专题35 分式的规律性问题（解析版）.docx

1、专题35 分式的规律性问题1若（不取0和），则等于（）ABCD【答案】A【分析】先通过题目给的x2与x1 ，x3与x2， x4与x3，等关系分别用含有a的代数式表示x2，x3， x4，从而找到规律，进而得到结果【详解】解：，由此可知，20203=6731故选：A【点睛】本题考查了分式的化简，通过分式的化简找到周期规律是解决本题的关键2观察下列等式，根据其中的规律，猜想_（用含的代数式表示）【答案】【分析】根据题意分别用含x的式子表示出a1、a2、a3、a4，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答【详解】解：，每3个数为一周期循环，故答案为：【点睛】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的

2、计算公式得出其循环周期是解题的关键3观察下列各式：， 根据其中的规律可得_（用含n的式子表示）【答案】【分析】观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，那么第n项的分母是2n+1；分子依次为2，3，10，15，26，变化规律为：奇数项的分子是n2+1，偶数项的分子是n2-1，即第n项的分子是n2+（-1）n+1；依此即可求解【详解】解：由分析得，故答案为：【点睛】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案4一组按规律排列的式子：，（）,则第个式子是_（为正整数）.【答案】.【详解】试题分析：观察给出的一列数，发现这一列数的分

3、母a的指数分别是1、2、3、4，与这列数的项数相同，故第n个式子的分母是an；这一列数的分子b的指数分别是2、5、8、11，即第一个数是31-1=2，第二个数是32-1=5，第三个数是33-1=8，第四个数是34-1=11，每个数都比项数的3倍少1，故第n个式子的分子是b3n-1；特别要注意的是这列数字每一项的符号，它们的规律是奇数项为负，偶数项为正，故第n个式子的符号为（-1）n试题解析：第n个式子是.考点：规律型：数字的变化类5观察下列等式：第1个等式：x1=；第2个等式：x2=；第3个等式：x3=；第4个等式：x4=；则xl+x2+x3+x10=_【答案】【详解】因为x1=； x2=；x

4、3=； x4=；所以xl+x2+x3+x10=+=（）=故答案为：【点睛】考点：分式的计算6观察下列等式：第个等式：；第个等式：；第个等式：；第个等式：；根据以上规律，解决下列问题：（1）写出第个等式：_；（2）计算结果等于_【答案】 【分析】（1）观察等式，分母为连续两个偶数的乘积，分子为2，等式的右边等于这两个连续偶数的倒数的差；（2）根据（1）的规律即可求解【详解】（1）由题意得：，故答案为：；（2）观察下列等式：第个等式：；第个等式：；第个等式：；第个等式：； 第个等式为：， 故答案为：【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键三、解答题7观察下列各式：，(1)请再写出一个符合

5、上述各式规律的式子：_；(2)依照以上各式呈现的规律，写出它们的一般形式，并给出证明【答案】(1)(2)，证明见解析【分析】（1）不难看出，两个分数的分子的和等于8，分母是相应的分子减去4，结果都等于2，从而可求解；（2）根据（1）的分析，写出一般形式，再对式子的左边进行运算，从而可求证（1）解：由题意得：两个分数的分子的和等于8，分母是相应的分子减去4，结果都等于2，则符合规律的式子有：，故答案为：（答案不唯一）；（2）解：设第一个分数的分子为x，其一般形式为：，证明：左边=2=右边故原式成立【点睛】本题主要考查分式的规律性问题，解答的关键是由所给的等式分析清楚各数之间的关系8观察下列等式：

6、第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；根据上述规律解决下列问题：(1)写出第5个等式： ；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示，n是正整数），并证明【答案】(1)(2)，证明见解析【分析】（1）根据前个等式的规律写出第个等式；（2）根据前个等式的规律写出第个等式，只需证明等式左边等于右边即可（1）解：；（2）解：猜想：证明如下：左边右边【点睛】本题考查了等式中的找规律问题，解决本题的关键是找出第项与项数之间的关系9观察下列等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第4个等式：_；(2)写出你猜想的第n个等式：_，并给出证明

7、【答案】(1)(2)，理由见解析【分析】（1）根据题意得：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，即可求解；（2）由（1）发现规律：第n个等式：，再根据分式的减法运算把左边化简，即可求解(1)解：（1）根据题意得：第1个等式：，即，第2个等式：，即，第3个等式：，即，第4个等式：，即，故答案为：；(2)解：由（1）发现规律：第n个等式：，理由如下：左边 =右边【点睛】本题主要考查了规律类题探究，分式加减运算，明确题意，准确得到规律是解题的关键10观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；按上述规律，回答以下问题：(1)写出第6个等式：_

