专题33 二次函数与平移问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题（全国通用版）（解析版）.docx

1、专题33 二次函数与平移问题1（2021湖北武汉九年级阶段练习）如图1，抛物线yax22ax+b（a0）与x轴交于A、B两点（A点在B点的左边），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，OBOC3OA（1）求抛物线解析式；（2）如图2，点E的坐标为（0，7），若过点E作一条直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点H，直线ykx2k5（k0）与抛物线交于F、G两点，求当k为何值时，FGH面积最小，并求出面积的最小值；（3）如图3，已知直线l：y2x1，将抛物线沿直线l方向平移，平移过程中抛物线与直线l相交于E、F两点设平移过程中抛物线的顶点的横坐标为m，在x轴上存在唯一的一点P，使EPF90，求m的值

2、【答案】（1）y-x2+2x+3；（2）k=-2，面积最小为；（3）m=或【分析】（1）令x=0，解得y=b，求出OBOCb，OA=，得到A（-，0），C（0，b），B（b，0），把A（-，0），B（b，0）代入yax22ax+b即可求解；（2）设直线EH的解析式为y=nx+7，联立，得，根据直线EH与函数只有一个交点，求出H（2，3），再得到直线GH过定点M（2，-5），利用SFGH=SFMH+SGMH=4，求出的最小值即可求解；（3）当以EF为直径的与x轴相切时，x轴上存在点P即切点，使EPF=90，设点E，F的坐标分别为F（x1，y1）、F（x2，y2），求出平移后的抛物线的解析式为y-

3、（x-m）2+2m+2，联立得到，求出x1+x2=2m+2，x1x2=，y1+y2=4m-6，表示出点R（m-1，2m-3），求出2，利用PR=，得到EF2=4PR2，列出关于m的方程即可求解【详解】（1）yax22ax+b（a0）与x轴交于A、B两点（A点在B点的左边），与y轴的正半轴交于点C，令x=0，解得y=bCO=bOBOCb，OA=A（-，0），C（0，b），B（b，0）把A（-，0），B（b，0）代入yax22ax+b得，解得抛物线解析式为y-x2+2x+3；（2）点E的坐标为（0，7），可设直线EH的解析式为y=nx+7联立，得直线EH与函数只有一个交点，且在对称轴右侧=解得n1

4、=-2，n2=6（舍去）直线EH的解析式为y=-2x+7解方程得x1=x2=2H（2，3）直线GH解析式ykx2k5=k（x-2）-5直线GH过定点M（2，-5）如图，连接HMH（2，3）HMx轴，MH=8设F（x2，y2）、G（x1，y1）联立，得到x1+x2=2-k，x1x2=-2k-8SFGH=SFMH+SGMH=4故当最小时，SFGH最小2=故当k=-2时，2的最小值为32故的最小值为此时SFGH最小为4=；（3）当以EF为直径的与x轴相切时，x轴上存在点P即切点，使EPF=90如图，与x轴相切时，切点为点P，y-x2+2x+3=-（x-1）2+4设点E，F的坐标分别为F（x1，y1）

5、、F（x2，y2），当平移后的抛物线的顶点的横坐标为m时，则抛物线向右平移了m-1个单位，故相应地纵坐标向上平移了2（m-1）=个单位，则平移后的抛物线的解析式为y-（x-m）2+4+2（m-1）=-（x-m）2+2m+2联立得到x1+x2=2m+2，x1x2=y1+y2=2（x1+x2）-2=4m-6，则点R（m-1，2m-3），2=（2m+2）2-4（）=16，PR=则EF2=4PR2EF2=2+2=52=516=4PR2PR=2m-3516=4（2m-3）2解得m=当m=或m=符合题意【点睛】此题主要考查二次函数综合运用，解题的关键是熟知圆的切线的性质、勾股定理、二次函数的图像与性质、一

6、元二次方程相关性质2（2021四川资阳中考真题）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是抛物线上位于直线上方的一点，与相交于点E，当时，求点P的坐标；（3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿方向平移，使点D落在点处，且，点M是平移后所得抛物线上位于左侧的一点，轴交直线于点N，连结当的值最小时，求的长【答案】（1）；（2）或；（3）【分析】（1）利用待定系数法即可得；（2）设点的坐标为，先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据可得点的坐标，代入直线的解析式求解即可得；（3）先根据求出点的坐标，再根据二次函数图象的平移规律得出平移后的函数解析式

