专题31 二次函数与四边形面积问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题（全国通用版）（解析版） .docx

1、专题31 二次函数与四边形面积问题1（20212022陕西碑林九年级期中）已知二次函数yax2bx3a经过点A（1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D（1）求此二次函数解析式；（2）连接AC、CD、DB，求S四边形ACDB；（3）在该抛物线上是否存在点P，使得SABPS四边形ACDB？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）yx2+2x+3；（2）9；（3）存在，（1+，）或（1，）【解析】【分析】（1）把点A（1，0），C（0，3）代入二次函数yax2+bx3a中进行求解即可；（2）先求出D点的坐标，然后过D作DEx轴于E，再由S四边形ACD

2、BSAOC+S梯形OCDE+SDEB进行求解即可得到答案；（3）设P（x，x2+2x+3），由A（1，0），B（3，0），则AB4，再由SABPS四边形ACDB，得到，解方程即可【详解】解：（1）把点A（1，0），C（0，3）代入二次函数yax2+bx3a中得：，此二次函数解析式为：yx2+2x+3；（2）二次函数解析式为yx2+2x+3（x1）2+4，B、D分别为抛物线与x轴的交点和顶点，顶点D（1，4），由对称性质得：B（3，0），过D作DEx轴于E，A（1，0），C（0，3），AO=1，OC=3，OE=1，DE=4，OB=3，BE=2S四边形ACDBSAOC+S梯形OCDE+SDEB；（

3、3）存在，设P（x，x2+2x+3），A（1，0），B（3，0），AB4，SABPS四边形ACDB， ，解得， ，此方程无实数解，当时，当时，符合条件的点P的坐标为：（1+，）或（1，）【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，四边形面积，解一元二次方程，二次函数的综合，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识2（20212022福建厦门九年级期中）如图抛物线经过点，点，点（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点P为抛物线上一点，连接CP，若直线CP分四边形CBPA的面积为的两部分，求点P的坐标（3）点D、E是直线上的两个动点，且，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值及此时点D

4、的坐标【答案】（1）；（2）；（3）最小值为：1，【分析】（1）根据待定系数法求出函数解析式，然后根据二次函数一般式对称轴为解答即可；（2）设直线与轴交于点，然后根据，求解即可；（3）CDAEADDC，则当A、D、C三点共线时，CDAEADDC最小，周长也最小，即可求解【详解】解：（1）抛物线经过点，点，点，解得：，抛物线解析式为：，则对称轴为：；（2）如图：设直线与轴交于点，直线直线CP分四边形CBPA的面积为的两部分，又，则或，令，解得：，或，即点的坐标为或，当点的坐标为时，直线与轴重合，与抛物线只有一个交点，不符合题意；直线经过，点，设直线的解析式为：，则，解得：，直线的解析式为：，联立

5、一次函数与二次函数解析式得：，解得：或（舍），点的坐标为：；（3）四边形ACDE的周长ACDECDAE，其中AC，DE1是常数，故CDAE最小时，周长最小，取点C关于直线x1对称点C（2，3），则CDCD，取点A（1，1），则ADAE，故：CDAEADDC，则当A、D、C三点共线时，CDAEADDC最小，周长也最小， 四边形ACDE的周长的最小值ACDECDAE1ADDC1AC1，设直线的解析式为：，则，解得：，直线的解析式为：，当时，点的坐标为：【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到一次函数，图像面积，点的对称，勾股定理等，其中确定出点来求最小值，是本题的难点3（2022辽宁沈北新区九年级期

6、末）如图，抛物线yax2+bx+2交x轴于点A（3，0）和点B（1，0），交y轴于点C（1）求该抛物线的解析式；（2）点D的坐标为（1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点M，使MAB是以AB为斜边的直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，并说明理由；（4）在对称轴上是否存在点N，使BCN为直角三角形，若存在，直接写出N点坐标，若不存在，说明理由【答案】（1）yx2x+2；（2）；（3）存在，M点坐标为（1，2）或（1，2）；（4）存在，N的坐标为（1，）或（1，1）【分析】（1）把A、B坐标，代入抛物线解析式可求得

7、a、b的值；（2）连接OP，设出点P的坐标，根据SS四边形ADCPSAPO+SOPCSODC表达S，利用二次函数的最值问题表达求出S的最大值；（3）可设M点坐标为（1，m），可分别表示出AB、AM、BM的长，由勾股定理可得到关于m的方程，可求得M点坐标；（4）分三种情况，用勾股定理列方程即可得到答案【详解】解：（1）把点A（3，0）点B（1，0）代入yax2+bx+2得：，解得：；故抛物线的表达式为：yx2x+2；（2）连接OP，如图：设点P（x，），y；C（0，2），S四边形ADCPSAPO+SOPCSODCx23x+2，10，当时，S有最大值，S的最大值为；（3）存在，抛物线y对称轴为直线

