专题4.7相似三角形的性质新版初中北师大版数学9年级上册同步培优专题题库（教师版） .docx

1、初中数学 9 年级上册同步培优专题题库（北师大版）专题 4.7 相似三角形的性质姓名：_ 班级：_ 得分：_ 注意事项：本试卷满分 100 分，试题共 24 题答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（2020余干县模拟）已知ABCDEF，若周长比为 4：9，则 AC：DF 等于（）A4：9B16：81C3：5D2：3【分析】利用相似三角形的性质，可求出 ，此题得解【解析】ABCDEF，故选：A2（2018 秋渝中区校级期末）如图

2、，ABC 与DEF 形状完全相同，且 AB3.6，BC6，AC8，EF2，则 DE 的长度为（）A1.2B1.8C3D7.2【分析】根据ABC 与DEF 形状完全相同，可得ABCDEF，再根据相似三角形的对应边成比例，即可得出 DE 的长【解析】ABC 与DEF 形状完全相同，ABCDEF，即 ，解得 DE1.2，故选：A3（2020 春沙坪坝区校级期末）若ABCDEF，AB：DE9：4，则ABC 与DEF 的面积之比为（）A3：2B9：4C4：9D81：16【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于相似比的平方，即可求出答案【解析】ABCDEF，且相似比为 9：4，其面积之比为

3、81：16故选：D4（2020铜仁市）已知FHBEAD，它们的周长分别为 30 和 15，且 FH6，则 EA 的长为（）A3B2C4D5【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答【解析】FHB 和EAD 的周长分别为 30 和 15，FHB 和EAD 的周长比为 2：1，FHBEAD，2，即 2，解得，EA3，故选：A5（2020新昌县模拟）如图为一座房屋屋架结构示意图，已知屋檐 ABBC，横梁 EFAC，点 E 为 AB的中点，且 BDEF，屋架高 BD4m，横梁 AC12m，则支架 DF 长为（）A2 B2 C D2 【分析】直接利用等腰三角形的性质得出 ADDC，再利用勾股定理得出

4、AB 的长，进而利用三角形中位线的性质得出答案【解析】ABBC，BDEF，ADDC6m，AB 2 （m），EFAC，BEFBAC，点 E 为 AB 的中点，F 是 BC 的中点，FD 是ABC 的中位线，DF AB （m）故选：C6（2020 春相城区期末）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 DC 上，DE：EC3；1，连接 AE 交BD 于点 F，则DEF 的面积与DAF 的面积之比为（）A9：16B3：4C9：4D3：2【分析】先根据平行四边形的性质得到 ABCD，ABCD，则 DE：AB3：4，再证明DEFBAF，利用相似比得到 ，然后根据三角形面积公式求DEF 的面积与DA

5、F 的面积之比【解析】四边形 ABCD 为平行四边形，ABCD，ABCD，DE：EC3：1，DE：ABDE：DC3：4，DEAB，DEFBAF，DEF 的面积与DAF 的面积之比EF：AF3：4故选：B7（2020河北模拟）如图，在等腰三角形ABC 中，ABAC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为 1，ABC 的面积为 44，则四边形 DBCE 的面积是（）A22B24C26D28【分析】利用AFHADE 得到 （）2 ，所以 SAFH9x，SADE16x，则 16x9x7，解得 x1，从而得到 SADE16，然后计算两个三角形的面积差得到四边形 DBCE 的面积【解析】如图，由题意

6、根据题意得AFHADE，所有三角形均相似，可得 FH：DE3：4，（）2 ，设 SAFH9x，则 SADE16x，16x9x7，解得 x1，SADE16，四边形 DBCE 的面积441628故选：D8（2019 秋青龙县期末）如图，在矩形 ABCD 中，AB1，在 BC 上取一点 E，沿 AE 将ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的点 F 处，若四边形 EFDC（EFDF）与矩形 ABCD 相似，则 DF 的长为（）A B C D1【分析】可设 ADx，由四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可【解析】AB1，设 ADx，则 FDx1，

7、FE1，四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，即 ，解得：x1 ，x2 （不合题意舍去），经检验 x1 是原方程的解FD 1 故选：C9（2019 秋诸暨市期末）如图，ABC 中，点 D 是 AB 的中点，点 E 是 AC 边上的动点，若ADE 与ABC 相似，则下列结论一定成立的是（）AE 为 AC 的中点BDEBC 或BDE+C180CADECDDE 是中位线或 ADACAEAB【分析】根据相似三角形的性质即可得到结论【解析】A、ADE 与ABC 相似，ADEB 或ADEC，当ADEC 时，DE 与 BC 不平行，点 E 不一定为 AC 中点，故 A 错误；B、当ADEABC 时，AD