7、，设点的坐标，从而可得点的坐标，然后根据两点之间的距离公式可得，最后根据两点之间线段最短、垂线段最短求解即可得【详解】解：（1）由题意，将点代入得：，解得，则抛物线的解析式为；（2）对于二次函数，当时，解得或，设点的坐标为，点的坐标为，解得，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，将点代入得：，解得或，当时，此时，当时，此时，综上，点的坐标为或；（3）二次函数的顶点坐标为，设点的坐标为，解得，则平移后的二次函数的解析式为，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，设点的坐标为，则点的坐标为，如图，连接，过点作于点，过点作于点，交于点，连接，轴，由两点之间线段最短得

8、：的最小值为，由垂线段最短得：当点与点重合时，取得最小值，此时点与点重合，则点的纵坐标与点的纵坐标相等，即，解得，则，【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移规律、垂线段最短等知识点，较难的是题（3），正确求出平移后的抛物线的解析式是解题关键3（20212022重庆实外九年级阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点P是抛物线上位于直线下方的一点（1）如图1，连接，当点P的横坐标为5时，求；（2）如图2，连接，过点P作交于点G，求长度的最大值及此时点P的坐标；（3）如图3，将抛物线沿射线的方向平移，使得新抛物线经过点，并记

9、新抛物线的顶点为D，若点M为新抛物线对称轴上的一动点，点N为坐标平面内的任意一点，直接写出所有使得以A，D，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来【答案】（1）；（2）的最大值为，此时P点的坐标为（3，）；（3）当点N的坐标为（10，0）或（-2，-10）或（-2，）或（-2，）时，使得以A，D，M，N为顶点的四边形是菱形【分析】（1）设直线AP与y轴交点为E，先求出P点坐标，然后求出直线A点坐标，即可求出直线AB的解析式，从而得到E点的坐标，再根据进行求解即可；（2）先求出直线BC的解析式为，过点P作直线lBC，只有当直线l与抛物线相切（只有一个交点的时

10、候）PG有最大值，如图所示，此时P、G的位置分别为，；设此时直线l的解析式为，联立求得，从而求得点的坐标为（3，），即点P的坐标为（3，）；然后求出直线AC的解析式为，则可求出直线解析式为，然后求出的坐标为（，），再根据两点距离公式求出即可；（3）如图3-1所示，过点C作直线CEx轴，过点B作直线CE的垂线，垂直为E，求出， 设抛物线沿着射线CB的方向平移使得C点平移到G点，过点G作GHCE，可证CHGCEB，得到，则可设抛物线沿着射线CB的方向向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到抛物线，由此即可求出得到D点坐标为（4，-2）；然后根据菱形的性质分别讨论：当DM，AN为以A，D，M，N为

11、顶点的菱形的对角线时，当DM和MA为以A，D，M，N为顶点的菱形的边时，当AD和MD为以A，D，M，N为顶点的菱形的边时，利用属性结合的思想求解即可【详解】解：（1）设直线AP与y轴交点为E，点P在抛物线的函数图像上，且P点横坐标为5，P点纵坐标为，P点坐标为（5，），令，则，解得或，A点坐标为（-2，0），B点坐标为（6，0），设直线AP的解析式为，直线AP的解析式为，E点坐标为（0，），C是抛物线与y轴的交点，C点坐标为（0，-2），；（2）设直线BC的解析式为，直线BC的解析式为，过点P作直线lBC，只有当直线l与抛物线相切（只有一个交点的时候）PG有最大值，如图所示，此时P、G的位置分

12、别为，；设此时直线l的解析式为，联立得，即，解得，点横坐标为3，点纵坐标为， 点的坐标为（3，），即点P的坐标为（3，）；设直线AC的解析式为，直线AC的解析式为，可设直线解析式为，直线解析式为，联立，解得，的坐标为（，）；，的最大值为，此时P点的坐标为（3，）；（3）如图3-1所示，过点C作直线CEx轴，过点B作直线CE的垂线，垂直为E，C点坐标为（-2，0），B点坐标为（6，0），CE=OB=6，BE=OC=2，设抛物线沿着射线CB的方向平移使得C点平移到G点，过点G作GHCE，GHCE，BECE，GHBE，CHGCEB，将抛物线沿着射线CB平移的时候，可以看作先向右平移，再向上平移，可设

