专题39 分式方程-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（解析版）.docx

1、专题39 分式方程一、解复杂分式方程【典例】计算（1）x2x+y-x+y；（2）1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+1(x+2005)(x+2006)【解答】解：（1）x2x+y-x+y，=x2x+y-x2-y2x+y，=y2x+y；（2）1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+1(x+2005)(x+2006)，=1x-1x+1+1x+1-1x+2+1x+2005-1x+2006，=1x-1x+2006，=2006x(x+2006)【巩固】实数x与y使得x+y，xy，xy，xy四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x，y）【解答】解：由题意知y0，此时x+yxy，依题意

2、，有x+y=xy=xy或x-y=xy=xy，、当x+y=xy=xy时，即x+y=xyxy=xy由得，y1，将y1代入得，x+1x，此等式不成立，将y1代入得，x1x，x=12，即x=12y=-1.、当x-y=xy=xy时，即x-y=xy(1)xy=xy(2)由（2）得，y1，将y1代入（1）得，x1x，此等式不成立，将y1代入（1）得，x+1x，x=-12，即x=-12y=-1故满足条件的数对（x，y）为（12，1）和（-12，1）二、求分式方程的取值范围【典例】若以x为未知数的方程1x-1-a2-x=2(a+1)x2-3x+2无解，则a 【解答】解：去分母得：x2+a（x1）2（a+1）解得

3、：x=3a+4a+1当a+10即a1时，方程无解根据题意得：3a+4a+1=1时，解得a=-32；当3a+4a+1=2时，解得：a2故答案是1或-32或2【巩固】若关于x的方程k(x-1)x+2k+1x2+x=1+2kx+1有且只有一个实数根，求实数k的所有可能值【解答】解：k(x-1)x+2k+1x2+x=1+2kx+1两边同时乘以x（x+1）得：k（x1）（x+1）+2k+1x（x+1）+2kx整理得：（k1）x2（2k+1）x+k+10（1）当k1时，原方程可变为：3x+20解得：x=23经检验，x=23是原分式方程的唯一实数根，符合题意（2）当k1时，关于x的方程（k1）x2（2k+1

4、）x+k+10是一元二次方程，原分式方程有且只有一个实数根，（2k+1）24（k1）（k+1）0解得k=-54将k=-54代入方程得：-94x2+32x-14=0解得：x1x2=13经检验，x=13是原分式方程的唯一实数根，符合题意当0时，则方程必有一个实数根为0或1把x0代入，可得k1，此时方程为2x2+x0，解得x0或12，经检验x=12是方程的解把x1代入，可得k=-14，此时方程为5x2+2x30，解得x1或35，经检验x=35是方程的解，综上，实数k的所有可能值为1或-54或0或1三、分式方程的应用【典例】为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书

5、花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本（1）求这两种图书的单价分别是多少元？（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？【解答】解：（1）设“文学类”图书的单价为x元/本，则“科普类”图书的单价为（1+20%）x元/本，依题意：3600(1+20%)x-20=2700x，解之得：x15经检验，x15是所列方程的根，且符合题意，所以（1+20%）x18答：科普类书单价为18元/本，文学类书单价为15元/本；（2）

6、设“科普类”书购a本，则“文学类”书购（100a）本，依题意：18a+15（100a）1600，解之得：a1003因为a是正整数，所以a最大值33答：最多可购“科普类”图书33本【巩固】某工厂急需生产一批健身器械共500台，送往销售点出售当生产150台后，接到通知，要求提前完成任务，因而接下来的时间里每天生产的台数提高到原来的1.4倍，一共用8天刚好完成任务（1）原来每天生产健身器械多少台？（2）运输公司大货车数量不足10辆，小货车数量充足，计划同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输已知每辆大货车一次可以运输健身器械50台，每辆车需要费用1500元；每辆小货车一次可以运输健身器械20台，

7、每辆车需要费用800元在运输总费用不多于16000元的前提下，请写出所有符合题意的运输方案？哪种运输方案的费用最低，最低运输费用是多少？【解答】解：（1）设原来每天生产健身器械x台，则提高工作效率后每天生产健身器械1.4x台，依题意得：150x+500-1501.4x=8，解得：x50，经检验，x50是原方程的解，且符合题意答：原来每天生产健身器械50台（2）设使用m辆大货车，使用n辆小货车，同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输，50m+20n500，n25-52m又运输公司大货车数量不足10辆，且运输总费用不多于16000元，m101500m+800n16000，即m101500m+

