专题32 圆的综合练习（提优）-冲刺2021年中考几何专项复习（解析版）.docx

1、专题32 圆的综合练习（提优）一选择题1如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以OB为直径画圆M，过D作M的切线，切点为N，分别交AC、BC于点E、F，已知AE5，CE3，则DF的长是（）A3B4C4.8D5【分析】首先延长EF，过点B作直线平行AC和EF相交于P，由菱形的性质，可求得OE的长，证得AC是M的切线，然后由切线长定理，求得EN的长，易证得DMNDEO，EFCPFB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案【解答】解：延长EF，过点B作直线平行AC和EF相交于P，AE5，EC3，ACAE+CE8，四边形ABCD是菱形，OAOC=12AC4，ACBD，OEOCCE431，

2、以OB为直径画圆M，AC是M的切线，DN是M的切线，ENOE1，MNAN，DNMDOE90，MDNEDO，DMNDEO，DM：MNDE：OE，MNBMOM=12OB，DMOD+OM3MN，DE3OE3，OEBP，OD：OBDE：EP，ODOB，DEEP3，BP2OE2，OEBP，EFCPFB，EF：PFEC：BP3：2，EF：EP3：5，EFEP35=1.8，DFDE+EF3+1.84.8故选：C【点评】此题属于圆的综合题，考查了切线的判定与性质、菱形的性质以及相似三角形的判定与性质注意准确作出辅助线是解此题的关键2如图，在等腰RtABC中，BAC90，ABAC，BC22，点D是AC边上一动点

3、，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为（）A22-2B5-2C5-1D3-1【分析】连接AE，如图1，先根据等腰直角三角形的性质得到ABAC2，再根据圆周角定理，由AD为直径得到AED90，接着由AEB90得到点E在以AB为直径的O上，于是当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在RtAOC中利用勾股定理计算出OC=5，从而得到CE的最小值为5-1【解答】解：连接AE，如图1，BAC90，ABAC，BC22，ABAC2，AD为直径，AED90，AEB90，点E在以AB为直径的O上，O的半径为1，连接OE，OC，OE=12AB1在RtAOC中，OA1，AC2，OC=O

4、A2+AC2=5，由于OC=5，OE1是定值，点E在线段OC上时，CE最小，如图2，CEOCOE=5-1，即线段CE长度的最小值为5-1故选：C【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的性质；会利用勾股定理计算线段的长解决本题的关键是确定E点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题3如图，AB是O的直径，C，D是O上的点，且OCBD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：ADBD；AOCAEC；BC平分ABD；AFDF；BD2OF；CEFBED，其中一定成立的是（）ABCD【分析】由直径所对圆周角是直角，由于AOC是O的圆心角，AEC是O的

5、圆内部的角，由平行线得到OCBDBC，再由圆的性质得到结论判断出OBCDBC；用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；用三角形的中位线得到结论；得不到CEF和BED中对应相等的边，所以不一定全等【解答】解：、AB是O的直径，ADB90，ADBD，假设AOCAEC，AC，ABCC，AABC，AC=BD，OCBDCCBD，ABCDBC，即：AC=CDC，D是半圆的三等分点，而与“C，D是O上的点”矛盾，AOCAEC，、OCBD，OCBDBC，OCOB，OCBOBC，OBCDBC，BC平分ABD，、AB是O的直径，ADB90，ADBD，OCBD，AFO90，点O为圆心，AFDF，、由有，AFDF，点O为

6、AB中点，OF是ABD的中位线，BD2OF，CEF和BED中，没有相等的边，CEF与BED不全等，故选：D【点评】此题是圆综合题，主要考查了圆的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌握圆的性质4如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作A、B，M，N分别是A、B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（）A52-4B17-1C622D17【分析】作A关于x轴的对称A，连接BA分别交A和B于M、N，交x轴于P，如图，根据两点之间线段最短得到此时PM+PN最小，再利用对称确定A的坐标，接着利用两点间的距离公式计算出AB的长，然后用

7、AB的长减去两个圆的半径即可得到MN的长，即得到PM+PN的最小值【解答】解：作A关于x轴的对称A，连接BA分别交A和B于M、N，交x轴于P，如图，则此时PM+PN最小，点A坐标（2，3），点A坐标（2，3），点B（3，4），AB=(2-3)2+(-3-4)2=52，MNABBNAM52-3152-4，PM+PN的最小值为52-4故选：A【点评】本题考查了圆的综合题：掌握与圆有关的性质和关于x轴对称的点的坐标特征；会利用两点之间线段最短解决线段和的最小值问题；会运用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形性质5如图，已知直线y=34x3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆

8、心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB则PAB面积的最大值是（）A8B12C212D172【分析】求出A、B的坐标，根据勾股定理求出AB，求出点C到AB的距离，即可求出圆C上点到AB的最大距离，根据面积公式求出即可【解答】解：直线y=34x3与x轴、y轴分别交于A、B两点，A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，3），3x4y120，即OA4，OB3，由勾股定理得：AB5，过C作CMAB于M，连接AC，则由三角形面积公式得：12ABCM=12OAOC+12OAOB，5CM41+34，CM=165，圆C上点到直线y=34x3的最大距离是1+165=215，PAB面积的最大值是125215=2

9、12，故选：C【点评】本题考查了三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最大距离，属于中档题目6如图，AB是O的直径，点C是O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P，弦CE平分ACB，交AB于点F，连接BE，BE72下列四个结论：AC平分DAB；PF2PBPA；若BC=12OP，则阴影部分的面积为74-4943；若PC24，则tanPCB=34其中正确的是（）ABCD【分析】连接OC，根据切线的性质可得OCCD，则ADOC，根据等边对等角，以及平行线的性质即可证得；根据圆周角定理以及三角形的外角的性质定理证明PFCPCF，

