专题6.20 反比例函数和一次函数综合（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）.docx

1、专题6.20 反比例函数和一次函数综合（培优篇）（专项练习）一、单选题1在平面直角坐标系中，直线y=x与反比例函数y=(x0)的图象交与点A(4，2)，直线y=x+b(b0)与反比例函数y=(x0)的图象交与点C，与y轴交与点B记y=(x0)的图象在点A，C之间的部分与线段OA、OB、BC围成的区域(不含边界)为W，若区域W内恰有4个整点，则b的取值范围是()Ab2Bb2C2b0)的图象上，解得：，反比例函数解析式为如图，当经过点(1，2)时，即时，区域W内有(1，1)，(2，2)，(3，2)三个点，当直线向上平移时，区域W内出现第四个整点(1，2)，此时满足题意，当直线再向上平移，经过点(2

2、，3)时，即时，区域W内还是四个整点，继续向上平移，即时，出现第五个整点(2，3)，此时已经不符合意义，综上可知故选B【点拨】本题考查一次函数和反比例函数的综合，一次函数的平移读懂题意，画出图象，找出两种极限状态是解题关键2A【分析】联立直线与反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，由轴可得出点D的坐标，由点A、D的坐标利用待定系数法可求出直线的解析式，联立直线与反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点C的坐标，再结合两点间的距离公式即可求出的值解：联立直线及反比例函数解析式成方程组，解得：，点B的坐标为，点A的坐标为，轴，点D的坐标为设直线的解析式为，将A、D代入，

3、 ，解得：，直线的解析式为，联立直线及反比例函数解析式成方程组，解得：，点C的坐标为，故选：A【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、两点间的距离公式以及待定系数法求一次函数解析式，联立直线与反比例函数解析式成方程组，通过解方程组求出点A、B、C的坐标是解题的关键3B【分析】可知直线与平行；分两种情况：直线在的下方和上方，画图根据区域内恰有4个整点，确定的取值范围解：如图1，直线在的下方时，当直线过时，且经过点，区域内有三点整点，当直线过时，且经过，区域内有5点整点，区域内没有4个整点的情况，如图2，直线在的上方时，点在函数的图象，当直线过时，当直线过时，区域内恰有4个整点，的取值范

4、围是综上所述，区域内恰有4个整点，的取值范围是故选：B【点拨】本题考查了新定义和反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，本题理解整点的定义是关键，并利用数形结合的思想4C【分析】由直线解析式求得、，作轴于，通过证得，得出，进而得出，由，求得，代入直线解析式求得横坐标，然后根据反比例函数图像上点的坐标特征，即可求得的值解：直线与轴，轴分别交于点，作轴于，如图所示：四边形是平行四边形，在和中，点刚好在反比例函数图像上，设的纵坐标为，的纵坐标为，代入得，解得，反比例函数图像经过点，解得，（舍去），故选：C【点拨】本题是反比例函数与一次函数的

5、交点问题，考查了一次函数图像上点的坐标特征，反比例函数图像上点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，三角形的面积等，表示出的坐标是解题的关键5D【分析】由图形可知：当时，从而可判断A；根据点A是直线与双曲线的交点可判断B；求出可判断C；由点A位于区域可得，由形2落在区域中可得，从而可判断D解：设点（x，y均为正数），A、设反比例函数解析式为：，由图形可知：当时，即点A的横坐标不可能大于3，故选项A不正确；B、当矩形1为正方形时，边长为x， ，则点A是直线与双曲线的交点，如图2，交点A在区域，故选项B不正确；C、当一边为x，则另一边为，当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，矩形1的面积会越来

6、越大，故选项C不正确；D、当点A位于区域时，点，即另一边为：，矩形2落在区域中，即另一边，当点A位于区域时，矩形1可能和矩形2全等；如矩形的两条邻边长分别为0.9，2.9时，两个矩形都符合题意且全等，故选项D正确；故选：D【点拨】本题考查了反比例函数图象和新定义，理解x和y的意义是关键，并注意用数形结合的思想解决问题6D【分析】设，则的中点为，即可求得，即可判断；表示出的坐标，即可表示出，求得，即可判断；计算出，即可求得，即可判断；先证是的中点，然后根据直角三角形斜边直线的性质和平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，从而得到，即可判断解：动点在反比例函数的图象上，设，的中点为，的图象经过

