专题6截长补短模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）（解析版）.docx

1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题6截长补短模型 解题策略模型：截长补短 如图，若证明线段AB、CD、EF之间存在EFABCD，可以考虑截长补短法. 截长法：如图，在EF上截取EGAB，再证明GFCD即可.补短法：如图，延长AB至H点，使BHCD，再证明AHEF即可.模型分析截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 截长，指在长线端中截取一段等于已知的线段；补短，指将一条短线端延长，延长部分等于已知线段. 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.常见模型示例：如图，已知在ABC中，C2B，12 . 求证：ABA

2、CCD . 经典例题【例1】（2022江苏徐州模拟预测）（1）如图1，在四边形ABCD中，ABAD，BD90，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF12BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是 ；（不需要证明）（2）如图2，在四边形ABCD中，ABAD，B+D180，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF12BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明（3）如图3，在四边形ABCD中，ABAD，B+D180，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且EAF12BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明若不成立，请写出它们之间的数量关系，

3、并证明【答案】（1）EFBE+FD；（2）（1）中的结论仍然成立，见解析；（3）结论不成立，EFBEFD，见解析【分析】（1）延长CB至G，使BGDF，连接AG，证明ABGADF，根据全等三角形的性质得到AGAF，BAGDAF，再证明GAEFAE，根据全等三角形的性质得出EFEG，结合图形计算，证明结论；（2）延长CB至M，使BMDF，连接AM，仿照（1）的证明方法解答；（3）在EB上截取BHDF，连接AH，仿照（1）的证明方法解答【详解】解：（1）EFBE+FD，理由如下：如图1，延长CB至G，使BGDF，连接AG，在ABG和ADF中，AB=ADABG=D=90BG=DF，ABGADF（SA

4、S），AGAF，BAGDAF，EAF12BAD，DAF+BAEEAF，GAEBAG+BAEDAF+BAEEAF，在GAE和FAE中，AG=AFGAE=FAEAE=AE，GAEFAE（SAS），EFEG，EGBG+BEBE+DF，EFBE+FD，故答案为：EFBE+FD；（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：如图2，延长CB至M，使BMDF，连接AM，ABC+D180，ABC+1180，1D，在ABM和ADF中，AB=AD1=DBM=DF，ABMADF（SAS），AMAF，32，EAF12BAD，2+4EAF，EAM3+42+4EAF，在MAE和FAE中，AM=AFMAE=FAEAE=AE，M

5、AEFAE（SAS），EFEM，EMBM+BEBE+DF，EFBE+FD；（3）（1）中的结论不成立，EFBEFD，理由如下：如图3，在EB上截取BHDF，连接AH，同（2）中证法可得，ABHADF，AHAF，BAHDAF，HAEFAE，在HAE和FAE中，AH=AFHAE=FAEAE=AE，HAEFAE（SAS），EF=EHEHBEBHBEDF，EFBEFD【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键【例2】（2022安徽合肥一模）已知：如图1，ABC中，CAB=120， AC=AB，点D是BC上一点，其中ADC=（3090），将ABD沿AD所在的直线折叠

6、得到AED，AE交CB于F，连接CE(1)求CDE与AEC的度数（用含的代数式表示）；(2)如图2，当=45时，解决以下问题：已知AD=2，求CE的值；证明：DC-DE=2AD；【答案】(1)CDE=1802，AEC=(2)4；见解析【分析】（1）由折叠对应角相等与“双蝴蝶型”相似可得；（2）由=45求出CAF=90，再由“蝴蝶型”相似求得；（3）“截长补短”法：在BC上取一点H，使得CH=DE(1)ABD沿AD所在的直线折叠得到AED，ADE=ADB=180-，CDE=180-2；CAB=120， AC=AB，ACB=B=AED=30，DFE=AFC，DEFAFC，DF：AF=EF：CF，E

7、FC=AFD，AFDCFE，AEC=ADC=，故答案：180-2；(2) =45，DAF=DAB=15，CAF=90，AF：CF=1：2，AFDCFE，AD：CE=AF：CF=1：2，CE=4，故答案：4；在BC上取一点H，使得CH=DE，AC=AE，ACH=AED，ACHADE，AD=AH，DAE=CAH，DAH=90，DH=2AD，DC-ED=DC-CH=DH=2AD【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和相似三角形的性质与判定是解题的关键【例3】（2022江苏八年级专题练习）在等边三角形ABC的两边AB、AC

8、所在直线上分别有两点M、N，P为ABC外一点，且MPN60，BPC120，BPCP探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系(1)如图，当点M、N在边AB、AC上，且PMPN时，试说明MNBM+CN(2)如图，当点M、N在边AB、AC上，且PMPN时，MNBM+CN还成立吗？答： （请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）(3)如图，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系【答案】(1)见解析(2)一定成立(3)MNNCBM【分析】（1）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到PBC30，进而得到PB

9、MPCN90，证明RtPBMRtPCN，得到BPMCPN30，根据含30角的直角三角形的性质证明结论；（2）延长AC至H，使CHBM，连接PH，证明PBMPCH，得到PMPH，BPMCPH，再证明MPNHPN，得到MNHN，等量代换得到答案；（3）在AC上截取CKBM，连接PK，仿照（2）的方法得出结论（1）证明：ABC为等边三角形，ABCACB60，BPC120，BPCP，PBCPCB12（180120）30，PBMPCN90，在RtPBM和RtPCN中，PB=PCPM=PN，RtPBMRtPCN（HL），BPMCPN30，MPN60，PMPN，PMN为等边三角形，PMPNMN，在RtPBM

10、中，BPM30，BM12PM，同理可得，CN12PN，BM+CNMN（2）解：一定成立，理由如下：延长AC至H，使CHBM，连接PH，如图所示，由（1）可知：PBMPCN90，PCH90，PBMPCH，在PBM和PCH中，BM=CHPBM=PCHPB=PC，PBMPCH（SAS），PMPH，BPMCPH，BPM+CPN60，CPN+CPH60，MPNHPN，在MPN和HPN中，PM=PHMPN=HPNPN=PN，MPNHPN（SAS），MNHNBM+CN，故答案为：一定成立（3）解：在AC上截取CKBM，连接PK，如图所示，在PBM和PCK中，PB=PCPBM=PCK=90BM=CK，PBMP

11、CK（SAS），PMPK，BPMCPK，BPM+BPN60，CPK+BPN60，KPN60，MPNKPN，在MPN和KPN中，PM=PKMPN=KPNPN=PN，MPNKPN（SAS），MNKN，KNNCCKNCBM，MNNCBM【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键【例4】（2022江苏八年级课时练习）如图，在锐角ABC中，A=60，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F(1)如图1，若ABAC，且BD=CE，BCD=CBE，求CFE的度数；(2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC

12、绕点C顺时针方向旋转60得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想【答案】(1)EFC=60(2)BF+CF=2CN，证明见解析【分析】（1）在射线CD上取一点K，使得CK=BE，证明CBEBCK，求出CEB=BKD=BDK=ADF，然后根据四边形内角和定理及邻补角的性质得出答案；（2）证明ABEBCD，求出BFC=120，倍长CN至Q，连接FQ，PQ，证明CNMQNF，求出FQ=CM=BC，在CF上截取FPFB，连接BP，易得PBF为正三角形，然后求出PFQ=PBC，证PFQPBC，可得PQPC，QPFC

13、PB60，则可得PCQ为正三角形，然后由BF+CF=PF+CF=PC=QC=2CN得出结论（1）解：如图1，在射线CD上取一点K，使得CK=BE，BCD=CBE，BCBC，CBEBCK（SAS），BK=CE=BD，CEB=BKD=BDK=ADF，ADF+AEF=AEF+CEB=180，A+DFE=180，A=60，DFE=120，CFE=60；（2）BF+CF=2CN，证明：AB=AC，A=60，ABC是正三角形，ABBCAC，ADBC60，又BD=AE，ABEBCD（SAS），BCF=ABE，FBC+BCF=60，BFC=120，倍长CN至Q，连接FQ，PQ，CNQN，QNFCNM，NFNM