8、EB，DEBC，当ADEACB 时，ADEC，BDE+C180，故 B 正确；C、当ADEC 时，DE 与 BC 不平行，DE 不一定是中位线，当ADEACB 时，ADABAEAC，故 C 错误；D、当ADEABC 时，ADEB，故 D 错误；故选：B10如图，矩形 ABCD矩形 FAHG，连结 BD，延长 GH 分别交 BD、BC 于点、J，延长 CD、FG 交于点 E，一定能求出BIJ 面积的条件是（）A矩形 ABJH 和矩形 HJCD 的面积之差B矩形 ABJH 和矩形 HDEG 的面积之差C矩形 ABCD 和矩形 AHGF 的面积之差D矩形 FBJG 和矩形 GJCE 的面积之差【分析

9、】根据相似多边形的性质即可解答【解析】设矩形的边 AHx，GHy，EGa，DCb，则 BJx，JCa，JICD 即 JI 矩形 ABCD矩形 FAHG，即 ，x+a S 阴影 BJJI x xyS 矩形 ABJHS 矩形 HDEGxbayx ayxyS 阴影BIJ S 矩形 ABJHS 矩形 HDEG所以一定能求出BIJ 面积的条件是矩形 ABJH 和矩形 HDEG 的面积之差故选：B二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）请把答案直接填写在横线上11（2020闵行区一模）如果两个相似三角形的相似比为 2：3，两个三角形的周长的和是 100cm，那么较小的三角形的周长为

10、40 cm【分析】根据相似三角形周长比等于相似比列式计算【解析】设较小的三角形的周长为 xcm，则较大的三角形的周长为（100 x）cm，两个相似三角形的相似比为 2：3，两个相似三角形的周长比为 2：3，解得，x40，故答案为：4012（2019 秋大东区期末）若两个相似三角形的面积比是 9：25，则对应边上的中线的比为 3：5【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形的性质求出答案【解析】两个相似三角形的面积比是 9：25，两个相似三角形的相似比是 3：5，对应边上的中线的比为 3：5，故答案为：3：513（2020开福区模拟）两个相似三角形的相似比为 1：2

11、，其中一个三角形的面积是 4，则另一个三角形的面积是 16 或 1【分析】由两个相似三角形的相似比为 1：2，可得它们的面积面积比为：1：4，然后分别从若小三角形的面积为 4 与若大三角形的面积为 4 去分析求解即可求得答案【解析】两个相似三角形的相似比为 1：2，它们的面积面积比为：1：4，其中一个三角形的面积为 4，若小三角形的面积为 4，则另一个三角形的面积为 16；若大三角形的面积为 4，则另一个三角形的面积为 1另一个三角形的面积为 16 或 1故答案为：16 或 114（2020岳麓区校级二模）若ABCDEF，且相似比为 3：1，ABC 的面积为 54，则DEF 的面积为 6【分析

12、】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案【解析】ABCDEF，相似比为 3：1，32，即 9，解得，DEF 的面积6，故答案为：615（2019 秋南岸区校级期末）若两个相似三角形的面积之比为 1：4，则它们对应角的角平分线之比为 1：2【分析】根据相似三角形的性质进行分析即可得到答案【解析】两个相似三角形的面积比为 1：4，它们对应角的角平分线之比为 1：1：2，故答案为：1：216（2019 秋阜阳期末）已知ABCDEF，且 SABC6，SDEF3，则对应边 【分析】直接利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，进而得出答案【解析】ABCDEF，且 SABC6，SDEF3，其对

13、应边 故答案为：17（2019 秋富平县期末）如图，O 为 RtABC 斜边中点，AB10，BC6，M，N 在 AC 边上，若OMNBOC，点 M 的对应点是 O，则 CM 【分析】直接利用相似三角形的性质得出AOCCMO，进而得出OCMACO，求出答案即可【解析】OMNBOC，NMOBOC，AOCCMO，BOCOMN，又MCOOCA，OCMACO，OC2CMCA，25CM8，CM 故答案为：18（2019 秋雨花台区期末）如图，RtABC 中，C90，AC4，BC3，点 D 是 AB 边上一点（不与 A、B 重合），若过点 D 的直线截得的三角形与ABC 相似，并且平分ABC 的周长，则 A

