专题31 抛物线及其性质（教师版）.docx

1、专题31 抛物线及其性质（核心考点精讲精练）1. 近几年真题考点分布圆锥曲线近几年考情考题示例考点分析关联考点2023年全国乙（文科），第11题,5分直线与圆的位置关系，参数方程2023年全国乙（文科），第13题,5分根据抛物线上的点求标准方程，抛物线的定义2023年全国乙（理科），第3题,5分2023年全国乙（文科），第3题,5分通过三视图求几何体的表面积2023年全国乙（理科），第5题,5分2023年全国乙（文科），第7题,5分根据标准方程确定圆的圆心和半径几何概型2023年全国乙（理科），第11题,5分2023年全国乙（文科），第12题,5分直线与双曲线的位置关系，求线段的中点坐标202

2、3年全国乙（理科），第12题,5分直线与圆的位置关系向量的数量积2023年全国乙（理科），第20题,12分2023年全国乙（文科），第21题,12分1、根据离心率求椭圆方程；2、椭圆中的定点问题；2023年全国甲（文科），第7题,5分椭圆中焦点三角形的面积问题2023年全国甲（理科），第8题,5分2023年全国甲（文科），第9题,5分双曲线的渐近线、离心率、圆的中点弦2023年全国甲（理科），第12题,5分椭圆的定义、焦点三角形2023年全国甲（理科），第20题,12分2023年全国甲（文科），第20题,12分1、根据直线与抛物线相交所得弦长求抛物线方程；2、抛物线中的三角形面积问题2. 命题

3、规律及备考策略【命题规律】抛物线及其性质是平面几何的重要内容之一，其涉及到的知识点包括抛物线的对称轴、顶点、开口方向、交点等。在考试中，常常以选择题、填空题、证明题等形式出现，难度中等偏上；【备考策略】1.了解抛物线的实际背景,感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的应用；2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程,以及它的简单几何性质；3.了解抛物线的简单应用；理解并掌握抛物线的性质；4.熟练掌握抛物线的基本概念，如对称轴、顶点、开口方向等，这是解决问题的关键；5.熟练掌握抛物线的方程、对称轴公式、顶点坐标公式；【命题预测】1.抛物线的对称轴、顶点、开口方向、与坐标轴的交点等。在未来的命题中

4、，可能会继续对这几个基础概念进行考查； 2.抛物线的对称性、开口方向等性质是经常在题目中出现的考点。在未来的命题中，可能会更深入地考查学生对这些性质的的理解和运用； 3.熟练掌握抛物线的方程、对称轴公式、顶点坐标公式等；4.抛物线及其性质与一次函数、二次函数等其他内容有着密切的联系。未来的命题可能会更加注重考查学生综合运用知识的能力；知识讲解一、抛物线的定义1.平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点叫作抛物线的焦点,直线叫作抛物线的准线.2.其数学表达式:(为点到准线的距离).二、抛物线的标准方程与几何性质标准方程 的几何意义:焦点到准线的距离图形顶点O(0,0)对称轴

5、直线直线焦点离心率准线方程范围焦半径(其中)1.的焦点坐标为,准线方程为.2.如图,设是过抛物线的焦点的弦,若,则(1),.(2)弦长(为弦的倾斜角).(3)以弦为直径的圆与准线相切.(4)通径:过焦点且垂直于对称轴的弦,长度等于,通径是过焦点最短的弦.(5).1.抛物线定义的两个关键点(1)抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等;(2)抛物线的焦点到准线的距离为.2.求抛物线标准方程的方法(1)先定位:根据焦点或准线的位置.(2)再定形:根据条件求.运用抛物线性质的技巧1.利用抛物线方程确定其焦点、准线时,关键是将抛物线方程化成标准方程.2.要结合图形分析,灵活运用平面几何的性质,以图助

6、解.与抛物线有关的最值问题的求解方法(1)定义转换法:将点到焦点的距离转化为点到准线的距离,借助平面几何知识求解.(2)平移直线法:先利用平行线之间距离最短平移直线与抛物线相切,再求两直线的距离.(3)函数法:通过巧设点的坐标,将距离表示为关于(参数)的二次函数形式,配方后求最值.1.求解直线与抛物线的问题时,一般利用方程法,但当涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用.2.有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上),可直接使用公式;若不过焦点,则可用弦长公式. 1.解决本题的关键

7、是把实际问题转化为数学问题,利用数学模型,通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题.2.以抛物线为数学模型的实例很多,如拱桥、隧道、喷泉等,应用抛物线解决问题主要体现在:(1)建立平面直角坐标系,求抛物线的标准方程;(2)利用已求方程求点的坐标.考点一、抛物线的定义与标准方程1（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）若抛物线y2=2px（p0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（ ）A2B3C4D8【答案】D【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（2，0），排除A，同样可排除B

8、，C，故选D【详解】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养2对抛物线，下列描述正确的是（ ）A开口向上，焦点为(0，2)B开口向上，焦点为C开口向右，焦点为(2，0)D开口向上，焦点为【答案】A【分析】先将抛物线化成标准形式，然后给找到开口方向和焦点.【详解】抛物线方程，化成标准方程形式，可得其开口向上，焦点坐标为.【点睛】本题考查由抛物线方程求其图像的开口和焦点坐标.属于简单题.3点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（）AB或C D或【答案】D【解析】将转化为，分类讨论和两种情况，利用抛物线性质，列出关