14、，CNMQNF（SAS），FQ=CM，QFNCMN，由旋转的性质得ACCM，FQ=CM=BC，在CF上截取FPFB，连接BP，BFC=120，BFP=60，PBF为正三角形，BPF60，PBC+PCB=PCB+FCM=120，FCM=PBC，QFNCMN，FQ/CM，PFQ=FCM，PFQ=PBC，又PB=PF，FQ=BCPFQPBC（SAS），PQPC，QPFCPB60，PCQ为正三角形，BF+CF=PF+CF=PC=QC=2CN，即BF+CF=2CN【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，利用全等三角形转

15、换线段和角的关系从而解决问题，属于压轴题培优训练一、解答题1（2022福建三明九年级期末）在菱形ABCD中，BAD60，点E，F分别在边AB，AD上，且AEDF，BF与DE交于点G(1)如图，连接BD求证：ADEDBF；(2)如图，连接CG求证：BGDGCG【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】（1）根据菱形的四条边相等以及全等三角形的判定得出AD=DB，DAE=BDF=60，再由AEDF利用边角边即可判定ADEDBF；（2）延长BF至点H，使HG=DG，连接HD、BD，如图（见详解），由第一问可知ADEDBF，BDC和ABD都是等边三角形，由全等的性质以及三角形的内角和定理得出DGF=DA

16、E=60，可证HGD是等边三角形，得到HD=GD，利用角的等量代换，通过边角边的判定定理即可证明HBDGCD，得到BH=CG，利用线段的等量代换即可证明BG+DG=CG（1）证明：四边形ABCD是菱形，BAD60，且AEDF，ABD是等边三角形在ADE和DBF中，AD=DBDAE=BDF=60AE=DF，ADEDBFSAS（2）证明：延长BF至点H，使HG=DG，连接HD、BD，如图所示，由（1）可知ADEDBF，BDC是等边三角形，AED=DFG，且ADE=GDF，DGF=DAE=60又HG=DG，HGD是等边三角形，HD=GDHDG=BDC=60，HDG+BDG=BDC+BDG，即HDB=

17、GDC在HBD和GCD中，BD=CDHDB=GDCHD=GD，HBDGCDSAS，BH=CGBH=BG+HG=BG+DG，BG+DG=CG【点睛】本题是一道几何综合，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各判定定理和性质定理，并能够利用截长补短的辅助线添加方法作出辅助线构造出全等三角形，从而将要证明的线段进行转化是解题的关键2（2022全国八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB=AD,B+ADC=180，点E、F分别在直线BC、CD上，且EAF=12BAD(1)当点E、F分别在边BC、CD上时（如图1），请说明EF=BE+FD的理由(2)当点E、F分

18、别在边BC、CD延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由【答案】(1)见解析(2)不成立，EF=BEFD，见解析【分析】（1）延长EB至G，使BGDF，连接AG，通过证明ABGADF，EAGEAF可得GEEF，进而可说明EFBE+DF；（2）在BE上截取BMDF，连接AM，通过证明ABMADF，AMEAFE可得MEEF，进而可得EFBEFD(1)EFBE+DF，理由：延长EB至G，使BGDF，连接AG，ABC+ADC180，ABC+ABG180，ADCABG，在ABG和ADF中，AB=ADABG=ADFBG

19、=DF，ABGADF（SAS），AGAF，BAGDAF，EAF12BAD，BAE+DAFBAE+BAGEAF，即EAGEAF，在EAG和EAF中，AG=AFEAG=EAFAE=AE，EAGEAF（SAS），GEEF，EFBE+DF；(2)（1）中结论不成立，EFBEFD，在BE上截取BMDF，连接AM，ABC+ADC180，ADC+ADF180，ABCADF，在ABM和ADF中，AB=ADABM=ADFBM=DF，ABMADF（SAS），AMAF，BAMDAF，BAM+MADDAF+MAD，BADMAF，EAF12BAD，EAF12MAF，EAFEAM，在AME和AFE中，AM=AFEAM=E

20、AFAE=AE，AMEAFE（SAS），MEEF，MEBEBMBEDF，EFBEFD【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线证明相关三角形全等是解题的关键3（2021重庆市实验学校八年级期中）如图，已知ABCD，AE平分BAD，交DC于E，DFBC于F，交AE于G，且DFAD(1)若C60，AB2，求EC的长；(2)求证：ABDG+FC【答案】(1)23；(2)见解析【分析】（1）先由C60，在RtDFC中，求得AD=DF=3，由AE平分BAD，则BAE=DAE，由ABCD，则BAE=DEA，从而有DAE=DEA，得出DE=DA，再根据EC=DCDE即可求得；（2）延长FD至

21、M，使DM=FC，连接AM，根据全等三角形的判定和性质可得ADMDFC，DAM=FDC，AM=DC，结合（1）中结论及利用外角的性质得出MAG=MGA，根据等角对等边得出AM=MG，由此即可证明(1)解：在ABCD中，AB=DC=2，C=60，DFBC，FDC=30，FC=12CD=1，在RtDFC中，DF=CD2FC2=2212=3，DF=ADAD=DF=3，ABCD，AE平分BAD，BAE=AED，DAE=BAE，DAE=AED，AD=DE=3EC=DCDE=23；(2)证明：如图所示：延长FD至M，连接AM，使DM=FC，在ADM和DFC中，AD=DFADM=DFC=90DM=FCADM

22、DFC，DAM=FDC，AM=DC，由（1）可得：DAE=AED，DAE+DAM=AED+FDC，即MAG=MGA，AM=MG，即DC=DG+FC【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质等，理解题意，作出辅助线，由补短法构造全等三角形是解题关键4（2022全国八年级课时练习）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分ABC，A+C=180求证：DA=DC思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA到点N，使得BN=BC

23、，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC，当DAC=60时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，A+C=180，DA=DC，过点D作DEBC，垂足为点E，请直接写出线段AB、CE、BC之间的数量关系【答案】（1）证明见解析；（2）AB+BC=BD；理由见解析；（3）BCAB=2CE【分析】（1）方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA到点N，使得BN=BC，连接DN，得到全等三角形

24、，进而解决问题；（2）延长CB到点P，使BP=BA，连接AP，证明PACBAD，可得PC=BD，即PC=BP+BC=AB+BC（3）连接BD，过点D作DFAC于F，证明DFADEC，RtBDFRtBDE，进而根据BC=BE+CE=BA+AF+CE=BA+2CE即可得出结论【详解】解：（1）方法1：在BC上截BM=BA，连接DM，如图BD平分ABC，ABD=CBD在ABD和MBD中，BD=BD&ABD=MBDBA=BM，ABDMBD，A=BMD，AD=MDBMD+CMD=180，C+A=180C=CMDDM=DC，DA=DC方法2：延长BA到点N，使得BN=BC，连接DN，如图BD平分ABC，N

25、BD=CBD在NBD和CBD中，BD=BDNBD=CBDBN=BC，NBDCBDBND=C，ND=CDNAD+BAD=180，C+BAD=180BND=NAD，DN=DA，DA=DC（2）AB、BC、BD之间的数量关系为：AB+BC=BD（或者：BDCB=AB，BDAB=CB）延长CB到点P，使BP=BA，连接AP，如图2所示由（1）可知AD=CD，DAC=60ADC为等边三角形AC=AD，ADC=60BCD+BAD=180，ABC=36018060=120PBA=180ABC=60BP=BA，ABP为等边三角形PAB=60，AB=APDAC=60，PAB+BAC=DAC+BAC，即PAC=B

26、AD在PAC和BAD中，PA=BAPAC=BADAC=AD，PACBADPC=BD，PC=BP+BC=AB+BC，AB+BC=BD（3）AB，CE，BC之间的数量关系为：BCAB=2CE（或者：BC2CE=AB，AB+2CE=BC）解：连接BD，过点D作DFAC于F，如图3所示BAD+C=180，BAD+FAD=180FAD=C在DFA和DEC中，DFA=DECFAD=CDA=DC，DFADEC，DF=DE，AF=CE在RtBDF和RtBDE中，BD=BDDF=DE，RtBDFRtBDEBF=BE，BC=BE+CE=BA+AF+CE=BA+2CE，BCBA=2CE【点睛】本题考查了三角形全等的