10、根据等角对等边即可证得PCPF，又由PCBPAC，PP，可证得PCBPAC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；首先连接AE，由圆周角定理与弦CE平分ACB，可得ABE是等腰直角三角形，继而求得直径AB的长，由BC=12OP，可得BC是中线，OBC是等边三角形，继而求得阴影部分的面积；在直角POC中利用勾股定理即可列方程求得PB的长，由PCBPAC，根据相似三角形的性质求得PB与PC的比值，即可求得tanPCB【解答】解：连接OCOAOC，OACOCAPC是O的切线，ADCD，OCPD90，OCADCADOCAOAC即AC平分DAB故正确；AB是直径，ACB90，PCB+ACD90，又C

11、AD+ACD90，CABCADPCB又ACEBCE，PFCCAB+ACE，PCFPCB+BCEPFCPCFPCPF，P是公共角，PCBPAC，PC：PAPB：PC，PC2PBPA，即PF2PBPA；故正确；连接AEACEBCE，AE=BE，AEBE又AB是直径，AEB90AB=2BE=272=14，OBOC7，PD是切线，OCP90，BC=12OP，BC是RtOCP的中线，BCOBOC，即OBC是等边三角形，BOC60，SBOC=4943，S扇形BOC=6036072=496，阴影部分的面积为496-4943；故错误；PCBPAC，PBPC=BCAC，tanPCBtanPAC=BCAC=PBP

12、C，设PBx，则PAx+14，PC2PBPA，242x（x+14），解得：x118，x232，PB18，tanPCB=PBPC=1824=34；故正确故选：C【点评】本题属于圆的综合题，考查了圆的切线性质以及解直角三角形的知识运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题7如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线ykx3k+4与O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为（）A22B24C105D123【分析】易知直线ykx3k+4过定点D（3，4），运用勾股定理可求出OD，由条件可求出半径OB，由于过圆内定点D的

13、所有弦中，与OD垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题【解答】解：对于直线ykx3k+4k（x3）+4，当x3时，y4，故直线ykx3k+4恒经过点（3，4），记为点D过点D作DHx轴于点H，则有OH3，DH4，OD=OH2+DH2=5点A（13，0），OA13，OBOA13由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，如图所示，因此运用垂径定理及勾股定理可得：BC的最小值为2BD2OB2-OD2=2132-52=21224故选：B【点评】本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点（3，4）以及运用“过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最

14、短”这个经验是解决该选择题的关键8如图，等边ABC边长为2，射线AMBC，P是射线AM上一动点（P不与A点重合），APC的外接圆交BP于Q，则AQ长的最小值为（）A1B3C33D233【分析】过点B作BD直线AP，垂足为D，过点C作CE直线AP，垂足为E，易得ADAE1，BDCE=3，设APx，则DPx+1，EP=，根据勾股定理可得BP2x2+2x+4，CP2x22x+4易证AQCPCB，则有AQAC=PCPB，由此可得AQ24x2-2x+4x2+2x+4，然后将该分式进行恒等变形并运用配方法就可解决问题方法二：探究出的Q的运动轨迹，即可解决问题【解答】解：过点B作BD直线AP，垂足为D，过点

15、C作CE直线AP，垂足为E，连接QC，如图，则有BDCEAPBC，BDE90，四边形BCED是矩形，DBCECB90ABC是等边三角形，ABACBC2，ABCACB60，DBAECA30，AD1，AE1，BD=3，CE=3设APx，则DPx+1，EP=在RtBDP中，BP2BD2+DP23+（x+1）2x2+2x+4在RtCEP中，CP2CE2+EP23+（x1）2x22x+4AMBC，APBCBPAPBACQ，ACQCBPQACCPB，AQCPCB，AQAC=PCPB，AQ2PCPB，AQ24PC2PB2=4x2-2x+4x2+2x+44（1-4xx2+2x+4）4（1-4x+2+4x）4-

16、16(x-2x)2+6，当x-2x=0即x2时，AQ2取到最小值为43，此时AQ=233故选D方法二：如图，易知PQCPACACB60，BQC120，点Q的运动轨迹是BC，当AQBC时，AQ的长最小，设AQ交BC于G，此时AG=3，OG=12BQ=12AQ，AQ的最小值为233，故选：D【点评】本题主要考查了圆周角定理、平行线的性质、等边三角形的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、30角所对的直角边等于斜边的一半等知识，将分式进行恒等变形并运用配方法是解决本题的关键，寻找点Q的运动轨迹是方法二的突破点9如图，AB为O的直径，E为O上一点，BE=2AE，四边形ABCD为矩形

17、，且AB2BC，OFCD于F，OD，EF相交于P点，下列结论：OFPF=62；PDPE；OEOD；PD4PO，其中正确的结论的个数有（）A1个B2个C3个D4个【分析】过E作EN垂直DC交AB于点M，设EF与AB交于点H，设圆的半径为R，根据题意，BE=2AE，可得出AOE60，继而求得EM、MO的长度，根据三角形的相似定理可求得MH，继而得出OH，利用相似三角形的性质可分别求出OP、DP、HP、PF，这样即可判断各结论正确与否【解答】解：过E作EN垂直DC交AB于点M，设圆的半径为R，AB为O的直径，BE=2AE，AOE60，ENDC，四边形ABCD为矩形，ENAB，在RtEMO中，AOE6

18、0，则OEM30，OM=12R，EM=32R，易得四边形OMNF为矩形，则MNOFBC=12ABR，NFOF=12R，EMHENF，EMEN=MHNF，即32R(32+1)R=MH12R，解得：MH=23-32R，则OHOMMH（2-3）R，在RtOHF中，HF=OH2+OF2=（6-2）R，OPHDPF，HPPF=OHDF=2-3，HP+PFHF（6-2）R，HP（263-2）R，PF=63R，OFPF=62，故正确；同理可得：OP=32-66R，PD=32+66R，在RtEMH中，EH=EM2+MH2=6-33=32-63，则EPEH+HPDP=32+66R，故正确；AOE+AOD60+4