9、于a的方程求解即可.【详解】将转化为,当时，抛物线开口向上，准线方程，点到准线的距离为，解得，所以抛物线方程为，即；当时，抛物线开口向下，准线方程，点到准线的距离为，解得或（舍去），所以抛物线方程为，即.所以抛物线的方程为或【点睛】易错点睛：本题考查求抛物线的标准方程，解题时要注意，已知抛物线方程，求它的焦点坐标，准线方程等，一定要注意所给方程是不是标准形式，若不是，一定要先转化为标准形式，然后根据标准形式的类型，确定参数p的值及抛物线的开口方向等，然后给出结论.1（2021年全国新高考II卷数学试题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（）A1B2CD4【答案】B【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，

10、然后结合点到直线距离公式可得的值.【详解】抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，解得：(舍去).2抛物线的准线方程是，则实数 .【答案】/【分析】将抛物线方程化为标准方程，根据其准线方程即可求得实数.【详解】抛物线化为标准方程：，其准线方程是，而所以 ，即 .3（2021年全国新高考卷数学试题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 .【答案】【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.【详解】抛物线： （）的焦点,P为上一点，与轴垂直，所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,不妨设,因为Q为轴上一点，且，

11、所以Q在F的右侧，又，因为，所以,，所以的准线方程为.【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.考点二、抛物线的几何性质1（2023年江苏省学业质量调研数学试题）抛物线上一点到其对称轴的距离为（）A4B2CD1【答案】A【分析】利用代入法进行求解即可.【详解】把代入抛物线方程中，得，因为该抛物线的对称轴为纵轴，所以抛物线上一点到其对称轴的距离为4.2已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为 .【答案】【分析】根据题意作出图形，设直线与轴的夹角为，不妨设，设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为，过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为，进一步

12、可以得到，进而求出，同理求出，最后解得答案.【详解】设直线与轴的夹角为，根据抛物线的对称性，不妨设，如图所示.设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为，过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为.由抛物线的定义可知，同理：,于是，则抛物线的准线方程为：.3（2023届江苏省二模数学试题）已知点在抛物线上，过作的准线的垂线，垂足为，点为的焦点若，点的横坐标为，则 .【答案】【分析】不妨设点在第一象限，可得点，分析可知直线的倾斜角为，利用直线的斜率公式可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值.【详解】如下图所示：不妨设点在第一象限，联立可得，即点易知轴，则轴，则，所以，直线的倾斜角

13、为，易知点，所以，整理可得，且有，故，等式两边平方可得，即，解得（6舍去）.1已知为坐标原点，垂直抛物线的轴的直线与抛物线交于两点，则，则（）A4B3C2D1【答案】D【分析】由题知为等腰直角三角形，进而得，再代入方程求解即可.【详解】解：，且轴，由抛物线的对称性为等腰直角三角形， 设与轴的交点为，即，将代入得，解得2为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（ ）ABCD【答案】B【分析】由抛物线的标准方程可得抛物线的焦点坐标和准线方程,设出,由PF=4以及抛物线的定义列式可得,即,再代入抛物线方程可得点P的纵坐标,再由三角形的面积公式可得.【详解】由可得抛物线的焦点F(1,0),

14、准线方程为,如图:过点P作准线 的垂线,垂足为,根据抛物线的定义可知PM=PF=4,设,则,解得,将 代入可得,所以的面积为=.【点睛】本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式,关键是利用抛物线的定义求P点的坐标;利用OF为三角形的底,点P的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档题.3已知抛物线，以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于两点，若，则（）A4B8C10D16【答案】B【分析】由圆和抛物线的对称性及|AB|的长，可以得到点A,B的纵坐标，代入抛物线方程得到其横坐标关于p的函数表达式，再代入圆的方程求得p的值.【详解】以为圆心，半径为5的圆的方程为,由抛物线，得到抛物线关于

15、轴对称，又上面的圆的圆心在轴上，圆的图形也关于轴对称，它们的交点A,B关于轴对称，因为|AB|=8，A,B点的纵坐标的绝对值都是4，它们在抛物线上，于是A点的横坐标的值,不妨设A在轴上方，则A点的坐标为,又A在圆上，,解得,【点睛】本题考查抛物线的方程和几何性质，涉及圆的方程和性质，关键是利用抛物线和圆的对称性，结合弦长求得A,B的纵坐标，进而得到其横坐标，代入圆的方程求得p的值.考点三、直线与抛物线的位置关系1已知直线过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于，两点，若使的直线有且仅有1条，则 .【答案】1【分析】根据通径公式，即可求解.【详解】焦点弦中，通径最短，所以若使的直线有且仅有1条，则就

16、是通径，即，.2已知直线被抛物线截得的弦长为，直线经过的焦点，为上的一个动点，设点的坐标为，则的最小值为 【答案】【分析】把直线方程与抛物线方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式即可得出p与关系；再根据经过的焦点，得出p与的关系，可求出抛物线方程，进而得到的最小值.【详解】（1） 则 又直线经过的焦点，则 由此解得 抛物线方程为， 则 故当时，【点睛】熟练掌握直线与抛物线相交问题转化为直线方程与抛物线方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式等是解题的关键3已知抛物线的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A，B两点，以为直径的圆与y轴交于D，E两点，且，则直线l的方程为（）ABCD

