专题37 几何动态性问题之动图问题（解析版）.docx

1、专题37 几何动态性问题之动图问题（解析版）类型一 动直线问题1（2022肥东县校级模拟）如图，在菱形ABCD中，连接AC，AB5，AC8，垂直于AC的直线l从点A出发，按AC的方向平移，移动过程中，直线l分别交AB（BC），AC，AD（DC）于点E，G，F，直到点G与点C重合，记直线l的平移距离为x，AEF的面积为S，则S随x变化的函数图象大致为（）ABCD思路引领：分两种情况，由三角形的面积公式列出S关于x的函数解析式即可，解：连结BD交AC于O，AC，BD是菱形的对角线，BDAC，AOOC=12AC4，BD2BO2AB2AO2=25242=6，当EF在BD左侧时，如图所示：EFAC，EF

2、BD，AEFABD，AGAO=EFBD，EF=AGBDAO=32x，S=12AGEF=12x32x=34x2，当0x4时，图象是开口向上的抛物线，且S随x的增大而增大；当EF在BD右侧时，如图所示：AGx，CG8x，EFBD，CEFCBD，EFBD=CGCO，EF=CGBDCO=6(8x)4=32（8x），S=12AGEF=12x32（8x）=34x26x，当4x8时，图象是开口向下的抛物线，且S随x的增大而增大故选：A总结提升：本题考查动点问题的函数图象，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是根据三角形的面积公式列出函数解析式2（2022春南安市期中）如图1，在四边形ABCD中，ADBC

3、，直线lAB，当直线l沿射线BC的方向从点B开始向右平移时，直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E，F设直线l向右平移的距离为x，线段EF的长为y，且y与x的函数关系如图2所示下列结论：BC的长为5；AB的长为23；当4x5时，BEF的面积不变；ACD的面积为332，其中正确的结论是 （填写序号）思路引领：分别研究直线l平移的位置的三种情况，线段l与四边形ABCD的位置，结合函数图象进而求解解：从图2知：当4x5时，y的值不变，相应的对应图1是：直线EF从过点A开始到经过C点结束，EF的值不变，即当BE4，BE经过点A，当BE5时，EF经过点C，BC5，正确；从图1，BE14，E1F12，B

4、F1E190，AB=4222=23，正确；当4x5时，如图3，SBEF=12BEFH，FH不变，BE变化，BEF的面积变化，故结论不正确；由函数图象可知AD734，由上可知FH=2324=3，ACD的面积为1243=23，故不正确；故答案为：总结提升：本题考查了动点问题的函数图象，图形的实际运动和其对应的函数图象问题，解决问题的关键是找出函数图象上关键点对应的实际图形的位置3（2022思明区校级二模）如图，四边形ABCD是矩形，平移线段AB至EF，其中点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，且点E恰好落在边BC上（1）若AFDF，求证：点E为BC中点；（2）若BCkAB，2k2，是否存在BFC

5、90？请说明理由思路引领：（1）根据矩形的性质证明BAFCDF（SAS），可得BFCF，再根据等腰三角形的性质即可解决问题；（2）证明BEFFEC，设BEx，则CEBCBEkABx，然后根据一元二次方程的根的情况即可解决问题解：（1）四边形ABCD是矩形，ABCD，BADADCABC90，AFDFBAFCDF，在BAF和CDF中，AB=CDBAF=CDFAF=DF，BAFCDF（SAS），BFCF，由平移可知：EFAB，BEFABC90，EFBC，点E为BC的中点；（2）BCkAB，2k2，不存在BFC90，理由如下：若BFC90，则FBC+FCB90，由平移可知：EFAB，EFAB，BEFA