7、点，故正确；过点作轴交函数的图象于点，的纵坐标，把代入得，故正确；如图，过点作轴于，过点作轴交函数的图象于点，交轴点，直线的解析式为，直线的解析式为，由，解得，故正确；，是的中点，轴，若，则，故正确；故选：D【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的综合，反比例函数系数的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式，直角三角形斜边上中线的性质，平行线的性质，解题的关键是利用参数解决问题，学会构建一次函数确定交点坐标7【分析】过作轴于，交于，设，根据直角三角形斜边中线是斜边一半得：，设，则，因为、都在反比例函数的图象上，列方程可得结论解：如图，过作轴于，交于轴， ，是等腰直角三角形，设，则，设，则，在反比

8、例函数的图象上，解得，故答案为：【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键82【分析】设A，M，B，三点坐标，分别表示出AM，BM的解析式，令x=0可计算出OC和OD的长，相减即可得到结论解：设A（a，2a），M（m，1），则B（-a，-2a），设直线BM的解析式为：y=nx+b，则，解得：，直线BM的解析式为：，设直线AM的解析式为：y=hx+z，则，解得：，直线AM的解析式为：，故答案为：2【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的综合题，掌握二者的基本性质是解决本题的关键912【分析】先计算交点A，B的

9、坐标，再确定从A到B的平移方式，设PQ=2m，根据中心对称性质，则PO=，确定P的坐标，根据平移规律，点P平移的对应点D是在反比例函数上，确定m的值即可解：根据题意，得，解得或，点A的坐标(，)，点B的坐标(，)，从A到B的平移方式是向右平移个单位，再向上平移个单位，设PQ=2m，根据中心对称性质，则PO=，PQ与直线y=x垂直，PQ与y轴的夹角为45，点P的坐标为(，)，点D的坐标为(，)，点P平移的对应点D是在反比例函数上，()()=6，解得m=12或m=-12(舍去)故PQ=12，故答案为：12【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，平移的规律，方程组的解法，熟练掌握反比例函数的性

10、质，明确平移规律是解题的关键10【分析】若k4，则计算SOEF，故命题正确；若，可证明直线EF是线段CN的垂直平分线，故命题正确；因为点F不经过点C（4，3），所以k12，故命题错误；求出直线EF的解析式，得到点D、G的坐标，然后求出线段DE、EG的长度；利用算式，求出k1，故命题错误解：命题正确理由如下：k4，E（，3），F（4，1），CE4，CF312SOEFS矩形AOBCSAOESBOFSCEFS矩形AOBCOAAEOBBFCECF4334121222，故命题正确；命题正确理由如下：，E（，3），F（4，），CE4，CF3如图，过点E作EMx轴于点M，则EM3，OM；在线段BM上取一点N

11、，使得ENCE，连接NF在RtEMN中，由勾股定理得：MN2EN2EM2=，MN，BNOBOMMN4在RtBFN中，由勾股定理得：NF2BN2BF2=，NFNFCF，又ENCE，直线EF为线段CN的垂直平分线，即点N与点C关于直线EF对称，故命题正确；命题错误理由如下：由题意，得点F与点C（4，3）不重合，所以k4312，故命题错误；命题正确理由如下：设k12m，则E（4m，3），F（4，3m）设直线EF的解析式为yaxb，则，解得，yx3m3令x0，得y3m3，令y0，得x4m4，D（0，3m3），G（4m4，0）如图，过点E作EMx轴于点M，则OMAE4m，EM3在RtADE中，ADODO

12、A3m，AE4m，由勾股定理得：DE5m；在RtMEG中，MGOGOM（4m4）4m4，EM3，由勾股定理得：EG5DEEG5m525m，解得m，k12m1，故命题错误综上所述，正确的命题是：，故答案为：【点拨】本题综合考查函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k的几何意义、待定系数法求解析式、矩形的性质及勾股定理等知识点，本题计算量较大，正确的计算能力是解决问题的关键11(，3)#（4.5,3）【分析】根据点D求出k和直线OD的表达式，再用OA和算面积，将OA用表示出来，用表示出来，B点坐标用表示出来，最后将B点代入直线OD表达式，解出，算出B点坐标，即可解：D(3，2)在