17、【答案】C【分析】设的中点为M，根据求出r，进而得到M点横坐标；再设直线，由韦达定理得到k与M横坐标的关系，进而求出k【详解】设的中点为M，轴于点N，过A，B作准线的垂线，垂足分别为，如下图：由抛物线的定义知，故，所以，即，解得或（舍去），故M的横坐标为，设直线，将代入，得，则，解得，故直线l的方程为【点睛】本题解题的关键是要抓住圆的两要素：圆心和半径，用圆心的横坐标得到斜率的等量关系1已知抛物线C：，则过抛物线C的焦点，弦长为整数且不超过2022的直线的条数是（）A4037B4044C2019D2022【答案】A【分析】根据已知条件，结合抛物线的性质，先求出过焦点的最短弦长，再结合抛物线的对

18、称性，即可求解【详解】抛物线C：，即 ，由抛物线的性质可得，过抛物线焦点中，长度最短的为垂直于y轴的那条弦，则过抛物线C的焦点，长度最短的弦的长为，由抛物线的对称性可得，弦长在5到2022之间的有共有条，故弦长为整数且不超过2022的直线的条数是 2（2023届广东省综合测试（一）数学试题）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，过点的直线交于两点，且，线段的中点为，则直线的斜率的最大值为（）ABCD1【答案】A【分析】根据给定条件，设出抛物线C及直线PQ的方程，借助垂直关系求出抛物线方程及点M的坐标，再用斜率坐标公式建立函数，利用均值不等式求解作答.【详解】依题意，抛物线的焦点在x轴的正半轴

19、上，设的方程为：，显然直线不垂直于y轴，设直线PQ的方程为：，点，由消去x得：，则有，由得：，解得，于是抛物线：的焦点，弦的中点的纵坐标为，则点，显然直线的斜率最大，必有，则直线的斜率，当且仅当，即时取等号，所以直线的斜率的最大值为.3直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（）A6B8C2D4【答案】B【分析】联立直线与抛物线的方程，根据抛物线的焦点坐标，结合焦点弦长公式求解即可【详解】因为抛物线的焦点坐标为，又直线过抛物线的焦点F，所以，抛物线的方程为，由，得，所以，所以4倾斜角为135的直线与抛物线相切，分别与轴、轴交于、两点，过，两点的最小圆截抛物线的准线所得的弦长为（）A4B2CD【答案

20、】B【分析】由题可求直线，进而可得圆的方程为，再利用弦长公式即求.【详解】由题可设直线的方程，由，得，解得，令，得，令，得，即，过，两点的最小圆即以为直径的圆，其圆心为，半径为，方程为，又抛物线的准线为，过，两点的最小圆截抛物线的准线所得的弦长为.考点四、与抛物线有关的最值问题1（2023届福建省质量检测数学试题）已知为抛物线上的一个动点，直线，为圆上的动点，则点到直线的距离与之和的最小值为 【答案】【分析】首先得到圆心的坐标与半径，由抛物线方程得到焦点坐标与准线方程，依题意可得点到直线的距离，即可得到点到直线的距离与之和为，再数形结合得到的最小值.【详解】解：因为圆，所以，半径，抛物线的焦点

21、，准线为直线，则点到直线的距离，所以点到直线的距离与之和为，所以当、四点共线时，取得最小值，其最小值为.2已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（）A2BCD4【答案】B【分析】根据抛物线焦点弦的性质以及，联立可得，进而可用对勾函数的性质求的最值，进而可求.【详解】解法1：抛物线的焦点坐标为，准线方程为，设，则，由抛物线定义可知，又因为，所以即，由可得：所以.，当时，当时，则弦AB的中点到C的准线的距离，d最大值是.弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是.解法2：弦AB的中点到C的准线的距离，根据结论，.3（2017年全国普通高等学校招生统一考试理

22、科数学（新课标1卷）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A16B14C12D10【答案】A【详解】设，直线的方程为，联立方程，得，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知，当且仅当（或）时，取等号.点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以

23、.4已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为（）A1B2CD【答案】C【分析】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接，则，而，所以当最小时，四边形的面积最小，再抛物线的定义转化为点到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果【详解】如图，连接，圆：，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则又，所以当四边形的面积最小时，最小过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则，当点与坐标原点重合时，最小，此时故1已知抛物线焦点的坐标为，P为抛物线上的任意一点，则的最小值为（）A3B4C5D【答案】A【分析】先根据焦点坐标求出，结合抛物线的定义可

24、求答案.【详解】因为抛物线焦点的坐标为，所以，解得记抛物线的准线为l，作于，作于，则由抛物线的定义得，当且仅当P为BA与抛物线的交点时，等号成立2（2023届安徽省、云南省、吉林省、黑龙江省适应性测试数学试题）若P，Q分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为 【答案】/【分析】设点，圆心，的最小值即为的最小值减去圆的半径，求出的最小值即可得解【详解】依题可设，圆心，根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知，的最小值即为的最小值减去半径因为，设，由于恒成立，所以函数在上递减，在上递增，即，所以，即的最小值为3已知抛物线，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（）AB