27、性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键5（2022全国八年级课时练习）阅读下面材料：【原题呈现】如图1，在ABC中，A2B，CD平分ACB，AD2.2，AC3.6，求BC的长【思考引导】因为CD平分ACB，所以可在BC边上取点E，使ECAC，连接DE这样很容易得到DECDAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）【问题解答】（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；（2）拓展提升：如图3，已知ABC中，ABAC，A20，BD平分ABC，BD2.3，BC2求AD的长【答案】（1）5.8；（2）4.3【分析】（1）由已知条件和辅助线的作法，证得ACDECD，得到ADDE，ADEC，由于A2B，推

28、出DEC2B，等量代换得到BEDB，得到BDE是等腰三角形，得出ACCE3.6，DEBE2.2，相加可得BC的长；（2）在BA边上取点E，使BEBC2，连接DE，得到DEBDBC（SAS），在DA边上取点F，使DFDB，连接FE，得到BDEFDE，即可推出结论【详解】解：（1）如图2，在BC边上取点E，使ECAC，连接DE在ACD与ECD中，AC=CEACD=ECDCD=CD，ACDECD（SAS），ADDE，ADEC，A2B，DEC2B，BEDB，BDE是等腰三角形；BEDEAD2.2，ACEC3.6，BC的长为5.8；（2）ABC中，ABAC，A20，ABCC80，BD平分B，1240，B

29、DC60，在BA边上取点E，使BEBC2，连接DE，在DEB和DBC中，BE=BC1=2BD=BD，DEBDBC（SAS），BEDC80，460，360，在DA边上取点F，使DFDB，连接FE，同理可得BDEFDE，5140，BEEF2，A20，620，AFEF2，BDDF2.3，ADBD+BC4.3【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟悉这些定理是解决本题的关键6（2021北京清华附中九年级阶段练习）已知MON=0180，A为射线ON上一定点，B为射线OM上动点（不与点O重合）连接AB，取AB的中点C，连接OC在射线BM上取一点D，使得BD=OA（1）若=60，如图1

30、，当BAO=60时，在图1中补全图形，并写出OCAD的值；如图2，当BAO0 ），OB=a，OA=BD=ma，OD=m2a，a+ma=m2a，解得：m=152（不合题意舍去），m=1+52，OCAD=AB2AD=12m=512【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、解直角三角形、三角形的中线和中位线性质等知识，解题的关键是正确构造全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型7（2022全国八年级课时练习）如图，ABC为等边三角形，直线l过点C，在l上位于C点右侧的点D满足BDC60（1）如图1，在l

31、上位于C点左侧取一点E，使AEC60，求证：AECCDB；（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作AFH120，且AFHF，HGF120，求证：HG+BDCF；（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CF=EF-BD【分析】（1）先证明ACE=CBD，即可利用AAS证明AECCDB；（2）在直线l上位于C点左侧去一点E，使得AEC=60，连接AE，由（1）可知AECCDB，CE=BD，然后证明FAEHFG得到GH=EF，则CF=EF+CE=GH+BD即HG+BD=CF；（3

32、）在直线l上位于C点右侧取一点E使得AED=60，连接AE，在直线l上位于D点左侧取一点M使得BM=BD，设AB与直线l交于N，先证明BDM是等边三角形，得到DBM=DMB=60，然后证明ACE=ABD=CBM，即可利用AAS证明AECCMB得到CE=BM=BD；最后证明AEFFGH得到HG=EF，则EF=CE+CF=CF+BD即CF=EF-BD【详解】解：（1）ABC是等边三角形，AC=BC，ACB=60，ACE+BCD=180-ACB=120，BDC=60，BCD+CBD=180-BDC=120，ACE=CBD，在AEC和CDB中，ACE=CBDAEC=CDB=60AC=CB，AECCDB

33、（AAS）（2）如图所示，在直线l上位于C点左侧取一点E，使得AEC=60，连接AE，由（1）可知AECCDB，CE=BD，ACE=60，AEF=120，AEF=AFH=120，AFE+FAE=180-AEF=60，AFE+HFG=180-AFH=60，FAE=HFG，在FAE和HFG中，FAE=HFGAEF=FGH=120AF=FH，FAEHFG（AAS），GH=EF，CF=EF+CE=GH+BD即HG+BD=CF；（3）如图所示，在直线l上位于C点右侧取一点E使得AED=60，连接AE，在直线l上位于D点左侧取一点M使得BM=BD，设AB与直线l交于NBDC=60，BM=BD，BDM是等边

34、三角形，DBM=DMB=60，三角形ABC是等边三角形，ABC=BAC=60，AC=BCABM+CBM=ABM+ABD，ABD=CBM，BAC=BDC=60，ANE=DNB，ACE=ABD=CBM，CMB=180-DMB=120，AEC=180-AED=120，CMB=AEC，在AEC和CMB中，ACE=CBMAEC=CMB=120AC=CB，AECCMB（AAS），CE=BM=BD；AFH=120，AFC+GFH=60，GFH+FHG=180-HGF=60，AFC=FHG，在AEF和FGH中，AFE=FHGAEF=FGH=120AF=FH，AEFFGH（AAS），HG=EF，EF=CE+CF

35、=CF+BD即CF=EF-BD故答案为：CF=EF-BD【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件8（2022全国八年级课时练习）在ABC中，BE，CD为ABC的角平分线，BE，CD交于点F（1）求证：BFC=90+12A；（2）已知A=60如图1，若BD=4，BC=6.5，求CE的长；如图2，若BF=AC，求AEB的大小【答案】（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100【分析】（1）由三角形内角和定理和角平分线得出FBC+FCB=9012A的度数，再由三角形内角和定理可求出BFC的度数，（2）

36、在BC上取一点G使BG=BD，构造BFGBFD（SAS），再证明FECFGC(ASA)，即可得BC=BD+CE，由此求出答案；（3）延长BA到P，使AP=FC，构造BFCCAP（SAS），得PC=BC，P=BCF=12ACB，再由三角形内角和可求ABC=40，ACB=80，进而可得AEB=180(ABE+A)=100【详解】解：（1）BE、CD分别是ABC与ACB的角平分线，FBC+FCB=12(180A)=9012A，BFC=180(FBC+FCB)=180(9012A)，BFC=90+12A，（2）如解（2）图，在BC上取一点G使BG=BD，由（1）得BFC=90+12A，BAC=60，B

37、FC=120，BFD=EFC=180BFC=60，在BFG与BFD中，BF=BFFBG=FBDBD=BG ，BFGBFD（SAS）BFD=BFG， BFD=BFG=60，CFG=120BFG=60，CFG=CFE=60在FEC与FGC中，CFE=CFGCF=CFECF=GCF，FECFGC(ASA)，CE=CG，BC=BG+CG，BC=BD+CE；BD=4，BC=6.5，CE=2.5（3）如解（3）图，延长BA到P，使AP=FC，BAC=60，PAC=180BAC=120，在BFC与CAP中，BF=ACBFC=CAP=120CF=PA ，BFCCAP（SAS）P=BCF，BC=PC，P=ABC

38、，又P=BCF=12ACB，ACB=2ABC，又ACB+ABC+A=180，3ABC+60=180，ABC=40，ACB=80，ABE=12ABC=20，AEB=180(ABE+A)=180(20+60)=100【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键9（2022江苏八年级课时练习）在ABC中，AD为ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若E48，AEADDC，则ABC的度数为 （2）如图2，ACAB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证