14、D 的长为 或 或 【分析】利用勾股定理计算出 AB5，则ABC 的周长为 12，设 ADx，讨论：（1）作 DEAC 于 E，如图 1，则 AE6x，利用ADEABC 得到 x：5（6x）：4；（2）作 DFBC 于 E，如图 2，则 BD5x，BF1+x，利用BDFBAC 得到（5x）：5（1+x）：3；（3）作 DGAC 于 G，如图 3，则 AG6x，利用 RtADGRtACB 得到 x：4（6x）：5，然后分别解关于 x 的方程即可【解析】RtABC 中，C90，AC4，BC3，AB 5，ABC 的周长为 3+4+512，设 ADx，（1）作 DEAC 于 E，如图 1，则 AE6x

15、，DEBC，ADEABC，AD：ABAE：AC，即 x：5（6x）：4，解得 x ；（2）作 DFBC 于 E，如图 2，则 BD5x，BF6（5x）1+x，DFAC，BDFBAC，BD：BABF：BC，即（5x）：5（1+x）：3，解得 x ；（3）作 DGAB，交 BC 于 G，如图 3，则 AG6x，DAGCAB，ADGC90，RtADGRtACB，AD：ACAG：AB，即 x：4（6x）：5，解得 x ，综上所述，AD 的长为 或 或 故答案为 或 或 三、解答题（本大题共 6 小题，共 46 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（2020恩施市校级模拟）求证：相似三角形对

16、应角的角平分线之比等于相似比要求：分别在给出的ABC 与DEF 中用尺规作出一组对应角的平分线，不写作法，保留作图痕迹；在完成作图的基础上，写出已知、求证，并加以证明【分析】根据题意画出图形即可；根据画出的图形，写出已知，求证，然后根据相似三角形对应角相等可得BB1，BACB1A1C1，再根据角平分线的定义求出BADB1A1D1，然后利用两组角对应相等两三角形相似，根据相似三角形对应边成比例列式证明即可【解析】如图所示，AG，DH 分别是BAC 与EDF 的角平分线；已知：如图，ABCDEF，k，AG，DH 分别是BAC 与EDF 的角平分线求证：k；证明：AG，DH 分别是ABC 与DEF

17、的角平分线，BAG BAC，EDH EDF，ABCDEF，BACEDF，BE，BAGEDH，ABGCDEH，k20（2020 春海淀区校级期末）两个相似多边形的最长边分别为 4cm 和 6cm，它们的周长之和为 20cm，面积之差为 15cm2，求较小多边形的周长与面积【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比、面积比等于相似比的平方列方程，解方程得到答案【解析】设较小多边形的周长为 xcm，面积为 ycm2，则较大多边形的周长为（20 x）cm，面积为（y+15）cm2，两个相似多边形的最长边分别为 4cm 和 6cm，两个相似多边形的相似比为 2：3，两个相似多边形的周长比为 2：3，面积比

18、为 4：9，解得，x8，y12，经检验，x8，y12 都是原方程的解，答：较小多边形的周长为 8cm，面积为 12cm221（2019 秋赣榆区期末）如图 1，RtABC 中，ACB90，AC6cm，BC8cm，动点 P 从点 B 出发，在 BA 边上以每秒 3cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 Q 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒 2cm 的速度向点 B 匀速运动，运动时间为 t 秒（0t2），连接 PQ（1）若BPQ 与ABC 相似，求 t 的值；（2）（如图 2）连接 AQ，CP，若 AQCP，求 t 的值【分析】（1）根据勾股定理求出 AB，分BPQBAC、BPQBCA 两种

19、情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；（2）过 P 作 PMBC 于点 M，AQ，CP 交于点 N，则有 PB5t，PM3t，BQ84t，根据ACQCMP，得出 AC：CMCQ：MP，代入计算即可【解析】（1）当BPQBAC 时，BP3t，QC2t，AB10cm，BC8cm，当BPQBCA 时，；或 时，BPQ 与ABC 相似；（2）如图所示，过 P 作 PMBC 于点 M，AQ，CP 交于点 N，则有 PB3t，NAC+NCA90，PCM+NCA90，NACPCM 且ACQPMC90，ACQCMP，解得：；22（2018 春杜尔伯特县期中）如图，在ABC 中，ABAC，BAC120