13、抛物线沿着射线CB的方向向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到抛物线，抛物线经过点（2，），解得，；D点坐标为（4，-2）；如图3-2所示，当DM，AN为以A，D，M，N为顶点的菱形的对角线时，设AN与MD交于点Q，点Q的坐标为（4，0）ANMD，且AQ=NQ=6，此时N点坐标为（10，0）；设M的坐标为（4，m），如图3-3所示，当DM和MA为以A，D，M，N为顶点的菱形的边时，ANMD，MA=MD，点N在直线上，解得，MD=10，AN=MD=10，N点坐标为（-2，-10）；如图3-4所示，当AD和MD为以A，D，M，N为顶点的菱形的边时，同理可得N在直线，N点的坐标为（-2，）或（-

14、2，），综上所述，当点N的坐标为（10，0）或（-2，-10）或（-2，）或（-2，）时，使得以A，D，M，N为顶点的四边形是菱形【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，菱形的性质，两点距离公式，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够根据数形结合和分类讨论的思想进行求解4（2021四川遂宁中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（3，0）两点，与y轴交于C（0，3），对称轴为直线，直线y2xm经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F（1）求抛物线的解析式和m的值；（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与AOD相似，若存在，求出点P的

15、坐标；若不存在，试说明理由；（3）直线y1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN2，若将线段MN在直线y1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）【答案】（1）；m=2；（2）存在，或；（3）【分析】（1）根据抛物线的对称性求出A（1，0），再利用待定系数法，即可求解；再把点A坐标代入直线的解析式，即可求出m的值；（2）先求出E（-5，12），过点E作EPy轴于点P，从而得，即可得到P的坐标，过点E作，交y轴于点，可得，再利用tanADO=tanPE，即可求解；（3）作直线y=1，将点F向左平移2个单位得到，作点E关于y=1的对称点，连接

16、与直线y=1交于点M，过点F作FN，交直线y=1于点N，在中和 中分别求出EF， ，进而即可求解【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于A和B（3，0）两点，对称轴为直线，A（1，0），设二次函数解析式为：y=a(x-1)(x+3)，把C（0，3）代入得：-3=a(0-1)(0+3)，解得：a=1，二次函数解析式为：y= (x-1)(x+3)，即：，直线y2xm经过点A，0=-21+m，解得：m=2；（2）由（1）得：直线AF的解析式为：y=-2x+2，又直线y=-2x+2与y轴交于点D，与抛物线交于点E， 当x=0时，y=2，即D（0，2），联立，解得：，点E在第二象限，E（-5，12），

17、过点E作EPy轴于点P，ADO=EDP，DOA=DPE=90，P（0，12）；过点E作，交y轴于点，可得，ED+PED=PE+PED=90，ADO=ED=PE，即：tanADO=tanPE，即：，解得：，（0，14.5），综上所述：点P的坐标为（0，12）或（0，14.5）；（3）点E、F均为定点，线段EF长为定值，MN=2，当EM+FN为最小值时，四边形MEFN的周长最小，作直线y=1，将点F向左平移2个单位得到，作点E关于y=1的对称点，连接与直线y=1交于点M，过点F作FN，交直线y=1于点N，由作图可知：，又三点共线，EM+FN=，此时，EM+FN的值最小，点F为直线y=-2x+2与直

18、线x=-1的交点，F（-1，4），（-3，4），又E（-5，12），（-5，-10），延长F交线段E于点W，F与直线y=1平行，FWE，在中，由勾股定理得：EF=，在中，由勾股定理得：=，四边形MEFN的周长最小值=ME+FN+EF+MN=【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握待定系数法，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，利用轴对称图形的性质，构造线段和的最小值，是解题的关键5（2022辽宁皇姑九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，点D是第四象限抛物线上一点，过点D作DEx，轴于点E，交线段BC

19、于点F，连接AD、AF、BD（1）求抛物线的表达式；（2）设点D的横坐标为m，求四边形ADBF面积的最大值；（3）在（2）的条件下，将四边形ADBF沿直线DE向上平移得到四边形A1D1B1F1（A、D、B、F的对应点分别为A1、D1、B1、F1），直线A1D1与直线AF交于点H点P在B点左侧的抛物线上，点Q在直线B1F1上，当以点P、Q、B、B1为顶点的四边形是平行四边形，且D1HA1H时，请直接写出点P的横坐标【答案】（1）yx2-4x3（2）（3）0或【分析】（1）把A（1，0）、B（3，0）代入yx2bxc即可求解；（2）先求出直线BC的解析式，设点D的横坐标为m，表示出四边形ADBF面