39、明（3）连接AE，若DAE90，BAC24，且满足AB+ACEC，请求出ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）【答案】（1）108；（2）AC+BPAB+PC，见解析；（3）44或104；详见解析【分析】（1）根据等边对等角，可得E=ADE，DAC=C，再根据三角形外角的性质求出ADE=2DAC=48，由此即可解题；（2）在AC边上取一点M使AM=AB，构造ABPAMP，根据MP+MCPC即可得出答案；（3）画出图形，根据点E的位置分四种情况，当点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB，可得GC=EC，可得G=GEC，设ACB=2x，则G=GEC=90x；根据BAC24，AD为

40、ABC的角平分线，可得BAD=DAC=12，可证AGEABE（SAS），得出ABE=G=90x，利用还有 ABE=24+2x，列方程90x=24+2x；当点E在BD上时，EAD90，不成立；当点E在CD上时，EAD90，不成立；当点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB， 可得GC=EC，得出G=GEC，设ACB=2x，则G=GEC=x；BAC24，根据AD为ABC的角平分线，得出BAD=DAC=12，证明AGEABE（SAS），得出ABE=G=x，利用三角形内角和列方程x+24+2x=180，解方程即可【详解】解：（1）AEADDC，E=ADE，DAC=C，E=48，ADE=DAC+C

41、，ADE=2DAC=48，AD为ABC的角平分线，即BAC=2DAC，BAC=48；ABC=1804824=108（2）如图2，在AC边上取一点M使AM=AB，连接MP，在ABP和AMP中，AB=AMBAP=MAPAP=AP ，ABPAMP（SAS），BP=MP，MP+MCPC，MC=ACAM，ACAB+BPPC，AC+BPAB+PC；（3）如图，点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB，AB+ACEC，AG+ACEC，即GC=EC，G=GEC，设ACB=2x，则G=GEC=90x；又BAC24，AD为ABC的角平分线，BAD=DAC=12，又DAE90，BAE90BAD=78，GA

42、E=90DAC=78，BAEGAE，在AGE和ABE中，AE=AEGAE=BAEAG=AB ，AGEABE（SAS），ABE=G=90x，又ABE=BAC+ACB=24+2x，90x=24+2x，解得：x=22，ACB=2x=44；当点E在BD上时，EAD90，不成立；当点E在CD上时，EAD90，不成立；如图，点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB，AB+ACEC，AG+ACEC，即GC=EC，G=GEC，设ACB=2x，则G=GEC=x；又BAC24，AD为ABC的角平分线，BAD=DAC=12，又DAE90，BAE90+BAD=102，GAE=90+DAC=102，BAEGAE，

43、在AGE和ABE中，AE=AEGAE=BAEAG=AB ，AGEABE（SAS），ABE=G=x，x+24+2x=180，解得：x=52，ACB=2x=104ACB的度数为44或104【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质、全等三角形判定和性质，角平分线，三角形外角性质，三角形内角和，解一元一次方程，根据角平分线模型构造全等三角形转换线段和角的关系是解题关键10（2022全国八年级课时练习）如图，在ABC中，C90，AD是BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DEBA于点E，点F在AC上，且BDDF（1）求证：ACAE；（2）若AB7.4，AF1.4，求线段BE的长【答案】（1）见解析；（2）3

44、【分析】（1）证明ACDAED（AAS），即可得出结论；（2）在AB上截取AM=AF，连接MD，证FADMAD（SAS），得FD=MD，ADF=ADM，再证RtMDERtBDE（HL），得ME=BE，求出MB=AB-AM=6，即可求解【详解】解：（1）证明：AD平分BAC，DAC=DAE，DEBA，DEA=DEB=90，C=90，C=DEA=90，在ACD和AED中，C=DEADAC=DAEAD=AD，ACDAED（AAS），AC=AE；（2）在AB上截取AM=AF，连接MD，在FAD和MAD中，AF=AMDAF=DAMAD=AD，FADMAD（SAS），FD=MD，ADF=ADM，BD=DF

45、，BD=MD，在RtMDE和RtBDE中，MD=BDDE=DE，RtMDERtBDE（HL），ME=BE，AF=AM，且AF=1.4，AM=1.4，AB=7.4，MB=AB-AM=7.4-1.4=6，BE12BM3，即BE的长为3【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明FADMAD和RtMDERtBDE是解题的关键11（2021重庆一中八年级阶段练习）如图，在ABC中，A=45（1）如图1，若AC=62，BC=213，求ABC的面积；（2）如图2，D为ABC外的一点，连接CD，BD且CD=CB，ABD=BCD过点C作CEAC交AB的

46、延长线于点E求证：BD+2AB=2AC（3）如图3，在（2）的条件下，作AP平分CAE交CE于点P，过E点作EMAP交AP的延长线于点M点K为直线AC上的一个动点，连接MK，过M点作MKMK，且始终满足MK=MK，连接AK若AC=4，请直接写出AK+MK取得最小值时AK+MK2的值【答案】（1）6；（2）证明见解析；（3）48+242【分析】（1）通过作辅助线构造等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB边上的高和AB，再利用三角形面积公式求解；（2）通过在BE上截取BF=BD，构造出两组全等三角形，即可完成求证；（3）先通过延长ME，构造全等三角形，得出AK+MK=FK+MK，利用轴对称，得出AK

47、+MK的最小值等于FM，最后利用直角三角形的性质与勾股定理进行计算求解即可【详解】解：（1）如图，过C点作CDAB，垂足为点D，A=45，A=ACD=45，AD=CD，AC=62，且AC2=AD2+CD2，AD=CD=6，BC=213，BD=BC2CD2=4，AB=AD-BD=6-4=2,SABC=12ABCD=1226=6，ABC的面积为6（2）如图所示，在BE上截取BF=BD，D+DCB+DBC=180，1+DBC+2=180，且1=BCD，D=2，CD=CB，CDBCBF（SAS），CB=CF，2=3，ABC=EFC，A=45，ACCE，E=45，A=E，ABCEFC（AAS），AC=C

48、E,AB=EF，AE=AB+BF+EF=2AB+BD,AE2=AC2+CE2,AE=2AC,BD+2AB=2AC；（3）如图3，延长ME至F，使MF=MA，连接KF，KMK=AMF=90，AMK=FMK，又MK=MK，AMKFMKSAS，AK=FK，AK+MK=FK+MK，作M点关于AC的对称点M，则MK=MK，AK+MK=FK+MK=FK+MK，连接MK，则MK+FKMF，当M、K、F共线时FK+MK的值最小，等于MF，AK+MK取得最小值时AK+MK2的值即为MF2的值，连接MA、AF，由轴对称的性质可得：MAC=MAC，AM=AM，CAE=45，AM平分CAE，CAM=22.5，MAC=

49、CAM=22.5，MAM=45，MA=MF，且AMF=90，MAF=45，MAF=90，MF2=AM2+AF2，AM2+MF2=2AM2MF2=AM2+AF2=AM2+2AM2=3AM2，如图4，取AE中点O点，连接OC，OM，作MHAE于H，AC=4，AC=CE=4，AE=AC2+CE2=42由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得OA=OC=OE=OM=22，AMO=MAO=22.5，MOH=AMO+MAO=45，MOH=OMH=45，OH=MH，OH2+MH2=OM2=222=8,OH=MH=2，AH=22+2，AM2=AH2+MH2=16+82，AK+MK2=3AM2=48+242；

50、AK+MK2的值为48+242【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、轴对称、等腰三角形的性质与判定等内容，解决本题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形或等腰直角三角形等，本题较为综合，要求学生有较强的理解能力与分析能力12（2022全国八年级专题练习）在ABC中，AE，CD为ABC的角平分线，AE，CD交于点F（1）如图1，若B=60直接写出AFC的大小；求证：AC=AD+CE（2）若图2，若B=90，求证：SACF=SAFD+SCEF+SDEF【答案】（1）120；见解析；（2）见解析【分析】（1）综合三角形的内角和定理以及角平分线的定义求解即可；利用“截