25、CD3【答案】A【分析】由条件确定点的轨迹，结合抛物线的定义，圆的性质求的最小值.【详解】抛物线的方程为，抛物线的准线方程为， 方程可化为，过定点，设，设的中点为，则，因为，为垂足， ，所以，即点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，过点作准线的垂线，垂足为，则, ,，又，当且仅当三点共线且在之间时等号成立， ，过点作准线的垂线，垂足为，则,当且仅当三点共线时等号成立， ，当且仅当四点共线且在之间时等号成立，所以的最小值为.4抛物线E：与圆M：交于A，B两点，圆心，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于点N，则的周长的取值范围是 .【答案】【分析】根据题意，联立方程组求出点

26、坐标，再结合抛物线的定义，即可求解.【详解】如图，可得圆心也是抛物线的焦点，PN交抛物线的准线于H，根据抛物线的定义，可得，故的周长，由，解得，且 PH的取值范围为，的周长的取值范围为.考点五、抛物线的实际应用1位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m，跨径为12m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为 m【答案】/3.6【分析】首先建立直角坐标系，再根据抛物线所过的点求标准方程，进而得到抛物线的焦点到准线的距离.【详解】以抛物线的最高点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，因为抛物线过点，所以，

27、可得，所以抛物线的焦点到准线的距离为2已知正三角形的顶点在抛物线上，另一个顶点，则这样的正三角形有（）A1个B2个C3个D4个【答案】D【分析】通过两个顶点的位置关系进行分类，当两个顶点在轴两侧时，等边三角形关于轴对称，通过计算得到两种情况；当两个顶点在轴同侧时，通过计算抛物线上的点与的最小值可知顶点在的两边，再计算，发现也是成立的，即可得到答案【详解】由题意得，当等边三角形关于轴对称时，两个边的斜率，其方程为，每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形，这样的正三角形有2个，如图和假设两个顶点同时在抛物线上方时，假设抛物线上的点为所以所以当时，此时所以顶点在的

28、两边，不妨设在的左侧，因为，所以，所以，即，所以能找到两个顶点同时在抛物线上方，同理可证能找到两个顶点同时在抛物线下方，综上所述，共有4个正三角形，3已知抛物线，为其焦点，为其准线，过任作一条直线交抛物线于两点，分别为在上的射影，为的中点，给出下列命题：；/；与的交点在轴上；与交于原点.其中真命题是 （写出所有真命题的序号）【答案】【分析】根据题意，结合抛物线定义和性质，即可对选项进行逐一分析判断.【详解】根据题意，作图如下：因为在抛物线上，由抛物线的定义，得，又分别为在上的射影，所以，即正确；取的中点，则，所以，即正确；由得平分，所以，又因为，所以/，即正确；取轴，则四边形为矩形，则与的交点

29、在轴上，且与交于原点，即正确；故答案为：.【点睛】要注意填空题的一些特殊解法的利用，可减少思维量和运算量，如本题中的特殊位置法（取轴）.1（2022年浙江省新高考研究卷（全国I卷）数学试题（三）已知椭圆：与抛物线：交于两点，为坐标原点，若的外接圆经过点，则等于（）ABC2D4【答案】A【分析】根据椭圆和抛物线的对称性知的外接圆的圆心必在x轴，设圆心为，结合圆的性质可得、进而得，代入椭圆方程计算即可求解.【详解】设，则，.由题意知，四点共圆，由椭圆和抛物线的对称性，知的外接圆的圆心必在x轴，设与x轴相交于点D，则，在圆D中，有，即，又，所以，解得，代入，得，将代入椭圆方程，得，整理，得，解得.经

30、检验，时，符合题意.故实数p的值为.2已知、分别是双曲线的左、右焦点，也是抛物线的焦点，点是双曲线与抛物线的一个公共点，若，则双曲线的离心率为 .【答案】/【分析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，求出，求出、的余弦值，由题意可知，可得出关于、的齐次等式，结合可解得的值.【详解】过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，则，因为，则，则，因为，则，由余弦定理可得，因为，所以，所以，整理可得，即，因为，解得.3（2023年江苏省联合调研数学试题）是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为 【答案】/【分析】求出圆心坐标和抛物线的焦点坐标，把的最小值转化为减去圆的半径，再减去抛物线焦

31、点到原点的距离即可得答案.【详解】圆的圆心为，半径，抛物线的焦点，因为是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，所以要使最小，即到抛物线的焦点与到圆的圆心的距离最小，连接，则的最小值为减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离，即，所以的最小值为.【基础过关】1已知圆与抛物线相交于M，N，且，则（）AB2CD4【答案】B【分析】由圆与抛物线的对称性及，可得点纵坐标，代入抛物线得横坐标，求出即可得解.【详解】因为圆与抛物线相交于M，N，且，由对称性，不妨设，代入抛物线方程，则，解得，所以，故.2已知抛物线的焦点为F，P为抛物线上一动点，点，当的周长最小时，点P的坐标为 【答案】/(1,

32、0.25)【分析】由抛物线的定义把转化为到准线的距离，然后由三点共线得最小值，从而得点坐标【详解】如图，设是抛物线的准线，过作于，作于，则，易知当三点共线时，最小，且最小值为，所以的周长最小值为3，此时，即3是抛物线的焦点，以为端点的射线与抛物线相交于，与抛物线的准线相交于，若，则（ ）ABCD【答案】D【详解】由题意，设的横坐标为，则由抛物线的定义，可得则所以所以4已知抛物线与双曲线有共同的焦点，为坐标原点， 在轴上方且在双曲线上，则的最小值为（ ）A B C D【答案】A【详解】试题分析：抛物线，可得，焦点F为（0，2），则双曲线的c=2，则，即双曲线方程为，设P（m，n）（n3），则，则