8、；(2)写出你猜想的第个等式：_（用含的等式表示），并证明【答案】(1)(2)；证明见解析【分析】（1）依次观察每个等式，可以发现规律：，按照此规律即可求解；（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可(1)解：第6个等式：；故答案为：(2)解：第个等式：；证明：右边左边，等式成立故答案为：【点睛】此题考查了数字的规律变化，解题的关键是通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题11观察下列各式：第1个等式：第2个等式：第3个等式：根据你发现的规律解答下列问题：(1)第4个等式为：_(2)写出你猜想的第n个等式：_（用

9、含n的等式表示），并证明【答案】(1)(2)【分析】（1）观察前几个等式中数字的变化，即可写出第4个等式；（2）结合（1）即可写出第个等式，然后计算证明即可(1)解：第4个等式为：，故答案为：(2)解：证明：右边左边，所以等式成立，故答案为：【点睛】本题考查了分式的规律探究，有理数的加减运算，解决本题的关键在于推导一般性规律12观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：_；(2)写出你猜想的第n个等式：_（用含n的等式表示），并证明.【答案】(1)；(2)，证明见解析；【分析】（1）根据前4个等式得出第五个等式即可；

10、（2）通过观察减号后面的数字规律，再结合每个式子找到分母之间的关系，最后通过化简即可证明（1）解：通过观察可得：；（2）证明：左边=右边，【点睛】本题主要考查数字类变化规律，仔细观察每个式子中对应位置的数字，并找到相关系数关系是解题的关键13观察下列等式：11，22，33，（1）试写出第5个等式；（2）写出第n个等式，并证明其正确性【答案】（1）；（2）n，证明见解析【分析】（1）根据已知的等式即可写出第5个等式；（2）根据已知的等式即可写出第n个等式，再根据分式的运算法则即可验证【详解】解：（1）11，22，33，第5个等式是：；（2）11，22，33，第n个等式是n，证明：左边右边，即n成

11、立【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是根据已知的式子写出第n个等式14观察下列等式：，（1）请按上述规律写出第2021个算式，然后把一共2021个算式两边分别相加并计算出等式右边；（2）根据第（1）小题计算，总结规律并填空：_；（3）根据发现的规律，在小于60的正整数中，求出8个数，使得它们的倒数和等于1【答案】（1），；（2）；（3）2，6，12，20，30，42，56，8【分析】（1）规律为分母为两个自然数的乘积，分子是分母乘式中乘数与被乘数的差，其结果为连续的两个自然数的倒数的差，根据规律写出算式即可；（2）根据（1）中的结论计算即可；（3）根据题意设计倒数和为1的8个数即可【详

12、解】解：（1）（2）（3）这8个数为2，6，12，20，30，42，56，8【点睛】本题考查了规律探索问题，有理数的加减混合运算，分式的计算，找到规律是解题的关键15观察下列方程，回答问题的解为x=0的解为x=1 的解为x=2的解为 x=3（1）请直接写出第个方程及它的解；（2）请你写出第 n（n为正整数）个方程，并求出它的解（写出解答过程）【答案】（1），x=4；（2）；x=n-1【分析】（1）根据题意，找到规律即可；（2）根据（1）的规律写出第n（n为正整数）个方程，并解方程即可【详解】（1）观察前4个方程及方程的解，规律为：方程左边的分式是分母不变，分子分别为1,2,3,4故第5个方程左

13、边分式的分子为5分母不变；方程的右边分母不变，分子为左边的2倍，故第5个方程的右边分式的分子为10；所以方程为：方程的解为：x=4；（2）根据（1）中的结论得到第n（n为正整数）个方程为:即：去分母得：化系数为1得：x=n-1当时，是原方程的解【点睛】本题考查了找规律问题，分式方程的解法，根据题意找到规律是解题的关键16观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；根据你观察到的规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式；（2）写出第n个等式，并证明；（3）计算：【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）【分析】（1）根据已知4个等式的数字规律解题；（2）列式计算，找到等

14、式的规律，写出第n个等式，再结合平方差公式即可解题；（3）根据（2）的结论即可计算解题【详解】解：（1）根据已知等式可知：第1个等式，即，第2个等式，即，第3个等式，即，第4个等式，即第5个等式：，即；（2）根据已知等式可知：第1个等式，即，第2个等式，即，第3个等式，即，第4个等式，即第5个等式：，即；第n个等式：；证明：左边右边,故等式成立；（3）【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键17请先阅读下列内容，然后解答问题：因为：，所以：+（1）猜想并写出： ；（为正整数）（2）直接写出下面式子计算结果：+ ；（3）探究并计算

