专题9.28 正方形（分层练习）（提升练）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）.docx

1、专题9.28 正方形（分层练习）（提升练）一、 单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1（2023下重庆荣昌八年级统考期末）下列命题：对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；其中是真命题的个数是（）A个 B个 C个 D个2（2022下湖北宜昌八年级校考期中）如图，在正方形中，点F为上的一点，与交于点E若，则等于（）A B C D3（2023上广东茂名九年级统考期中）如图，是正方形的对角线，E是上的点，将沿折叠，使点B落在点F处，则（）A B C D4（2021下浙江衢州八年级统考期末）

2、如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，ACBD，E，F分别是AB，CD的中点，若ACBD2，则EF的长是（）A2 B C D5（2024上广东清远九年级统考期末）如图，正方形的边长为8，E为边上一点，连接，取中点F，连接，则的长为（）A3 B4 C5 D66（2023下江苏苏州八年级苏州高新区实验初级中学校考阶段练习）如图，已知四边形为正方形，点为对角线上一动点，连接，过点作交射线于点，以、为邻边作矩形，连接则的值为（）A4BCD不确定7（2023下湖南湘西八年级校联考期中）如上图所示，矩形，点是边上的一个动点，点是对角线上一个动点，连接，则的最小值是（）A6BC12D8（2021

3、下河北廊坊八年级期中）如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是BC上的一点且CE=3，连接DE，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿AB-BC-CD-DA向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当ABM和DCE全等时，t的值是（）A3.5B5.5C6.5D3.5或6.59（2022内蒙古包头中考真题）如图，在矩形中，点E，F分别在边上， ，AF与相交于点O，连接，若，则与之间的数量关系正确的是（）ABCD10（2021浙江温州统考中考真题）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点若，则的值为（）ABCD二、 填空题（本

4、大题共8小题，每小题4分，共32分）11（2023下江苏南京八年级南京钟英中学校考阶段练习）如图，同一平面内的四条平行直线、分别过正方形的四个顶点、，且每相邻的两条平行直线间的距离都为1，则该正方形的面积是 12（2021上福建漳州九年级统考期末）若正方形的对角线的长为4，则该正方形的面积为 13（2022下山东济宁八年级校考期末）如图，已知点D在ABC的BC边上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，若添加条件 ，则四边形AEDF是矩形；若添加条件 ，则四边形AEDF是菱形；若添加条件 ，则四边形AEDF是正方形14（2022下山西朔州八年级统考期中）如图，直线经过正方形的顶点，分别过点、

5、作于点，于点，若，则的长为 15（2020江苏镇江统考中考真题）如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，12，则BPC的度数为 16（2013河南中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为 17（2022上广东佛山九年级统考期末）如图，正方形ABCD内有一等边三角形BCE，直线DE交AB于点H，过点E作直线GFDH交BC于点G，交AD于点F以下结论：CEG15；AFDF；BH3AH；BEHE+GE；正确的有 （填序号）18（2021下天津八年级耀华中学校考期中）如图，是等边三角形，

6、M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点，（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为时，正方形的边长为 三、解答题（本大题共6小题，共58分）19（8分）（2022贵州贵阳统考中考真题）如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为，点在上，且（1）求证：；（2）若，求的长20（8分）（2022新疆统考中考真题）如图，在巾，点O为BC的中点，点D是线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将沿AD折叠得到，连接BE（1）当时，_；（2）探究与之间的数量关系，并给出证明；（3）设，的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式21（10

7、分）（2022上山东青岛九年级山东省青岛第七中学校考期中）如图，在四边形中，点，分别是，的中点（1）求证： （2）求证：四边形是菱形（3）给三角形添加一个条件_，使得四边形是正方形，并证明你的结论22（10分）（2022黑龙江绥化校考一模）如图，在ABC中，AB=BC，ABC=90，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F，G是边AC的三等分点DF，EG的延长线相交于点H，连接AH，CH，BF，BG（1）求证：四边形FBGH是菱形；（2）判断四边形ABCH的形状，并证明你的结论；（3）若DF，求AB的长23（10分）（2022下湖北襄阳八年级统考期末）如图，已知中，点D为边BC上一动点，四边形是

8、正方形，连接GC，正方形对角线AE交BC于点F，（1）判断BD与CG的数量关系，并证明；（2）求证：；（3）若，求AE的值24（12分）（2023四川成都统考一模）如图，在四边形中，且，对角线和相交于点O，且，过点B作，交于点E，连结（1）求证：；（2）试探究四边形的形状，并说明理由；（3）若，求四边形的面积参考答案：1A【分析】利用正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项解：对角线相等的菱形是正方形，正确，是真命题，符合题意；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确，是真命题，符合题意；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确，是真命题，符合题意；对角线互相垂直的矩形是正方形