8、800(25-52m)16000，解得：8m10又m为整数，m可以为8，9当m8时，n25-52m25-5285；当m9时，n25-52m25-529=52，又n为整数，n的最小值为3共有2种运输方案，方案1：使用8辆大货车，5辆小货车；方案2：使用9辆大货车，3辆小货车方案1所需费用为15008+800516000（元），方案2所需费用为15009+800315900（元）1600015900，运输方案2的费用最低，最低运输费用是15900元巩固练习1若数a使关于x的不等式组x-121+x3，5x-2x+a有且只有四个整数解，且使关于y的分式方程y+ay-1+2ay-1=1的解为非负数，则符

9、合条件的所有整数a的和为（）A3B2C1D2【解答】解：解不等式x-121+x3，得x5解不等式5x2x+a，得xa+24由不等式组有且仅有4个整数解，得到0a+241，解得2a2解分式方程y+ay-1+2a1-y=2，得y2a（y1，即a1）关于y的方程y+ay-1+2a1-y=2的解为非负数，2a0，a2，满足条件的a的值为1、0、2，满足条件的整数a的值之和是1+0+21故选：C2若关于x的方程x+2x=c+2c的两个解是xc，x=2c，则关于x的方程的x+2x-1=a+2a-1的解是（）Aa，2aBa1，2a-1Ca，2a-1Da，a+1a-1【解答】解：x+2x-1=a+2a-1即x

10、1+2x-1=a1+2a-1则x1a1或2a-1解得：x1a，x2=2a-1+1=a+1a-1故选：D3已知关于x的分式方程xx-2-3=k2-x的解为正数，则k的取值范围是（）Ak6Bk2Ck6且k2Dk6且k2【解答】解：分式方程xx-2-3=k2-x，去分母得：x3（x2）k，去括号得：x3x+6k，解得：x=6+k2，由分式方程的解为正数，得6+k20，且6+k22，解得：k6且k2故选：C4对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号mina，b表示a，b中较小的数，如：min3，53按照这个规定，方程min2，3=3x-2-x2-x的解为（）A2B3C13D34【解答】解：由题意：3=

11、3x-2-x2-x，两边乘x2得到：3x+63+x解得：x=34，经检验：x=34是分式方程的解故选：D5已知关于x的方程x-1x-2-xx+1=ax+1x2-x-2无解，则a的值为 【解答】解：x-1x-2-xx+1=ax+1x2-x-2，（x+1）（x1）x（x2）ax+1，关于x的方程x-1x-2-xx+1=ax+1x2-x-2无解，x20或x+10，把x2代入（x+1）（x1）x（x2）ax+1中可得：32a+1，解得a1，把x1代入（x+1）（x1）x（x2）ax+1中可得：3a+1，解得a4，a的值为1或4，故答案为：1或46解下列分式方程（1）xx-2-1-x2(x-3)(x-2

12、)=2xx-3；（2）x+1x-1-4x2-1=1；（3）y-2y-3=2-13-y【解答】解：（1）两边同时乘以（x2）（x3）得：x（x3）（1x2）2x（x2），解得x1，经检验，x1是原方程的解，x1；（2）两边同时乘以（x1）（x+1）得：（x+1）24（x1）（x+1），解得x1，经检验，x1是原方程的增根，原方程无解；（3）两边同时乘以（y3）得：y22（y3）+1，解得y3，经检验，y3是原方程的增根，原方程无解；7如图，某小区有一块长为4a米（a1），宽为（4a2）米的长方形地块该长方形地块正中间是一个长为（2a+1）米的长方形，四个角是大小相同的正方形，该小区计划将阴影部分

