专题6.9 反比例函数与面积问题（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）.docx

1、专题6.9 反比例函数与面积问题（巩固篇）（专项练习）一、单选题1已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示则这个反比例函数的解析式为（）ABCD2一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（）A甲同学B乙同学C丙同学D丁同学3为了更好保护水资源，造福人类，某工厂计划建一个容积V（m3）一定的污水处理池，池的底面积S（m2）与其深度h（m）满足关系式：V=Sh

2、（V0），则S关于h的函数图象大致是ABCD4（2015宜昌）如图，市煤气公司计划在地下修建一个容积为m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）的函数图象大致是（）ABCD5公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力阻力臂=动力动力臂.小伟欲用撬根撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）关于动力臂l（单位：）的函数解析式正确的是（）ABCD6春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过的集中药物喷洒，再

3、封闭宿舍，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示下面四个选项中错误的是（）A经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到B室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了C当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒此次消毒完全有效D当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内7某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（）的反比例函数，其图象如图所示，当

4、气球内的气压大于120kPa时，气球将会爆炸，为了安全起见，气球的体积应（）A不小于B大于C不小于D小于8某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100，停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降至30，饮水机关机饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序若在水温为30时，接通电源后，水温y（）和时间x（min）的关系如图所示，水温从100降到35所用的时间是（）A27分钟B20分钟C13分钟D7分钟9如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE若AD平分，反比例函数的图象经过AE上的两点

5、A，F，且，的面积为18，则k的值为（）A6B12C18D2410如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（-2，3），AD=5，若反比例函数 （k0，x0）的图象经过点B，则k的值为（）AB8C10D二、填空题11列车从甲地驶往乙地行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示若列车要在内到达，则速度至少需要提高到_12为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”，已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间（分钟）成正比例；烧灼后，与成反比例（如图所示）.现测得药物分钟燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为.研究表明当每立

6、方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒作用，那么从消毒开始，至少需要经过_分钟后，学生才能回到教室.13小刚同学家里要用1500W的空调，已知家里保险丝通过的最大电流是10A，额定电压为220V，那么他家最多还可以有_只50W的灯泡与空调同时使用14由于天气炎热，某校根据学校卫生工作条例，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量y(毫克)与燃烧时间x(分钟)之间的关系如图所示(即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分)，当空气中每立方米的含药量达到2毫克以上（包括2毫克）时能有效消毒，则有效消毒时间为_分钟15调查显示，某商场一款运动鞋的

7、售价是销量的反比例函数（调查获得的部分数据如下表）售价（元/双）销售量（双）已知该运动鞋的进价为元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到元，则其售价应定为_元16如图，已知等边，顶点在双曲线上，点的坐标为（2，0）过作，交双曲线于点，过作交轴于，得到第二个等边过作交双曲线于点，过作交轴于点得到第三个等边；以此类推，则点的坐标为_，的坐标为_17某药品研究所开发一种抗新冠肺炎的新药，经大量动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间的函数关系如图所示，即，若血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间不低于7小时，则称药物治疗有效请根据图中信息计

8、算并判断：血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为_个小时，这种抗菌新药_（“可以”或“不可以”）作为有效药物投入生产18如图反比例函数的图像经过点，点与点关于轴对称，点是轴上一点，若的面积为2，则该反比例函数的解析式为_三、解答题19为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函

9、数关系式为y2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明20心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示（其中AB、BC为线段，CD为双曲线的一部分）（1）上课后的第5分钟与第30分钟相比较，_分钟时学生的注意力更集中（2）分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式（3）一道数学题，需要讲1

10、8分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？21如图，A（4，3）是反比例函数y=在第一象限图象上一点，连接OA，过A作ABx轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=的图象于点P（1）求反比例函数y=的表达式；（2）求点B的坐标；（3）求OAP的面积22教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10，加热到100停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（）成反比例关系，直至水温降至30，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序若在水温为30时接通电源

11、，水温（）与时间（）的关系如图所示：（1）分别写出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式；（2）怡萱同学想喝高于50的水，请问她最多需要等待多长时间？23如图，在平面直角坐标系 中，函数的图象与直线交于点A(3,m).（1）求k、m的值；（2）已知点P(n，n)(n0)，过点P作平行于轴的直线，交直线y=x-2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数 的图象于点N.当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；若PNPM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围.24为了探索函数的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为