6、BC90，EFBC，BEFCEF90，FBC+BFE90，BFEFCB，BEFFEC，BEEF=EFCE，EF2BECE，BCkAB，设BEx，则CEBCBEkABx，AB2x （kABx），整理，得：x2kABx+AB20，（kAB）241AB2（k24）AB2，当2k2时，k240，（k24）AB20，一元二次方程没有实数根，当BCkAB，2k2，不存在BFC90总结提升：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平移的性质，解决本题的关键是得到BEFFEC4（2021春东港区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（12，

7、0），（12，6），直线y=32x+b（b0）与y轴交于点P，与边OA交于点D，与边BC交于点E（1）若直线y=32x+b（b0）平分矩形OABC的面积，求b的值；（2）在（1）的条件下，过点P的直线，与直线BC和x轴分别交于点N、M问：是否存在ON平分CNM的情况？若存在，求线段DM的长，若不存在，请说明理由（3）将（1）中的直线沿y轴向下平移a个单位得到新直线l，矩形OABC沿平移后的直线折叠，若点O落在边BC上的F处，CF9，求出a的值思路引领：（1）根据直线y=32x+b（b0）平分矩形OABC的面积，则直线必过矩形的中心，求出中心坐标代入即可；（2）假设存在ON平分CNM，过点O作O

8、HMN于H，利用角平分线的性质得OHOC6，从而OPN30，则OMOPtan3043，分两种情形，当PM与线段BC，OA交于N，M时，利用DMODOM即可，当PM与直线BC，OA交于N，M时，则DMOD+OM；（3）设平移后的直线y=32x+m，在RtCPF中，借助勾股定理得方程（m6）2+92m2，解方程即可解：（1）直线y=32x+b（b0）平分矩形OABC的面积，直线过矩形的中心，B（12，6），矩形中心为（6，3），326+b3，解得b12；（2）如图，假设存在ON平分CNM的情况，当PM与线段BC，OA交于N，M时，过点O作OHMN于H，ON平分CNM，OCBC，OHMN，OHOC6

9、，OP12，OPN30，OMOPtan3043，当y0时，32x+12=0，解得x8，OD8，DMODOM843；当PM与直线BC，OA交于N，M时，如图，同理可得，此时DMOD+OM8+43，综上：存在ON平分CNM的情况，此时DM843或8+43；（3）设平移后的直线y=32x+m与y轴交于点P，沿此直线折叠，点O的对应点恰好落在BC边上F处，连接PF，OF，则有OPPFm，CPm6，在RtCPF中，由勾股定理得：（m6）2+92m2，解得m=394，PP12394=94，a=94总结提升：本题是一次函数综合题，主要考查了矩形的性质，翻折的性质，角平分线的性质等知识，运用分类讨论思想是解题

10、的关键，题目综合性较强类型二 动三角形问题5（2022黑山县一模）如图，等边ABC的顶点C和DEFG的顶点D重合，且BC和DE在同一条直线上，AB2，DG2，DE3，GDE60现将ABC沿DE的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点B与点E重合时停止运动，在这个运动过程中，ABC与四边形DEFG的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系的图象大致是（）ABCD思路引领：分三种情况：0t2时，由重叠部分为边长为t的等边三角形可得S=34t2；2t3时，由重叠部分即为ABC得S=3422=3；3t5时由重叠部分是SABCSHEC且HEC边长为t3可得S=34t2+332t534，据此可得答案解：

11、当0t2时，如图1，由题意知CDt，HDCHCD60，CDH是等边三角形，则S=34t2；当2t3时，如图2，S=3422=3；当3t5时，如图3，根据题意可得CECDDEt3，CHEC60，CEH为等边三角形，则SSABCSHEC=342234（t3）2=34t2+332t534；综上，0t2时函数图象是开口向上的抛物线的一部分，2t3时函数图象是平行于x轴的一部分，当3t5时函数图象是开口向下的抛物线的一部分；故选：D总结提升：本题主要考查动点问题的函数图象，根据重叠部分形状的变化情况分类讨论是解题的关键6（2021春汉阴县月考）如图，在三角形ABC中，ABC90，BC11，把三角形ABC