15、：+【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据给出的具体例子，归纳式子特征为：分子为1，分母是两个连续自然数的乘积，等于这两个连续自然数的倒数差，因此猜想第n项可转化为；（2）按照（1）得出的规律，进行计算即可；（3）观察式子的每一项，归纳出：分子为1，分母是两个连续奇数的乘积，第n项可转化为，依次抵消即可求解【详解】解：（1），故答案为：（2）+=，故答案为：（3）原式+ 【点睛】考查了与分式混合运算有关的规律性问题，解决这类题目要找出变化规律，消去中间项，只剩首末两项，使运算变得简单18探究规律：(1)填空：_(2)根据（1）中的填空猜想_（为整数），并说明理由；(3)受上述规律的启

16、发，计算：【答案】(1)(2)，理由见解析(3)【分析】（1）用分式减法法则计算即可；（2）根据（1）进行猜想即可得到答案，然后用分式减法法则计算即可说明理由；（3）运用（2）得到的规律解答即可（1）解：（2）解：，理由如下：（3）解：【点睛】本题主要考查了分式的减法运算、归纳规律以及运用规律，根据分式的加减过程、归纳出规律是解答本题的关键19观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：按照以上规律，解决下列问题：(1)请写出第5个等式_；(2)请写出第个等式，并证明【答案】(1)(2)第个等式为，证明见解析【分析】（1）根据提供的算式写出第5个算式即可；（2）根据规律

17、写出代数式然后证明即可（1）解：根据已知规律，第5个等式为，故答案为：；（2）解：根据题意，第个等式为，证明：右边=左边，等式成立【点睛】本题考查规律探索问题，从特殊的、简单的问题推理到普通的、复杂的问题，从中归纳问题的规律，体现了逻辑推理与数学运算的核心素养20观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；按照以上规律，解答下列问题：(1)写出第5个等式： ；(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明【答案】(1)(2)，证明过程见详解【分析】（1）根据题目中前4个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第5个等式；（2）把上面发现的规律用字母n表

18、示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可(1)第五个等式为：，故答案为：；(2)根据（1）所得到的规律，猜想：；证明：，即：右边=左边，故猜想成立，故答案为：【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性21观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：_；(2)写出你猜想的第n个等式_（用含n的等式表示），并证明【答案】(1)(2)，见解析【分析】（1）根据题目中的等式，可以写出第6个等式；（2）根据题目中的等

19、式，可以写出第n个等式，然后根据分式的乘除法，以及平方差公式因式分解，可以将等号左边的式子化简，从而可以证明结论成立【详解】（1）解：由题意可得，第6个等式：，故答案为：；（2）解：猜想：第n个等式是：，证明： ，成立【点睛】本题考查数字的变化类规律探究，分式乘除法，掌握发现数字的变化特点，写出相应的式子分式乘除法法则，平方差公式，规律探究的方法是解题关键22观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第7个等式： ；(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明【答案】(1)；(2)，证明见解析【分析

20、】（1）通过观察发现：左边的分数中分子是1，第一个分数的分母是从1开始的整数，第二个分数的分母是212-1，222-1，232-1，右边分数分子是1，分母是从1开始的奇数，由此可得一般规律；（2）根据（1）发现的规律，写出含n的等式并证明即可(1)解：左边的分数中分子是1，第一个分数的分母是从1开始的整数，第二个分数的分母是212-1，222-1，232-1，右边分数分子是1，分母是从1开始的奇数，据此可得第7个等式是：，故答案为：；(2)由（1）总结出第n个等式：，证明：故答案为：【点睛】本题考查分式中数字的变化规律和分式的加减法，通过观察所给的式子，找到式子的特点，得出一般规律是解题的关键

21、23观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：_(2)写出你猜想的第n个等式_（用含n的等式表示），并证明【答案】(1)(2)，验证见解析【分析】（1）根据所给等式写出第5个等式即可；（2）由所给等式可知，第n个等式的等号左边第一个加数的分母为n，分子是1，第二个加数的分母是n+2，分子是2，然后再加上这两个数积的2倍，等号右边的分母是n，分子是3；然后利用分式的运算法则进行计算，得出相等即可(1)解：由题意得，第5个等式为：；(2)解：第n个等式为：，左边：右边，左边=右边，等式成立【点睛】本题考查了分式的规律问题，分式的化简，找出变化规律是解题的关键