专题6.2 数量积及最值（范围）问题（原卷版）.docx

1、专题6.2数量积及最值（范围）问题题型一求数量积题型二求两个向量的夹角题型三求投影向量题型四垂直关系的判断及应用题型五向量的模题型六数量积的最值、范围问题（基底法）题型七数量积的最值、范围问题（坐标法）题型八数量积的最值、范围问题（数形结合法）题型一求数量积例1（2023辽宁朝阳朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知向量，（），则（）A5BCD例2（2023春辽宁朝阳高二校联考期中）已知单位向量，满足，则_练习1（2023广西南宁武鸣县武鸣中学校考三模）已知向量，则 _ 练习2（2023全国高三专题练习）矩形中，若点，满足，则（）A20B15C9D6练习3（2023春山西大同高二校考阶段练习）已

2、知是的外心，则（）A10B9C8D6练习4（2023陕西咸阳武功县普集高级中学校考模拟预测）已知菱形中，则_.练习5（2023广东汕头统考三模）在中，求_.题型二求两个向量的夹角例3（2023春广东深圳高一深圳市建文外国语学校校考期中）已知平面向量且(1)求向量与向量的坐标；(2)若向量，求向量与向量的夹角例4（2023江西江西省丰城中学校联考模拟预测）已知，是单位向量，且，则向量与的夹角为（）ABCD练习6（2023春北京怀柔高三北京市怀柔区第一中学校考期中）已知向量，.(1)若与垂直， 求实数的值；(2)求的值.练习7（2023山东烟台统考二模）已知向量，则与夹角的大小为_练习8（2023

3、春天津武清高三天津英华国际学校校考阶段练习）已知，与的夹角为，求使向量与的夹角是锐角，则的取值范围_ .练习9（2023河南洛阳统考模拟预测）已知单位向量，满足，则，夹角的余弦值为_.练习10（2023春浙江温州高三乐清市知临中学校考期中）设，.(1)求；(2)若，且，与的夹角为，求x，y的值.题型三求投影向量例5（2023安徽合肥合肥市第八中学校考模拟预测）已知，则向量在向量上的投影向量为_.例6（2023春江苏泰州高一江苏省口岸中学校考阶段练习）已知向量，则在上的投影向量的模为（）A2BC1D练习11（2023全国高三专题练习）已知向量，满足，则在上的投影向量_.练习12（2023湖南长沙

4、长郡中学校联考模拟预测）若向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（）ABCD练习13（2023云南保山统考二模）已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（）ABCD练习14（2023春全国高三专题练习）已知，若与的夹角为120，则在上的投影向量为（）ABCD练习15（2023湖南校联考模拟预测）在中，已知，向量在向量上的投影向量为，点是边上靠近的三等分点，则（）A3B6C7D9题型四垂直关系的判断及应用例7（2023湖南娄底统考模拟预测）已知向量，满足，且，则_例8（2023全国高三专题练习）非零向量，若，则_.练习16（2023春贵州高三校联考阶段练习）平面向量，若，且，则（）A2B-2C4D

5、-4练习17（2023全国高三专题练习）已知向量，其中，为单位向量，且，若_，则.注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.练习18（2023春上海徐汇高二上海中学校考期中）点，点，点在坐标轴上，且为直角，这样的点有_个练习19（2023春湖北武汉高三武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）在中，若非零向量与满足，则为（）A三边均不相等的三角形B等腰直角三角形C底边和腰不相等的等腰三角形D等边三角形练习20（2023春山东淄博高三山东省淄博实验中学校考期中）已知向量，(1)求；(2)已知，且，求向量与向量的夹角题型五向量的模例9（江西省2023届高三高考适应性大练兵联考数

6、学（理）试题）已知单位向量，满足，则_例10（2023重庆统考模拟预测）已知向量满足，则（）ABCD5练习21（2023春山东淄博高一山东省淄博实验中学校考期中）若非零向量满足，则夹角的余弦值为_练习22（2023湖北统考模拟预测）已知向量，若，则_.练习23（2023北京人大附中校考三模）已知向量，与共线，则=（）A6B20CD5练习24（2023全国高三专题练习）已知向量是非零向量，、，则“”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件练习25（2023安徽校联考模拟预测）已知向量，_；在上的投影向量的坐标为_题型六数量积的最值、范围问题（基底法）例11（2

7、023全国高三专题练习）如图，在ABC中，为的中点，在平面中，将线段绕点旋转得到线段设为线段上的点，则的最小值为_例12（2023春辽宁朝阳高三朝阳市第一高级中学校考期中）在中，为的三等分点（靠近点）(1)求的值；(2)若点满足，求的最小值，并求此时的练习26（2023春天津和平高三天津一中校考阶段练习）已知平行四边形的面积为，为线段的中点若为线段上的一点，且，则_，的最小值为_.练习27（2023全国高三专题练习）如图，圆为的外接圆，为边的中点，则_.练习28（2023天津津南天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且，若点N在线段CD（端点除外）上运动，

8、则的取值范围是（）ABCD练习29（2023春全国高三专题练习）已知直角梯形是边上的一点，则的取值范围为（）ABCD练习30（2023全国高一专题练习）在直角三角形中，在线段上，则的最小值为_.题型七数量积的最值、范围问题（坐标法）例13（2023春天津武清高三天津英华国际学校校考阶段练习）已知中，点为边上的动点，则的最小值为_.例14（2023天津滨海新统考三模）在平面四边形中，向量在向量上的投影向量为，则_；若，点为线段上的动点，则的最小值为_练习31（2023上海高三专题练习）如图在直角梯形中，点P是腰上的动点，则的最小值为_练习32（2023春安徽马鞍山高三马鞍山市红星中学校考期中）在

9、矩形ABCD中，动点P在以点A为圆心的单位圆上若，则的最大值为（）A3BCD2练习33（2023春全国高三专题练习）如图所示，梯形中，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（）ABCD练习34（2023全国高一专题练习）如图，在直角梯形中，是线段上的动点，则的最小值为_.练习35（2023春重庆沙坪坝高三重庆八中校考期中）已知正六边形的边长为4，P为正六边形所在平面内一点，则的最小值为_题型八数量积的最值、范围问题（数形结合法）例15（2023春江西景德镇高三景德镇一中校考期中）已知平面向量，满足，且，则的最大值为_例16（2023上海高三专题练习）设x、，若向量，满足，且向量与互相平行，则的

10、最小值为_练习32（2023春安徽马鞍山高三马鞍山市红星中学校考期中）在矩形ABCD中，动点P在以点A为圆心的单位圆上若，则的最大值为（）A3BCD2练习33（2023春全国高三专题练习）如图所示，梯形中，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（）ABCD练习34（2023全国高一专题练习）如图，在直角梯形中，是线段上的动点，则的最小值为_.练习35（2023春重庆沙坪坝高三重庆八中校考期中）已知正六边形的边长为4，P为正六边形所在平面内一点，则的最小值为_练习36（2022秋湖北荆门高二荆门市龙泉中学校考阶段练习）已知平面向量，是单位向量，若向量满足，则的取值范围是（）ABCD练习37（2023春北京海淀高三清华附中校考阶段练习）已知是平面向量，其中是单位向量若非零向量与的夹角是，向量满足，则的最小值是（）ABC2D练习38（2022秋江西吉安高三吉安一中校考期中）已知平面向量，满足，若，则的取值范围是_练习39（2023春北京高三北京市第一六六中学校考阶段练习）已知向量满足，则的最大值是（）ABCD练习40（2023全国高三专题练习）已知平面向量，且，则的最大值是_；最小值是_