12、向下平移至三角形DEF后，ADCG6，则图中阴影部分的面积为 思路引领：先根据平移的性质得到ADBE6，EFBC11，SABCSDEF，则BG5，由于S阴影部分S梯形BEFG，所以利用梯形的面积公式计算即可解：三角形ABC向下平移至三角形DEF，ADBE6，EFBC11，SABCSDEF，BGBCCG1165，S梯形BEFG=12（5+11）648，S阴影部分+SDBGSDBG+S梯形BEFG，S阴影部分S梯形BEFG48故答案为48总结提升：本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点

13、移动后得到的，这两个点是对应点连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等7（2021仪征市二模）如图，RtABCRtFDE，ABCFDE90，BAC30，AC4，将RtFDE沿直线l向右平移，连接BD、BE，则BD+BE的最小值为 思路引领：根据平面直角坐标系，可以假设E（m，3），则D（m+1，23），则BD+BE=(m+1)2+(23)2+m2+(3)2，欲求BD+BE的最小值，相当于在x轴上找一点R（m，0），使得R到M（1，23），N（0，3）的距离和的最小值，如图1中，作点N关于x轴的对称点N，连接MN交x轴题意R，连接RN，此时RM+RN的值最小，最小值MN的长解：建立如图坐标系，在

14、RtABC中，ABC90，AC4，BAC30，BC=12AC2，AB=3BC23，斜边AC上的高=2234=3，ABCFDE，EFAC4，斜边EF上的高为3，可以假设E（m，3），则D（m+1，23），BD+BE=(m+1)2+(23)2+m2+(3)2，欲求BD+BE的最小值，相当于在x轴上找一点R（m，0），使得R到M（1，23），N（0，3）的距离和的最小值，如图1中，作点N关于x轴的对称点N，连接MN交x轴题意R，连接RN，此时RM+RN的值最小，最小值MN=12+(33)2=27，BD+BE的最小值为27，故答案为：27总结提升：本题考查轴对称最短问题，平面直角坐标系，勾股定理等知识

15、，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题8（2022春古县期末）如图，ABC中，AC2，BC3，ACB90，把ABC沿CB所在的直线平移使点C与点B重合得到EBD，连接CE，则CED的面积是 思路引领：根据平移的性质推知CD2BC6，ACEB2，利用三角形的面积公式求解即可解：由平移性质知：ACBEBD90，CD2BC6，ACEB2，则CED的面积为：12CDEB=1262=6故答案是：6总结提升：本题主要考查了平移的性质，平移时，新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点连接各组对应点的线段平行且相等9（2022春和平区期末）如图，点A为x

16、轴负半轴上点，过点A作ABx轴，与直线yx交于点B，将ABO沿直线yx平移32个单位长度得到ABO，若点A的坐标为（2，0），则点B的坐标是 思路引领：求得B的坐标，根据题意，将ABO向右平移3个单位，向上平移3个单位得到ABO，从而得到B的坐标为（2+3，2+3），即B（1，1）解：点A的坐标为（2，0），ABx轴，与直线yx交于点B，B（2，2），将ABO沿直线yx向上平移32个单位长度得到ABO，实质上是将ABO向右平移3个单位，向上平移3个单位，B的坐标为（2+3，2+3），即B（1，1），故答案为：（1，1）总结提升：本题主要考查了一次函数的图象与几何变换，点的平移问题，能根据题意得

17、出平移的实质是本题的关键10（2022春鹿城区校级期中）如图，直角三角形ABC的边长AB6cm，AC4cm，将三角形ABC平移得到三角形A1B1C1，边A1B1分别交AC，BC于点E，F，当点E为AC中点时，此时A1EFB11.5cm，则图中阴影部分的面积为 cm2思路引领：根据平移的性质可得S阴影S梯形ABFE，结合三角形的中位线可求解EF，AE的长，再利用图形的面积公式计算可求解解：由平移可知：ABCA1B1C1，EFAB，SABC=SA1B1C1，S阴影S梯形ABFE，点E是AC的中点，AB6cm，AC4cm，EF是ABC的中位线，AE=12AC2cm，EF=12AB3cm，S阴影S梯形

