专题45 全国初中数学竞赛分类汇编卷（九）四边形综合（简单）-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（解析版）.docx

1、专题45 全国初中数学竞赛分类汇编卷（九）四边形综合（简单）1如图，在平行四边形ABCD中，AB3cm，BC5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（）A2cmOA5cmB2cmOA8cmC1cmOA4cmD3cmOA8cm【解答】解：平行四边形ABCD中，AB3cm，BC5cm，OAOC=12AC，2cmAC8cm，1cmOA4cm故选：C2给出下列命题：一组对边和一组对角分别相等的四边形是平行四边形；两组对角的内角平分线分别平行的四边形是平行四边形；一组对边中点间的距离等于另一组对边长和的一半的四边形是平行四边形；两条对角线都平分四边形的面积的四边形是平行四边形其中真命题有（

2、）A1个B2个C3个D4个【解答】解：一组对边相等，一组对角相等的四边形，不能证明另一组对边也相等或平行，即一组对边和一组对角分别相等的四边形不一定是平行四边形，故错误；两组对角的内角平分线分别平行的四边形，能证明两组对角相等，故四边形一定是平行四边形，故正确；一组对边中点的距离等于另一组对边边长的和的一半的四边形，梯形中两腰中点的连线也可以符合等于上下底的一半，故错误；两条对角线都平分四边形的面积的四边形是平行四边形，可以推出两条对角线互相平分，故正确；故正确的有故选：B3如图，在ABC中，CE、CF分别平分ACB和ACD，AECF，AFCE，直线EF分别交AB、AC于点M、N若BCa，AC

3、b，ABc，且cab，则ME的长为（）Ac-a2Ba-b2Cc-b2Da+b-c2【解答】解：CE、CF分别平分ACB和ACD，ECA=12ACB，FCA=12ACD，ECFECA+ACF=1218090，AECF，AFCE，四边形AECF是矩形，ACEFb，ANCN，AMBM，MN=12BC=12a，MEMNENMN-12EFMN-12AC=12a-12b=a-b2故选：B4如图，在梯形ABCD中，ABCD，ADBC，对角线ACBD，垂足为O，若CD3，AB5，则AC的长为（）A42B4C33D25【解答】解：过点C作CEBD，交AB的延长线于点E，ABCD，四边形BECD是平行四边形，BE

4、CD3，ACBD，ACCE，ACE90，ADBC，ACBD，ACCE，由勾股定理得，2AC264，AC42，故选A5（湖北省竞赛）用4条线段a14，b13，c9，d7作为4条边构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位线的长的最大值为（）A13.5B11.5C11D10.5【解答】解：（1）当上底为7，下底分别为14，13，9时，能构成梯形，中位线长分别为（7+14）210.5，（7+13）210，（7+9）28；（2）当上底为9和13时，均构不成梯形故选：D6如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分BAD交BC于E，若CAE15，则BOE（）A30B45C60D75【解答】解：四边形ABC

5、D是矩形，ADBC，ACBD，OAOC，OBOD，BAD90，OAOB，DAEAEB，AE平分BAD，BAEDAE45AEB，ABBE，CAE15，DAC451530，BAC60，BAO是等边三角形，ABOB，ABO60，OBC906030，ABOBBE，BOEBEO=12（18030）75故选：D7（安徽省竞赛）如图，四边形ABCD是菱形，AEF是正三角形，点E，F分别在边BC，CD上，且ABAE，则B等于（）A60B80C100D120【解答】解：四边形ABCD是菱形，BD，DABC，ADBC，DAB+B180，AEF是等边三角形，AEAB，AEFAFE60，AFAD，BAEB，DAFD，

6、由三角形的内角和定理：设BAEFADx，则DAFD180602x，FAD+D+AFD180，x+2（180602x）180，解得：x20，CBAD100，B80故选：B8如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2（）A16B17C18D19【解答】解：如图，ABC和CDE都为等腰直角三角形，ABBC，DEDC，ABCD90，sinCABsin45=BCAC=22，即AC=2BC，同理可得：BCCE=2CD，AC=2BC2CD，又ADAC+CD6，CD2，EC222+22，即EC22；S1的面积为EC22222=8；MAOMOA45，AMMO，MO