33、，因为，故当时取得最小值，最小值为考点：抛物线、双曲线的方程与性质5已知拋物线的焦点为椭圆的右焦点，且与的公共弦经过，则椭圆的离心率为（）ABCD【答案】A【分析】根据给定条件求出椭圆两焦点坐标，再求出与的公共点的坐标，借助椭圆定义计算椭圆长轴长即可作答.【详解】依题意，椭圆的右焦点，则其左焦点，设过的与的公共弦在第一象限的端点为点P，由抛物线与椭圆对称性知，轴，如图，直线PF方程为：，由得点，于是得，在中，则，因此，椭圆的长轴长，所以椭圆的离心率.6（2023届贵州省联合考试数学（文）试题）已知过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，Q为弦的中点，P为C上一点，则的最小值为（）AB

34、8CD5【答案】B【分析】根据给定条件，求出直线AB的方程，再与抛物线方程联立，结合抛物线定义，借助几何意义求解作答.【详解】抛物线，焦点，准线，直线AB的方程为，由消去y并整理得：，设，则，弦中点Q的横坐标，过点作准线l的垂线，垂足为点，如图，令交抛物线于点P，在抛物线上任取点，过作于点，连接，即有，当且仅当点与P重合时取等号，所以的最小值为.7过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，则此抛物线方程为 【答案】【分析】作准线于，准线于，设，由抛物线定义得，结合求得，进而求出，即可求得抛物线方程.【详解】如图，作准线于，准线于，设，由抛物线定义得，故，在直角三角形中，因为

35、，所以，从而得，设准线与x轴交于，则，所以，因此抛物线方程为.8已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交拋物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为（）AB4CD2【答案】A【分析】利用抛物线的定义结合条件可得，进而可得.【详解】法一：由题意可知，则，抛物线的准线方程为直线，则，因为，所以，所以，所以，所以，所以.因为，所以，解得，所以，点F到AM的距离为，所以.法二：因为，所以，所以，即.连接FM，又，所以为等边三角形.易得，所以.9（2018年全国卷理数高考试题）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点若，则 【答案】2【分

36、析】方法一：利用点差法得到AB的斜率，结合抛物线定义可得结果.【详解】方法一：点差法设，则，所以所以，取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为因为,，因为为AB中点，所以平行于x轴，因为M(-1,1)，所以，则即故答案为：2.方法二：【最优解】焦点弦的性质记抛物线的焦点为F，因为，则以为直径的圆与准线相切于点M，由抛物线的焦点弦性质可知，所以方法三： 焦点弦性质+韦达定理记抛物线的焦点为F，因为，则以为直径的圆与准线相切于点M，记中点为N，则，设，代入中，得，所以，得，所以方法四：【通性通法】暴力硬算由题知抛物线的焦点为，设直线的方程为，代入中得，设，则，同理有，由，即又，所以，得方

37、法五：距离公式+直角三角形的性质 设直线为，与联立得，则从而，可得的中点，所以又由弦长公式知由得，解得，所以方法六：焦点弦的性质应用由题可知，线段为抛物线的焦点弦，由于以抛物线的焦点弦为直径的圆必与准线相切，又点M恰为抛物线准线上的点，因此，以为直径的圆必与准线相切于点M过点M作平行于轴的直线交于点N，则N为圆心设，则又因为，所以联立解得将的值代入中求得因为抛物线C的焦点，所以【整体点评】方法一：根据点差法找出直线的斜率与两点纵坐标的关系，再根据抛物线定义求出中点坐标，从而解出；方法二：直接根据焦点弦的性质解出，是该题的最优解；方法三：根据焦点弦性质可知，直线过点，再根据韦达定理求出直线的斜率

38、；方法四：直接设出直线方程，联立运算，属于解决直线与抛物线位置关系问题的通性通法，思路直接，运算复杂；方法五：反设直线，再通过联立，利用直角三角形的性质求解，运算较复杂；方法六：利用焦点弦的性质直接求出其中一点的坐标，再根据斜率公式求出10已知椭圆的焦点分别为，且是抛物线焦点，若P是与的交点，且，则的值为 .【答案】【分析】利用椭圆定义求出，再借助抛物线的定义结合几何图形计算作答.【详解】依题意，由椭圆定义得，而，则，因点是抛物线的焦点，则该抛物线的准线l过点，如图，过点P作于点Q，由抛物线定义知，而，则，所以.11已知P(1，2)在抛物线C：y22px上(1)求抛物线C的方程；(2)A，B是

39、抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点【答案】(1)y24x；(2)证明见解析；【分析】(1)把已知点坐标代入抛物线方程求得参数，即得抛物线方程；(2)设AB：xmy+t，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线方程与抛物线方程联立消元后应用韦达定理得，代入得参数值，从而可得定点坐标【详解】（1）P点坐标代入抛物线方程得42p，p2，抛物线方程为y24x（2）证明：设AB：xmy+t，将AB的方程与y24x联立得y24my4t0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y24m，y1y24t，所以016m2+16t0m2+t0，同理：，由