20、积与m的关系式，故可求解； （3）根据D1HA1H，利用相似三角形的性质，求出平移的距离，再根据平行四边形的性质得到PQ=，故可求出P点的横坐标【详解】解：（1）把A（1，0）、B（3，0）代入yx2bxc得解得yx2-4x3；（2）令x=0，得y3C（0，3）设直线BC的解析式为y=kx+b把B（3，0）、C（0，3）代入得解得直线BC的解析式为y=-x+3点D的横坐标为m，D（m，m2-4m3）、F （m，-m3）FD=（-m3）-（m2-4m3）=- m2+3mA（1，0）、B（3，0）AB=2四边形ADBF面积为=- m2+3m=-（m-）2+当m=时，四边形ADBF面积的最大值为；（

21、3）如图，由（2）可得D（，）、F（，）将四边形ADBF沿直线DE向上平移得到四边形A1D1B1F1，设沿直线DE向上平移h个单位故A1（1，h）、B1（3，h）、D1（，+h）、F1（，+h）直线A1D1与直线AF交于点H，D1HA1H，AA1DFAA1HFD1H=F=-（+h）=-h，A1A=h解得h=A1（1，）、B1（3，）、D1（，）、F1（，3）设直线B1F1的解析式为y=px+q把B1（3，）、F1（，3）代入得，解得直线B1F1的解析式为y=-x+设P点的坐标为（x，x2-4x3），点P、Q、B、B1为顶点的四边形是平行四边形PQBB1，PQ=BB1=，Q点坐标为（x，-x+）

22、PQ=，故解得x1=0，x2=3，x3=，x4=点P在B点左侧的抛物线上，x1=0，x3=故点P的横坐标为0或【点睛】此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的最值求解、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质6（20212022重庆南开中学九年级阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（，0），点B（2，0），与y轴交于点C（1）求该抛物线的解析式以及点C的坐标；（2）点P为直线BC上方抛物线上的一点，过P作PD/y轴，交BC于点D，作PE/AB交BC于E，EF平分PED并交PD于F，求PFE周长的最大值以及此时点P的坐标；（3）

23、在（2）的条件下，当PFE周长取得最大值时，过点D作DMy轴于点M，PDE沿射线EF平移后得到PDE，当以点M，D，E为顶点的三角形是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标【答案】（1），C（0，6）；（2）最大为，P点坐标为（，6）；（3）点坐标为（，）或（，）或（，）【分析】（1）将点A（，0），点B（2，0）代入，解得b=，c=6，所以抛物线解析式为，C点坐标为（0，6）（2）将B（2，0）,C（0，6）代入，解得，设P点坐标为（a，），E点过直线BC，则E点坐标为（，），所以PE长度为，因为，所以OBC=60，又因为PE/x轴，所以PEB=60，又因为EF平分PED所以PEF=EFD=3

24、0，则PF=，EF=，=+，化简得=，当最大为时，a=，P点坐标为（，6）（3）若为等腰三角形，即这三种情况其中，如图所示作图，已知直线EF解析式，为过作EF平行线，且解析时为，设（m，），（n，），M点坐标为（0，3），令有，解得n=，依题意得（，），因为，所以此时（，）；令有，解得m=，依题意得（，）；有，因为且，有，代入得m=，（，）【详解】（1）将将点A（，0），点B（2，0）代入有得抛物线解析式为C点坐标为（0，6）（2）将B（2，0）,C（0，6）代入有得设P点坐标为（a，），PE/x轴，故P点和E点纵坐标相等，E点在直线BC有，得x=则E点坐标为（，） =OBC=60又PE/x轴