51、长补短”思想，在AC上取点H，使得AD=AH，从而通过全等证得AFD=AFH，再结合的结论进一步证明CFH=CFE，从而通过全等证得CE=CH，即可得出结论；（2）同样利用“截长补短”思想，在AC上取S、T两点，使得AD=AS，CE=CT，连接SF，SE，TF，TE，可通过全等直接先对ADF和CEF的面积进行转换，然后结合（1）中的结论，证明SFET，即可对DEF的面积进行转换，从而得出结论【详解】（1）解：B=60，BAC+BCA=180-B=120，AE平分BAC，CD平分BCA，FAC=12BAC，FCA=12BCA，FAC+FCA=12(BAC+BCA)= 12120=60，AFC=1

52、80-(FAC+FCA)=120；证：如图所示，在AC上取点H，使得AD=AH，在ADF和AHF中，AD=AHDAF=HAFAF=AFADFAHF(SAS)，AFD=AFH，AFD=CFE，AFH=CFE，由可知，AFC=120，CFE=180-120=60，AFH=CFE=60，CFH=60，即：CFH=CFE，在CFH和CFE中，CFH=CFECF=CFHCF=ECFCFHCFE(ASA)，CE=CH，AC=AH+CH，AC=AD+CE；（2）证：如图所示，在AC上取S、T两点，使得AD=AS，CE=CT，连接SF，SE，TF，TE，AE平分BAC，DAF=SAF，在ADF和ASF中，AD

53、=ASDAF=SAFAF=AFADFASF(SAS)，同理可证AEDAES，CEFCTF，DF=SF，DE=SE，FT=FE，DEFSEF，SADF=SASF，SCEF=SCTF，SDEF=SSEF，且AFD=AFS，CFE=CFT，AFD=CFE，AFD=AFS=CFE=CFT，由（1）可得：AFC=90+12B=135，CFE=180-135=45，AFD=AFS=CFE=CFT=45，CFS=135-AFS =90，CFSF，又FT=FE，CT=CE，CF垂直平分EF，即：CFET，SFET，SSFT=SSEF，SDEF=SSFTSACF=SAFS+SCFT+SSFT，SACF=SAFD

54、+SCEF+SDEF【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及三角形角平分线相关的证明问题，掌握基本的辅助线添加思想，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键13（2022全国八年级课时练习）等边ABC中，点H、K分别在边BC、AC上，且AK=CH，连接AH、BK交于点F（1）如图1，求AFB的度数；图1（2）连接CF，若BFC=90，求BFAF的值；（3）如图2，若点G为AC边的中点，连接FG，且AF=2FG，则BFG的大小是_图2【答案】（1）120；（2）2；（3）120【分析】（1）由ABC是等边三角形，可得出AB=AC=BC，BAC=ABC=ACB=60，再利用AK=CH，可证AB

55、KCAHSAS，得出CAH=ABK，由BFH=ABK+BAF=CAH+BAF可求出BFH，最后由补角定义求出AFB.（2）在BF上取点D，使BD=AF，由AFB=120可证AFC=150，再利用AB=AC，ABD=CAF，BD=AF可证明ABDCAFSAS，进而求出ADB=CFA=150，再用补角的性质得知AFD=120，在AFD中利用外角的性质可求出FAD=ADBAFD=30，进而证出AFD为等腰三角形，最后可证出BF=BD+DF=2AF即可求解.（3）延长BF至E，使AFE为等边三角形，延长FG交CE于T，可得出ABFACESAS，进而得出AEC=AFB=120，利用角的和差得出FET=6

56、0=AFE，则证出AF/EC，进而证出AFGCTGAAS，再利用AF=2FG，AF=EF证出EFT为等边三角形，进而证出BFG=120.【详解】（1）ABC是等边三角形，AB=AC=BC，BAC=ABC=ACB=60，在ABK和CAH中，AB=CA，BAK=ACH，AK=CH，ABKCAHSAS，CAH=ABK，BFH=ABK+BAF=CAH+BAF=60，AFB=180BFH=18060=120（2）在BF上取点D，使BD=AF由（1）知AFB=120，又BFC=90，AFC=150在ABD和CAF中，AB=AC，ABD=CAF，BD=AF，ABDCAFSAS，ADB=CFA=150，FDA

57、=30，AFD=120，FAD=ADBAFD=30，FDA=FAD，AF=DF，BD=AF，BD=DF=AF，BF=BD+DF=2AF，BF:AF=2（3）BFG=120提示：目测即得答案详细理由如下：由（1）知AFB=120延长BF至E，使AFE为等边三角形延长FG交CE于TBAF+FAC=FAC+CAE=60 ，BAF=CAE，在BAF和CAE中，AF=AEBAF=CAEAB=AC ,ABFACESAS，AEC=AFB=120FET=60=AFE，AF/ECFAG=TCG，AFE=TEF=60 在AFG和CTG中，FAG=TCGAG=CGFGA=TGC ，AFGCTGAAS，FG=TGAF

58、=2FG，AF=EF，EF=FT，AFE=TEF=60EFT为等边三角形，EFT=60 BFG=180EFT=120【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键.14（2021山东德州八年级期末）数学课上，李老师提出问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，AEF90，且EF交正方形外角的平分线CF于点F求证：AEEF经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路取AB的中点H，连接HE，则BHE为等腰直角三角形，这时只需证AHE与ECF全等即可在此基础上，同学们进行了进一步的探究：

59、（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（不含点B，C）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AEEF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程，如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论“AEEF”是否成立？（填“是”或“否”）；（3）小丽提出：如图4，在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，正方形的边长为1，当E为BC边上（不含点B，C）的某一点时，点F恰好落在直线y2x+3上，请直接写出此时点E的坐标【答案】（1）正确，结论“AEEF”仍然成立，证明过程见解析；（2）是；（3

60、）点E（13，0）【分析】（1）在AB上截取BHBE，连接HE，由“ASA”可证AHEECF，继而根据全等三角形的性质求得结论；（2）在BA的延长线上取一点N，使ANCE，连接NE，由“ASA”可证AHEECF，继而根据全等三角形的性质求得结论；（3）在BA上截取BHBE，连接HE，过点F作FMx轴于M，设点E（a，0），由等腰直角三角形的性质可得HE2a，由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得点F坐标，代入解析式求得a的值，即可求解【详解】（1）仍然成立，如图2，在AB上截取BHBE，连接HE， 四边形ABCD是正方形，ABBC，ABC90BCD，CF平分DCG，DCF45，ECF13

61、5，BHBE，ABBC，BHEBEH45，AHCE，AHEECF135，AEEF，AEB+FEC90，AEB+BAE90，FECBAE，AHEECF（ASA），AEEF；（2）如图3，在BA的延长线上取一点N，使ANCE，连接NEABBC，ANCE，BNBE，NFCE45，四边形ABCD是正方形，ADBE，DAEBEA，NAECEF，在ANE和ECF中，NFCEAN=CENAECEF，ANEECF（ASA）AEEF，故答案是：是；（3）如图4，在BA上截取BHBE，连接HE，过点F作FMx轴于M，设点E（a，0），BEaBH，HE2a，由（1）可得AHEECF，CFHE2a，CF平分DCM，D

62、CFFCM45，FMCM，CFMFCM45，CMFM2a2a，BM1+a，点F（1+a，a），点F恰好落在直线y2x+3上，a2（1+a）+3，a13，点E（13，0）【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质的应用，一次函数的性质等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键15（2021四川成都九年级期末）如图1，在RtABC中，ACB90，ACBC，将点C绕点B顺时针旋转105得到点D，连接BD，过点D作DEBC交CB延长线于点E，点F为线段DE上的一点，且DBF45，作BFD的角平分线FG交AB于点G（1）求BFD的度数；（2）求BF，DF，GF三条

63、线段之间的等量关系式；（3）如图2，设H是直线DE上的一个动点，连接HG，HC，若AB2，求线段HG+HC的最小值（结果保留根号）【答案】（1）120；（2）BF+DFGF，理由见解析；（3）3+6【分析】（1）由平角的性质可求FBE30，再由直角三角形的性质和平角的性质可求解；（2）由“ASA”可证BMGBFD，可得GMDF，即可求解；（3）作点G关于DE的对称点G，连接HG，CG，FG，作GICB交CB的延长线于I，由轴对称的性质可得GFGF，HGHG，DFGDFG60，则HG+HCHC+HGCG，由等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质可求BG的长，由勾股定理可求解【详解】解：（1）CB