13、进行绿化，对四个角的正方形用A型绿化方案，对正中间的长方形采用B型绿化方案（1）用含a的代数式表示采用A型绿化方案的四个正方形边长是 米，B型绿化方案的长方形的另一边长是 米（2）请你判断使用A型，B型绿化方案的面积哪个少？并说明理由（3）若使用A型，B型绿化方案的总造价相同，均为1350元，每平方米造价高的比低的多540(2a-1)2元，求a的值【解答】解：（1）A型绿化方案的四个正方形边长是（a-12）米，B型绿化方案的长方形的另一边长是（2a1）米；故答案为：（a-12）；（2a1）；（2）记A型面积为SA，B型面积为SB，根据题意得：SA4（a-12）24a24a+1，SB（2a+1）

14、（2a1）4a21，SASB4a+2，4a20，4a+20，即SASB0，则SASB；（3）由（2）得SASB，1350SA-1350SB=540(2a-1)2，即1350(2a-1)2-1350(2a+1)(2a-1)=540(2a-1)2，解得：a2，经检验a2是分式方程的解8两个工程队共同参与一项筑路工程若先由甲、乙两队合作30天，剩下的工程再由乙队单独做15天可以完成，共需施工费810万元若由甲、乙合作完成此项工程共需36天，共需施工费828万元（1）求乙队单独完成这项工程需多少天（2）甲、乙两队每天的施工费各为多少万元？（3）若工程预算的总费用不超过840万元，则乙队最少施工多少天？

15、【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需x天，由题意得：13630+15x=1，解得：x90，经检验x90是分式方程的解；答：乙队单独完成这项工程需90天；（2）设甲队每天的施工费为m万元，乙队每天的施工费为n万元，由题意得：30(m+n)+15n=81036(m+n)=828，解得：m=15n=8；答：甲队每天的施工费为15万元，乙队每天的施工费为8万元；（3）乙队单独完成这项工程需90天，甲、乙合作完成此项工程共需36天，甲队单独完成这项工程的天数为1136-190=60，设乙队施工a天，甲队施工b天，由题意得：a90+b60=115b+8a840，由得：b60-23a，把b60-23a

16、代入得：15（60-23a）+8a840，解得：a30，即乙队最少施工30天；答：乙队最少施工30天9定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：x+1x-1=x-1+2x-1=x-1x-1+2x-1=1+2x-1，2x-3x+1=2x+2-5x+1=2x+2x+1+-5x+1=2+-5x+1，则x+1x-1和2x-3x+1都是“和谐分式”（1）下列式子中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；x+1x；2+x2；x+2x+1；y2+1y2（2）将“和谐分式”a2-2a+3a-1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：a2-2a+3a-1

17、= + ；（3）应用：先化简3x+6x+1-x-1xx2-1x2+2x，并求x取什么整数时，该式的值为整数【解答】解：（1）x+1x=1+1x，是和谐分式；x+2x+1=x+1+1x+1=1+1x+1，是和谐分式；y2+1y2=1+1y2，是和谐分式；故答案为：；（2）a2-2a+3a-1=a2-2a+1+2a-1=(a-1)2+2a-1=a1+2a-1，故答案为：a1、2a-1；（3）原式=3x+6x+1-x-1xx(x+2)(x+1)(x-1)=3x+6x+1-x+2x+1 =2x+4x+1 =2(x+1)+2x+1 2+2x+1，当x+11或x+12时，分式的值为整数，此时x0或2或1或

18、3，又分式有意义时x0、1、1、2，x310某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）（1）扶梯露在外面的部分有多少级？（2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲、乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？【解答】解：（1）设扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动的级数为

19、2a级，扶梯每分钟向上运动b级由题意得：242a=x2a+b16a=xa+b，得：34=a+b2a+b，整理得：b2a，代入得x48答：扶梯露在外面的部分有48级；（2）设追上乙时，甲扶梯走了m遍，楼梯走了n遍，则乙走扶梯（m1）遍，走楼梯（n1）遍由题意得：48m4a+48n2a=48(m-1)3a+48(n-1)a，整理得：m+6n16，这里m，n中必有一个是整数，且0mn1若m为整数，则n=16-m6，m=1n=52（不合，舍去），m=2n=73（不合，舍去）m=3n=136（符合条件）m=4n=2（不合，舍去）m=5n=116（不合，以后均不合，舍去）若n为整数，m166n，n=1m=10，n=2m=4，n=3m=-2，这些均不符合要求，m=3n=136，此时，甲在楼梯上他已走动的级数是(48m4a+48n2a)2a=24m+48n=72+104=176（级）