25、PEB=60又EF平分PED、PEF=EFD=30PF=PE=，EF=2PF=+整理得=，当最大为时，a=此时P点坐标为（，6）（3）若为等腰三角形，即这三种情况其中，如图所示作图，已知直线EF解析式，为过作EF平行线，且解析时为，设（m，），（n，），M点坐标为（0，3）.令有解得n=依题意得（，）， （，）令有，解得m=，依题意得（，）；有因为且，有，代入得m=，（，）综上所述点坐标为（，）或（，）或（，）【点睛】本题考查了二次函数图象及性质，按照题意设未知数并列出对应的方程式是解题的关键7（2021重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C （1）求该抛物

26、线的解析式；（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求面积的最大值；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线AD平移个单位，得到新的抛物线，点E为点P的对应点，点F为的对称轴上任意一点，在上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程【答案】（1）y=x2-3x-4；（2）8；（3）或或，过程见解析【分析】（1）将，的坐标代入函数式利用待定系数法求解即可；（2）先得出抛物线的对称轴，作PEy轴交直线AD于E，设P（m，m2-3m-4），用m表示出

27、APD的面积即可求出最大面积；（3）通过平移距离为，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，根据平移变化得出平移后的抛物线关系式和E的坐标，分DE为对角线、EG为对角线、EF为对角线三种情况进行讨论即可【详解】解：（1）将A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx-4得，解得：，该抛物线的解析式为y=x2-3x-4，（2）把x=0代入y=x2-3x-4中得：y=-4，C（0，-4），抛物线y=x2-3x-4的对称轴l为点D与点C关于直线l对称，D（3，-4），A（-1，0），设直线AD的解析式为y=kx+b；，解得：，直线AD的函数关系式为：y=-x-1，设P（m，m2-3m-4），

28、作PEy轴交直线AD于E，E（m，-m-1），PE=-m-1-（m2-3m-4）=-m2+2m+3，当m=1时，的面积最大，最大值为：8（3）直线AD的函数关系式为：y=-x-1，直线AD与x轴正方向夹角为45，抛物线沿射线AD方向平移平移个单位，相当于将抛物线向右平移4个单位，再向下平移4个单位，平移后的坐标分别为（3，-4），（8，-4），设平移后的抛物线的解析式为则，解得：，平移后y1=x2-11x+20，抛物线y1的对称轴为：，P（1，-6），E（5，-10），以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：设G（n，n2-11n+20），F（，y），当DE为对角线时，平行四

29、边形的对角线互相平分，当EF为对角线时，平行四边形的对角线互相平分，当EG为对角线时，平行四边形的对角线互相平分，或或【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式和最值问题，求三角形的面积，以及平移的性质和平行四边形的性质，注意分类讨论的数学思想8（2021浙江丽水中考真题）如图，已知抛物线经过点（1）求的值；（2）连结，交抛物线L的对称轴于点M求点M的坐标；将抛物线L向左平移个单位得到抛物线过点M作轴，交抛物线于点NP是抛物线上一点，横坐标为，过点P作轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧若，求m的值【答案】（1）；（2）；1或【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可

30、；（2）求出直线AB的解析式，抛物线的对称轴方程，代入求解即可；根据抛物线的平移方式求出抛物线的表达式，再分三种情况进行求解即可【详解】解：（1）把点的坐标分别代入，得解得的值分别为（2）设所在直线的函数表达式为，把的坐标分别代入表达式，得解得所在直线的函数表达式为由（1）得，抛物线L的对称轴是直线，当时，点M的坐标是设抛物线的表达式是，轴，点N的坐标是点P的横坐标为点P的坐标是，设交抛物线于另一点Q，抛物线的对称轴是直线轴，根据抛物线的轴对称性，点Q的坐标是（i）如图1，当点N在点M下方，即时，由平移性质得，解得（舍去），（ii）图2，当点N在点M上方，点Q在点P右侧，即时，解得（舍去），（

31、舍去）（）如图3，当点N在点M上方，点Q在点P左侧，即时，解得（舍去），综上所述，m的值是1或【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、抛物线的平移规律和一元二次方程等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质是解题的关键9（20212022重庆九年级期中）如图，已知二次函数yx2+mx+n（m，n均为常数）的图像顶点为A，与x轴交于B（1，0）、C两点，与y轴交于点D（0，3）（1）求该抛物线解析式（2）如图1，连接AD交x轴于点E，连接AB交y轴于点K，点M是抛物线四象限且位于对称轴右侧图像上一点，过点M作MPAD交直线AD于点P，连接MD若MBKO，求出点M的坐标，以及此时

