专题4.18 角（知识讲解）-2022-2023学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）.docx

1、专题4.18 角（知识讲解）【学习目标】1掌握角的概念及角的表示方法；2. 借助三角尺画一些特殊角，能进行角度的互换；3掌握角的分类【要点梳理】要点一、角的概念1.角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB图2图1（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边特别说明：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与

2、角的两边的长短无关（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角2. 角的表示法：角的几何符号用“”表示，角的表示法通常有以下四种：特别说明：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母要点二、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角例如，图中射线OA的方向是北偏东60；射线OB的方向是南偏西30这里的“北偏东60”和“南偏西30”表示方向的角，就叫做方位角特别说明：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；

3、（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60”一般不说成“东偏北30”；（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点要点三、钟面角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30的角，分针1分钟转6，时针每小时转30，时针1分钟转0.5，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题【典型例题】知识点一、角的概念1如图，下列说法错误的是（）A也可用来表示B与是同一个角C图中共有三个角：，D与是同一个角【答案】A【分析】根据角的表

4、示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角角还可以用一个希腊字母（如，、）表示，或用阿拉伯数字（1，2）表示进行分析即可解：A、1与AOB是同一个角，不可用O来表示，说法错误；B、与BOC是同一个角，说法正确；C、图中共有三个角：AOB，AOC，BOC，说法正确；D、1与AOB是同一个角，说法正确；故选：A【点拨】此题主要考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法举一反三：【变式1】 下列说法中，正确的个数是（）（1）两条射线所组成的图形叫做角；（2）角是有公共端

5、点的两条射线；（3）角的大小与边的长短无关；（4）两条射线，它们的端点重合时可以形成角；（5）有一个公共端点的两条线段组成的图形叫做角A1B2C3D4【答案】B【分析】根据角的定义及性质逐项判断即可解：（1）有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，故（1）错误；（2）角是有公共端点的两条射线组成的图形，故（2）错误；（3）角的大小与边的长短无关，说法正确；（4）两条射线，它们的端点重合时可以形成角，说法正确；（5）有一个公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故（5）错误即正确的个数为2个，故选：B【点拨】本题考查了角的定义及性质，紧扣角的定义即可作答角的定义：有公共端点的两条射线所组成的图形叫做

6、角；一条射线绕着它的端点从一个位置旋转至另一个位置所形成的图形【变式2】如图，已知四个点A、B、C、D和MON的位置关系，那么下列说法中，错误的是（）A点A在MON的外部B点B在MON的外部C点C在MON的内部D点D在MON的内部【答案】B【分析】根据角的概念和点与角的位置关系分别对每一项进行分析即可解：A选项：点A在MON的外部，正确；B选项：因为点B在MON上，不是在MON的外部，所以本选项错误；C选项：点C在MON的内部，正确；D选项：点D在MON的内部，正确故选B【点拨】此题考查了角的概念，掌握点与角的位置关系是解题的关键知识点二、角的表示方法2在下列四个图形中，能用、三种方法表示同一

7、个角的图形是（）ABCD【答案】B【分析】根据角的表示方法和图形逐个判断即可解：A、不能用1，AOB，O三种方法表示同一个角，故A选项不合题意；B、能用1，AOB，O三种方法表示同一个角，故B选项符合题意；C、不能用1，AOB，O三种方法表示同一个角，故C选项不合题意；D、不能用1，AOB，O三种方法表示同一个角，故D选项不合题意；故选：B【点拨】本题考查了角的表示方法的应用，角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示，其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个大写字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角举一反三：【变式1】将图中的角用不同的方法表

8、示出来，并填写下表：_【答案】 【分析】根据角的表示方法分析即可，角的两个基本元素中，边是两条射线，顶点是这两条射线的公共端点是同一个角必须满足顶点相同，角的两边必须分别是指同一条射线解：可以表示为，可以表示为，可以表示为，可以表示为，可以表示为，故答案为：，【点拨】本题考查了角的表示方法，理解角的表示方法是解题的关键【变式2】 如图，用三个大写字母表示为_；为_；为_【答案】 【分析】根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角解：用三个大写字母表示1为；2为；3为；故答案为：；【点

