专题32 三角形相似-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（原卷版）.docx

1、专题32 三角形相似一、平行相似【学霸笔记】在求有关线段的比或有关比例式的证明时，添设平行线，构造基本图形是一种常用的重要方法。在作辅助线时，要把握两个原则：作辅助线后能直接或间接出现所要求的比，尽可能多地与已知条件和求证（解）结论产生联系；作辅助线时要从比的前项、后项中的共点线出发，弄清过哪一点作哪一条直线的平行线。【典例】如图，在ABC中，AD是BC边上中线，F是AD上一点，且AF：FD1：5，连接CF并延长交AB于E，则AE：EB等于（）A1：6B1：8C1：9D1：10【解答】解：过点D作GDEC交AB于G，AD是BC边上中线，BGGE=BDDC=1，即BGGE，又GDEC，AEEG=

2、AFFD=15，AE=EG5，AE：EB=EG5：2EG1：10；故选：D【巩固】如图，四边形ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作PEAB，交AD于点E，过点P作PFCD，交BC于点F，则下列所给的结论中，不一定正确的是（）APEAB=PFCDBAEDE=BFCFCPFCD=AEADDPEAB+PFCD=1二、相似的判定与应用【典例】如图，在边长为a的等边ABC中，分别取ABC三边的中点A1，B1，C1，得A1B1C1；再分别取A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，得A2B2C2；这样依次下去，经过第2022次操作后得A2022B2022C2022，则A2022B2022C2022的面

3、积为 【解答】解：点A1、B1分别是CA、CB的中点，点A1B1是ABC的中位线，A1B1=12AB=12a，同理可得：A2B2=12A1B1=122a，则A2022B2022=122022a，SA2022B2022C2022=34（122022a）2=324046a2，故答案为：324046a2【巩固】如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AFFB=12，CEDF，垂足为点M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG=12BC，连接GM有如下结论：AEBF；AN=24AD；ADFGMF；SANF=19SABC，上述结论中，正确的是（）ABCD三、动态几何中的相似问题【典例】

4、如图，矩形ABCD中，AB20，BC10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q（1）求证：APQCDQ；（2）P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒当t为何值时，DPAC？设SAPQ+SDCQy，写出y与t之间的函数解析式，并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时，y取得最小值【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，ABCD，QPAQDC，QAPQCD，APQCDQ（2）解：当DPAC时，QCD+QDC90，ADQ+QDC90，DCAADP，ADCDAP90，ADCPAD，ADPA=DCAD，10PA=2010，解得 PA5，t5设AQP的边AP上的高h，则Q

5、DC的边DC上的高为（10h）APQCDQ，h10-h=APDC=t20，解得 h=10t20+t，10h=20020+t，SAPQ=12APh=5t220+t，SDCQ=12DC(10-h)=200020+t，ySAPQ+SDCQ=5t220+t+200020+t=5t2+200020+t（0t20）探究：t0，y100；t1，y95.48；t2，y91.82；t3，y88.91；t4，y86.67；t5，y85；t6，y83.85；t7，y83.15；t8，y82.86；t9，y82.93；t10，y83.33；t11，y84.03；t12，y85；t13，y86.21；t14，y87.6

6、5；t15，y89.29；t16，y91.11；t17，y93.11；t18，y95.26；t19，y97.56；t20，y100；观察数据知：当0t8时，y随t的增大而减小；当9t20时，y随t的增大而增大；故y在第8秒到第9秒之间取得最小值【巩固】如图，在ABC中，C90，AC6cm，BC8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动连接PQ，设运动时间为t（0t4）s解答下列问题：（1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与ADE相似？（

7、2）当t为何值时，EPQ为等腰三角形？（直接写出答案即可）；（3）当点Q在B、E之间运动时，是否存在某一时刻t，使得PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之比为SPQE：S五边形PQBCD1：29？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由巩固练习1如图，在ABC中，D、E分别为BC，AB中点，F在AC上且AF2FC，AD与EF交于点G，则SAEGS四边形DCFG=（）A3：7B4：9C5：11D6：132如图，RtABC中，BCA90，ACBC，点D是BC的中点，点F在线段AD上，DFCD，BF交CA于E点，过点A作DA的垂线交CF的延长线于点G，下列结论：CF2EF

8、BF；AG2DC；AEEF；AFECEFEB其中正确的结论有（）ABCD3如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（8，4），C（0，4），反比例函数y=kx的图象分别与线段AB，BC交于点D，E连接DE若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则K 4如图，点E、F分别在矩形ABCD的边BC、CD上，DE与AF相交于点N已知DF6，AN56若将矩形ABCD沿AF折叠后，点D恰好与点E重合，则ABE的面积为 5如图是一个常见铁夹的剖面图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CDOA，垂足为D，DA15mm，DO24mm，DC10mm，且铁夹的剖面图是轴对称图形，求A，B两点间的距离6某天小明和小亮去

9、某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）已知小明的眼睛离地面1.6米，凉亭顶端离地面1.9米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身高为1.7米请根据以上数据求出城楼的高度7如图，在ABC中，点D在边BC上，联结AD，ADBCDE，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2DEDF（1）求证：BFDCAD；（2）求证：BFDEABAD8如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）抛物线与y轴交于点C（0，3），点P是

10、抛物线的顶点，连接PC（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点当QAB的面积等于PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；在的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ，直线y=13x-73交直线l于点F，点G在直线y=13x-73上，且AGAQ时，请直接写出GF的长9如图，在平面直角坐标系xOy中，直角ABC的顶点A，B在函数y=kx（k0，x0）图象上，ACx轴，线段AB的垂直平分线交CB于点M，交AC的延长线于点E，点A纵坐标为2，点B横坐标为1，CE1（1）求点C和点E的坐标及k的值；（2）连接BE，求MBE的面积1

11、0如图1所示，在ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N【问题引入】（1）若点O是AC的中点，AMBM=13，求CNBN的值；温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G【探索研究】（2）若点O是AC上任意一点（不与A，C重合），求证：AMMBBNNCCOOA=1；【拓展应用】（3）如图2所示，点P是ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F，若AFBF=13，BDCD=12，求AECE的值11如图1，抛物线yax2+bx（a0）与双曲线y=kx相交于点A，B已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且AOB的面积为3（O为坐标原点）（1）求实数a，b，k的值；（2）如图2，过抛物线上点A作直线ACx轴，交抛物线于另一点C，求所有满足COEBOA的点E的坐标（提示：C点的对应点为B）