32、MDP的周长，并写出解答过程（3）如图2，将抛物线y沿射线AE方向平移4个单位后，得到一个新的二次函数记为y，令y与y两函数图像相交于点Q，连接CQ，点R为原抛物线图像上一动点，点F为直线AE上一动点，是否存在以点C，Q，R，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点R的坐标，并把求其中一个R点的坐标的过程写出来【答案】（1）；（2）M（5，-12），MDP的周长=；（3）R点的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）【分析】（1）利用待定系数法二次函数yx2+mx+n与x轴交于B（1，0），与y轴交于点D（0，3）代入得组成方程组，解方程组即可；（2）连结DC，MD交x轴于H，过H作HGDC

33、于G，求出抛物线顶点A（1，4），抛物线与y轴交点坐标为：点D（0，3）与x轴交点C（3，0），根据勾股定理DC=，待定系数法求AP解析式为，AB解析式为，根据MBKO，M=CDH，可得tanBKO=tanCDH=， 可得DG=2HG，再证GH=GC，可得DG=2GC，求出点H（1，0），待定系数法求DH解析式为，然后，求出M（5，-12），再求CD解析式为，PM解析式为，联立方程组，求出点P（-5，-2）利用勾股定理DP=，DM=，PM=即可；（3）将抛物线y沿射线AE方向平移4个单位后，AA=4，过A作AS垂直原抛物线的对称轴于S，如图，求出点A（-3，0）求出新抛物线的解析式为，然后求出

34、交点Q（），设点F（xF,xF+3）,R(xR，)分两种情况，当CQ为平行四边形的边时，当CQ为平行四边形的对角线时， 然后解方程组求出点R坐标即可【详解】解：（1）二次函数yx2+mx+n与x轴交于B（1，0），与y轴交于点D（0，3）代入得，解得，；（2）连结DC，MD交x轴于H，过H作HGDC于G，点A（1，4），抛物线与y轴交点坐标为：点D（0，3），解得x=-1或x=3，点C（3，0），OC=3，OD=3，COD=90，ODC=OCD=45，DC=，设AP解析式为，经过点A，D，代入坐标得，解得：，AP解析式为，当y=0时，x=-3，点E（0，-3），OE=3，OD=3，EOD=90

35、，ODE=OED=45，EDC=DEO+ODC=45+45=90，CDAD，MPAD， MPCD，M=CDH，设AB解析式为，代入坐标得：，解得，AB解析式为，AB与y轴交点K（0，2），OK=2，OB=1，MBKO，M=CDH，CDH=BKO，tanBKO=tanCDH=， DG=2HG，HGDC，DCO=45，GHC=180-HGC-GCH=180-90-45=45=GCH，GH=GC，DG=2GC，DG+GC=CD=3，GH=CG=，CH=，OH=OC-CH=3-2=1，点H（1，0），设DH解析式为，代入坐标得：，解得，DH解析式为，消去y得，解得x=0，x=5,x=0,y=3，x=5

36、,y=-12，M（5，-12），设CD解析式为，解得，CD解析式为，设PM解析式为，MPCD，m=-1,过M（5，-12），,解得n=-7,PM解析式为，解得，点P（-5，-2），DP=，DM=，PM=，MDP的周长=；（3）将抛物线y沿射线AE方向平移4个单位后，AA=4，过A作AS垂直原抛物线的对称轴于S，如图，ASy轴，EDO=AAS=45，AAS为等腰直角三角形，AS=AS=AAcos45=4，点A的横坐标为1-4=-3,纵坐标4-4=0，点A（-3，0），新抛物线的解析式为，Q（），当CQ为平行四边形的边时，设点F（xF,xF+3）,R(xR，)，,消去xF得，解得， ，点R（，）或

37、（，），当CQ为平行四边形的对角线时，消去xF得，点R（，）或（，），综合得R点的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，一次函数解析式，勾股定理两点距离公式，等腰直角三角形判定与性质，抛物线平移，平行四边形判定与性质，解一元二次方程，本题难度非常大，运算量太大，思维要清晰，解题经验丰富，才能解题，是中考压轴题10（20212022辽宁台安九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与 轴交于点，与 轴交于点（1）求该抛物线的解析式；（2）直线为该抛物线的对称轴，点与点关于直线对称，点为直线下方抛物线上一动点，连接 ，求面积的最大值；（3）在（2）