9、拨】此题主要考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法知识点三、角的分类3、如图所示，图中共有_个小于180的角，其中最大的角是_【答案】 6 【分析】根据角的表示准确计算即可；解：根据已知图形可得，小于180的角有：，共有6个；其中最大的是；故答案是6；【点拨】本题主要考查了角的意义和表示，准确计算是解题的关键举一反三：【变式1】如图，锐角的个数共有_个.【答案】5解：以OA为一边的角AOB=20，AOC=20+30=50，AOD=20+30+50=100（钝角舍去），以OB为一边的角BOC=30，BOD=50+30=80，以OC为一边的角COD=50锐角共有AOB，AOC，BOC，BOD，CO

10、D故答案为：5【变式2】如图所示，BOD45，那么不大于90的角有_个，它们的度数之和是_【答案】 10 450【分析】(1)AOE90，故图中所有的角都是不大于90的角；(2)将所有的角相加，发现有的角相加等于EOA，即和为90，而有的角相加等于BOD，即和为45，将这样的角凑在一起计算，即可求出所有角的度数.解：不大于 90的角有EOD，EOC，EOB，EOA，DOC，DOB，DOA，COB，COA，BOA共10个；它们的度数之和是(EODDOA)(EOCCOA)( EOBBOA)(DOCCOB)DOBEOA909090(4545)90450. 故答案为10；450.【点拨】此题主要考查角

11、的表示与和差关系，解题的关键是熟知角的定义运算法则.知识点四、钟面角4、（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数（2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？（3）当时钟指向上午，时针与分针的夹角是多少度？（4）请你的同伴任意报一个时间（精确到分），你来确定时针与分针的夹角【答案】（1）；（2）；（3）；（4）答案不唯一，见分析【分析】（1）时针的12个小时把360分解成12份，每份30，按照这个度数关系对每个时钟表进行计算即可（2）时针1小时走总度数的，分针60分钟把360分解成60份，每份6，分针一分钟走一格，故是6（3）先求出此时时针与10点整时时针的夹角，再

12、用30减去这个夹角，再加上3个30即可（4）方法与（3）相同，任选一个时间进行计算即可解：（1）巴黎时间：12到1夹角为360的，是30伦敦时间：夹角为0北京时间：4个30，故为120东京时间：3个30，故为90（2）时针每经过1小时，转过36012=30，分针每分钟转过36060=6（3）此时分针走过了360的，所以时针移动的角度占30的，是5，所以剩余25，故夹角为：25+30+30+30=115（4）9:20时此时时针与分针夹角是多少？解：此时分针走过了360的，时针移动的角度占30的，是10，20+30+30+30+30+30+30=200故夹角为：360-200=160.【点拨】本题

13、考查时针分针在转动过程中的夹角的求解，熟练掌握时针每小时走30，分针每分钟走6是本题关键举一反三：【变式1】已知时钟在5点到6点之间，分析时钟的时针与分针成直角时的时间可能是几点几分？【答案】5时分或5时分【分析】根据对钟表的认识，可得时针每分钟走0.5度，而分针每分钟走6度，5点时针和分针的角度为150，设5点x分，时针和分针所成的角度为90，根据情况分类讨论，即可得出答案.解：5点时针和分针的角度为150，设5点x分，时针和分针所成的角度为90，（1）时针在分针的前面时，150+0.5x6x=90，解得：x；（2）时针在分针的后面时，6x1500.5x=90，解得：x.故答案为：5时分或5

14、时分.【点拨】本题考查了时针和分针所成的角度问题，考查了分类讨论思想的应用，解答此题的关键要明确：时针每分钟走0.5度，分针每分钟走6度.【变式2】（1）钟表上2时15分时，时针与分针所成的锐角的度数是多少？（2）若时针由2点30分走到2点55分，问分针转过多大的角度？【答案】（1）22.5；（2）150【分析】（1）利用钟表的钟面上每一格的度数为30度，然后利用时针从数字2开始转动的角度为150.57.5，然后用30减去7.5得到时针与分针所成的锐角的度数；（2）利用分针每分钟转动6求解解：（1）2点15分时分针指向数字3，而时针从数字2开始转动的角度为150.57.5，所以钟表上2时15分

15、时，时针与分针所成的锐角的度数为307.522.5；（2）分针转过的角度为256150【点拨】本题考查了钟面角：分针每分钟转动的角度为：36060=6；时针每分钟转动的角度为：3601260=0.5知识点五、方位角5、如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的东北方向（北偏东45）有一艘船同时，从B地发现这艘船在它的北偏西60方向在图中画出这艘船的位置O（保留作图痕迹）【答案】见分析【分析】利用方向角分别得出北偏东45方向以及北偏西60方向的位置产生的交点即为所求解：如图所示：先作北偏东45方向的射线AO，然后作北偏西60方向的射线BO，两条射线交于点O，点O即为这艘船的位置【点拨】此题主