18、ABFE=12(EF+AB)AE=12(3+6)2=9（cm2）故答案为：9总结提升：本题主要考查平移的性质，梯形，三角形的中位线，由平移的性质得S阴影S梯形ABFE是解题的关键11（2018秋太原期末）如图，菱形纸片ABCD中，AB5，BD6，将纸片沿对角线BD剪开，再将ABD沿射线BD的方向平移得到ABD，当ACD是直角三角形时，ABD平移的距离为 思路引领：分两种情形分别求解即可解决问题解：当CDA90时，连接AC交BD于O四边形ABCD是菱形，ABADBCCD5，OBOD3，BCADAD，BCDBOC90，CBOCBD，CBODBC，BC2BOBD，BD=253，DDBDBD=73，当

19、CAD90时，易知BD2BD=503，DD=5036=323，ABD平移的距离为73或323故答案为：73或323总结提升：本题考查菱形的性质，平移变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型12（2019宁夏）将直角三角板ABC按如图1放置，直角顶点C与坐标原点重合，直角边AC、BC分别与x轴和y轴重合，其中ABC30将此三角板沿y轴向下平移，当点B平移到原点O时运动停止设平移的距离为m，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为s，s关于m的函数图象（如图2所示）与m轴相交于点P（3，0），与s轴相交于点Q（1）试确定三角板ABC的面积；（2）求平移前AB边所在直线

20、的解析式；（3）求s关于m的函数关系式，并写出Q点的坐标思路引领：（1）与m轴相交于点P（3，0），可知OB=3，OA1；（2）设AB的解析式ykx+b，将点B（0，3），A（1，0）代入即可；（3）在移动过程中OB=3m，则OAtan30OB=33（3m）133m，所以s=12（3m）（133m）=36m2m+32，（0m3）；当m0时，s=32，即可求Q（0，32）解：（1）与m轴相交于点P（3，0），OB=3，ABC30，OA1，S=1213=32；（2）B（0，3），A（1，0），设AB的解析式ykx+b，b=3k+b=0，k=3b=3，y=3x+3；（3）在移动过程中OB=3m，则O

21、Atan30OB=33（3m）133m，s=12（3m）（133m）=36m2m+32，（0m3）当m0时，s=32，Q（0，32）总结提升：本题考查直角三角形平移，一次函数的性质；能够通过函数图象得到B（0，3）是解题的关键13（2019秋南岗区校级月考）如图，三角形ABC的三个顶点坐标分别是：A（0，6）、B（0，0）、C（12，0），直线AC上的点的横坐标x、纵坐标y满足x+2y12（1）如图1，三角形ABC经平移变换后得到三角形A1B1C1，三角形ABC内任意一点M（x，y），在三角形A1B1C1内的对应点是M（x+2，y+1）请直接写出此时点A1、B1、C1的坐标；（2）如图2，在（

22、1）的条件下，若三角形A1B1C1的两条直角边A1B1、B1C1分别与AC交于点M、N，求此时图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，延长A1C1交x轴于点D（16，0），在x轴上有一动点P，从点D出发，沿着x轴负方向以每秒两个单位长度运动，连接PM，PN，若点P的运动时间是t，是否存在某一时刻，使三角形PMN的面积等于阴影部分的面积的14，若存在，求出t值和此时DP的长；若不存在，说明理由思路引领：（1）根据平移的性质即可求解；（2）阴影部分的面积A1B1C1的面积MNB1的面积ABC的面积MNB1的面积，即可求解；（3）利用SPMNSHNP+SHNM=1420，即可求解解：（1）点M（