38、中面积取最大值的条件下，将抛物线（ ）沿射线平移个单位，得到新的抛物线，点 为点的对应点，点为 的对称轴上任意一点，在确定一点 ，使得以点，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程【答案】（1）；（2）8；（3）或或【分析】（1）直接代入点，坐标即可；（2）作轴交直线于，于，通过点，点的坐标可求得直线的函数关系式，可得直线与轴正方向夹角为，可得，设，则，根据可求解；（3）通过平移距离为，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，得出平移后的抛物线关系式和的坐标，从而平行四边形中，根据线段，分别为平行四边形的边，或者是对角线，分类讨论，通过点

39、的平移得出 的横坐标所在的直线，然后代入抛物线得函数关系式，即可求得坐标【详解】解：（1）将，代入 得，（2）如图示，作轴交直线于，于 ，当时，点的坐标是，点与点关于直线对称，（取非零值）点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，直线的函数关系式为：，且，直线与轴正方向夹角为，则有：，设，当时，最大为8，（3）直线与轴正方向夹角为，沿方向平移，实际可看成向右平移4个单位，再向下平移4个单位，由（2）可知，点的坐标是，且点的坐标是，平移后，点的对应点的坐标为，抛物线平移后，抛物线的对称轴为：直线：，当时，在抛物线中，即点在抛物线上，当为平行四边形的边时：如图1所示，若点平移到对称轴上点，即点往右平移个

40、单位长度，到对称轴上点，则，点往右平移个单位长度，点的横坐标为，点在直线上，又点在抛物线上，代入得，点的坐标是；如图2所示，若平移到对称轴上点，即点往右平移个单位长度，到对称轴上 点，则，点往右平移个单位长度，点的横坐标为，点在直线上，又点在抛物线上，代入得，点的坐标是；如图3示，若为平行四边形的对角线时，若平移到对称轴上点，即点往右平移个单位长度，到对称轴上 点，则，点往左平移个单位长度，点的横坐标为，点在直线上，又点在抛物线上，代入得，点的坐标是；综上所述，所有符合条件的点的坐标是或 或【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式，铅垂高求三角形的面积，以及平移的性质和平行四

41、边形的性质和判定，将沿平移转化为右平移4个单位，再向下平移4个单位是解决问题的关键11（2021重庆实外中考二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yx2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点（1）求直线BC的解析式；（2）过点A作ADBC交抛物线于D，连接CA，CD，PC，PB，记四边形ACPB的面积为S1，BCD的面积为S2，当S1S2的值最大时，求P点的坐标和S1S2的最大值；（3）如图2，将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点O，G为平移后的抛物线的对称轴直线l上一动点，将线段AC沿直线BC平移，平移过程中的线段记为AC（线段

42、AC始终在直线l左侧），是否存在以A，C，G为顶点的等腰直角ACG？若存在，请写出满足要求的所有点G的坐标并写出其中一种结果的求解过程，若不存在，请说明理由【答案】（1）y；（2）S1S2的最大值为，点P的坐标为（）；（3）存在，G1（2，1），G2（2，），G3（2，）；见解析【分析】（1）令二次函数x0，y0，求出A、B、C的坐标，再求直线BC的解析式；（2）不能用常规的底和高，借助切割法求面积，再求出最大面积差和点P的坐标；（3）等腰直角三角形可以利用“两圆一中垂”确定所有的情况，利用“K型全等”求出对应的点G的坐标【详解】解：（1）对抛物线：，当时，点C（0，2），当时，解得：，点A（

43、1，0），点B（3，0），设直线BC的解析式为：，把点C（0，2），B（3，0）代入得：，解得：直线BC的解析式为：（2）ADBC，直线BC的解析式为：设AD的解析式为：，把点A（1，0）代入得：，解得：，AD的解析式为：，由解得：，由点D在坐标系中的位置可得：，直线CD的解析式为：，当时，解得：，记直线CD与x轴交于点N，则：，过点P作PMAB交BC于点M，设，当时，的最大值为，此时，点P的坐标为（3），抛物线的对称轴为：x1，抛物线向右平移后经过点O，即：抛物线向右平移1个单位，直线l为：x2，（i）当等腰三角形以，时，如图，过点C作CHl于点H，过点A作AQCH于点Q，又，ACAC，设点