8、x1，设M点坐标为（1，m），则MB222+（m0）24+m2，MA222+m24+m2，且AB216，当ABM为以AB为斜边的直角三角形时，可得MB2+MA2AB2，4+m2+4+m216，解得m2或m2，即M点坐标为（1，2）或（1，2），综上可知存在满足条件的M点，其坐标为（1，2）或（1，2）；（4）存在，设N（1，t），则BN24+t2，CN21+（t2）2，BC25，当BN为斜边时，CN2+BC2BN2，即1+（t2）2+54+t2，解得，；当CN为斜边时，BN2+BC2CN2，即4+t2+51+（t2）2，解得t1，N（1，1）；当BC为斜边时，BN2+CN2BC2，即4+t2+

9、1+（t2）25，方程无解，综上所述，N的坐标为（1，）或（1，1）【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法、轴对称的性质、勾股定理等知识点在（1）中求得A、B两点的坐标是解题的关键,（2）中掌握割补法求不规则图形面积是解题关键，在（3）中设出M点坐标，利用勾股定理得到方程是解题的关键，（4）中注意要分类讨论本题涉及知识点较多，综合性较强，难度适中4（20212022广东惠阳九年级期中）如图，二次函数yax2+bx3的图象经过点(2，3)和(1，)，与x轴从左至右分别交于点A，B，点M为抛物线的顶点（1）求二次函数的解析式（2）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得PAC的周长最

10、小？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由（3）连接BM，若点Q为线段OB上的一动点（Q不与点B、点O重合），过点Q作x轴的垂线交线段BM于点N，当点Q以1个单位/s的速度从点B向点O运动时，设运动时间为t，四边形OCNQ的面积为S，求S与t之间的函数关系及自变量t的取值范围，并求出S的最值（4）若点R在抛物线上，且以点R、C、B为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点R的坐标（不需要计算过程）【答案】（1）；（2）存在，；（3）；（4），【解析】【分析】（1）用待定系数法，将代入中，解方程组即可；（2）过点C作关于对称轴的对称点,连接交对称轴于点P，此时的周长最小，求出

11、直线的解析式，因为点P在对称轴上，可以知道点P横坐标，代入直线的解析式中即可求得纵坐标；（3）用t表示出线段QN、OQ的长度，由面积公式代入计算即可知道S和t的函数关系式，将关系式配成顶点式，判断即可求得S的最值；（4）分和两种情况，画出相关图形，设出点R的坐标，利用两点之间距离公式列式计算即可，【详解】解：（1）将代入中，得：解得：二次函数的解析式为：（2）存在点P使得的周长最小,此时，理由如下：点A、点B是抛物线与x轴的交点当时，即：解得：A在B的左边点C是抛物线与y轴的交点当时，又抛物线的对称轴为：过点C作关于对称轴的对称点,连接交对称轴于点P，此时的周长最小，如图1：点C与点关于对称轴

12、对称设直线的解析式为，将代入得：解得：直线的解析式为：点P在上 （3）如图2：点M是抛物线的顶点，且设直线BM的解析式为：，将，代入得：，解得：直线BM的解析式为：有题意知：，且轴又点Q为线段OB上的一动点（Q不与点B、点O重合）S与t之间的函数关系为：S有最大值又当时，S取得最大值（4）据题意，作图如下：设点在中，当时，在中，由勾股定理知：即：化简得：解得：（舍），当时，化简得：解得：（舍），综上所述，满足题意的R点有两个，分别是和【点睛】本题考查二次函数图象上点的存在性问题，待定系数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数一般式化成顶点式，判断开口方向求最值等知识点，能够数形结合解题是本题的

13、关键5（20212022河南九年级期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，点（1）求抛物线的解析式；（2）若点是抛物线上的一动点，且在直线的上方，当取得最大值时，求的最大值和点的坐标；（3）在直线的上方，抛物线上是否存在点，使四边形的面积为15？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）有最大值为20，M（2,4）；（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）利用待定系数法解答；（2）连接OM，设M（m，），根据=，利用函数的最值解答；（3）先求出三角形ABC的面积，根据四边形的面积=，得到当四边形的面积为15时，即，解方程求出m的值，判断m的值是否使点M在直线的上方的

14、抛物线上，即可得到答案【详解】解：（1）将点、代入中，得，解得，抛物线的解析式为；（2）连接OM，设M（m，），、，OB=4，OC=4，=，-10Q3 点Q的坐标是，【点睛】本题考查二次函数综合，解题的关键是掌握二次函数解析式的求法，平面直角坐标系中三角形面积的表示方法，利用数形结合的思想结合几何知识和函数知识去解决问题11如图，二次函数y（2m3）x6m（m0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，又已知D（0，2m）（1）求出A、B、C的坐标（用含m的代数式表示）；（2）过D作DEAC，在第一象限交抛物线于点E，且四边形ADEC是平行四边形求m的值；若F在抛物线上，点E、F关于抛物线的对

