专题8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系（原卷版）.docx

1、8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系思维导图知识点总结1.与平面有关的基本事实及推论(1)与平面有关的三个基本事实基本事实1：过 的三个点，有且只有一个平面.基本事实2：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 过该点的公共直线.(2)“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条 直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条 直线，有且只有一个平面.2.空间点、直线、平面之间的位置关系(1)空间中直线与直线的位置关系(2)空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有：直线

2、在平面内、直线与平面 、直线与平面 三种情况.(3)空间中平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有 、 两种情况.3.基本事实4和等角定理(1)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线 .(2)等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 .4.异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围： .常用结论1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3；2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角

3、.典型例题分析考向一 基本事实的应用例1 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中点，连接D1F，CE.求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点.感悟提升共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.考向二 空间两直线位置关系的判断例2 (1)(多选)已知A，B是不在平面内的任意两点，则()A.在平面内存在直线与直线AB异

4、面B.在平面内存在直线与直线AB相交C.存在过直线AB的平面与平面垂直D.在平面内存在直线与直线AB平行(2)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为_.感悟提升空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.异面直线的判定可采用直接法或反证法；平行直线的判定可利用三角形(梯形)中位线的性质、基本事实4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系的判定往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.考向三 求异面直线所成的角例3 (1)(2021全国乙卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(

5、)A. B. C. D.(2) (1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A. B. C. D.感悟提升综合法求异面直线所成角的步骤：(1)作：通过作平行线得到相交直线；(2)证：证明所作角为异面直线所成的角(或其补角)；(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.基础题型训练一、单选题1已知，则与两边方向相同的等于（）A60B60或120C120D以上结论都不对2在正方体中，异面直线与所成角的大小为ABCD3异面直线上分别有4个点和5个点，由这9个点可

6、以确定的平面个数是()A20B9CD4已知、是不同的直线，、是不同的平面，下列命题中真命题为（）A若，则B若，则C若，则D若，则5平面的斜线l与平面交于点A，且斜线l与平面所成的角是，则与平面内所有不过点A的直线所成的角的范围是（）ABCD6如图，在正四棱锥中，设直线与直线、平面所成的角分别为、，二面角的大小为，则（）ABCD二、多选题7下列命题中正确的是（）A如果一个平面内有两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行B如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C分别在两个平行平面内的两条直线互相平行D过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行8已知m，n为两条不同

7、的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A若，则；B若，则；C若，则；D若，则；三、填空题9正方体中，异面直线与所成角的大小为_10如图所示，正方形的边长为，已知， 将直角沿边折起，折起后点在平面上的射影为点，则翻折后的几何体中与所成角的正切值为_11下列命题正确的有_若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内;若直线上有无数个点不在平面内,则;若直线与平面相交,则与平面内的任意直线都是异面直线;如果两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交;若直线与平面平行,则与平面内的直线平行或异面;若平面平面,直线a,直线b,则直线ab.12三棱锥PABC中，二面角PABC为

8、120，和均为边长为2的正三角形，则三棱锥PABC外接球的半径为_四、解答题13四条线段顺次首尾相接，所得的图形一定是平面图形吗？为什么？14在四面体中，分别是，的中点，分别是边，上的点，且求证：(1)，四点共面；(2)直线，相交于一点15空间四边形中，点分别为对角线、的中点.（1）若直线与所成角为，求直线与所成角的大小；（2）若直线与所成角为，求直线与所成角的大小.16如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1平面ABC，BAC=90，AC=AB=AA1，E是BC的中点（1）求证：AEB1C；（2）求异面直线AE与A1C所成的角的大小；（3）若G为C1C中点，求二面角C-AG-E的正切值提

9、升题型训练一、单选题1给出下列三个命题：若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点；若直线与平面所成角为，则经过有且只有一个平面与垂直；平行于同一条直线的两个平面平行.其中正确命题的个数是（）A0B1C2D32设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则3给出以下结论：（1）直线平面，直线b，则ab；（2）若a，b，则a、b无公共点；（3）若a，则a或a与相交；（4）若aA，则a.正确的个数为（）A1个B2个C3个D4个4如图，在长方体中，且为的中点，则直线与所成角的大小为（）ABCD5下列命题：若m，则m与内的任何直线平行；

10、若，b，m，且bm，则b；若m，n，且m，n，则；若m，n，且am，an，则a；若l1l2=P，l2l3=Q，l3l1=S(P、Q、S是不同的三点)，则l1，l2，l3共面；其中真命题的个数是（）A0B1C2D36如图，空间四边形ABCD中，ABCD，AB与CD所成角为，点E，F分别为BC，AD的中点，则直线AB与EF所成角为（）A或BCD或二、多选题7给出以下说法,其中正确的是A不共面的四点中,其中任意三点不共线B若点共面,点共面,则点共面C若直线共面,直线共面,则直线共面D过直线外一点和直线上三点的三条直线共面8如图，在长方体中，M，N分别为棱的中点，则下列说法正确的是（）AM，N，A，B

11、四点共面B直线与平面相交C直线和所成的角为D平面和平面的夹角的正切值为2三、填空题9设与的两边分别平行，若，则_.10若向量，且共面，则_.11如图，在正方体中，中点为P，则过PAC三点的截面面积为_.12已知a、b是异面直线，M为空间一点，Ma，Mb给出下列命题：存在一个平面，使得b，a；存在一个平面，使得b，a；存在一条直线l，使得Ml，la，lb；存在一条直线l，使得Ml，l与a、b都相交其中真命题的序号是_（请将真命题的序号全部写上）四、解答题13四条线段顺次首尾相接，所得的图形一定是平面图形吗？为什么？14空间四边形中，分别在上，且满足，求证：三线共点15如图，在四面体中，（）证明：；（）求二面角的大小16已知S是矩形所在平面外一点，与所成角大小为，与所成角大小为，分别求直线与的距离及与的距离