23、x，y）平移后对应点是M（x+2，y+1），则三角形ABC向右平移了2个单位向上平移了1个单位，故点A、B、C均向右平移了2个单位向上平移了1个单位，故A1、B1、C1的坐标分别为（2，7）、（2，1）、（14，1）；（2）点M和点B1的横坐标相同，将x2代入x+2y12，解得：y5，故点M（2，5），同理可得点N（10，1），则MB1514，NB11028，图中阴影部分的面积A1B1C1的面积MNB1的面积ABC的面积MNB1的面积=12612124820；（3）存在，理由：设直线MP交直线B1C1于点H，点P的运动时间是t，则点P（162t，0），而点M（2，5），设直线PM的表达式为yk

24、x+b，则5=2k+b0=(162t)k+b，解得k=52t14b=10t802t14，故PM的表达式为y=52t14（x16+2t），当y1时，则y=52t14（x16+2t）1，解得：x=668t5，即点H（668t5，1），则HN|668t510|168t5|，SPMNSHNP+SHNM=12HN（yMyP）=12|168t5|5=1420，解得：t=98（舍去）或418，故t=418，此时PD2t=414总结提升：本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、图形的平移、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中类型三 动矩形问题14（2019青岛模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形

25、ABOC的两边在坐标轴上，OB1，点A在函数y=2x（x0）的图象上，将此矩形向右平移3个单位长度到A1B1O1C1的位置，此时点A1在函数y=kx（x0）的图象上，C1O1与此图象交于点P，则点P的纵坐标是（）A53B34C43D23思路引领：先求出A点坐标，再根据图形平移的性质得出A1点的坐标，故可得出反比例函数的解析式，把O1点的横坐标代入即可得出结论解：OB1，ABOB，点A在函数y=2x（x0）的图象上，当x1时，y2，A（1，2）此矩形向右平移3个单位长度到A1B1O1C1的位置，B1（2，0），A1（2，2）点A1在函数y=kx（x0）的图象上，k4，反比例函数的解析式为y=4x

26、，O1（3，0），C1O1x轴，当x3时，y=43，P（3，43）故选：C总结提升：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键15（2022秋颍州区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx（x0）的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且AB2，AD4，点A的坐标为（2，6）将矩形向下平移，若矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，则矩形的平移距离a的值为（）Aa2.5Ba3Ca2Da3.5思路引领：平移后只能A、C同时落在反比例函数图象上，平移后A（2，6a） C（6，4a），列得a2（6a）6（4

27、a），计算可得解：平移后只能A、C同时落在反比例函数图象上，平移后A（2，6a），C（6，4a），a2（6a）6（4a），a3，故选：B总结提升：此题考查了反比例函数图象上点的坐标符合解析式的特点，正确理解点平移的规律列得方程是解题的关键16（2022惠阳区二模）在EFG中，G90，EG=FG=22，正方形ABCD的边长为1，将正方形ABCD和EFG如图放置，AD与EF在一条直线上，点A与点E重合现将正方形ABCD沿EF方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点A与点F重合时停止在这个运动过程中，正方形ABCD和EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）ABCD思路引领：分0t1、1t

28、2、2t3、3t4分别求出函数表达式即可求解解：EG=FG=22，则EF4，当0t1时，如图1，设AB交EG于点H，则AEtAH，S=12AEAH=12t2，函数为开口向上的抛物线，当t1时，y=12；当1t2时，如图2，设直线EG交BC于点G，交CD于点H，则EDAEADt1HD，则CHCDHD2tCG，SS正方形ABCDSCGH112CHCG112（2t）2，函数为开口向下的抛物线，当t2时，y1；当2t3时，SS正方形ABCD1，当3t4时，同理可得：S112（t3）2，为开口向下的抛物线；故选：C总结提升：本题考查动点问题的函数过图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答1