40、题意：，4(y1+y2+4)2(y1y2+2y1+2y2+4)，y1y24，4t4，t1，故直线AB恒过定点(1，0)12（2023届高三冲刺卷（一）全国卷文科数学试题）已知斜率存在的直线过点且与抛物线交于两点.(1)若直线的斜率为1，为线段的中点，的纵坐标为2，求抛物线的方程；(2)若点也在轴上，且不同于点，直线的斜率满足，求点的坐标.【答案】(1)；(2)；【分析】（1）由题知直线的方程，联立抛物线，利用韦达定理以及中点公式即可求解；（2）设出直线的方程及的坐标，联立方程组，消元，韦达定理，利用直线斜率公式写出将韦达定理代入，化简求出参数即可得点的坐标.【详解】（1）因为直线的斜率为1且过

41、点，所以直线的方程为：，设，由，得：，所以，所以，因为为线段的中点，的纵坐标为2，所以，所以抛物线的方程为：.（2）设直线的方程为：，得：，所以，由由，所以，即，所以，所以点的坐标为.13（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设直线：，；根据抛物线焦半径公式可得；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于的方程，解方程求得结果；（2）设直线：；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利

42、用可得，结合韦达定理可求得；根据弦长公式可求得结果.【详解】（1）设直线方程为：，由抛物线焦半径公式可知：联立得：则，解得：直线的方程为：，即：（2）设，则可设直线方程为：联立得：则，则【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.14（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）已知椭圆C1：(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|（1）求C1的离心率；（2）若C1的

43、四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程【答案】（1）；（2）：，： .【分析】（1）根据题意求出的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设在第一象限，运用代入法求出点的纵坐标，根据，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；【详解】解：（1）因为椭圆的右焦点坐标为：,所以抛物线的方程为，其中.不妨设在第一象限，因为椭圆的方程为：，所以当时，有，因此的纵坐标分别为，；又因为抛物线的方程为，所以当时，有，所以的纵坐标分别为，故，.由得，即，解得（舍去），.所以的离心率为.（2）由

44、（1）知，故，所以的四个顶点坐标分别为，的准线为.由已知得，即.所以的标准方程为，的标准方程为.【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.【能力提升】1（2023届河北省调研性模拟数学试题）焦点为的抛物线上有一点，为坐标原点，则满足的点的坐标为（）ABCD【答案】B【分析】将点的坐标代入抛物线中，解得，从而得到点和点的坐标，要满足，则只需点为的垂直平分线和的垂直平分线的交点，进而求解即可【详解】将点的坐标代入抛物线中得，解得，则，所以的斜率为1，且的中点为，则的垂直平分线方程为，即，又的垂直平分线方程为

45、，又，则点为的垂直平分线和的垂直平分线的交点，所以点的坐标为2已知抛物线上三点，直线是圆的两条切线，则直线的方程为（）ABCD【答案】B【解析】先利用点求抛物线方程，利用相切关系求切线AB，AC，再分别联立直线和抛物线求出点，即求出直线方程.【详解】在抛物线上，故，即，抛物线方程为，设过点与圆相切的直线的方程为：，即，则圆心到切线的距离，解得，如图，直线，直线.联立 ，得，故，由得，故，联立 ，得，故，由得，故，故，又由在抛物线上可知，直线的斜率为 ，故直线的方程为，即.【点睛】方法点睛：求圆的切线的方程的求法：（1）几何法：设直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径构建关系求出参数，即得方程

46、；（2）代数法：设直线的方程，联立直线与圆的方程，使判别式等于零解出参数，即可得方程.3在平面直角坐标系xOy中，M：与抛物线C：有且仅有两个公共点，直线l过圆心M且交抛物线C于A，B两点，则 【答案】0【分析】根据给定条件，求出圆心M的坐标，设出直线l的方程，与抛物线方程联立求解作答.【详解】因M与抛物线C有且仅有两个公共点，而M与抛物线C都关于x轴对称，因此，两个公共点的横坐标相同，并且唯一，由消去y并整理得：，且，于是得，解得，即点，显然直线l不垂直于y轴，设直线l的方程为，由消去x并整理得：，设，则，所以.4（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知是抛物线的焦

47、点，是上一点，的延长线交轴于点若为的中点，则 【答案】6【详解】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化5已知圆，定点，动点Q满足以为直径的圆与y轴相切过点F

48、的直线l与动点Q的轨迹E，圆C顺次交于A，M，N，B四点则的最小值为 【答案】23【分析】设，即可得到的中点坐标，再根据距离公式求出动点的轨迹方程，由抛物线的焦点弦性质，求得，根据抛物线的性质及基本不等式，即可求得答案【详解】解：设，则的中点为，所以，整理得，即动点的轨迹为抛物线，焦点为，由直线过抛物线的焦点，则，其中的证明过程如下：当不垂直于轴时，可设直线的方程为，显然由得:，当轴时，直线方程为，则，同上也有由抛物线的定义知：，又，所以，且所以 圆圆心为，半径1，当且仅当，即，时取等号；的最小值为236如图，已知点F为抛物线的焦点过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，点D为准线l与x

49、轴的交点，则的面积S的取值范围为 【答案】【分析】设坐标和直线AB的方程，让直线AB方程与抛物线进行联立可得，接着利用弦长公式求出，再求出点到直线AB的距离，最后利用三角形的面积公式即可求出答案【详解】由抛物线可得焦点，准线方程为，设，直线AB的方程为，由，可得，则，所以，直线AB的一般方程为，点到直线AB的距离，所以，所以的面积S的取值范围为.7已知，点P是抛物线上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点，则的最小值是（）ABCD【答案】A【分析】根据抛物线的定义所求可转化为，再由三点共线可求最小值.【详解】由抛物线知，焦点，准线方程为过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图，由抛物线定

