专题32函数、集合与复数（学生版）备战2021年高中数学联赛之1981-2020年高中数学联赛二试试题分专题训练.docx

1、备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)专题32函数、集合与复数历年联赛真题汇编1【2020高中数学联赛B卷(第02试)】设集合A=1,2,19.是否存在集合A的非空子集S1,S2,满足(1) S1S2=,S1S2=A；(2) S1,S2都至少有4个元素;(3) S1的所有元素的和等于S2的所有元素的乘积?证明你的结论.2【2019高中数学联赛A卷(第02试)】设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面某些点之间连有线段，记E为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n，满足条件:若E至少有n个元素，则E一定含有908个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共

2、端点，且任意两个二元子集的交为空集.3【2018高中数学联赛A卷(第02试)】设n、k、m是正整数，满足k2，且nmminY的有序集合对(X，Y)的数目.5【2017高中数学联赛B卷(第02试)】给定正整数m，证明:存在正整数k，使得可将正整数集N+分拆为k个互不相交的子集A1,A2,Ak，每个子集Ai中均不存在4个数a、b、c、d(可以相同)，满足abcd=m.6【2015高中数学联赛(第02试)】设S=A1,A2,An(n2)，其中A1,A2,An为n个互不相同的有限集合，满足对任意Ai,AjS，均有AiAjS.若k=min1inAi2(|X|表示有限集合X的元素个数)，证明：存在xi=1

3、nAi，使得x属于A1,A2,An中的至少nk个集合.7【2014高中数学联赛(第02试)】设S=1，2，3，100，求最大的整数k，使得S有k个互不相同的非空子集，具有性质：对这k个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同.8【2012高中数学联赛(第02试)】试证明：集合A=2,22,2n,满足：(1)对每个aA及bN*，若b2a1，则b(b+1)一定不是2a的倍数；(2)对每个aA(其中A表示A在N*中的补集)，且a1，必存在bN*，b12x1+x2.求2a3+27c-9ab3的最大值.14【1999高中数学联赛(第02试)】给定实数

4、a，b，c，已知复数z1,z2,z3满足z1=z2=z3=1z1z2+z2z3+z3z1=1，求az1+bz2+cz3的值.15【1997高中数学联赛(第02试)】试问：当且仅当实数x0,x1,xn(n2)满足什么条件时，存在实数y0,y1,yn，使得z02=z12+z22+zn2成立，其中zk=xk+iyk,i为虚数单位，k=0，1，n.证明你的结论.16【1994高中数学联赛(第02试)】x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中，z1,z2,m均是复数，且z12-4z2=16+20i，设这个方程的两个根,满足|-|=27，求|m|的最大值和最小值.17【1992高中数学联赛(第02试)】设

5、集合Sn=1，2，n.若X是Sn的子集，把X中的所有数的和称为X的“容量”(规定空集的容量为0).若X的容量为奇(偶)数，则称X为Sn的奇(偶)子集.(1)求证：Sn的奇子集与偶子集个数相等；(2)求证：当n3时，Sn的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等.(3)当n3时，求Sn的所有奇子集的容量之和.18【1990高中数学联赛(第02试)】设E=1，2，3，20，G=a1,a2,a3,a100E，且G具有下列两条性质：(1)对任何1ij100，恒有ai+aj201；(2)i=1100ai=10080；试证：G中的奇数的个数是4的倍数，且G中所有数字的平方和为一个定数.19【1983

6、高中数学联赛(第02试)】函数f(x)在0，1上有定义，f(0)=f(1).如果对于任意不同的x1，x20，1，都有fx2-fx1x2-x1，求证fx2-fx112.20【1981高中数学联赛(第02试)】下列表中的对数值有两个是错误的，请予纠正:x0.0210.271.52.835lgx2a+b+c-36a-3b-23a-b+c1-2a+2b-c2a-ba+cx678914lgx1+a-b-c2b+c3-3a-3c4a-2b1-a+2b优质模拟题强化训练1给定整数n(n3)，记f(n)为集合1,2,2n-1的满足如下两个条件的子集A的元素个数的最小值：.1A，2n-1A；.子集A中的元素(除