64、D105，FBD45，FBE30，DEBC，DEB90，BFE60，BFD120；（2）BF+DFGF，理由如下：如图1，在线段FG上截取 FMFB，连接BM，BFD120，FG平分DFB，GFDGFB60，FBM是等边三角形，BFBM，BMF60，GMBBFD120，ACB90，ACBC，CBA45，CBD105，ABD60MBF，GBMDBF，在BMG与BFD中，GMBBFDBFBMGBMDBFBMGBFD（ASA），GMDF，GBDB，MF+GMGF，BF+DFGF；（3）如图3，设BD与GF交于点O，作点G关于DE的对称点G，连接HG，CG，FG，作GICB交CB的延长线于I，点G与点

65、G关于DE对称，GFGF，HGHG，DFGDFG60，HG+HCHC+HGCG，即HG+HC的最小值为CG，BFD+DFG180，点B，点F，点G三点共线，GBDB，GBD=60, GDB是等边三角形，GDDBGB，DBDG，DBE75，DEB90，BDE15，GDF75，GD FGDF75，BDG90，又DBDG，BG2BD2BCAB2，EBF30，GICB，IG12BG22，BI3GI62，CIBCBI1+62，CGCI2+GI2(1+62)2+123+6，HGHC的最小值为3+6【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质

66、，轴对称的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键16（2021广东深圳八年级期末）在平行四边形ABCD中，ABCD于E，CFAD于F，H为AD上一动点，连接CH，CH交AE于G，且AE=CD=4（1）如图1，若B=60，求CF、AF的长；（2）如图2，当FH=FD时，求证：CG=ED+AG；（3）如图3，若B=60，点H是直线AD上任一点，将线段CH绕C点逆时针旋转60，得到线段CH，请直接写出AH的最小值_【答案】（1）CF=23，AF=8332；（2）见解析；（3）423【分析】（1）由平行四边形性质可得B=D=60，利用30直角三角形性质开得DF=12DC=2，根据勾股定理CF=23

67、，设DE=a，则AD=2a，根据勾股定理42+a2=2a2，解得a=433即可；（2）方法1补短：如图3，延长GA到M使AM=DE，连接MB、MC，由平行四边形ABCD性质，可得ABCD，AB=CD，可证ADEBMA（SAS），可得BM=AD，D=BMA，由CF垂直平分DH，CH=CD，可证BM=BC，再证GM=GC即可；方法2截长：如图4，过点B作BNCH于点N，连接BG，先证CFHCFD（SAS），再证BNCAED（AAS），最后证RtABGRtNBG（HL），可得AG=GN即可，（3）在DA上截取DP=DC，连接CP、PH，先证CDP是等边三角形，可得DCP=HCH=60，CD=CP，可

68、证CDHCPH（SAS），可证PHAE，设PH交AE与Q，点H在射线PQ上运动，当点H运动到点Q是AH最短由DAE=30，先求QP=12AP=4332，由勾股定理AQ=423即可【详解】（1）由平行四边形性质可得B=D=60，在RtCFD中，D=60，FCD=30，CD=4，DF=12DC=2，根据勾股定理CF=CD2DF2=4222=23，在RtAED中，D=60，DAE=30，AE=4， 设DE=a，则AD=2a，根据勾股定理AE2+DE2=AD2，即42+a2=2a2，解得a=433，AD=833，AF=ADDF=8332；（2）方法1补短：如图3，延长GA到M使AM=DE，连接MB、M

69、C，四边形ABCD为平行四边形，ABCD，AB=CD，AECDAEAB，AED=BAM=90，在ADE和BMA中，AE=ABAED=BAMDE=MA，ADEBMA（SAS），BM=AD，D=BMA，CFDH，DF=HF，CF垂直平分DH，CH=CD，D=DHC，D=BMA，DHC=BCH，BMA=BCH，AD=BC，BM=BC，BMC=BCM，GMC=GCM，GM=GC，GC=GM=AG+AM=AG+DE方法2截长：如图4，过点B作BNCH于点N，连接BG，CFAD，CFH=CFD，在CFH和CFD中，FH=FDCFH=CFDCF=CFCFHCFD（SAS），CHF=D，AD/BC，CHF=H

70、CB，在BNC和AED中，NCB=DBNC=AEDBC=ADBNCAED（AAS），CN=DE，BN=AE，AE=CD=AB，BN=AB，AB/CD，AECD于E，BAG=90=BNG，在RtABG和RtNBG中BG=BGAB=NBRtABGRtNBG（HL），AG=GN，CG=GN+NC=AG+DE（3）在DA上截取DP=DC，连接CP、PH，B=D=60，CDP是等边三角形，DCP=HCH=60，CD=CP，DCH=PCH，在CDH和CPH中，CD=CHDCH=PCHCH=CHCDHCPH（SAS），CPH=D=60，CPH=PCD，PH/CD，AECD，PHAE，设PH交AE与Q，点H在

71、射线PQ上运动，当点H运动到点Q是AH最短DAE=30由（1）得：AD=833，CD=DP=4，AP=8334，QP=12AP=4332，AQ=AP2QP2=423，AH的最小值为423故答案为：423【点睛】本题考查平行四边形性质，30度直角三角形性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，线段垂直平分线性质，等边三角形判定与性质，垂线段最短，掌握平行四边形性质，30度直角三角形性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，线段垂直平分线性质，等边三角形判定与性质，垂线段最短是解题关键17（2022江苏八年级课时练习）如图1，在等边三角形ABC中，ADBC于D,CEAB于E,AD与CE相交于点O（1）求证

72、：OA=2DO；（2）如图2，若点G是线段AD上一点，CG平分BCE,BGF=60,GF交CE所在直线于点F求证：GB=GF（3）如图3，若点G是线段OA上一点（不与点O重合），连接BG，在BG下方作BGF=60,边GF交CE所在直线于点F猜想：OG,OF、OA三条线段之间的数量关系，并证明【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）OF=OG+OA，理由见解析【分析】（1）由等边三角形的可求得OAC=OAB=OCA=OCB=30，理由含30角的直角三角形的性质可得OC=2OD，进而可证明结论；（2）理由ASA证明CGBCGF即可证明结论；（3）连接OB，在OF上截取OM=OG，连接GM，可证得

73、OMG是等边三角形，进而可利用ASA证明GMFGOB，得到MF=OB=OA，由OF=OM+MF可说明猜想的正确性【详解】解：（1）证明：ABC为等边三角形，AB=BC=AC，BAC=ACB=60，ADBC，CEAB，AD平分BAC，CE平分ACB，OAC=OAB=OCA=OCB=30，OA=OC，在RtOCD中，ODC=90，OCD=30，OC=2OD，OA=2OD；（2）证明：AB=AC=BC，ADBC，BD=CD，BG=CG，GCB=GBC，CG平分BCE，FCG=BCG=12BCF=15，BGC=150，BGF=60，FGC=360-BGC-BGF=150，BGC=FGC，在CGB和CG

74、F中，GCB=GCFCG=CGBGC=FGC，CGBCGF（ASA），GB=GF；（3）解：OF=OG+OA理由如下：连接OB，在OF上截取OM=OG，连接GM，CA=CB，CEAB，AE=BE，OA=OB，OAB=OBA=30，AOB=120，AOM=BOM=60，OM=OG，OMG是等边三角形，GM=GO=OM，MGO=OMG=60，BGF=60，BGF=MGO，MGF=OGB，GMF=120，GMF=GOB，在GMF和GOB中，MGF=OGBGM=GOGMF=GOB，GMFGOB（ASA），MF=OB，MF=OA，OF=OM+MF，OF=OG+OA【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性