16、要考查了应用设计与作图，正确掌握方向角的确定方法是解题关键举一反三：【变式1】如图，射线表示的方向是北偏东，射线表示的方向是北偏东，已知图中(1) 求AOB的度数；(2) 写出射线OC的方向【答案】(1)(2)北偏西【分析】（1）根据方向角的定义，结合图形中角的和差关系得出答案；（2）根据角的和差关系求出即可(1)解：如图，射线表示的方向是北偏东，即，射线表示的方向是北偏东，即，即；(2)解：，射线的方向为北偏西【点拨】本题考查方向角，解题的关键是理解方向角的定义以及角的和差关系【变式2】根据描述标出每个同学家的位置(1) 小红家在学校东偏北30方向150米处(2) 学校在小平家北偏西45方向

17、200米处(3) 小华家在学校南偏西60方向100米处(4) 小刚家在学校西偏北30方向150米处【答案】(1)见分析(2)见分析(3)见分析(4)见分析【分析】（1）利用方向角的定义即可解答；（2）利用方向角的定义即可解答；（3）利用方向角的定义即可解答；（4）利用方向角的定义即可解答解：(1)如图所示，(2)如图所示，(3)如图所示，(4)如图所示，【点拨】本题考查了用坐标表示地理位置，正确掌握方向角的定义是解题的关键知识点六、方位角的计算6、如图，学校A在小蕾家B南偏西的方向上，点C表示核酸检测点所在的位置，则核酸检测点在小蕾家什么方向？【答案】核酸检测点在小蕾家北偏东71方向【分析】由

18、题意易得ABC=136，DBE=90，ABD=27，则有EBC=19，然后问题可求解解：如图，ABC=136，DBE=90，ABD=27，EBC=136- 27- 90=19，EBF=90，CBF=71，核酸检测点在小蕾家北偏东71方向【点拨】本题主要考查方位角，熟练掌握方位角是解题的关键举一反三：【变式1】垃圾打捞船和都停驻在湖边观测湖面，从船发现它的北偏东60方向有白色漂浮物，同时，从船也发现该白色漂浮物在它的北偏西45方向（1）试在图中确定白色漂浮物的位置；（2）点在点的北偏东60的方向上，那么点在点的_方向上A南偏东30B南偏西30C南偏东60D南偏西60（3）猜想度数为_【答案】（1

19、）见分析；（2）D；（3）105【分析】（1）根据题意构建方位，然后可得出点C的位置；（2）由方位图可直接进行排除选项；（3）过点C作直线CD与正北方向平行，由方位角可得点A在点C的南偏西60方向上，点B在点C的南偏东45方向上，即ACD=60，DCB=45，进而问题可求解解：（1）由题意可作如图所示：（2）由（1）及方位角可得点A在点C的南偏西60方向上；故选D；（3）过点C作直线CD与正北方向平行，如图所示：由方位角可得点A在点C的南偏西60方向上，点B在点C的南偏东45方向上，ACD=60，DCB=45，ACB=ACD+DCB=105；故答案为105【点拨】本题主要考查方位角，熟练掌握方

20、位角是解题的关键【变式2】如图，P点是灯塔所在位置，轮船A位于灯塔南偏东40方向，轮船B位于灯塔北偏东30方向，轮船C位于灯塔北偏西70方向，航线PE（射线）平分BPC（1）求APE的度数；（2）航线PE上的轮船D相对于灯塔P的方位是什么？（以正北、正南方向为基准）【答案】（1）160；（2）轮船D在灯塔P北偏西20的方位上【分析】（1）先求出BPC的度数，根据角平分线的定义，得BPE的度数，再求出APB的度数，进而即可求解；（2）求出MPD的度数，进而即可求解解：（1）NPA = 40， MPB = 30，MPC = 70，BPC = MPB + MPC = 30+70= 100，PE平分BPC，BPE =BPC =100=50，APB =180-NPA-MPB = 180-40-30=110，APE = BPE + APB = 50+ 110= 160 ，（2）MPD = BPE -MPB = 50-30= 20，轮船D在灯塔P北偏西20的方位上 【点拨】本题主要考查方位角的概念以及角的和差倍分，熟练掌握角平分线的定义以及角度的和差倍分运算，是解题的关键