7、1外)均为A中的另两个(可以相同)元素的和.(1)求f(3)的值；(2)证明：f(100)108.2设X是有限集，t为正整数，F是包含t个子集的子集族：F=A1,A2,At.如果F中的部分子集构成的集族S满足：对S中任意两个不相等的集合A、B，AB,BA均不成立，则称S为反链.设S1为包含集合最多的反链，S2是任意反链.证明：存在S2到S1的单射f，满足AS2,f(A)A或Af(A)成立.3证明对所有的正整数n4，存在一个集合S，满足如下条件：(1)S由都小于2n-1的n个正整数组成；(2)对S的任意两个不同的非空子集A、B，集合A中所有元素之和不等于集合B中所有元素之和4设M是由有限个正整数

8、构成的集合，且M=A1A2A20=B1B2B20，这里Ai，Bi，i=1，2，20并对任意的1i3)的k个三元子集A1，A2，Ak满足：对任何I的其他三元子集B，均存在整数m和子集Ai(1ik)使得y|yx+m(modn),1yn,xAi=B求k的最小值6求m的最大值，使得从一个n元集的子集中可以选出m个不同的子集A1，A2，Am，满足(AiAk)Aj对所有1ijkm成立7取集合S=a1,a2,a70的子集Ai=ai,ai+1,ai+59(i=1,2,70)，其中，a70+i=ai。若A1,A2,A70中存在k个集合满足：任意七个的交集非空，求k的最大值。8定义在0,1上的函数f(x)满足：f

9、(0)=f(1)，且对任意x、y0,1(xy)，有|f(x)-f(y)|x-y|.求最小的实数m，使得对任意x、y0,1，都有|f(x)-f(y)|m.9定义函数f:N+0,1，满足f(1)=f(2)=1，f(n)=1-f(n-1)f(n3)，其中，x表示不超过实数x的最大整数.对于(1)n=120；(2)n=32012-12;(3)n=32012+12，求f(n).10求方程组5x+1x=12y+1y=13z+1z,xy+yz+zx=1的所有实数解。11一个函数fx，如果对任意一个三角形，只要它的三边长a、b、c都在fx的定义域内，就有fa、fb、fc也是某个三角形的三边长，则称fx为“保三

10、角形函数”.(1)若gx是定义在R上的周期函数，且值域为0,+，证明：gx不是保三角形函数；(2)若hx=sinxx0,M是保三角形函数，求M的最大值.12给定正实数a、b，已知实数x、y满足ax2-bxy+ay2=1试求二元函数f(x,y)=x2+y2的取值范围13已知f(x)=2x-2x2+ax，其中，常数a(0,4求所有的实数k，使对任意x1、x2R+，恒有|f(x1)-f(x2)|k|x1-x2|14称一个复数数列zn为“有趣的”，若|z1|=1，且对任意正整数n，均有4zn+12+2znzn+1+zn2=0.求最大的常数C，使得对一切有趣的数列zn及任意正整数m，均有|z1+z2+z

11、m|C.15z1、z2、z3为多项式P(z)=z3+az+b的三个根，满足|z1|2+|z2|2+|z3|2=250，且复平面上的三点z1、z2、z3恰构成一个直角三角形.求该直角三形的斜边的长度.16设i2=-1。证明：k=1n-1(2cotn-cotkn+i)为纯虚数。17已知cosx+cosy+coszcos(x+y+z)=sinx+siny+sinzsin(x+y+z)=a求cos(y+z)+cos(z+x)+cos(x+y)的值.18设、C,、0,a、的辐角主值不相同，证明：|-|-|1+|2.19设a0，a1，an均为实数，是关于x的实系数方程i=0naixi=0的复数根，且|ana1a01.求证：n+1=1.20若复数z满足4z-2011-3iz-2010-3iz-1-4=0，求t=(3-4iz)+(3+4i)z的取值范围。