12、纵坐标，描出相应的点，如图所示：（1）如图，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；（2）已知点在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：若，则 ；若，则 ；若，则 （填“”，“=”，“”）（3）某农户要建造一个图所示的长方体形无盖水池，其底面积为平方米，深为米已知底面造价为千元/平方米，侧面造价为千元/平方米，设水池底面一边的长为米，水池总造价为千元请写出与的函数关系式；若该农户预算不超过千元，则水池底面一边的长应控制在什么范围内?参考答案1 C【分析】根据题意，电流与电阻是反比例函数关系，根据图中给出的坐标即可求出该反比例函数解析式解：根据题意，电流与电阻是

13、反比例函数关系，在该函数图象上有一点(6,8)，故设反比例函数解析式为I=，将(6,8)代入函数解析式中，解得k=48，故I=故选C【点拨】本题主要考查反比例函数解析式的求解方法，掌握求解反比例函数解析式的方法是解答本题的关键2 B【分析】根据物理知识中的杠杆原理：动力动力臂=阻力阻力臂，力臂越大，用力越小，即可求解解：由物理知识得，力臂越大，用力越小，根据题意，且将相同重量的水桶吊起同样的高度，乙同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远，故选：B【点拨】本题考查反比例函数的应用，属于数学与物理学科的结合题型，立意新颖，掌握物理中的杠杆原理是解答的关键3C解：试题分析：V=Sh（V为不等于0的常

14、数），（h0），S是h的反比例函数根据反比例函数的图象和性质可知，图象为反比例函数在第一象限内的部分故选C4 A解：由储存室的体积公式知：，故储存室的底面积S（m2）与其深度d（m）之间的函数关系式为（d0）为反比例函数故选A5 B【分析】根据所给公式列式，整理即可得答案.解：阻力阻力臂=动力动力臂小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，动力(单位：)关于动力臂(单位：)的函数解析式为：，则，故选B【点拨】本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键.6 C【分析】利用图中信息一一判断即可解：由图象可知，经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到，故A选

15、项正确不符合题意设0x5时函数解析式为y1=k1x，把（5，10）代入得，k1=2，y1=2x，y1=8时，x=4，15-4=11，室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11min，故B选项正确，不符合题意；由图象可知，y=5时，x15，设反比例函数解析式为y2=，把（15，8）代入得：8=，解得：，当y1=5时，x1=2.5，当y2=5时，x2=24，24-2.5=21.535，故C选项错误，符合题意；当y1=2时，x1=1，当y2=2时，x2=60，60-1=59，故D选项正确不符合题意，故选：C【点拨】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是读懂图象信息

16、，属于中考常考题型7 C【分析】由题意设设，把（1.6，60）代入得到k=96，推出，当P=120时，由此即可判断解：因为气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（）的反比例函数，所以可设，由题图可知，当时，所以，所以.为了安全起见，气球内的气压应不大于120kPa，即，所以.故选C.【点拨】此题考查反比例函数的应用，解题关键在于把已知点代入解析式.8 C【分析】先利用待定系数法求函数解析式，然后将y=35代入，从而求解解：设反比例函数关系式为：，将（7，100）代入，得k=700，将y=35代入，解得；水温从100降到35所用的时间是：207=13，故选C【点拨】本题考查反比例函数的应用，利

17、用数形结合思想解题是关键9 B【分析】先证明OBAE，得出SABE=SOAE=18，设A的坐标为（a，），求出F点的坐标和E点的坐标，可得SOAE=3a=18，求解即可解：如图，连接BD，四边形ABCD为矩形，O为对角线，AO=OD，ODA=OAD，又AD为DAE的平分线，OAD=EAD，EAD=ODA，OBAE，SABE=18，SOAE=18，设A的坐标为（a，），AF=EF，F点的纵坐标为，代入反比例函数解析式可得F点的坐标为（2a，），E点的坐标为（3a，0），SOAE=3a=18，解得k=12，故选：B【点拨】本题考查了反比例函数和几何综合，矩形的性质，平行线的判定，得出SABE=SO

18、AE=18是解题关键10 D【分析】先由D（-2，3），AD=5，求得A（2，0），即得AO=2；设AD与y轴交于E，求得E（0，1.5），即得EO=1.5；作BF垂直于x轴于F，求证AOE CDE，可得，求证AOEBFA，可得AF=2，BF=，进而可求得B（4，）；将B（4，）代入反比例函数，即可求得k的值解：如图，过D作DH垂直x轴于H，设AD与y轴交于E，过B作BF垂直于x轴于F，点D（-2，3），AD=5，DH=3，A（2，0），即AO=2，D（-2，3），A（2，0），AD所在直线方程为：，E（0，1.5），即EO=1.5，,ED=AD- AE=5-=，AOE=CDE，AEO=CED