13、反比例函数上解得：反比例函数解析式为：设直线OD表达式为：将D点坐标带入得：解得：故直线OD：设C(，)B点在直线OD上解得：yC=3故B(，3) 故答案为：(，3)【点拨】本题考查反比例函数，平行四边形，正比例函数；难点在于将B点坐标用一个未知数表示出来12#【分析】根据题意画出图象，作，设，根据反比例函数的性质可知，点Q与点P的坐标x、y恰好相反，设，表示出即可得结论；由AQ=AP，代入值判断即可；，根据、mn=1，即可得结论；假设直线MN过A点时，计算出的面积即可判断；解：由题意，图如下，作，直线与直线垂直，OM=ON，设，根据反比例函数的性质可知，点Q与点P的坐标x、y恰好相反，设则故

14、正确；若是直角；则AQ=AP，即则m=n，此时P、Q与A点重合，不成立，故错误；，mn=1故正确；当直线MN过A点时，则的面积为：，根据题意，不可能过A点，的面积必然大于2；故错误；故答案为：【点拨】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合应用、勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键13【分析】过作轴的平行线交于点，联立正比例函数与反比例函数求得，得到的解析式为，利用的面积即可求得点的坐标解：联立，解得：，设，：，则，解得：，：过作轴的平行线交于点，则，即：，解得，【点拨】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了反比例函数的性质、待定系数法求一次函数的表达式及三角形的面积，熟练掌握反比

15、例函数的性质和两个函数的交点是解决问题的关键144【分析】延长交轴于，延长交轴于，设的横坐标分别是，点为直线上的两点，的坐标是，的坐标是，则，根据得到的关系，然后利用勾股定理，即可用表示出所求的式子，从而求解解：如图所示，延长交轴于，延长交轴于，设的横坐标分别是，点为直线上的两点，的坐标是，的坐标是，则，两点在双曲线上，则，两边平方得：，即，在直角中，同理可得，故答案为：4【点拨】本题考查了反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理，正确利用得到的关系是解题的关键15【分析】设直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作于点，易得是等腰三角形，是含的直角三角形，设，则可表达点的坐标，根据题干条件

16、，建立方程，再根据点在反比例函数上，可得出结论解：如图，设直线与轴交于点，过点作轴于点，令，则，令，是等腰三角形，过点作于点，设，则，则，即：，点在反比例函数上，；故答案为：【点拨】本题属于反比例函数与一次函数交点问题，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形等相关知识，设出参数，得出方程是解题关键16#【分析】联立直线与双曲线，依题意得出方程有两个不相等的实数根，得出，得出，即可判断，作直线，交于，则，设点，证明，同理可得，进而根据即可判断，当时，即可判断；根据题意得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出即可判断解：令，整理得：，直线与双曲线交于、两点，方程有两个不相等的实数根，或，故正确；如

17、图，作直线，交于，则，设点，点、在双曲线上，将代入中，整理得：，又，在和中，直线是由直线平移之后所得，直线是第二、四象限的角平分线，在和中，同理可得，1，故正确；，当时，、不再彼此全等，故错误；，的解析式分别为，没有最小值，故错误；综上所述：结论正确的是故答案为：【点拨】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数与一次函数综合，掌握反比例函数的性质，将两函数交点问题转化为一元二次方程的解的情况是解题的关键17(1)，；(2)9；(3)(-8，0)或(-5，0)或(5，0)或(，0)【分析】（1）首先把，代入中，就可以确定m和 n的值，再把A、B两点的坐标代入，可以求得一次函数与反比例函数的表达

18、式；（2）分别过点A，B作AD轴于点D，BE轴于点E，设直线AB与轴交于点C，求出点C的坐标，求出OC、AD、BE的值，然后利用面积的分割法求出AOB的面积；（3）根据AO=OP，AP=AO，AP=OP三种情况，结合两点间的距离公式分类讨论，得出点的坐标解：（1）把A（-4，3）代入，得反比例函数的表达式为把B（2，）代入，得，B（2，-6），把A（-4，3），B（2，-6）代入，得，解得一次函数的表达式为；（2）如图，分别过点A，B作AD轴于点D，BE轴于点E，设直线AB与轴交于点C，把代入，得， 解得，C（-2，0）OC=2A（-4，3），B（2，-6）AD=3，BE=6SAOB=SAOC