29、7（2021春河东区校级期末）已知，大正方形的边长为4厘米，小正方形的边长为2厘米，起始状态如图大正方形固定不动，把小正方形以1厘米秒的速度向右沿直线平移，设平移的时间为t秒，两个正方形重叠部分的面积为S平方厘米完成下列问题：（1）平移1.5秒时，S为 平方厘米；（2）当2t4时，小正方形的一条对角线扫过的图形的面积为 平方厘米；（3）当S2时，小正方形平移的距离为 厘米思路引领：（1）1.5秒时，小正方形向右移动1.5厘米，即可计算出重叠部分面积；（2）画出图形，计算所得图形面积即可；（3）小正方形的高不变，根据面积即可求出小正方形平移的距离解：（1）1.5秒时，小正方形向右移动1.5厘米，

30、S21.53平方厘米；（2）如图所示，小正方形的一条对角线扫过的面积为红色平行四边形，面积为224平方厘米；（3）S等于2时，重叠部分宽为221，如图，小正方形平移距离为1厘米；如图，小正方形平移距离为4+15厘米故答案为3；4；1或5总结提升：此题考查了平移的性质，要明确：平移前后图形的形状和面积不变画出图形即可直观解答18（2021秋高州市期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，ABO30，矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD2（1）如图，求点E的坐标；（2）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形CODE，点D，O，C，E的对应点

31、分别为C，O，D，E设OOt，矩形CODE与ABO重叠部分的面积为s如图，当矩形CODE与ABO重叠部分为五边形时，CE、DE分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示s，并直接写出t的范围思路引领：（1）由已知得出ADOAOD4，再由含30角的直角三角形的性质得AE2AD8，由勾股定理得出ED43，即可得出答案；（2）由平移的性质得：OD2，ED43，MEOOt，DEOCOB，则EFMABO30，再由含30角的直角三角形的性质得MF2ME2t，FE=3t，求出SMFE=123t2，S矩形CODE83，即可得出答案解：（1）由点A（6，0）得OA6，又OD2，ADOAOD4，在矩形CODE

32、中，由DECO，得AEDABO30，在RtAED中，AE2AD8，由勾股定理得：ED=AE2AD2=43，又CO43，点E的坐标为（2，43）；（2）由平移可知，ODOD2，EDED43，MEOOt由EDBO，得EFMABO30，在RtMFE中，MF2ME2t由勾股定理得FE=MF2ME2=3t，SMFE=12MEFE=12t3t=32t2，S矩形CODE=ODED=83，s=32t2+83（0t2）总结提升：本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、含30角的直角三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握矩形的性质和直角三角形的性质是解题的关键19（2020吉林一模）如图，一

33、条顶点坐标为（1，163）的抛物线与y轴交于点C（0，5），与x轴交于点A和点B，有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N，交x轴于点E和F（1）求抛物线的解析式；（2）当点M和N都有在线段AC上时，连接MF，如果MF=102AF，求点Q的坐标；（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标思路引领：（1）设抛物线为 y=a(x+1)2+163，把点（0，5）代入即可解决问题（2）作FDAC于D，设AFm，则MF=102m，ME=AE=m+1，列出方程求出m的值即可解决问题（3

34、）设F（t，0），E（t+1，0），N（t，t+5），M（t+1，t+6），Q(t，13t223t+5)，P(t+1，13t243t+4)当MN是对角线时，由QNPM，列出方程即可解决问题点 Q，P在直线 AC异侧时，QNMP，解方程即可解：（1）根据题意，抛物线顶点为(1，163)，设抛物线为 y=a(x+1)2+163抛物线过点 C（0，5），a=13，抛物线解析式为y=13(x+1)2+163=13x223x+5（2）易得：A（5，0），B（3，0）如图，作FDAC于D，OA5，OC5，CAO45设AFm，则MF=102m，ME=AE=m+1在MEF中，FM2ME2+EF2，(102m)

