的横坐标d的取值范围；（2）M的圆心为M（m，0），半径为3，直线y2x+3与x轴，y轴分别交于点E，F若线段EF上的所有点都是M的伴随点，直接写出m的取值范围思路引领：（1）画出图形，求出切线长，根据O的伴随点的定义判断即可如图2中，设

45、点D的坐标为（d，d+3），构建方程求出两种特殊位置时点D的坐标即可解决问题（2）求出几种特殊位置时m的值即可判断如图31中，设ET是M的切线，当FT6时，线段EF上的所有点都是M的伴随点如图32中，设ET是M的切线，连接MT，则MTE90如图33中，当M在直线EF的右侧与EF相切时，设切点为T，连接MT分别求出m的值，结合图形即可得出结论解：（1）如图1中，A（3，0），B（1，3），C（2，1），切线AG的长=3212=222，切线BN的长2，切线CM的长2，点B，C是，O的伴随点，故答案为：B，C如图2中，设点D的坐标为（d，d+3），当过点D的切线长为2r2时，OD=12+22=5，d

46、2+（d+3）25，解得 d12，d21结合图象可知，点D的横坐标d的取值范围是1d2（2）由题意E（32，0），F（0，3）如图31中，设ET是M的切线，当FT6时，线段EF上的所有点都是M的伴随点，此时m6观察图象可知：当6m92时，线段EF上的所有点都是M的伴随点如图32中，设ET是M的切线，连接MT，则MTE90当ET6时，EM=ET2+MT2=32+62=35，此时m3532，如图33中，当M在直线EF的右侧与EF相切时，设切点为T，连接MTE（32，0），F（0，3），OE=32，OF3，EF=152+32=352，EF是切线，EFMT，MTEEOF90，METFEO，MTEFOE

47、，EMEF=MTOF，EM352=33EM=352，此时m=35232，结合图象可知，当35232m3532时，线段EF上的所有点都是M的伴随点，综上所述，m的取值范围是6m92或35232m3532总结提升：本题属于圆综合题，考查了圆的伴随点的定义，切线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题20（2020丰台区校级开学）已知：点P为图形M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，若点P与点Q之间的距离PQ始终满足PQ0，则称图形M与图形N相离（1）已知点A（1，2）、B（0，5）、C（2，1）、D（3，4）与直线y3x5相离的点是 ；若直线y3x

48、+b与ABC相离，求b的取值范围；（2）设直线yx+3、直线yx+3及直线y3围成的图形为W，正方形T的对角线长为2，两条对角线分别平行于坐标轴，该正方形对角线的交点坐标为（t，0），直接写出正方形T与图形W相离的t的取值范围思路引领：（1）将A，B，C，D四个点的坐标代入直线y3x5计算即可判断根据直线y3x+b经过点A，和点C计算b的值即可得出答案（2）先画出图形，再分三种情形求出经过特殊位置的T的坐标即可得出答案解：（1）点A（1，2），当x1时，352，点A不在直线y3x5上，同理，点C（2，1）不在直线y3x5上，点B（0，5），点D（3，4）在直线上，与直线y3x5相离的点是A，C；故答案为：A，C；当直线y3x+b过点A（1，2）时，3+b2b1当直线y3x+b过点C（2，1）时，6+b1b7b的取值范围是b1或b7（2）如图所示，正方形T与图形W相离的t的取值范围是t4或2t2或t4总结提升：本题考查了一次函数综合题，涉及一次函数的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题