75、质，等边三角形的判定的与性质，含30 角的直角三角形，角平分线的定义等知识的综合运用，属于三角形的综合题，证明相关三角形全等是解题的关键18（2021山东济南七年级期末）本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180，连接AC小明发现，此时AC平分BCD他通过观察、实验，提出以下想法：延长CB到点E，使得BE=CD，连接AE，证明ABEADC，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明AC平分BCD请你参考小明的想法，写出完整的证明过程如图2，当BAD=9

76、0时，请你判断线段AC，BC，CD之间的数量关系，并证明（2）如图3，等腰CDE、等腰ABD的顶点分别为A、C，点B在线段CE上，且ABC+ADC=180，请你判断DAE与DBE的数量关系，并证明【答案】（1）见解析；CD+BC=2AC，证明见解析；（2）DAE=2DBE，证明见解析【分析】（1）参考小明的想法，延长CB到点E，使得BE=CD，连接AE，证明ABEADC，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明AC平分；沿用中辅助线，延长CB到点E，使得BE=CD，连接AE，证得直角三角形CAE，再利用勾股定理可求得AC，BC，CD之间的数量关系；（2）类比（1）中证明的思路，延长CD至F，使得

77、DF=CB，连AF，证明ABCADF、ACDACE，再利用全等三角形的对应角相等和等腰三角形等边对等角的性质，找到DAE与DBE的数量关系【详解】（1）如图，延长CB到点E，使得BE=CD，连接AEADC+ABC=180，ABE+ABC=180，ADC=ABE在ADC与ABE中，AD=ABADC=ABECD=EBADCABE(SAS)ACD=AEB，AC=AEACB=AEBACD=ACBAC平分BCD（2）CD+BC=2AC证明：如图，延长CB到点E，使得BE=CD，连接AE由（1）知，ADCABE(SAS)DAC=BAE，AC=AEBAD=DAC+CAB=90CAE=BAE+CAB=DAC+

78、CAB=BAD=90在直角三角形CAE中，CAE=90CE=AC2+AE2=2ACCD+BC=2AC（3）DAE=2DBE证明：如图，延长CD至F，使得DF=CB，连AF，由（1）知，ABCADF(SAS)AF=AC，ACB=FACD=FACD=ACE在ACD与ACE中，CD=CEACD=ACEAC=ACACDACE(SAS)AD=AEAD=AE=ABADB=ABD，AEB=ABEBAD=1802ADB，BAE=1802ABE，DAE=360BADBAEDAE=3601802ADB1802ABE=2ADB+2ABE=2DBE【点睛】本题考查三角形的基本知识、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形

79、的性质与判定综合性较强19（2021广东茂名九年级阶段练习）在ABCD中，直线MN经过点A，BEMN于E，CFMN于F，DGMN于G请解答下列问题：（1）如图，求证：BE+CF=DG；（提示：过点C作CHDG于H）（2）如图、图，线段BE，CF，DG之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明；（3）在（1）（2）的条件下，若CD=10，AE=6，CF=1，则DG=_【答案】（1）证明见解析；（2）图：DG=BECF，图：DG=CFBE；（3）9或7【分析】（1）如图过点C作CHDG于点H，先利用垂直和平行求得BAE=DCH，根据全等三角形的性质得到BE=DH，根据矩形的性质得到CF=G

80、H，根据线段的和差即可得到结论；（2）同理可得BE=DH， CF=GH，根据线段的和差即可得到结论；（3）先利用勾股定理求出BE，根据（1）（2）的结论代入数据即可得到结论【详解】（1）证明：过点C作CHDG于点H，则CHD=AEBDGMN，GAD+GDA=90，AB/CD，BAD+ADC=180BAE+CDH=90，BEMN，即BAG+ABE=90，ABE=CDH，又在ABCD中，AB=CD，ABECDH(AAS)，BE=DH，GHC=HGF=GFC=90四边形HGFC为矩形，CF=GH，BE+CF=DH+GH=DG；（2）图：DG=BECF，图：DG=CFBE；理由：如图，过点C作CHDG

81、交DG的延长线于H，则CHD=AEB同理可得：BE=DH，CF=GH，DG=DHGH=BECF；如图，过点C作CHDG交DG的延长线于H， 同理可得：BE=DH，CF=GH，DG=GHDH=CFDE；（3）解：如图，AB=CD=10，AE=6，ABE=90，BE=AB2AE2=10262=8 CF=1，由（1）得DG=BE+CF=8+1=9；如图同理DG=BECF=81=7；图不存在，综上所述，DG=9或7，故答案为：9或7【点睛】本题考查了四边形的综合题，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键20（2021四川成都二模）如图，点C在以AB为直径的O上

82、，BD平分ABC交O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E（1）求证：DE与O相切；（2）若AB6，tanA2，求BE的长；（3）线段AB，BE，CE之间有何数量关系？写出你的结论并证明【答案】（1）见解析；（2）4；（3）CEABBE，见解析【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到ODBCBD，根据平行线的性质得到ODDE，于是得到结论；（2）根据圆周角定理得到ADB90，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）过D作DHAB于H，根据角平分线的性质得到DHDE，根据全等三角形的性质即可得到结论【详解】解：（1）证明：连接OD，ODOB，ODBOBD，BD平分ABC，OB

83、DCBD，ODBCBD，ODBE，BEDE，ODDE，DE与O相切（2）解：AB是O的直径，ADB90，AB6，tanA2，BD2AD，设ADm，则BD2m，m2+2m236，m23或23（舍弃），AD23，BD26，BEDE，ADBBED90，BD平分ABC，OBDCBD，ABDDBE，ABBD=BDBE，626=26BE，BE4（3）解：结论CEABBE，理由：过D作DHAB于H，BD平分ABC，DEBE，DHDE，在RtBED与RtBHD中，DE=DHBD=BD，RtBEDRtBHD（HL），BHBE，DCEA，DHADEC90，ADHCDE（AAS），AHCE，ABAH+BH，ABBE

84、+CE，CEABBE【点睛】本题属于圆的综合问题，考查了切线的判定，角平分线的性质，圆的有关性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题21（2021重庆八中一模）如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，ADE为等边三角形（1）若点E为BD的中点，AD4，CD5，求BCE的面积；（2）如图2，若BCCD，点F为CD的中点，求证：AB2AF；（3）如图3，若ABCD，BAD90，点P为四边形ABCD内一点，且APD90，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ当AB62，AD42，tanABC2时，求CQ1010BQ的最小值【答案】（

85、1）SBCE=3923 (2)证明见解析（3）CQ1010BQ的最小值为25【分析】（1）根据点E是BD的中点，可得SBCE=SCDE ,在作边CE的高DF,根据等边三角形三线合一DF也是AED 的高，根据勾股定理计算出DF的长度，在直角三角形DFC中利用勾股定理计算出CF,得出CE的值，利用三角形的面积公式计算出面积（2）延长AF,是2AF=AG,证明ADFGCF,得出CM=AD，再根据ACD+BDC= 60，得出ACG =ABE ,从而证明ABEAMC ,得出AB=AG，得出结论（3）根据APD =90，知道点P的运动轨迹是以AD为直径的圆，圆心记为N，点Q是BP的中点，得到点Q的运动轨迹

86、是以BN的中点为圆心，半径为2 的圆。由 sinNBA=1010 ，构造直角三角形QGB，点G为直角顶点，可得sinQBG=1010=QGBQ,得QG=1010BQ ，可知CQ1010BQ=CQ+QG,故根据两点之间线段最短得最小值为CG的长度，又点G的运动轨迹为以AB为中点的圆圆心为L,当点C、点Q、点G在同一条直线上时，CG的值最小，从而得出结果【详解】解：作DFAC点E是BD的中点BE=DE故SBCE=SCDEAD=4,ADE是等边三角形，DFAEAF=EF=2,ADF=30DF=23 在RtDEC中，CD=5,DF=23,根据勾股定理得：FC=13 CE=CF-EF=132 SCDE=