35、2=(m+1)2+12，解得m1=2，m2=23（不符合题意，舍去）AF2，点 Q的横坐标为3又点 Q在抛物线 y=13(x+1)2+163上，Q（3，4），（3）设直线 AC的解析式 ykx+n，由题意，得5k+n=0n=5解得：k=1n=5直线 AC的解析式 yx+5由已知，点 Q，N，F及点 P，M，E横坐标分别相同设F（t，0），E（t+1，0），N（t，t+5），M（t+1，t+6），Q(t，13t223t+5)，P(t+1，13t243t+4)在矩形平移过程中，以P，Q，N，M为顶点的平行四边形有两种情况：点Q，P在直线 AC同侧时，QNPM(13t223t+5)(t+5)=(13

36、t243t+4)(t+6)，解得：t3M（2，3）点 Q，P在直线 AC异侧时，QNMP(13t223t+5)(t+5)=(t+6)(13t243t+4)，解得 t1=3+6，t2=36，M(2+6，3+6)，或(26，36)符合条件的点 M是 （2，3），(2+6，3+6)，或(26，36)总结提升：本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题20（2022秋和平区校级月考）如图1，在坐标系中的ABC，点A、B在x轴，点C在y轴，且ACB90，B30，AC4，D是AB的中点（1）求

37、直线BC的表达式（2）如图2，若E、F分别是边AC，CD的中点，矩形EFGH的顶点都在ACD的边上请直接写出下列线段的长度：EF ，FG将矩形EFGH沿射线AB向右平移，设矩形移动的距离为m，矩形EFGH与CBD重叠部分的面积为S，当S=34时，请直接写出平移距离m的值（3）如图3，在（2）的条件下，在矩形EFGH平移过程中，当点F在边BC上时停止平移，再将矩形EFGH绕点G按顺时针方向旋转，当点H落在直线CD上时，此时矩形记作E1F1GH1，由H1向x轴作垂线，垂足为Q，则H1QH1G= 思路引领：（1）根据含30直角三角形的三边关系和待定系数法可得出直线BC的解析式；（2）根据已知，由直角

38、三角形的性质可知AB8，从而求得AD，CD，利用中位线的性质可得EF，DF，利用三角函数可得GF；首先利用分类讨论的思想，分析当0m1，当1m2，当2m3，当3m4，当4m5，当5m7，当列出方程解得m；（3）根据题意，需要分两种情况：当点H1在线段CD上时，作H1QAB于Q，设DQt，则H1Q=3t，又DG1，H1G2，利用勾股定理可得t，在RtQH1G中，利用三角函数解得H1QH1G当点H1在CD的延长线时，方法同上解：（1）在ABC中，ACB90，B30，AC4，AB8，AC4，AOC90，OA2，OC23，OB6，C（0，23），B（6，0），直线BC的解析式为：y=33x+23（2）

39、D是AB的中点，AD4，CD=12AB4，又EF是ACD的中位线，EFDF2，在ACD中，ADCD，A60，ADC60，在FGD中，GFDFsin60=3，故答案为：2；3；当0m1时，如图1，FNm，FNMADC60FM=3x，S=12m3m=32m2，令32m2=34，解得m=22（负值舍去）；当1m2时，如图2，FNm，DGm1，重叠部分的面积S=12（DG+FN）FG=12（m1+m）3=32（2m1）；令32（2m1）=34，解得m=34，舍去；当2m3时，如图3，S=32（2m1）1233（m2）2=34，解得m5662（不合题意，舍）；当3m4时，如图4，S231233（m2）2