19、+SBOC=OCAD+OCBE=23+26=9即AOB的面积是9；（3）设P（x，0）A（-4，3），当OP=OA时，x=-5，或x=5，当AP=AO时，x=0（舍去），或x=-8，当PA=PO时，8x+25=0，点P的坐标.为（-8，0）或（-5，0）或（5，0）或（，0）【点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，解决问题的关键是熟练掌握一次函数性质和反比例函数性质，两点间的距离公式，等腰三角形的性质，分类讨论18(1)反比例函数解析式为 ，次函数解析式为；(2)x4或-1x0；(3)【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求反比例函数的解析式，把B的坐标代入求出B的坐标，

20、把A、B的坐标代入一次函数即可求出函数的解析式；（2）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案；（3）过C点作CDy轴，交直线AB于D，求出D的坐标，即可求得CD，然后根据 即可求出答案（1）解：反比例函数y的图象经过点A（4，1）， ，反比例函数解析式为 ，又点B（1，n）在反比例函数上， ，B的坐标为（-1，-4），把A（4，1），B（1，-4）代入 ，得 ，解得 ，一次函数解析式为 ；（2）解：由图象及交点坐标可知：当x4或-1x0时，k1x+b；（3）解：过C点作CDy轴，交直线AB于D，B（-1，-4），B、C关于原点对称，C（1，4），把x=1代入y=x-3，得y=-2，D（1，-

21、2），CD=6，【点拨】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，以及数形结合思想的运用19(1)；(2)4；(3)【分析】（1）先把点A（4，n）代入，求得n值，从而得出点A坐标，然后用待定系数法求解可；（2）将y轴顺时针旋转45o，交 的图象于点N，则OMON，且线ON的解析式为y = x，联立解析式可求得点N坐标，即可求得ON长，从而求得OM长；（3）作A点关于直线OB的对称点A1，则OA=OA1，AA1OB，作A1Cy轴于点C，作ADx轴于点D，易证，即可求出A1坐标，从而求得直线AA

22、1的解析式为：和直线OB的解析式为：，联立解析式，即可求得交点B坐标（1）解：把点A（4，n）代入，得；设直线OA为，把代入，得4k=2,解得：，直线OA的解析式为；（2）如图1，将y轴顺时针旋转45，交 的图象于点N，则OMON，直线ON的解析式为y = x，由，解得：或（舍去）点N（）OMON；（3）解：如图2，作A点关于直线OB的对称点A1，则OA=OA1，AA1OB，作A1Cy轴于点C，作ADx轴于点D，易证，OC=OD，A1C=AD，A的坐标为（4，2），的坐标为，直线AA1的解析式为：，直线OB的解析式为：，由，解得或（负解舍去）点【点拨】本题考查待定系数法求函数解析式，函数交点问

23、题，旋转的性质，本题属一次函数与反比例函数综合题目，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象性质是解题的关键20(1)，；(2)；(3)，【分析】（1）直接利用待定系数法求得两个函数解析式即可；（2）如图：作矩形，由题意可得、 、进而得到，然后根据列关于x的方程求解即可；（3）分为平行四边形的边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的性质和平移的性质即可解答（1）解：分别把点与点代入解析式可得： ，解得：所以，（2）解：如图：作矩形，点在反比例函数的图像上由题意可得：， ，解得或（舍）点的坐标为（3）解：如图：当为平行四边形的边时， ， ， 当AB为对角线时， ，线段的中点坐标为 设 ，则，解得： 综