44、A（a，），C（a1，），CH2a，AQ2，HG1CQ1，2（a1）2，解得：a1，C（0，2），H（2，2），G1（2，1），（ii）当等腰三角形以CAG290，ACAG2时，如图，过点A作AFl于点F，过点C作CEAF于点E，同（i）理可证：CAEAG2F，设点A（a，），C（a1，），G2FAE1，FA2a2，a0，A，F，G2，（iii）当等腰三角形以CG3A90，CG3AG3时，如图，过点A作AQl于点Q，过点C作CPl于点P，同（i）理可证：CPG3G3AQ，设点A（a，），C（a1，），AQG3P2a，CPQG31a，PQ2，2a1a2，解得：a0.5，C，G3P20.51.5，

45、G3，综上所述：存在点G1（2，1），G2，G3，使得以A，C，G为顶点的等腰直角ACG【点睛】题目主要考察二次函数与一次函数及平面几何图形相结合，考点包括确定一次函数解析式、二次函数的基本性质及利用二次函数求最值、切割法求三角形面积、三角形全等、等腰直角三角形分类讨论思想等，难点在于分类讨论同时将其他知识点融会贯通，应用其中12（2021黑龙江哈尔滨市中考三模）如图，已知抛物线与轴交于、与轴交于，过作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的垂线交轴于，点的坐标为（1）求抛物线的解析式；（2）点为第一象限直线右侧抛物线上一点，连接交轴于点，连接、，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式；（3）在

46、（2）的条件下，点向下平移3个单位得到点，连接、，若，求点的横坐标【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）由题意，由轴，推出、关于对称轴对称，可知对称轴，推出，可得，；（2）如图1中，连接，作于设由，可得，推出，推出，根据计算即可；（3）如图构造等腰直角三角形，使得，则易知，以为圆心，为半径画由，推出点在上，设，则，根据，列出方程解方程即可解决问题【详解】解：（1）由题意，轴，、关于对称轴对称，对称轴，抛物线的解析式为（2）如图1中，连接，作于设对于抛物线，令，解得或3，（3）如图构造等腰直角三角形，使得，则易知，以为圆心，为半径画，点在上，设，则，或或，点为第一象限直线右侧抛物线上一点，

47、满足条件的点的横坐标为【点睛】本题考查二次函数综合题、平行线分线段成比例定理、圆周角定理、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题13（2021重庆八中中考三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，交轴于点连接、（1）求抛物线的解析式（2）若点是抛物线上第三象限上一点，过点作于，过作轴交于点，当周长有最大值时，求点坐标及周长最大值（3）如图2，将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到新的抛物线，点在新抛物线后的对称轴上，点为平面内一点，使以、为顶点的四边形为菱形，请直接写出点坐标【答案】(1),(2) ，周长最大

48、值为，（3）或或 【分析】（1）把、两点代入解析式，用待定系数法求解析式即可；（2）由平行线的性质可知PNC=ACO=60，设出P点的坐标，在RtPMN中利用三角函数表示出PMN的周长，利用二次函数的性质可求（3）求出平移后的解析式，设点的坐标，根据菱形的性质求解即可【详解】解：（1）把、两点代入得，解得，抛物线解析式为：；（2）当x=0时，y=3，C点坐标为（0，3），设AC解析式为，把A、C两点坐标代入得，解得，则AC解析式为，A点坐标为：， ，轴，PNC=ACO=60，设P点坐标为，则N点坐标为，当时，最大，最大值为，此时P点坐标为，周长最大值为；（3）抛物线化成顶点式为，抛物线向右平移

49、个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到新的抛物线解析式为，对称轴为直线，设M点坐标为，C（0，3），当CBNM为菱形时，CB=CM，可列方程为，解得，M点坐标为，由平移可知，N点坐标为；当CBMN为菱形时，CB=BM，可列方程为，解得，M点坐标为，由平移可知，N点坐标为，M点坐标为，由平移可知，N点坐标为（舍去）；当CNBM为菱形时，CM=BM，可列方程为，解得，M点坐标为，由平移可知，N点坐标为；综上，点坐标为或或【点睛】本题考查了二次函数的综合，包括解直角三角形，菱形的性质与判定，解题关键是熟练运用二次函数知识求解析式和根据二次函数的性质求最值，通过设坐标，依据两点间距离公式列方程，利用平移求坐标