专题32 圆中的重要模型之隐圆模型（原卷版）.docx

1、专题32 圆中的重要模型之隐圆模型隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动，或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。隐圆常见形式：动点定长、定弦对直角、定弦对定角、四点共圆等，上述四种动态问题的轨迹是圆。题目具体表现为折叠问题、旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模型的相关问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1、动点定长模型（圆的定义）若P为动点，且AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集

2、合寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧例1（2023山东泰安统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，连接，点M是中点，连接将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（）A3BCD2例2（2023广东清远统考三模）如图，在，E为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接若，则的最小值为 例3（2022北京市九年级专题练习）如图，四边形中，、分别是，的中垂线，则_，_例4（2023上江苏无锡九年级校联考期中）如图，正方形ABCD中，E是的中点以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，

3、若点Q是的中点，连接，则的最小值为 模型2、定边对直角模型（直角对直径）固定线段AB所对动角C恒为90，则A、B、C三点共圆，AB为直径 寻找隐圆技巧：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧例1（2023山东统考中考真题）如图，在四边形中，点E在线段上运动，点F在线段上，则线段的最小值为 例2（2023上江苏苏州九年级校考阶段练习）如图，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，作于点F当点E从点B出发，顺时针旋转到点D时，点F所经过的路径长为（）ABCD例3（2022内蒙古中考真题）如图，是的外接圆，为直径，若，点从点出发，

4、在内运动且始终保持，当，两点距离最小时，动点的运动路径长为_ 例4（2023广东九年级课时练习）如图，ACB中，CACB4，ACB90，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AMBP于M当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（）ABCD2模型3、定边对定角模型（定弦定角模型）固定线段AB所对同侧动角P=C，则A、B、C、P四点共圆 根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相寻找隐圆技巧：AB为定值，P为定角，则P点轨迹是一个圆1.（2023四川自贡统考中考真题）如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（）ABCD例2（2023广东深圳校考

5、模拟预测）如图，在边长为6的等边中，点E在边上自A向C运动，点F在边上自C向B运动，且运动速度相同，连接交于点P，连接，在运动过程中，点P的运动路径长为（）ABCD例3（2023成都市九年级专题练习）如图所示，在扇形中，点是上的动点，以为边作正方形，当点从点移动至点时，求点经过的路径长例4（2023上湖北武汉九年级校考阶段练习）如图，O的半径为2，弦AB的长为2，点C是优弧AB上的一动点，BDBC交直线AC于点D，当点C从ABC面积最大时运动到BC最长时，点D所经过的路径长为 模型4、四点共圆模型四点共圆模型我们在上一专题中已经详细讲解了，本专题就不在赘述了。在此就针对几类考查频率高的模型作相

6、应练习即可。1）若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆条件：1）四边形对角互补；2）四边形外角等于内对角 2）若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆条件：线段同侧张角相等 例1（2023安徽阜阳九年级校考期中）如图，O为线段的中点，点A，C，D到点O的距离相等，则A与C的数量关系为（）ABCD例2（2023山西临汾九年级统考期末）如图在四边形中，若，则的值为（）ABCD例3（2023江苏镇江校联考一模）如图，菱形的边长为，点为边的中点点从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，连接，过点作于点当点到达点时，点也停止

7、运动，则点的运动路径长是（）AB12CD例4（2023.江苏九年级期末）如图，在中，点P为平面内一点，且，过C作交PB的延长线于点Q，则CQ的最大值为（）ABCD例5（2023河南周口校考三模）在中，M是外一动点，满足，若，则的长度为 课后专项训练1（2023上江苏南通九年级校考阶段练习）如图，等边三角形ABC与等边三角形EFB共端点B，BC2，BF，EFB绕点B旋转，BCF的最大度数（）A30B45C60D902（2023上安徽六安九年级校考期末）如图，是等边三角形，点是内一点，且，连接，则的最小值为（）ABCD3（2023广西中考模拟）如图所示，四边形ABCD中，DCAB，BC=1，AB=

8、AC=AD=2则BD的长为（）A B C D4（2023上浙江杭州九年级校联考期中）如图，点在线段上，以为圆心，为半径作，点在上运动，连接，以为一边作等边，连接，则长度的最小值为（）ABCD5（2023上江苏无锡九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N的坐标分别为，以点C为圆心，3为半径画，点P在上运动，连接，交于点Q，点M为线段的中点，连接，则线段的最小值为（）A7B10CD6（2023上浙江丽水九年级统考期中）如图，是半圆的直径，点在半圆上，是弧上的一个动点，连结，过点点作于点，连结，在点移动的过程中（1） ；（2）的最小值是 7（2023上山东日照九年级校考期中）如图，中

9、，过点作的平行线为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为 8（2023上江苏连云港九年级校考期中）如图，在矩形中，N是矩形内一点，点M是边上的动点，则的最小值为 9（2023.湖北九年级期中）如图，在中，点在以为直径的半圆上运动，由点运动到点，连接，点是的中点，则点经过的路径长为 10（2023广东九年级课时练习）如图，扇形AOB，且OB=4，AOB=90，C为弧AB上任意一点，过C点作CDOB于点D，设ODC的内心为E，连接OE、CE，当点C从点B运动到点A时，内心E所经过的路径长为 _11（2023上江苏连云港九年级统考期中）如图，在矩形中，已知，点是边上一动点点不与点，重合，

10、连接，作点关于直线的对称点，连接，则的最小值为 12（2023上江苏连云港九年级统考期中）如图，在等腰直角三角形中，点是边上一动点，连结，以为直径的圆交于点，则长度的最小值是 13（2023辽宁大连九年级统考期末）如图，在中，D为AB上一点，E为AC上一点，连接BE、CD交于点O，则的最大面积是 14（2021广东统考中考真题）在中，点D为平面上一个动点，则线段长度的最小值为 15（2023浙江一模）如图，在中，分别以、为斜边，向三角形外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，则和面积之和为 ；连接，则线段的最大值为 16（2022广东九年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，BADBCD90，AC

11、D30，AD2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为_17（2023陕西中考模拟）如图，在等边中，点P为AB上一动点，于点D，于点E，则DE的最小值为_18（2023上江苏宿迁九年级统考期中）如图1，点是直径上一点，过点作弦，点在上运动，连接(1)求的长(2)如图，连接，作的角平分线交于点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不会发生变化，请求出其值(3)如图，过点作于，连接，求的最小值19（2023下广东广州九年级校校考阶段练习）如图，为等边三角形，点P是线段上一动点（点P不与A，C重合），连接，过点A作直线的垂线段，垂足为点D，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，(1)求证：；(2)连接，延长交于点F，若的边长为2；求的最小值；求的最大值20（2023陕西延安九年级统考期末）问题提出（1）如图，内接于半径为4的，是的中位线，则的最大值是_；问题探究（2）如图，在等腰中，边上的中线，求等腰外接圆的半径；问题解决（3）如图，工人师傅现要在一张足够大的板材上剪裁出一个形状为的部件，已知的部件要满足，边上的中线，且边与边之和要最大，是否能剪裁出满足要求的三角形部件？若能，请求出的最大值；若不能，请说明理由