15、称轴对称，以EF为边的平行四边形的面积是平行四边形ADEC的面积的倍，且另两顶点中有一个顶点P在抛物线上，求P点坐标，并指出第四顶点的坐标【答案】（1），；（2），或，第四个顶点坐标或.【解析】【分析】（1）令、分别为0，即可求出、三点的坐标；（2）根据求得的坐标和平行四边形的对边平行，可求得直线和直线的解析式，联立可求得点的坐标，代入到抛物线中即可求得；根据已知的平行四边形算出以为边的平行四边形的面积，从而求得点的坐标，再利用对边平行且相等，求得第四个点的坐标.【详解】解：（1）令，则，令，则，即：，解得：或，.（2）设直线的解析式为：，将，代入得：，解得：，直线的解析式为：，同理求得，直线

16、的解析式为：，四边形是平行四边形，可设直线的解析式为：，将代入求得：，直线的解析式为：，同理求得，直线的解析式为：，联立直线和直线的解析式：，解得：，在抛物线上，代入得：，且，解得：；，二次函数解析式：，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，以为边平行四边形面积为，解得：，点在抛物线上，则，解得：，或，由题意可知，第四个点与点纵坐标相等，且距离为3，当时，第四个点的坐标为：；当时，第四个点的坐标为：.【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程、因式分解、一次函数、四边形面积的结合，难度和计算量都比较大，弄清几何图形中线段的数量和位置关系是本题的突破口.12（2021天津中考真题）在平面直角

17、坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，顶点，点B在第一象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过点B（）如图，求点B的坐标；（）将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为，设，矩形与重叠部分的面积为S如图，当点在x轴正半轴上，且矩形与重叠部分为四边形时，与相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）【答案】（）点B的坐标为；（）， t的取值范围是；【解析】【分析】(I)过点B作，垂足为H，由等腰三角形的“三线合一”性质得到，再由BOH=45得到OBH为等腰直角三角形，进而，由此求得B点坐标；(II

18、)由平移知，四边形是矩形，得，进而得到，再由重叠部分面积即可求解；画出不同情况下重叠部分的图形，分和两种情况，将重叠部分的面积表示成关于t的二次函数，再结合二次函数的最值问题求解【详解】解：(I)如图，过点B作，垂足为H由点，得，又BOH=45，OBH为等腰直角三角形，点B的坐标为(II)由点，得由平移知，四边形是矩形，得，整理后得到：当与A重合时，矩形与重叠部分刚开始为四边形，如下图(1)所示：此时，当与B重合时，矩形与重叠部分为三角形，接下来往右平移时重叠部分一直为三角形直到与A点重合，如下图(2)所示： 此时，t的取值范围是，故答案为：，其中：；当时，矩形与重叠部分的面积如下图3所示：此

19、时，BAO=45，为等腰直角三角形，重叠部分面积，是关于的二次函数，且对称轴为，且开口向下，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，故将代入，得到最大值，将代入，得到最小值，当时，矩形与重叠部分的面积如下图4所示：此时，和均为等腰直角三角形，重叠部分面积，是关于的二次函数，且对称轴为，且开口向下，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，故将代入，得到最大值，将代入，得到最小值，的最小值为，最大值为，故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、平移的性质、直角三角形的性质、二次函数的最值等问题，属于综合题，需要画出动点不同状态下的图形求解，本题难度较大，需要分类讨论13（2021

20、广东深圳中考一模）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，过点的抛物线与直线交于另一点，且点的横坐标为1（1）该抛物线的解析式为 ；（2）如图1，为抛物线上位于直线上方的一动点（不与、重合），过作轴，交 轴于，连接，为中点，连接，过 作交直线于，若点的横坐标为 ，点的横坐标为，求与的函数关系式；在此条件下，如图2，连接并延长，交 轴于，连接，求为何值时，（3）如图3，将直线绕点顺时针旋转15度交抛物线对称轴于点，点为线段上的一动点（不与 、重合），以点为圆心、以为半径的圆弧与线段交于点，以点 为圆心、以为半径的圆弧与线段交于点，连接在点 运动的过程中，四边形的面积有最大值还是有最小值

21、？请求出该值【答案】（1）；（2）；（3）存在最小值，【解析】【分析】（1）先求出点、的坐标，然后利用待定系数法，即可求出抛物线解析式；（2）过点作轴于，于，先证明、三点在以为圆心为半径的上，再证明，然后得到，再设，通过建立关于的方程，解方程即可；（3）设，四边形的面积为，过作，垂足为，利用三角函数和三角形面积关系即可得到结论【详解】解：（1）直线与轴交于点，令，则，点为，直线经过点，点的横坐标为1，点的纵坐标为：，点为：，把点、代入，得：，解得：，抛物线解析式为（2）如图1，过点作轴于，于，设直线与轴交于点，当时，、三点在以为圆心为半径的上，在和中，如图2，连接并延长，交轴于，连接，为中点，即，解得，时，（3）四边形的面积有最小值设，四边形的面积为，是抛物线对称轴上一点，直线绕点旋转，是等边三角形，如图3，过作，垂足为，则，在点运动的过程中，四边形的面积有最小值为【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，三角函数、三角形面积、二次函数的图像和性质、旋转的性质等重要知识点，解题时必须认真审题，熟练运用相关知识，运用数形结合、方程思想和转化思想思考问题和解决问题