19、5105，故错误；OPPD=OHDF=2-314，故错误综上可得正确，共2个故选：B【点评】本题属于圆的综合题，涉及了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理，综合考察的知识点较多，解答本题要求同学们熟练掌握所学知识点，并灵活运用，难度较大10如图，等边三角形ABC内接于O，连接OA，OB，OC，延长AO，分别交BC于点P，与O交于点D，连接BD，CD那么：四边形BDCO是菱形，若O的半径为r，三角形的边长为3r，三角形ODC是等边三角形，弧BD的度数为60，其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个【分析】证明ABOACO，可得BADCAD30，从而可得BDCD=12AO，可判断正确；在R

20、tABD中，根据BDOBr，BAD30，可求出AB，从而判断正确；由可得OCODCD，从而判断正确；求出BOD的度数，即可判断正确；【解答】解：ABC是等边三角形，ABACBC，在ABO和ACO中，AB=ACAO=AOBO=CO，ABOACO（SSS），BADCAD30，则在RtABD中，BD=12ADOB，同理CD=12ADOB，OBOCBDCD，四边形BDCO是菱形，故正确；在RtABD中，AD2r，BDr，AB=AD2-BD2=3r，故正确；COODCD，ODC是等边三角形，故正确；BOD2BAD60，弧BD的度数为60，故正确综上可得：均正确，共4个故选：D【点评】本题考查了圆的综合，

21、涉及了圆周角定理、等边三角形的性质、解直角三角形及全等三角形的判定与性质，综合性较强，解答本题的关键是掌握各知识点的内容，灵活运用11如图，ABC内接于O，BAC60，ADBC于D，交O于F，BEAC于E，BE交AD于H，直线OH交AB于M，交AC于N，下列结论中：（1）DHDF；（2）AOAH；（3）AMAN；（4）MOOHHN其中正确的是（）A（1）（2）（3）B（1）（2）（4）C（1）（3）（4）D（2）（3）（4）【分析】连接CH、CF延长CH交AB于Q，根据H是垂心求出HCDFCD，根据ASA证HCDFCD，推出DHDF即可判断（1）；作OPAB于P，连接OB，根据圆周角定理求出A

22、OPACB，求出PAOEAH，求出APAE=12AB，根据ASA证AEHAPO，即可推出AOAH，即可判断（2）；过A作AROH于R，求出MARNAR，根据ASA证MARNAR，推出AMAN，即可判断（3）；根据等腰三角形的性质三线合一定理推出OMHN，但不能推出OH和OM或HN的关系，即可判断（4）【解答】解：连接CH、CF延长CH交AB于Q，BEAC，ADBC，BE交AD于H，H是垂心，CQAB，ADCCDF90，BCH+ABC90，BCF+AFC90，ABCAFC，BCHBCF，在DCH和DCF中HCD=FCDCD=CDHDC=FDC，CDHCDF（ASA）HDDF，（1）正确；作OPA

23、B于P，BAC60，BEA90，ABE30，AE=12AB，OPAB，OP过O点，AP=12AB（垂径定理），AEAP，AOPACB，BAO+AOP90，ACD90，CAF+ACB90，BAOCAF，在AEH和APO中APO=AEHAP=AEPAO=EAH，AEHAPO（ASA），AOAH，BAOCAF，（2）正确；过A作AROH于R，即ARMARN90，AOAH，OARHAR，MAOEAH，MARNAR，在MAR和NAR中MAR=NARAR=ARARM=ARN，MARNAR（ASA），AMAN，（3）正确；AMAN，AHAO，ARMN，MRNR，ORRH，OMHN，根据已知条件不能推出OH和

24、OM的关系，（4）错误；故选：A【点评】本题考查了等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，圆周角定理，含30度角的直角三角形，垂径定理等知识点，此题综合性比较强，难度偏大12已知，如图，ABC内接于O，BAC60，高线AD，BE相交于H，直线OH与AB，AC分别交于Q，P下列结论：BAOCAD；AHAO；AQP是等腰三角形；若NABMAC15，则AM+ANAB+AC=63其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个【分析】延长AO交O于点F，连接BF，如图1，根据圆周角定理就可推出正确；易证ABFAEH，从而有ABAE=AFAH，再由BAC60可推出AB2AE，从而得到AF2AH，进而得到正确；易

25、证AOQAHP，从而有AQAP，从而得到正确；作BAC的角平分线交O于点T，过点T作TGAN，垂足为G，过点T作TKAM，垂足为K，连接TN，TM；过点T作TSAB，垂足为S，过点T作TRAC，垂足为R，连接TB，TC；如图2，可以证到RtNGTRtMKT（HL），进而可以证到AN+AM2AK，同理可得；AB+AC2AR而AKATcosKAT=22AT，ARATcosRAT=32AT即可证得正确【解答】解：延长AO交O于点F，连接BF，如图1，AF是O的直径，ABF90BAF+F180ADBC，ADC90DAC+C90FC，BAFDAC，即BAOCAD故正确BEAC，BEA90ABFAEHBA

26、FHAE，ABFAEHABAE=AFAHBEA90，BAE60，ABE30AB2AEAF2AHAF2AO，AOAH故正确AOAH，AOHAHOAOQAHP在AOQ和AHP中，QAO=PAHAO=AHAOQ=AHPAOQAHPAQAPAQP是等腰三角形故正确作BAC的角平分线交O于点T，过点T作TGAN，垂足为G，过点T作TKAM，垂足为K，连接TN，TM；过点T作TSAB，垂足为S，过点T作TRAC，垂足为R，连接TB，TC；如图2，AT平分BAC，BATCAT=12BAC30NABMAC15，NATMAT45NATMAT，TGAN，TKAM，TGTK，TNTMAG=AT2-TG2=AT2-T