7、MN，AMMN，M为AN的中点，S2的边长为3，S2的面积为339，S1+S28+917故选：B9已知ABCD的周长为52，自顶点D作DEAB于E，DFBC于F，若DE5，DF8，则AB的长为，BC的长为【解答】解：对于平行四边形ABCD有两种情况：（1）当A为锐角时，如图1，设ABa，BCb，四边形ABCD是平行四边形，DEAB，DFBC，ABDEBCDF，ABCD，BCDA，又DE5，DF8，5a8b，平行四边形ABCD的周长为52，2（a+b）52，a+b26，解方程组5a=8ba+b=26，得a=16b=10，AB16，BC10，ABCD16，ADBC10；（2）当D为锐角时，如图2，

8、设ABa，BCb，四边形ABCD是平行四边形，DEAB，DFBC，ABDEBCDF，ABCD，BCDA，又DE5，DF8，5a8b，平行四边形ABCD的周长为52，2（a+b）52，a+b26，解方程组5a=8ba+b=26，得a=16b=10，AB16，BC10故答案为：16，1010如图，ABC中，AB3，AC4，BC5ABD，ACE，BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为【解答】解：在ABC中，AB3，AC4，BC5，BC2AB2+AC2，BAC90，ABD，ACE都是等边三角形，DABEAC60，DAE150ABD和FBC都是等边三角形，DBF+FBAABC+ABF60，DBF

9、ABC在ABC与DBF中，BD=BADBF=ABCBF=BCABCDBF（SAS），ACDFAE4，同理可证ABCEFC，ABEFAD3，四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）FDA180DAE30，SAEFDAD（DFsin30）3（412）6即四边形AEFD的面积是611（“希望杯”竞赛）如图，正方形ABCD的面积为256，点E在AD上，点F在AB的延长线上，ECFC，CEF的面积为200，则BF的长为【解答】解：ECF90，DCB90，BCFDCE，在CDE与CBF中BCE=DCFBC=DCCDF=CBE，CDECBF，CECF因为RtCEF的面积是200，即

10、12CECF200，故CF20正方形ABCD的面积BC2256，得BC16根据勾股定理得：BF=CF2-BC2=12故答案为：1212（北京市竞赛）如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得A点落在边CD上的E点，然后压平得折痕FG，若GF的长为13cm，则线段CE的长为 【解答】解：过B点作BKGF交AD于K点，交GF于J点，由折叠的性质可知FGAE，KFBG，BKAE，四边形BGFK为平行四边形，BKFG13，在RtABK中，AK=BK2-AB2=5，ABK+BAE90，DAE+BAE90，ABKDAE，在RtABK与RtDAE中，KAB=ADEAB=DAABK=DAE RtABKR

11、tDAE，AKDE5，CECDDE1257（cm）故答案为：7cm13按如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间小正方形（阴影部分）的周长为 【解答】解：延长BG，交AE与点C，ABC45ABC是等腰直角三角形，ABACCE5CED是等腰直角三角形，CD52CDGF，中间的小正方形的边长是52，因而周长是202故答案为20214如图，在梯形ABCD中，ADBC，并且AB8，AD3，CD6，并且B+C90，则梯形面积S梯形ABCD 【解答】解：过D点作DEAB，DFBC，交点分别为E，FB+C90DEC+C90EDC90，在RtEDC中，EC=ED2+CD2=10又12EDD

12、C=12ECDF，解得：DF4.8，梯形面积S梯形ABCD（3+3+10）4.8238.415如图，平行四边形ABCD中，ABC75，AFBC，垂足为F，AF交BD于E，若DE2AB，求AED的度数【解答】解：如图，取DE的中点M，连接AM四边形ABCD是平行四边形，ADBC，DBCADM，AFBC，ADAF，EAD90，EMDM，AMDMEM，DE2AB，ABAM，ABMAMBMAD+ADM，MAMD，ADMMADDBC，ABMAMB2ADM2DBC，3DBC75，DBC25，EFB90，AEDFEB90EBF6516现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB4cm，BC6cm，点E是BC的