24、上，点M的坐标为，可使以点、为顶点的四边形为平行四边形【点拨】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解答本题的关键21(1)，；(2)，或；(3)平行四边形，理由见分析【分析】（1）将点代入直线与双曲线求出k、b的值，即可得出解析式；（2）利用解析式求出B、C的坐标，分类讨论：当P在x轴、y轴上时，可求出P点的坐标；（3）根据：对角线互相平分的四边形是平行四边形即可求证（1）解：把代入双曲线（k为常数， ），可得，双曲线的解析式为把代入直线，可得，直线的解析式为；（2）在中，令，则；令，则，当P在x轴上时，设P点的坐标为，的面积等于8，解得或，

25、P点的坐标为或；当P在y轴上时，同理可得P点的坐标为或综合，P点的坐标为，或（3）四边形ABED为平行四边形理由如下：，绕原点旋转后对应的的坐标为，设旋转后的直线解析式为解得旋转后的直线解析式为，由反比例函数的对称性可知：，即，四边形ABED为平行四边形【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的综合、待定系数法求解析式、三角形面积、平行四边形的判断、旋转，涉及数形结合、分类讨论思想，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象性质是解题的关键22(1)；(2)为直角三角形，理由见分析；点P的坐标为或或或【分析】（1）设点B的坐标为，则点，则，即可求解；（2）点A、C的横坐标相同，轴，点B关于y轴的对称点为C

26、，故轴，即可求解；过点C作直线，交反比例函数于点P，则点P符合题设要求，同样在下方等间隔作直线交反比例函数于点P，则点P也符合要求，进而求解（1）解：设点B的坐标为，则点，则：，解得（负值已舍去），故点B的坐标为，将点B的坐标代入反比例函数表达式得，解得；（2）解：为直角三角形，理由设点，则点，点A、C的横坐标相同，轴，点B关于y轴的对称点为C，轴，为直角三角形；由得，则的面积，解得（负值已舍去），点B的坐标为，C的坐标为，将点B的坐标代入反比例函数表达式得，解得，反比例函数表达式为； 过点C作直线，交反比例函数于点P，则点P符合题设要求，同样在AB下方等间隔作直线交反比例函数于点P，则点P也

27、符合要求，设直线m的表达式为，将点C的坐标代入，解得，故直线m的表达式为，根据图形的对称性，则直线n的表达式为，联立并解得 或，联立并解得或，点P的坐标为或或或【点拨】本题考查了反比例函数的综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式，同底等高的三角形的面积等知识，综合性较强23(1)，；(2)或；(3)存在，或【分析】（1）根据点和点在一次函数上可算出和的值，根据点和点也在反比例函数上即可算出的值（2）连接、，作，垂足为，垂足为，设，用含的式子可表示出和的面积，根据面积相等列出等式，可算出的值 ，即可得到点的坐标（3）设点，则，若使得等腰三角形，则或或，求解出即可得点的坐标，注意（1）解：直线与反

28、比例函数的图象交，两点，点在反比例函数上，反比例函数解析式为；（2）连接、，作，垂足为，垂足为，设， ，或，或（3）设，是等腰三角形，当时，（舍）当时，或（舍），当时，或（舍），即：满足条件的或【点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质、一次函数的交点问题和等腰三角形的性质，主要利用待定系数法，三角形面积的求法，用方程的思想解决问题是解本题的关键24(1)；(2)；(3)存在，点的坐标为，【分析】（1）将代入中即可得到反比例函数的表达式，再结合即可得到一次函数的表达式；（2）根据的面积为9，面积的和差关系即建立等式，即可求出点P的坐标；（3）先求的表达式为，表达E的坐标，然后进行分类讨论当为对角

29、线和当为边两种情况进行讨论，根据平行四边形的性质进行列式即可（1）解：将代入中得反比例函数解析式为将代入中解得将点、分别代入得一次函数解析式为（2）解：如图1，由直线：得得或点是轴负半轴上一动点（3）解：存在以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：设的表达式为，把、代入得到则，所以设、当为对角线时，如图2所示，得到，所以当为边时，如图3 所示：，向下平移3个单位、向右平移3个单位得到，那么向下平移3个单位、向右平移3个单位得到， 如图4所示：，向下平移3个单位、向右平移3个单位得到，那么向下平移3个单位、向右平移3个单位得到，即，综上：，【点拨】本题考查反比例函数和一次函数、三角形面积、平行四边形的性质，根据条件准确作图是解题的关键