50、义知，当F,P,M三点共线时,最小为.8抛物线C：的焦点为F，准线l交x轴于点，过焦点的直线m与抛物线C交于A，B两点，则（）ABC直线AQ与BQ的斜率之和为0D准线l上存在点M，若为等边三角形，可得直线AB的斜率为【答案】C【分析】根据抛物线的性质，以及直线和抛物线的位置关系，结合韦达定理，利用斜率关系以及弦长和距离公式，逐项分析判断即可得解.【详解】对于A，由，可得，故A选项不正确；对于B，设A，B两点的坐标分别为，根据题意得，焦点，则设直线AB的方程为，联立方程，消去x后整理为，则，故B选项不正确；对于C，故C选项正确；对于D，如图，设AB的中点为N，连MN，过N作NH直线l，H为垂足，

51、根据B项可得N点坐标为，则，由为等边三角形可得，则，则，由对称性及MNAB可知直线AB的斜率为，故D选项不正确9（2023届湖北省调研数学试题）过坐标原点作圆的两条切线，设切点为，直线恰为抛物的准线.(1)求抛物线的标准方程；(2)设点是圆上的动点，抛物线上四点满足：，设中点为.（i）求直线的斜率；（ii）设面积为，求的最大值.【答案】(1)；(2)（i）0；（ii）48；【分析】（1）设直线与轴交于，由几何性质易得：，即可解决；（2）设，（i）中，由于中点在抛物线上，得，将，代入联立得点纵坐标为，即可解决；（）由（i）得点，又点在圆上，得，可得：即可解决.【详解】（1）设直线与轴交于.由几何

52、性质易得：与相似，所以，即：，解得：. 所以抛物线的标准方程为：.（2）设（i）由题意，中点在抛物线上，即，又，将代入，得：，同理：，有，此时点纵坐标为，所以直线的斜率为0.（）因为，所以点，此时，所以，又因为点在圆上，有，即，代入上式可得：，由，所以时，取到最大价.10（2023届广西模拟数学（文）试题）已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同交点，且直线交轴于，直线交轴于.(1)求直线斜率的取值范围；(2)证明：存在定点，使得，且.【答案】(1)；(2)证明见解析；【分析】（1）由抛物线过可求得抛物线方程，设，与抛物线方程联立，由可得的范围，并确定韦达定理结论；根据可求得且，由此可确

53、定的范围；（2）易知在轴上，设，利用向量数乘的坐标运算可得，求得方程后，令可推导得到，同理得到，代入中，整理后代入韦达定理的结论可构造方程求得的值，从而确定定点.【详解】（1）抛物线经过点，解得：，抛物线；由题意知：直线斜率存在，设，由得：，解得：或；，又直线与轴相交于两点， ，即，解得：且；综上所述：直线斜率的取值范围为.（2）设点，由，知：共线，即在轴上，则可设，同理可得：，直线，令得：，同理可得：，由（1）知：，解得：，存在定点满足题意.【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中存在定点满足某条件的问题，求解此类问题的基本思路如下：假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元

54、二次方程的形式；利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；利用韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式或构造方程；化简所得函数式或方程，整理可得定点坐标.11已知与圆相切的直线l，过抛物线的焦点F，且直线l的倾斜角为.(1)求抛物线E的方程；(2)直线与抛物线E交于点A，B两点，且A，B关于直线对称，在上是否存在点N，使得以为直径的圆恰好过点N，若存在，求出点N的坐标；否则，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在，或；【分析】（1）根据点斜式设出直线方程，再由与圆相切求解即可；（2）利用点差法求出中点，得出直线方程，再由圆的性质利用求解即可.（1）抛物线焦点为，直线斜率，所以

55、直线方程为，由圆与直线相切可得，由可解得，所以抛物线方程为.（2）设，因为A，B关于直线对称，所以设中点在上，且，由相减可得，所以，又在上，所以，所以直线的方程为，联立抛物线消元得，,若存在点N，则,即，解得或，即存在点或满足条件.【点睛】方法点睛：存在性问题，一般假设符合条件的点存在，本题以以为直径的圆恰好过点N，可考虑垂直建立关系，也可考虑建立关系求解.【真题感知】1（2023年北京高考数学真题）已知抛物线的焦点为，点在上若到直线的距离为5，则（）A7B6C5D4【答案】D【分析】利用抛物线的定义求解即可.【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，所以到准线的距离为，又到直线的距离为，

56、所以，故.2（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点当直线MD垂直于x轴时，(1)求C的方程；(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为当取得最大值时，求直线AB的方程【答案】(1)；(2).【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解；（2）法一：设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解.【详解】（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时，所以，所以抛物线C的方程为；（2）方法一：【最优解】直线方程横截式设，直线，由可得，由斜率公式可得，直线，

57、代入抛物线方程可得，所以，同理可得，所以又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，设直线，代入抛物线方程可得，所以，所以直线.方法二：直线方程点斜式由题可知，直线MN的斜率存在.设,直线由 得：，,同理，.直线MD:,代入抛物线方程可得：，同理，.代入抛物线方程可得:,所以，同理可得，由斜率公式可得：（下同方法一）若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，设直线，代入抛物线方程可得，所以，所以直线.方法三：三点共线设，设,若 P、M、N三点共线，由所以，化简得，反之，若,可得MN过定点因此，由M、N、F三点共线，