27、K2=AK在RtNGT和RtMKT中，TG=TKTN=TMRtNGTRtMKT（HL）NGMKAN+AMAG+GN+AKMK2AK同理可得；AB+AC2AR在RtAKT中，AKATcosKATATcos45=22AT在RtART中，ARATcosRATATcos30=32ATAM+ANAB+AC=2AK2AR=AKAR=22AT32AT=23=63故正确故选：D【点评】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、30角所对的直角边等于斜边的一半、角平分线的性质、勾股定理等知识，综合性强，有一定的难度，而通过添加辅助线证到AN+AM2AK，AB+AC

28、2AR是证明是真命题的关键二填空题13如图，在平面直角坐标系中，Q（3，4），P是在以Q为圆心，2为半径的Q上一动点，A（1，0）、B（1，0），连接PA、PB，则PA2+PB2的最小值是20【分析】设点P（x，y），表示出PA2+PB2的值，从而转化为求OP的最值，画出图形后可直观得出OP的最值，代入求解即可【解答】解：设P（x，y），PA2（x1）2+y2，PB2（x+1）2+y2，PA2+PB22x2+2y2+22（x2+y2）+2，OP2x2+y2，PA2+PB22OP2+2，当点P处于OQ与圆的交点上时，OP取得最值，OP的最小值为OQPQ523，PA2+PB2最小值为20故答案为：

29、20【点评】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点P坐标，将所求代数式的值转化为求解OP的最小值，难度较大14已知半径为5的O1过点O（0，0），A（8，0），与y轴的正半轴交于点B，OE为直径，点M为弧OBE上一动点（不与点O、E重合），连接MA，作NAMA于点A交ME的延长线于点N，则线段AN最长为152【分析】先判断出OAE90，根据勾股定理得出AE6，再判断出OAEMAN得出AN=AEAMOA=34AM，即AM是直径时AM最大即可得出结论【解答】解：如图，连接AE，A（8，0），OA8，O1的半径为5，OE是O1的直径，OE10，OE是O1的直径，OAE90，在RtOAE中，根据勾

30、股定理得，AE=OE2-OA2=6，NAMA，NAMOAE90，AOEAMN，OAEMAN，OAAM=AEAN，AN=AEAMOA=68AM=34AM，要AN最长，则有AM最长，而AM是O1的弦，AM最大是直径为10，AN最大=34AM最大=3410=152，故答案为152【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，作出辅助线判断出OAEMAN是解本题的关键15在O的内接四边形ABCD中，AB6，AD10，BAD60，点C为弧BD的中点，则AC的长是1633【分析】将ACD绕点C逆时针旋转120得CBE，根据旋转的性质得出ECAD30，BEAD5，ACCE，

31、求出A、B、E三点共线，解直角三角形求出即可；过C作CEAB于E，CFAD于F，得出ECFDCFA90，推出BC=CD，求出BACDAC，BCCD，求出CECF，根据圆内接四边形性质求出DCBE，证CBECDF，推出BEDF，证AECAFC，推出AEAF，设BEDFx，得出5x+3+x，求出x，解直角三角形求出即可【解答】解法一、A、B、C、D四点共圆，BAD60，BCD18060120，BAD60，AC平分BAD，CADCAB30，如图1中，将ACD绕点C逆时针旋转120得CBE，则ECAD30，BEAD10，ACCE，ABC+EBC（180CABACB）+（180EBCE）180，A、B、

32、E三点共线，过C作CMAE于M，ACCE，AMEM=12（6+10）8，在RtAMC中，AC=AMcos30=832=1633；解法二、如图2中，过C作CEAB于E，CFAD于F，则ECFDCFA90，点C为弧BD的中点，BC=CD，BACDAC，BCCD，CEAB，CFAD，CECF，A、B、C、D四点共圆，DCBE，在CBE和CDF中CBE=DE=CFDCE=CF，CBECDF，BEDF，在AEC和AFC中，E=AFCEAC=FACAC=AC，AECAFC，AEAF，设BEDFx，AB6，AD10，AEAFx+3，10x6+x，解得：x2，即AE8，AC=AEcos30=1633，故答案为

33、 1633【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中，属于中考填空题中的压轴题16对于一个矩形ABCD及M给出如下定义：在同一平面内，如果矩形ABCD的四个顶点到M上一点的距离相等，那么称这个矩形ABCD是M的“伴侣矩形”如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=3x3交x轴于点M，M的半径为2，矩形ABCD沿直线运动（BD在直线l上），BD2，ABy轴，当矩形ABCD是M的“伴侣矩形”时，点C的坐标为（3-12，-332）或（3+32，32）【分析】根据“伴侣矩形”的定义可

34、知：圆上的点一定在矩形的对角线交点上，因为只有对角线交点到四个顶点的距离相等，由此画出图形，先求出直线与x轴和y轴两交点的坐标和矩形的长和宽；有两种情况：矩形在x轴下方时，作辅助线构建相似三角形得比例式，分别求出DG和DH的长，从而求出CG的长，根据坐标特点写出点C的坐标；矩形在x轴上方时，也分别过C、B两点向两坐标轴作垂线，利用平行相似得比例式，求出：C（3+32，32）【解答】解：如图所示，矩形在这两个位置时就是M的“伴侣矩形”，根据直线l：y=3x3得：OM=3，ON3，由勾股定理得：MN=(3)2+32=23，矩形在x轴下方时，分别过A、D作两轴的垂线AH、DG，由cosABDcosO