20、，AB 边上的垂直平分线与AB、BC 交于点 D、E，AC 边上的垂直平分线与 AC、BC 分别交于点 G、F，（1）AEF 是什么形状？你能证明吗？（2）连结 DG，你能根据学过的相似三角形的知识证明 DG BC 吗？（3）DG5cm，试求AEF 的周长【分析】（1）先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算BC30，再利用垂直平分线的性质得 BEAE，AFCF，则EABB30，FACC30，然后根据三角形的外角性质可求出AEFAFE60，于是可判断AEF 为等边三角形；（2）由 D 是 AB 中点、G 是 AC 中点知 DG 是ABC 中位线，据此可得 DGBC，从而得出ADGABC，利用相

21、似三角形的性质可以得出答案（3）利用 AEBE，AFCF 可得 AE+EF+AFBE+EF+CFBC10cm，从而可确定AEF 的周长【解析】（1）AEF 为等边三角形理由如下：ABAC，BAC120，BC30，DE 垂直平分 AB，FG 垂直平分 AC，BEAE，AFCF，EABB30，FACC30，AEF2B60，AFE2C60，AEF 为等边三角形；（2）D 是 AB 中点、G 是 AC 中点，DG 是ABC 中位线，DGBC，ADGABC，DG BC；（3）DG5，BC2DG10，AEBE，AFCF，AE+EF+AFBE+EF+CFBC10cm，AEF 的周长为 10cm23（2020

22、淮安模拟）在 RtABC 中，C90，AC20cm，BC15cm，现有动点 P 从点 A 出发，沿AC 向点 C 方向运动，动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CB 也向点 B 方向运动，如果点 P 的速度是 4cm/秒，点 Q 的速度是 2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动设运动时间为 t秒求：（1）当 t3 时，这时，P，Q 两点之间的距离是多少？（2）若CPQ 的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式（3）当 t 为多少秒时，以点 C，P，Q 为顶点的三角形与ABC 相似？【分析】（1）在 RtCPQ 中，当 t3 秒，可知 CP、CQ 的长，运用勾股定理

23、可将 PQ 的长求出；（2）由点 P，点 Q 的运动速度和运动时间，又知 AC，BC 的长，可将 CP、CQ 用含 t 的表达式求出，代入直角三角形面积公式 SCPQ CPCQ 求解；（3）应分两种情况：当 RtCPQRtCAB 时，根据 ，可将时间 t 求出；当 RtCPQRtCBA 时，根据 ，可求出时间 t【解析】由题意得 AP4t，CQ2t，则 CP204t，（1）当 t3 秒时，CP204t8cm，CQ2t6cm，由勾股定理得 PQ ；（2）由题意得 AP4t，CQ2t，则 CP204t，因此 RtCPQ 的面积为 S cm2；（3）分两种情况：当 RtCPQRtCAB 时，即 ，解

24、得 t3 秒；当 RtCPQRtCBA 时，即 ，解得 t 秒因此 t3 秒或 t 秒时，以点 C、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似24（2019 秋雁塔区校级月考）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线（1）如图 1，在ABC 中，A40，B60，当BCD 40 时，CD 为ABC 的完美分割线；（2）如图 2，ABC 中，AC2，BC ，CD 是ABC 的完美分割线，求完美分割线 CD 的长【分析】（1）根据已知条件得到ABC 不

25、是等腰三角形，求得ACDBCDACB40，得到ACDA40，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论【解析】（1）当BCD40时，A40，B60，ACB80，ABC 不是等腰三角形，ACDBCDACB40，ACDA40，ACD 是等腰三角形，BCDA40，CBDABCBCDBAC，CD 是BAC 的完美分割线；故答案为：40；（2）BCDBAC，ACAD2，BC ，设 BDx，则 AB2+x，解得 x1，x0，BDx1 ，BCDBAC，AC2，BC ，BD1 CD2 ，如图 3，ADCACB，AD ，AB2，ADCACB，CD1，如图 4，CDBACB，即 ，CD DB，CD2+DBCD2，CDBD+DB22，CD2DB22 2，DB ，CD2 ；如图 5，ACDABC，CD ，同理解得：CD ，如图 6，ADCACB，CDBC 综上所述，CD 的长为 或 1 或 或 或 2