87、12CEDF=12(132)23 =3923 (2)证明：延长AF使AF=FG如下图AED是等边三角形AED=ADE=60，AE=AD=EDAF=FG，点F是CD的中点CF=FD又AFD=CFGAFDGFCCG=AD，FCG=ADFCG=AE又CEB=ECD+EDC=60，ACG=FCG+ACD=ADF+ACD=120又AEB=120AEB=ACG，CAG=ABD又CG=AEABEAGCAB=AG故AB=2AF(3)如下图，过点Q作QGBG，使NBE=GBQ,在RtBQG中，sinBQG=QGBQ=1010 则GQ=1010BQ,故CQ1010BQ=CQ+QG，由APD=90，可知点P的运动轨

88、迹为AD为直径的圆，N 点G为以BE的中点为圆心的圆，点G的运动轨迹为圆当点C、Q、G在同一条直线上时，CQ+QG的长度最小ABCD，APD90四边形ADCK为正方形，有AD=42 AB=62 CK=AD=42又tanABC2BC=210 AN=32 ，GN=2 CL=CD-DL=2BGN=GCLRtBGNRtGCLBG=CG在RtBGC中，BC=210CG=25 即CQ1010BQ的最小值=25【点睛】本题考查三角形的面积、等边三角形的性质、全等三角形、锐角三角函数、动点问题隐圆问题，了解直径所对的圆周角等于90是隐圆问题的常用思路，了解瓜豆原理对本题的理解有很大的帮助了解截长补短法添加辅助

89、线是关键。转换思想是重要的数学思想22（2022全国八年级专题练习）如图，在ABC中，AC=BC，AD平分CAB（1）如图1，若ACB=90，求证：AB=AC+CD；（2）如图2，若AB=AC+BD，求ACB的度数；（3）如图3，若ACB=100，求证：AB=AD+CD【答案】（1）见详解；（2）108；（3）见详解【分析】（1）如图1，过D作DMAB于M，由 CACB，ACB=90，得ABC是等腰直角三角形，根据角平分线的性质得到CDMD，ABC45，根据全等三角形的性质得到ACAM，于是得到结论；（2）如图2，设ACB，则CABCBA9012，在AB上截取AKAC，连结DK，根据角平分线的

90、定义得到CADKAD，根据全等三角形的性质得到ACDAKD，根据三角形的内角和即可得到结论；（3）如图3，在AB上截取AHAD，连接DH，根据等腰三角形的性质得到CABCBA40，根据角平分线的定义得到HADCAD20，求得ADHAHD80，在AB上截取AKAC，连接DK，根据全等三角形的性质得到ACBAKD100，CDDK，根据等腰三角形的性质得到DHBH，于是得到结论【详解】（1）如图1，过D作DMAB于M，在ABC中，AC=BC， ABC45，ACB90，AD是角平分线，CDMD， BDMABC45，BMDM，BMCD，在RTADC和RTADM中，CDMDADAD，RTADCRTADM（

91、HL），ACAM，ABAMBMACCD，即ABACCD；（2）设ACB，则CABCBA9012，在AB上截取AKAC，连结DK，如图2，ABACBD，AB=AK+BKBKBD，AD是角平分线，CADKAD，在CAD和KAD中，ACAKCADKADADAD CADKAD（SAS），ACDAKD，BKD180，BKBD，BDK180，在BDK中，1801809012180，108，ACB108；（3）如图3，在AB上截取AHAD，连接DH，ACB100，ACBC，CABCBA40，AD是角平分线，HADCAD20，ADHAHD80，在AB上截取AKAC，连接DK，由（1）得，CADKAD，ACBA

92、KD100，CDDK，DKH80DHK，DKDHCD，CBA40，BDHDHK -CBA =40，DHBH，BHCD，ABAHBH，ABADCD【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键23（2022江苏八年级课时练习）（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，ABAD，BAD120，BADC90，E、F分别是BC，CD上的点且EAF60，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G使DGBE连结AG，先证明 ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是_；（2

93、）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，ABAD，B+D180E，F分别是BC，CD上的点，且EAF=12BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70，试求此时两舰艇之间的距离【答案】（1）EFBE+DF；（2）结论EFBE+DF仍然成立；（3）此时两舰艇之

94、间的距离是210海里【分析】（1）延长FD到点G，使DG=BE连结AG，即可证明ABEADG，可得AE=AG，再证明AEFAGF，可得EF=FG，即可解题；（2）延长FD到点G，使DG=BE连结AG，即可证明ABEADG，可得AE=AG，再证明AEFAGF，可得EF=FG，即可解题；（3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后与（2）同理可证【详解】解：（1）EFBE+DF，证明如下：在ABE和ADG中，DG=BEB=ADGAB=AD，ABEADG（SAS），AEAG，BAEDAG，EAF=12BAD，GAFDAG+DAFBAE+DAFBADEAFEAF，EAFGAF，在AEF和GAF中，A

95、E=AGEAF=GAFAF=AF，AEFAGF（SAS），EFFG，FGDG+DFBE+DF，EFBE+DF；故答案为 EFBE+DF（2）结论EFBE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G使DGBE连结AG，如图2，在ABE和ADG中，DG=BEB=ADGAB=AD，ABEADG（SAS），AEAG，BAEDAG，EAF=12BAD，GAFDAG+DAFBAE+DAFBADEAFEAF，EAFGAF，在AEF和GAF中，AE=AGEAF=GAFAF=AF，AEFAGF（SAS），EFFG，FGDG+DFBE+DF，EFBE+DF；（3）如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，AOB30+9

96、0+（9070）140，EOF70，EOF=12AOB，又OAOB，OAC+OBC（9030）+（70+50）180，符合探索延伸中的条件，结论EFAE+BF成立，即EF2（45+60）210（海里）答：此时两舰艇之间的距离是210海里【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边相等的性质，本题中求证AEFAGF是解题的关键24（2022江苏八年级课时练习）已知在四边形ABCD中，ABCADC180，BADBCD180，ABBC（1）如图1，连接BD，若BAD90，AD7，求DC的长度（2）如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQAPCQ，求证：PBQABPQBC（3）若点Q

97、在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQAPCQ，请写出PBQ与ADC的数量关系，并给出证明过程【答案】（1）DC=7；（2）见解析；（3）PBQ=90+12ADC，证明见解析【分析】（1）根据已知条件得出BDC为直角三角形，再根据HL证出RtBADRtBCD，从而证出AD=CD即可得出结论；（2）如图2，延长DC到 K，使得CK=AP，连接BK，通过证BPABCK（SAS）得到：1=2，BP=BK然后根据SSS证明得PBQBKQ，从而得出PBQ=2+CBQ=1+CBQ，然后得出结论；（3）如图3，在CD延长线上找一点K，使得KC=AP，连接BK，构建全等三角形：BPA

98、BCK（SAS），由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理SSS证得：PBQBKQ，则其对应角相等：PBQ=KBQ，结合四边形的内角和是360可以推得：PBQ=90+12ADC【详解】（1）证明：如图1，ABC+ADC=180，BAD=90，BCD=BAD=90，在RtBAD和RtBCD中，BD=BDAB=BCRtBADRtBCDHL，AD=DC，DC=7；（2）如图2，延长DC至点K，使得CK=AP，连接BKABC+ADC=180，BAD+BCD=180，BCD+BCK=180，BAD=BCK，AP=CK，AB=BC，BPABCKSAS，1=2，BP=BK，PQ=AP+CQ，QK=CK+C

99、Q，PQ=QK，BP=BK，BQ=BQ，PBQBKQSSS，PBQ=2+CBQ=1+CBQ，PBQ=ABP+QBC；（3）PBQ=90+12ADC；如图3，在CD延长线上找一点K，使得KC=AP，连接BK，ABC+ADC=180，BAD+BCD=180，BAD+PAB=180，PAB=BCK，在BPA和BCK中，AP=CKBAP=BCKAB=BCBPABCKSAS，ABP=CBK，BP=BK，PBK=ABC，PQ=AP+CQ，PQ=QK，在PBQ和BKQ中，BP=BKBQ=BQPQ=KQPBQBKQSSS，PBQ=KBQ，2PBQ+PBK=2PBQ+ABC=360，2PBQ+180ADC=360，PBQ=90+12ADC【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形