35、NM=ONMN=ABBD，323=AB2，AB=3，则AD1，DGy轴，MDGMNO，DGON=DMMN，DG3=2-123，DG=32，CG=32+3=332，同理可得：DHOM=DNMN，DH3=23-123，DH=3-12，C（3-12，-332）；矩形在x轴上方时，同理可得：C（3+32，32）；故答案为：（3-12，-332）或（3+32，32）【点评】此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的性质和矩形等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来同时，正确理解题意准确画出符合条件的矩形是本题的关键，这就需要熟练掌握矩形

36、的对角线的交点到四个顶点的距离相等17如图，点A（2，0），以OA为半径在第一象限内作圆弧AB，使AOB60，点C为弧AB的中点，D为半径OA上一动点（不与点O，A重合），点A关于直线CD的对称点为E，若点E落在半径OA上，则点E的坐标为（23-2，0）；若点E落在半径OB上，则点E的坐标为（3-1，3-3）【分析】根据点E落在半径OA上可以画出相应的图形，可知点A与点E关于点CD对称，从而可以得到DEDA，由点C为弧AB的中点，AOB60，OCOA2，可以求得OD和AD的长，从而可以求得OE的长，进而得到点E的坐标；根据点E落在半径OB上，画出相应的图形，由D为半径OA上一动点（不与点O，A

37、重合），点A关于直线CD的对称点为E，可知CBCE，由前面求得的OE的长与此时OE的长相等，根据AOB60，可以求得点E的坐标【解答】解：当点E落在半径OA上时，连接OC，如下图1所示，ADC90，AOB60，点C为弧AB的中点，点A（2，0），COD30，OAOC2，CDOCsin30212=1，ODOCcos30=232=3，ADOAOD2-3，DEDA，OEODOE=3-（2-3）23-2，即点E的坐标为（23-2，0）；当点E落在半径OB上时，连接OC，CD，如图2所示，由已知可得，CECACB，由上面的计算可知，OE23-2，点E的横坐标为：(23-2)cos60=3-1，点E的纵坐

38、标为：（23-2）sin603-3，故答案为：（23-2，0）；（3-1，3-3）【点评】本题考查圆的综合题、特殊角的三角函数值，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题18如图，已知O经过点A（2，0）、C（0，2）直线ykx（k0）与O分别交于点B、D，则四点A、B、C、D组成的四边形面积的最大值为42【分析】分类讨论：当k0，如图1，作BEy轴于E，DFx轴于F，设AOD，则EBO，利用三角函数的定义可得DF2sin，BE2cos，则根据三角形面积公式得到S四边形ADBCSAOD+SBOC+SAOC2sin+2cos+2，利用三角公式得到S

39、四边形ADBC22sin（45+）+2，利用正弦的性质得sin（45+）1，于是可得此时S四边形ADBC的最大值为22+2；当k0，如图2，作BEy轴于E，DFx轴于F，设AOD，则EBO，同理可得DF2sin，OF2cos，BE2cos，OE2sin，根据三角形面积公式得S四边形ABCDSAOB+SAOD+SDOC+SBOC4sin+4cos，同样可得S四边形ABCD42sin（45+），由于sin（45+）1，则可得到S四边形ADBC的最大值为42，综上所述，四点A、B、C、D组成的四边形面积的最大值为42【解答】解：当k0，如图1，作BEy轴于E，DFx轴于F，设AOD，则EBO，O经过

40、点A（2，0）、C（0，2），O的半径为2，在RtOFD中，sinFOD=DFOD，DF2sin，同理可得BE2cos，S四边形ADBCSAOD+SBOC+SAOC=1222sin+122cos+12222sin+2cos+222（22sin+22cos）+222（sin45cos+cos45sin）+222sin（45+）+2，sin（45+）1，S四边形ADBC22+2，即此时S四边形ADBC的最大值为22+2；当k0，如图2，作BEy轴于E，DFx轴于F，设AOD，则EBO，同理可得DF2sin，OF2cos，BE2cos，OE2sin，S四边形ABCDSAOB+SAOD+SDOC+SB

41、OC=1222sin+122sin+122cos+122cos4sin+4cos42（22sin+22cos）22（sin45cos+cos45sin）42sin（45+）sin（45+）1，S四边形ADBC42，即此时S四边形ADBC的最大值为42，综上所述，四点A、B、C、D组成的四边形面积的最大值为42故答案为42【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆的有关性质和一次函数的性质；理解坐标与图形性质；学会构造直角三角形和解直角三角形；会运用三角函数公式19如图，已知ABC，ACBC，C90O是AB的中点，O与AC，BC分别相切于点D与点E点F是O与AB的一个交点，连DF并延长交CB的延长

42、线于点G则CDG67.5，若AB=42，则BG22-2【分析】连接OD，由AC为圆O的切线，根据切线的性质得到OD与AC垂直，又ACBC，且C90，得到三角形ABC为等腰直角三角形，得到A45，在直角三角形ABC中，由AC与BC的长，根据AB的长，又O为AB的中点，从而得到AO等于BO都等于AB的一半，求出AO与BO的长，再由OBOF求出FB的长，同时由OD和GC都与AC垂直，得到OD与GC平行，得到一对内错角相等，再加上对顶角相等，由两对对应角相等的两三角形相似得到三角形ODF与三角形GBF相似，由相似得比例，把OD，OF及FB的长代入即可求出GB的长【解答】解：连接ODCD切O于点D，OD

43、A90，DOA45，ODOF，ODFOFD=12DOA22.5，CDGCDOODF9022.567.5AC为圆O的切线，ODAC，又O为AB的中点，AOBO=12AB22，圆的半径DOFOAOsinA2222=2，BFOBOF22-2GCAC，ODAC，ODCG，ODFG，又OFDBFG，ODFBGF，ODBG=OFBF，即2BG=222-2，BG22-2故答案为：67.5，22-2【点评】此题考查了切圆的综合知识在运用切线的性质时，若已知切点，连接切点和圆心，得垂直；若不知切点，则过圆心向切线作垂直，即“知切点连半径，无切点作垂直”圆与相似三角形，及三角函数相融合的解答题、与切线有关的性质与