40、=34，解得m2422（不合题意，舍）；当4m5时，如图5，S=36（7m）236（5m）2=34，解得m=458（不合题意，舍）；当5m7时，如图6，S=36（7m）2=34，解得m762或m7+62（舍）；综上，符合题意的m的值为22或762（3）当点H1在线段CD上时，如图7，设DQt，则H1Q=3t，DG1，H1G2，GQt+1，在RtH1QG中，根据勾股定理得，H1Q2+GQ2H1G2，3t2+（t+1）24，解之得t=1314（负的舍去），QG1+1314=13+34，H1Q=3t=3934，H1QH1G=39342=3938当点H1在CD的延长线上时，如图8，设GQn，DQn+1

41、，H1Q=3（n+1），在RtH1QG中，根据勾股定理得，H1Q2+GQ2H1G2，3（n+1）2+n24，解之得n=1334（负的舍去），QG=3（n+1）=39+34，H1QH1G=39+342=39+38故答案为：3938或39+38总结提升：本题是一次函数背景下四边形综合题，主要考查了直角三角形的性质，矩形的性质，中位线的性质和三角函数定义等，利用分类讨论的思想，构建直角三角形是解答此题的关键21（2021成都自主招生）如图已知直线l1：y=23x+83与直线l2：y2x+16相交于点C，l1，l2分别交x轴于A，B两点，矩形DEFG的顶点D，E分别在直线l1，l2上，顶点F，G都在x

42、轴上，且点G与点B重合（1）求矩形DEFG的边DE与EF的长和点G的坐标；（2）若矩形DEFG从原位置出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0t12）秒，矩形DEFG与ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求S的最大值和取得最大值时t的值思路引领：（1）把y0代入l1解析式求出x的值便可求出点A的坐标令x0代入l2的解析式求出点B的坐标已知xDxB8易求D点坐标又已知yEyD8可求出E点坐标故可求出DE，EF的长（2）作CMAB于M，证明RtRGBRtCMB利用线段比求出RG2t又知道SSABCSBRGSAFH，根据三角形面积公式可求出S关于t的函数关

43、系式解：（1）由23x+83=0，得x4A点坐标为（4，0），由2x+160，得x8B点坐标为（8，0），点G与点B重合点G的坐标为（8，0），点D在l1上且xDxB8，yD=238+83=8，D点坐标为（8，8），又点E在l2上且yEyD8，2xE+168，xE4，E点坐标为（4，8），DE844，EF8；（2）由直线l1：y=23x+83与直线l2：y2x+16相交于点C，23x+83=2x+16，解得x5，C点坐标为（5，6），SABC=12AByC=12（4+8）636当0t3时，如图1，矩形DEFG与ABC重叠部分为五边形CHFGR（t0时，为四边形CHFG）过C作CMAB于M，则R

44、tRGBRtCMB，BGBM=RGCM，即t85=RG6，RG2t，RtAFHRtAMC，FHCM=AFAM，即FH6=4+4t4+5，FH=23（8t），SSABCSBRGSAFH3612t2t12（8t）23（8t）=43t2+163t+443=43（t2）2+20当t2时，S的最大值为20，即S=43t2+163t+443（0t3）；当3t8时，如图2所示，矩形DEFG与ABC重叠部分为梯形HFGR，由知，HF=23（8t），RtAGRRtAMC，RGCM=AGAM，即RG6=4+8t4+5，RG=23（12t），S=12（HF+RG）FG=1223（8t）+23（12t）4，即S=83

45、t+803（3t8），830，当t3时，S的最大值为833+803=563；当8t12时，如图3所示，矩形DEFG与ABC重叠部分为AGR，由知，AG12t，RG=23（12t），S=12AGRG=12（12t）23（12t）即S=13（12t）2（8t12），当t8时，S的最大值为=13（128）2=163；S=13t28t+48（8t12）综上所述，S关于t的函数关系式为S=83t+803（3t8），S=83t+803（3t8），S=13t28t+48（8t12），S的最大值为20，取得最大值时t的值为2总结提升：此题是一次函数综合题，主要考查了矩形的性质，平移的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积、梯形的面积公式，画出图形，利用分类讨论思想和数形结合思想是解本题的关键，也是解本题的难点