13、中点将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形AECD内，记为点B求线段BC的长【解答】解：连接BB交AE于点O，由折线法及点E是BC的中点，EBEBEC，EBBEBB，ECBEBC；又BBC三内角之和为180，BBC90；点B是点B关于直线AE的对称点，AE垂直平分BB；在RtAOB和RtBOE中，BO2AB2AO2BE2（AEAO）2将AB4，BE3，AE=42+32=5代入，得AO=165cm；BO=AB2-AO2=42-(165)2=125cm，BB2BO=245cm，在RtBBC中，BC=BC2-BB2=62-(245)2=185cm17如图，在梯形ABCD中，ADBC，ACDB，AC5，

14、DBC30，（1）求对角线BD的长度；（2）求梯形ABCD的面积【解答】解：（1）如图，过A作AEDB交CB延长线于E，ACDB，AEDB，ACAE，AECDBC30，EAC90，即EAC为直角三角形，EC2AC10，AE=EC2-AC2=102-52=53，ADBC且AEDB，四边形AEBD为平行四边形DBAE53；（2）记梯形ABCD的面积为S，过A作AFBC于F，则AFE为直角三角形AEF30AF=12AE=532，即梯形ABCD的高AF=532，四边形AEBD为平行四边形，ADEBS=12（AD+BC）AF=12ECAF=1210532=253218四边形四条边长分别为a，b，c，d，

15、它们满足等式a4+b4+c4+d44abcd，试判断四边形的形状【解答】解：由已知可得a4+b4+c4+d44abcd0，所以（a42a2b2+b4）+（c42c2d2+d4）+（2a2b24abcd+2c2d2）0，即（a2b2）2+（c2d2）2+2（abcd）20因为a，b，c，d都是实数，所以（a2b2）20，（c2d2）20，（abcd）20，所a2-b2=0c2-d2=0ab-cd=0由于a，b，c，d都为正数，所以，解，有abcd故此四边形为菱形19如图所示梯形ABCD中，ADBC，M是腰DC的中点，MNAB于N，且MNb，ABa求梯形ABCD的面积【解答】解：延长AM交BC延长

16、线上点G，过点G作GHNM，交NM的延长线上于点H，ADBC，M是DC中点，ADMGCM，AMMG，即点M也是GA的中点，HANM90，ABHG，点M也是GA的中点，AMGM，在AMN和GMH中，ANM=HAMN=GMHAM=GM ANMBHG（AAS），MNMHb，ANHG，GH+BNBN+ANABa，梯形ABCD与梯形HGBN的面积相等，S梯形HGBN=12（GH+BN）HN=12a2bab，S梯形ABCDab20以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH（1）如图1，当四边形ABCD为矩形时

17、，请判断四边形EFGH的形状（不要求证明）（2）如图2，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设ADC（090）试用含的代数式表示HAE，写出解答过程；求证：HEHG，并判断四边形EFGH是什么四边形？请说明理由【解答】（1）解：结论：四边形EFGH是正方形理由：AHD是等腰直角三角形，HDAHAD45，同理：EABEBA45，四边形ABCD是矩形，BAD90，EAHEAB+BAD+DAH180，E，A，H共线，同理E，B，F共线，F，C，G共线，G，D，H共线，EHGF90四边形EFGH是矩形，AHD是等腰直角三角形，HAHD，在矩形ABCD中，ABCD，在AEB和DGC中，EAB=GDCAB

18、=CDEBA=GCD，AEBDGC（ASA），AEDG，HEHG，矩形EFGH是正方形（2）解：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，BAD+ADC180，BAD180，AHD，EAB都是等腰直角三角形，HADEAB45，EAH360EABBADHAD90+结论：四边形ABCD是正方形；理由：AEB和DGC是等腰直角三角形，AE=22AB，DG=22CD，在平行四边形ABCD中，ABCD，AEDG，AHD和DGC是等腰直角三角形，HDACDG45，HDGHDA+ADC+CDG90+ADCHAE，AHD是等腰直角三角形，HAHD，HAEHDG（SAS），HEHG同理可得：GHGF，FGFE，HEHG，GHGFEFHE，四边形EFGH是菱形，HAEHDG，DHGAHE，AHDAHG+DHG90，EHGAHG+AHE90，四边形EFGH是正方形