44、判定有关的证明题是近几年中考的热点，故要求学生把所学知识融汇贯穿，灵活运用20如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0），以点A为圆心，4为半径的圆与x轴交于O，B两点，OC为弦，AOC60，当点P在直径OB上运动时，连CP并延长与A相交于点Q，PO2或2+23时，OCQ是等腰三角形【分析】本题分两种情况：以O为顶点，OC，OQ为腰那么可过C作x轴的垂线，交圆于Q，此时三角形OCQ就是此类情况所说的等腰三角形；那么此时PO可在直角三角形OCP中，根据COA的度数，和OC即半径的长求出PO以Q为顶点，QC，QD为腰，那么可做OC的垂直平分线交圆于Q，则这条线必过圆心，如果设垂直平分线

45、交OC于D的话，可在直角三角形AOQ中根据QAE的度数和半径的长求出Q的坐标；然后用待定系数法求出CQ所在直线的解析式，得出这条直线与x轴的交点，也就求出了PO的值【解答】解：过点C作CP1OB，垂足为P1，延长CP1交A于Q1；如图，OA是半径，OC=OQ1，OCOQ1，OCQ1是等腰三角形；又AOC是等边三角形，P1O=12OA2；过A作ADOC，垂足为D，延长DA交A于Q2，CQ2与x轴交于P2；如图，A是圆心，DQ2是OC的垂直平分线，CQ2OQ2，OCQ2是等腰三角形；过点Q2作Q2Ex轴于E，在RtAQ2E中，Q2AEOAD=12OAC30，Q2E=12AQ22，AE23，点Q2的

46、坐标（4+23，2）；在RtCOP1中，P1O2，AOC60，CP1=23C点坐标（2，23）；设直线CQ2的关系式为ykx+b，则-2=(4+23)k+b23=2k+b，解得k=-1b=2+23，yx+2+23；当y0时，x2+23，P2O2+23故答案为：2或2+23【点评】本题综合考查函数、圆的切线，等边三角形的判定以及垂径定理等知识点要注意等腰三角形要按顶点和腰的不同来分类讨论三解答题21如图，AB是大半圆O的直径OA是小半圆O1的直径，点C是大半圆O上的一个动点（不与点A、B重合），AC交小半圆O1于点D，DEOC，垂足为E（1）求证：ADDC；（2）求证：DE是半圆O1的切线；（3

47、）如果OEEC，请判断四边形O1OED是什么四边形，并证明你的结论【分析】（1）连OD可得ODAC，又有OAOC，所以第一问可求解；（2）证明O1DDE即可；（3）如果OEEC，又D为AC的中点，所以四条边相等，再根据角之间的关系，即可得出其形状【解答】证明：（1）连接OD，AO为圆O1的直径，则ADO90AC为O的弦，OD为弦心距，ADDC（2）证明：D为AC的中点，O1为AO的中点，O1DOC又DEOC，DEO1DDE与O1相切（3）如果OEEC，又D为AC的中点，DEO1O，又O1DOE，四边形O1OED为平行四边形又DEO90，O1OO1D，四边形O1OED为正方形【点评】此题是圆的综

48、合题，考查了圆周角定理，切线的性质及正方形的判定，熟练掌握切线的性质是解题的关键22如图，RtABC中，C90，ACBC4，P是BC上一点（不与B，C重合），连接AP，将AP绕点A逆时针旋转90得到AQ，连接BQ，分别交AC，AP于点D，E，作QFAC于点F（1）求证：QFAC；（2）若P是BC的中点，求tanADQ的值；（3）若AEQ的内心在QF上，直接写出BP的长【分析】（1）由旋转的性质得出PAPQ，PAQ90，则PAC+QAF90，证明QAFAPC（AAS），由全等三角形的性质得出QFAC；（2）由（1）知，QAFAPC，得出AFPC2，证明QDFBDC（AAS），由全等三角形的性质得

49、出DFDC1，则可得出答案；（3）证明QFAQFD（ASA），由全等三角形的性质得出AFFD，则可得出答案【解答】（1）证明：将AP绕点A逆时针旋转90得到AQ，PAPQ，PAQ90，PAC+QAF90，又PAC+APC90，QAFAPC，QFAC90，QAFAPC（AAS），QFAC；（2）解：若P是BC的中点，则PC=12CB2，由（1）知，QAFAPC，AFPC2，FC2，QFACBC，QFDC90，QDFBDC，QDFBDC（AAS），DFDC1，QFAC4，tanADQ=QFDF=4（3）若AEQ的内心在QF上，则QF平分AQD，QFAC，QFQF，QFAQFD（ASA），AFFD，

50、DFDC，AFFDDC=43，CPAF=43，BP4-43=83【点评】本题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，锐角三角函数，旋转的性质，三角形内心的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键23已知，如图，AB是O的直径，点C为O上一点，OFAC于点F，交O于点E，AC交BE于点H，点D为OE延长线上的一点，且ODABEC（1）求证：AD是O的切线；（2）求证：CE2EHBE；（3）若O的半径为5，cosB=45，求AH的长【分析】（1）先判断出BSCODA，进而判断出BAC+DAF90，即可得出结论；（2）先判断出ACECBE，进而判断出CEHBEC，即可得