58、得，由M、D、A三点共线，得，由N、D、B三点共线，得，则，AB过定点（4,0）（下同方法一）若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，所以直线.【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法3（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2（1）求C的方程;（2）已

59、知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.【答案】（1）；（2）最大值为.【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，所以该抛物线的方程为；（2）方法一：轨迹方程+基本不等式法设，则，所以，由在抛物线上可得，即，据此整理可得点的轨迹方程为，所以直线的斜率，当时，；当时，当时，因为，此时，当且仅当，即时，等号成立；当时，；综上，直线的斜率的最大值为.方法二：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q的轨迹方程为设直线的方程

60、为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为方法三：轨迹方程+换元求最值法同方法一得点Q的轨迹方程为设直线的斜率为k，则令，则的对称轴为，所以故直线斜率的最大值为方法四：参数+基本不等式法由题可设因为，所以于是，所以则直线的斜率为当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；方法二 同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，为最优解；方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直

61、线的斜率k的平方关于的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线斜率的最大值；方法四利用参数法，由题可设，求得x,y关于的参数表达式，得到直线的斜率关于的表达式，结合使用基本不等式，求得直线斜率的最大值. 4（2021年浙江省高考数学试题）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F的直线交抛物线与AB两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出的值后可求抛物线的方程.（2）方法一：设，联立直线的方程和抛物线的方程后可得，求出直线的方程

62、，联立各直线方程可求出，根据题设条件可得，从而可求的范围.【详解】（1）因为，故，故抛物线的方程为：.（2）方法一：通式通法设，所以直线，由题设可得且.由可得，故，因为，故，故.又，由可得，同理，由可得，所以，整理得到，故，令，则且，故，故即，解得或或.故直线在轴上的截距的范围为或或.方法二：利用焦点弦性质设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，由题设可得且由得，所以因为，由得同理由得因为，所以即故令，则所以，解得或或故直线在x轴上的截距的范围为方法三【最优解】：设，由三点共线得，即所以直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为设直线的方程为，则所以故（其中）所以因此直线在x轴

63、上的截距为【整体点评】本题主要是处理共线的线段长度问题，主要方法是长度转化为坐标.方法一：主要是用坐标表示直线，利用弦长公式将线段长度关系转为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.方法二：利用焦点弦的性质求得直线的斜率之和为0，再利用线段长度关系即为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.方法三：利用点在抛物线上，巧妙设点坐标，借助于焦点弦的性质求得点横坐标的关系，这样有助于减少变元，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.5（2020年北京市

64、高考数学试题）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（）A经过点B经过点C平行于直线D垂直于直线【答案】B【分析】依据题意不妨作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即求解.【详解】如图所示： 因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，所以线段的垂直平分线经过点.【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.6（2021年北京市高考数学试题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴与于点.若，则点的横坐标为 ； 的面积为 【答案】5 /【分析】根据焦半径公式可求

65、的横坐标，求出纵坐标后可求.【详解】因为抛物线的方程为，故且.因为，解得，故，所以，故答案为：5；.7（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）已知椭圆C1：(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|.（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.【答案】（1）；（2），.【分析】（1）求出、，利用可得出关于、的齐次等式，可解得椭圆的离心率的值；（2）方法四由（1）可得出的方程为，联立曲线与的方程，求出点的坐标，利用抛物线的定义

66、结合可求得的值，进而可得出与的标准方程.【详解】（1），轴且与椭圆相交于、两点，则直线的方程为，联立，解得，则，抛物线的方程为，联立，解得，即，即，即，解得，因此，椭圆的离心率为；（2）方法一：椭圆的第二定义由椭圆的第二定义知，则有，所以，即又由，得从而，解得所以故椭圆与抛物线的标准方程分别是方法二：圆锥曲线统一的极坐标公式以为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系由（）知，又由圆锥曲线统一的极坐标公式，得，由，得，两式联立解得故的标准方程为，的标准方程为方法三：参数方程由（1）知，椭圆的方程为，所以的参数方程为x=2ccos,y=3csin（为参数），将它代入抛物线的方程并化简得，解得或（舍

67、去），所以，即点M的坐标为又，所以由抛物线焦半径公式有，即，解得故的标准方程为，的标准方程为方法四【最优解】：利用韦达定理由（1）知，椭圆的方程为，联立，消去并整理得，解得或（舍去），由抛物线的定义可得，解得.因此，曲线的标准方程为，曲线的标准方程为.【整体点评】(2)方法一：椭圆的第二定义是联系准线与离心率的重要工具，涉及离心率的问题不妨考虑使用第二定义，很多时候会使得问题简单明了.方法二：圆锥曲线统一的极坐标公式充分体现了圆锥曲线的统一特征，同时它也是解决圆锥曲线问题的一个不错的思考方向.方法三：参数方程是一种重要的数学工具，它将圆锥曲线的问题转化为三角函数的问题，使得原来抽象的问题更加具体化.方法四：韦达定理是最常用的处理直线与圆锥曲线位置关系的方法，联立方程之后充分利用韦达定理可以达到设而不求的效果.