19、，AOE CDE，,在矩形ABCD中，EAO+BAF=90，又EAO+AEO=90，AEO=BAF，又AOE=BFA，BFAAOE，,代入数值，可得AF=2，BF=，OF=AF+AO=4，B（4，），将B（4，）代入反比例函数，得，故选：D【点拨】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的系数、相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质等知识解题关键是通过求证AOE CDE，AOEBFA，得到B点坐标，将B点坐标代入反比例函数，即可得解11240【分析】由设再利用待定系数法求解反比例函数解析式，把h代入函数解析式求解的值，结合图象上点的坐标含义可得答案.解：由题意设 把代入得： 当h时，所以列车

20、要在内到达，则速度至少需要提高到，故答案为：.【点拨】本题考查的是反比例函数的应用，掌握利用待定系数法求解反比例函数的解析式是解题的关键.1250【分析】先求得反比例函数的解析式，然后把代入反比例函数解析式，求出相应的即可；解：设药物燃烧后与之间的解析式，把点代入得，解得，关于的函数式为：；当时，由；得，所以50分钟后学生才可进入教室；故答案为50【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式1324【分析】根据物理学知识，即可求解解：通过空调的电流为，设：需要x个50W

21、的灯泡，则：，解得：，故答案为24【点拨】考查的是反比例函数的应用，主要利用物理学知识：，弄清变量间意义即可求解1472【分析】首先根据题意，药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；进一步求解可得答案解：设反比例函数解析式为y=（k0），将（25，6）代入解析式得，k=256=150，则函数解析式为y=（x15），当y=2时，=2，解得x=75在y=中令y=10，则x=15，则A的坐标是（15，10）设OA的解析式是y=ax，把（15，10）代入，得a=，即正比例函数的解析式是y

22、=x令y=2，解得x=3则有效消毒消毒时间为75-3=72分钟故答案为：72【点拨】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式15300【分析】先利用待定系数法求出，再根据“利润（售价进价）销量”建立方程，然后解方程即可得解：由题意，设，将代入得：，解得，则，设要使该款运动鞋每天的销售利润达到元，其售价应定为元，则，整理得：，解得，经检验，是所列方程的解，故答案为：300【点拨】本题考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式、分式方程的应用，正确求出售价与销量之间的反比例函数关系式是解题

23、关键16 （2，0）， （2，0）【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出B2、B3、B4的坐标，得出规律，进而求出点Bn的坐标解：如图，作A2Cx轴于点C，设B1C=a，则A2C=a，OC=OB1+B1C=2+a，A2（2+a，a）点A2在双曲线上，（2+a）a=，解得a=-1，或a=-1（舍去），OB2=OB1+2B1C=2+2-2=2，点B2的坐标为（2，0）；作A3Dx轴于点D，设B2D=b，则A3D=b，OD=OB2+B2D=2+b，A2（2+b，b）点A3在双曲线y=（x0）上，（2+b）b=，解得b=-+，或b=-（舍去），OB3=OB2+2B2D=2

24、-2+2=2，点B3的坐标为（2，0）；同理可得点B4的坐标为（2，0）即（4，0）；以此类推，点Bn的坐标为（2，0），故答案为（2，0），（2，0）【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出B2、B3、B4的坐标进而得出点Bn的规律是解题的关键17 6， 不可以【分析】分别求出y4时的两个函数值，再求时间差即可解决问题解：当y4，则42x，解得：x2，当y4，则4，解得：x8，8267，血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为6小时，这种抗菌新药不可以作为有效药物投入生产故答案为：6，不可以【点拨】本题考查一次函数的应用、反比例函数的应用等知识，解题的关

25、键是灵活应用待定系数法解决问题，学会利用函数图象解决实际问题，属于中考常考题型18【分析】根据题意，设点A为（x，y），则AB=2y，由点C在y轴上，则ABC的AB边上的高为，结合面积公式，即可求出k的值.解：反比例函数的图像经过点，设点A为（x，y），且点A在第二象限，点与点关于轴对称，AB=2y，点C在y轴上，ABC的AB边上的高为，点A在第二象限，则，即，反比例函数的解析式为：.故答案为：.【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的几何意义，能根据三角形的面积求出xy的值是解此题的关键19 （1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要3min和5min；（2）一班学

26、生能安全进入教室，计算说明过程见分析【分析】（1）设校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和，再根据题干信息建立二元一次方程组，然后解方程组即可得；（2）先求出完成11间教室的药物喷洒所需时间，再根据一次函数的解析式求出点A的坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数的解析式，最后根据反比例函数的解析式求出时，y的值，与1进行比较即可得解：（1）设校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和则解得答：校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和；（2）一间教室的药物喷洒时间为，则11个房间需要当时，则点A的坐标为设反比例函数表达式为将点代入得：，解得则反比例函数表达式为当时，故一班学生能安全进