51、出结论；（3）先由三角函数求出BE，进而求出CEAE6，再借助（2）的结论求出EH，最后用勾股定理求解，即可得出结论【解答】（1）证明：ODABEC，BECBAC，BACODA，OFAC，AFD90，ODA+DAF90，BAC+DAF90，OAD90，ABAD，AB是O的直径，AD是O的切线；（2）如图1，连接BC，ODAC，AE=CE，ECHEBC，CEHBEC，CEHBEC，CEBE=EHCE，CE2EHBE；（3）如图2，连接AE，AB是O的直径，AEB90，AB10，在RtABE中，cosB=BEAB=45，BE=45AB8，根据勾股定理得，AE=AB2-BC2=6，ODAC，CEAE

52、6，由（2）知，BE2EHBE，62EH8，EH=92，在RtAEH中，根据勾股定理得，AH=AE2+EH2=62+(92)2=152【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定判定，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，构造出直角三角形是解本题的关键24如图，RtABC中，C90，O为AB上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆，与AC相切于点E，交BC于点P，交AB于点H，作EFAB于点F，连接EH，EP（1）求证：BE平分ABC；（2）求证：HEEBPBAE；（3）若F是AB的中点，AB4，求四边形OEPB的周长【分析】（1）连接OE，由切线的性质得出OEAACB90，

53、由平行线的判定得出OEBC，则OEBEBC，由等腰三角形的性质得出OBEOEB，则可得出结论；（2）证明AHEEPB，由相似三角形的性质得出HEPB=AEEB，则可得出结论；（3）证明BEFBEC（AAS），由全等三角形的性质得出BCBF，得出A30，证明OBP是等边三角形和EOP是等边三角形，由等边三角形的性质得出OEEPPBOB，求出PB的长，则可得出答案【解答】（1）证明：连接OE，如图1，AC与O相切于点E，OEAACB90，OEBC，OEBEBC，OEOB，OBEOEB，OBEEBC，BE平分ABC；（2）证明：BH是O的直径，BEH90，AEH+BEC90，EBC+BEC90，AE

54、HEBC，点B，H，E，P四点在O上，BHE+EPB180，又BHE+AHE180，AHEEPB，AHEEPB，HEPB=AEEB，HEEBPBAE；（3）解：由（1）可得：ABEEBC，EFAB，EFBECB90，又BEBE，BEFBEC（AAS），BCBF，又点F是AB的中点，BCBF=12AB2，A30，ABCAOE60，连接OP，如图2，OBOP，OBP是等边三角形，POB60，EOP60，同理可得EOP是等边三角形，OEEPPBOB，PEC30，PC=12EP，BP+CP=32PB2，PB=43，四边形OEPB的周长为434=163【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，切线的

55、性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质及圆的性质定理25如图，已知AB是O的直径，点C为O上一点，CD为不过圆心且垂直于AB的弦，CD交AB于点E，连接CO并延长交O于点F，连接CB和DF并延长交于点G（1）求证：CFGF；（2）填空：当BGF30时，四边形BODF为菱形；若AB6，则COE面积的最大值是94【分析】（1）先判断出ABDF，进而判断出BCCG，再判断出BFCG，即可得出结论；（2）先判断出BOF是等边三角形，得出BOF60，即可得出结论；设出OEa

56、，则CE=9-a2，进而得出SCOE=12-(a2-92)2+814，即可得出结论【解答】解：（1）如图，连接BF，CF是直径，CBF90，CDF90，CDAB，AB为直径，CEB90，CEDE，CEBCDF90，ABDF，CBBG，BF是CG的垂直平分线，CFGF；（2）如图，连接OD，BF，四边形BODF是菱形，OBBF，OBOF，OBOFBF，BOF是等边三角形，BOF60，BCF=12BOF30，由（1）知，CFGF，BGFBCF30，故答案为：30；设OEa，由（1）知，OEC90，在RtCOE中，OC=12AB3，CE=OC2-OE2=9-a2，SCOE=12CEOE=12a9-a

57、2=12-(a2)2+9a2=12-(a2-92)2+814，当a2=92，即a=322时，SCOE最大=12814=94，故答案为：94【点评】此题是圆的综合题，主要考查了垂径定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，判断出BF是CG的垂直平分线是解本题的关键26如图，O是ABC的外接圆，且ABAC，点D在弧BC上运动，过点D作DEBC，DE交AB的延长线于点E，连接AD、BD（1）求证：ADBE；（2）当AB6，BE3时，求AD的长？（3）当点D运动到什么位置时，DE是O的切线？请说明理由【分析】（1）先判断出ABCACB，再判断出ADBABC，进而得出ABCAED，即可得出结论

58、；（2）判断出ABDADE，得出比例式，即可得出结论（3）先判断出ADBC，AD过圆心，进而得出ADED，即可得出结论【解答】证明：ABAC，ABCACB，ADBACB，ADBABC，DEBC，ABCAED，ADBE；（2）解：由（1）知，ADBE，BADBAD，ABDADE，ABAD=ADAE，AB6，BE3，6AD=AD3，AD36，AD的长为36；（3）当D为BC的中点时，DE是O的切线，理由为：D为BC的中点，ADBC，AD过圆心，DEBC，ADED，点D在O上，DE为圆O的切线【点评】此题是圆的综合题，主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌

59、握切线的判定方法是解本题的关键27如图，O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，ACB的平分线交O于点D（1）求AD的长；（2）试探究CA、CB、CD之间的等量关系，并证明你的结论；（3）连接OD，P为半圆ADB上任意一点，过P点作PEOD于点E，设OPE的内心为M，当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长【分析】（1）由圆周角定理得出ACBADB90，由勾股定理可求出答案；（2）延长CA到F，使AFCB，连接DF，证明ADFBDC（SAS），由全等三角形的性质得出CDFD，CDBFDA，得出CDFADB90，则CDF为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出结论；（3）连接