27、入教室【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、反比例函数与一次函数的综合等知识点，较难的是题（2），依据题意，正确求出反比例函数的解析式是解题关键20 （1）5；（2）；（3）教师能在学生注意力达到所需要求状态下讲完这道题【分析】（1）（2）利用待定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，得出第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断；（3）分别求出注意力指数为40时的两个时间，再将两时间之差和18比较，大于18则能讲完，否则不能解：（1）（2）设线段AB所在的直线的解析式为y1k1x30，把B（10，50）代入得，k12，AB解析式为：y12x30（0x10）设C、D所在双曲线的解析式为y

28、2，把C（20，50）代入得，k21000，曲线CD的解析式为：y2（x20）；当x15时，y1253040，当x230时，y2，y1y2第5分钟注意力更集中故答案为：5；（3）当时，教师能在学生注意力达到所需要求状态下讲完这道题【点拨】此题主要考查了反比例函数的应用解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值21 （1）反比例函数解析式为y=；（2）点B的坐标为（9，3）；（3）OAP的面积=5【分析】（1）将点A的坐标代入解析式求解可得；（2）利用勾股定理求得AB=OA=5，由ABx轴即可得点B的坐标

29、；（3）先根据点B坐标得出OB所在直线解析式，从而求得直线与双曲线交点P的坐标，再利用割补法求解可得解：（1）将点A（4，3）代入y=，得：k=12，则反比例函数解析式为y=；（2）如图，过点A作ACx轴于点C，则OC=4、AC=3，OA=5，ABx轴，且AB=OA=5，点B的坐标为（9，3）；（3）点B坐标为（9，3），OB所在直线解析式为y=x，由可得点P坐标为（6，2），（负值舍去），过点P作PDx轴，延长DP交AB于点E，则点E坐标为（6，3），AE=2、PE=1、PD=2，则OAP的面积=（2+6）36221=5【点拨】本题考查了反比例函数与几何图形综合，一次函数与反比例函数综合，熟

30、练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正确添加辅助线是解题的关键.22 （1）与的函数关系式为： ，与的函数关系式每分钟重复出现一次；（2）她最多需要等待分钟；【分析】（1）分情况当，当时，用待定系数法求解；（2）将代入，得，将代入，得，可得结果.解：（1）由题意可得，当时，设关于的函数关系式为：，得，即当时，关于的函数关系式为，当时，设，得，即当时，关于的函数关系式为，当时，与的函数关系式为： ，与的函数关系式每分钟重复出现一次；（2）将代入，得，将代入，得，怡萱同学想喝高于50的水，她最多需要等待分钟；【点拨】考核知识点：一次函数和反比例函数的综合运用.根据实际结合图象分析问题是关键.23

31、(1) k的值为3，m的值为1；（2）0n1或n3.解：分析：（1）将A点代入y=x-2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k的值（2）当n=1时，分别求出M、N两点的坐标即可求出PM与PN的关系；由题意可知：P的坐标为（n，n），由于PNPM，从而可知PN2，根据图象可求出n的范围详解：（1）将A（3，m）代入y=x-2，m=3-2=1，A（3，1），将A（3，1）代入y=，k=31=3，m的值为1.（2）当n=1时，P（1，1），令y=1，代入y=x-2，x-2=1，x=3，M（3，1），PM=2，令x=1代入y=，y=3， N（1，3），PN=2PM=PN，P（n，n

32、），点P在直线y=x上，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x-2于点M，M（n+2，n），PM=2，PNPM，即PN2，0n1或n3点睛：本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型24（1）见分析；（2）；（3）；【分析】（1）用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可；（2）观察函数图象可以看出有最低点，即函数有最小值，结合表格提供的信息即可解决问题；（3）根据底面面积可求出底面另一条边长，进而可求出水池的侧面积，分别表示出底面和侧面的造价，从而可表示出与的函数关系式；根据函数关系式结合表格可得出x的控制范围解：（1）如图1所示；（2）根据图象和表格可知，当时，；当，则；当，则；（3）底面面积为1平方米，一边长为x米，与之相邻的另一边长为米，水池侧面面积的和为： 底面造价为千元/平方米，侧面造价为千元/平方米， 即：与的函数关系式为：；该农户预算不超过千元，即y3.5，根据图象或表格可知，当2y2.5时，因此，该农户预算不超过千元，则水池底面一边的长应控制在【点拨】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型