60、OM，PM，证明OMDOMP（SAS），由全等三角形的性质得出OMDOMP135，则点M在以OD为弦，并且所对的圆周角为135的两段劣弧上（分OD左右两种情况），求出OO的长，由弧长公式可得出答案【解答】解：（1）AB是O的直径，ACBADB90，ACB的平分线交O于D，ACDBCD45，AD=BD，ADBD，AD2+BD2AB2，ADBD=22AB=221052；（2）CA+CB=2CD证明如下：延长CA到F，使AFCB，连接DF，CBD+CAD180，FAD+CAD180，CBDFAD，在ADF和BDC中，AD=BDCBD=FADAF=BC，ADFBDC（SAS），CDFD，CDBFDA，

61、CDFADB90，CDF为等腰直角三角形，CA+CBCF=2CD（3）连接OM，PM，PEOD，PEO90，点M为OPE的内心，OMP135，在OMD和OMP中，OD=OPDOM=POMOM=OM，OMDOMP（SAS），OMDOMP135，点M在以OD为弦，并且所对的圆周角为135的两段劣弧上（分OD左右两种情况）：设弧OMD所在圆的圆心为O，OMD135，OOD90，OO=22OD=522，OD的长为90522180=524，点M的路径长为522【点评】此题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形内心的定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，弧长公式以及勾股定理等知识，熟练

62、掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键28如图，AB是半圆O的直径，点D是半圆O上一点，点C是AD的中点，CEAB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CB、CE于点F、P，连接AC（1）求证：GPGD；（2）求证：P是线段AF的中点；（3）连接CD，若CD2，BC4，求O的半径和CE的长【分析】（1）结合切线的性质以及已知得出GPDGDP，进而得出答案；（2）利用圆周角定理得出PA，PC，PQ的数量关系进而得出答案；（3）直接利用勾股定理结合三角形面积进而得出答案【解答】（1）证明：连接OD，则ODGD，OADODA，ODA+GDP90，EAP+GPDEP

63、A+EAP90，GPDGDP；GPGD；（2）证明：AB 为直径，ACB90，CEAB 于E，CEB90，ACE+ECBABC+ECB90，ACEABCCAP，PCPA，ACB90，CQA+CAPACE+PCQ90，PCQCQA，PCPQ，PAPQ，即P 为RtACQ 斜边AQ 的中点；（3）解：连接CD，弧AC弧CD，CDAC，CD2，AC2，ACB90，AB=AC2+BC2=22+42=25，故O 的半径为5，SACB=12CEAB=12ACBC，25CE24，CE=455【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握性质及

64、定理是解决本题的关键29已知ABC内接于O，BAC的平分线交O于点D，连接DB，DC（1）如图，当BAC120时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式AB+ACAD；（2）如图，当BAC90时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图，若BCm，BDn，求ADAB+AC的值（用含m，n的式子表示）【分析】（1）在AD上截取AEAB，连接BE，由条件可知ABE和BCD都是等边三角形，可证明BEDBAC，可得DEAC，则AB+ACAD；（2）延长AB至点M，使BMAC，连接DM，证明MBDACD，可得MDAD，证得AB+AC=2AD；（3）延长AB至点

65、N，使BNAC，连接DN，证明NBDACD，可得NDAD，NCAD，证NADCBD，可得ADAN=BDBC，可由ANAB+AC，求出ADAB+AC的值【解答】解：（1）如图在AD上截取AEAB，连接BE，BAC120，BAC的平分线交O于点D，DBCDAC60，DCBBAD60，ABE和BCD都是等边三角形，ABEDBC60，DBEABC，又ABBE，BCBD，BEDBAC（SAS），DEAC，ADAE+DEAB+AC；故答案为：AB+ACAD（2）AB+AC=2AD理由如下：如图，延长AB至点M，使BMAC，连接DM，四边形ABDC内接于O，MBDACD，BADCAD45，BDCD，MBDA

66、CD（SAS），MDAD，MCAD45，MDADAM=2AD，即AB+BM=2AD，AB+AC=2AD；（3）如图，延长AB至点N，使BNAC，连接DN，四边形ABDC内接于O，NBDACD，BADCAD，BDCD，NBDACD（SAS），NDAD，NCAD，NNADDBCDCB，NADCBD，ANBC=ADBD，ADAN=BDBC，又ANAB+BNAB+AC，BCm，BDn，ADAB+AC=BDBC=nm【点评】本题属于圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线解决问题30如图，AB和CD为O的直径，

67、ABCD，点E为CD上一点，CECA，延长AE交O于点F，连接CF交AB于点G（1）求证：CE2AEAF；（2）求证：ACF3BAF；（3）若FG2，求AE的长【分析】（1）先判断出ACEAFC，进而判断出ACEAFC，得出AC2AEAF，即可得出结论；（2）先求出CAECEA67.5，进而求出BAFDCF22.5，即可得出结论；（3）先求出FH，GH，再判断出AHFH2，最后判断出EFFG，即可得出结论【解答】解：（1）AB和CD为O的直径，ABCD，AC=AD，ACEAFC，CAEFAC，ACEAFC，ACAF=AEAC，AC2AEAF，ACCE，CE2AEAF；（2）ABCD，AOC90

68、，OAOC，ACEOAC45，AFC=12AOC45，ACCE，CAEAEC=12（180ACO）67.5，BAFCAFOAC22.5，AECAFC+DAF45+DCF67.5，DCF22.5，ACFOCA+DAF67.5322.53BAF；（3）如图，过点G作GHCF交AF于H，FGH90，AFC45，FHG45，HGFG2，FH22，BAF22.5，FHG45，AGHFHGBAF22.5BAF，AHHG2，AFAH+FH2+22，由（2）知，OAEOCG，AOECOG90，OAOC，AOECOG（SAS），OEOG，AEOCGO，OEFOGF，连接EG，OEOG，OEGOGE45，FEGFGE，EFFG2，AEAFEF2+22-222【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，求出AF是解本题的关键