9、，正确，是真命题，符合题意真命题有个，故选A【点拨】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度中等2A【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理；先证明，求出，再在中利用三角形内角和定理可求度数解：四边形是正方形，又，故选：A3B【分析】本题考查了正方形的折叠问题及勾股定理，熟练掌握正方形的性质，在中，利用勾股定理求得x的值是解题的关键解：设，四边形是正方形，且是对角线，是由沿折叠得到，且，在中，解得：或（舍去），故选B4D【分析】分别取的中点为，连接，利用中点四边形的性质可以推出，再根据，可以推导出四边形是正方形即可求解解：分别取的中点为

10、，连接，分别是的中点，又，四边形是正方形，故选：D【点拨】本题考查了中点四边形的性质、正方形的判定及性质，解题的关键是作出适当的辅助线，利用题意证明出四边形是正方形5C【分析】本题主要考查正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理，根据题意求出，根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，故可得答案解：四边形是正方形，；在中，点F是的中点，是斜边上的中线，故选：C6A【分析】如图，作，于点M，N，则点E是正方形对角线上的点，证明，得出，进而证明，得出，根据即可求解；解：如图，作，于点M，N，则点E是正方形对角线上的点，即在和中，四边形是矩形，矩形是正方

11、形，又，故选：A【点拨】本题考查了正方形的性质，勾股定理，掌握正方形的性质，全等三角形的性质与判定是解题的关键7B【分析】作点关于的对称点，过点作于点，交于点，即可得到的最小值为，再解直角三角形即可解答解：作点关于的对称点，过点作于点，交于点，如图：由对称性可得，当，三点共线，且时，即点在点处，点在点处时，的值最小，故选：B【点拨】本题主要考查矩形的性质和线段和最小值问题，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，解题的关键在于作出适当的辅助线8D【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BM=2t-4=3和AM=16-2t=3即可求得解：如图，当点M在BC上时，ABM和DCE全等，BM=CE，由题

12、意得：BM=2t-4=3，所以t=3.5（秒）；当点M在AD上时，ABM和CDE全等，AM=CE，由题意得：AM=16-2t=3，解得t=6.5（秒）所以，当t的值为3.5秒或6.5秒时ABM和DCE全等故选：D【点拨】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定，解题的关键是掌握正方形的性质9A【分析】过点O作OMBC于点M，先证明四边形ABFE是正方形，得出，再利用勾股定理得出，即可得出答案解：过点O作OMBC于点M，四边形ABCD是矩形， AEF=180-BAD=90，四边形ABFE是矩形，又AB=AE，四边形ABFE是正方形，EF=BF，EF=2CF，由勾股定理得，故选：A【点拨】本题考查

13、了矩形的性质，正方形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键10C【分析】如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q，根据题意可知BE=PC=DF，AE=BP=CF，根据可得BE=PE=PC=PF=DF，根据正方形的性质可证明FDG是等腰直角三角形，可得DG=FD，根据三角形中位线的性质可得PH=FQ，CH=QH=CQ，利用ASA可证明CPHGDQ，可得PH=QD，即可得出PH=BE，可得BH=，利用勾股定理可用BE表示长CH的长，即可表示出CG的长，进而可得答案解：如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q，由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形，BE=PC=DF

14、，AE=BP=CF，BE=PE=PC=PF=DF，CFD=BPC，DF/EH，PH为CFQ的中位线，PH=QF，CH=HQ，四边形EPFN是正方形，EFN=45，GDDF，FDG是等腰直角三角形，DG=FD=PC，GDQ=CPH=90，DG/CF，DGQ=PCH，在DGQ和PCH中，DGQPCH，PH=DQ，CH=GQ，PH=DF=BE，CG=3CH，BH=BE+PE+PH=，在RtPCH中，CH=，CG=BE，故选：C【点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键115【分析】过作，交于点，交于点，根据平行线的性质，得

15、出，再根据正方形的性质，结合角之间的数量关系，得出，再根据“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据勾股定理，得出，再根据正方形的面积公式，结合二次根式的性质计算即可解：过作，交于点，交于点，四边形是正方形，又，在和中，在中，【点拨】本题考查了平行线之间距离、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次根式的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理128【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解解：正方形的一条对角线的长为4，这个正方形的面积=4=8故答案为：8【点拨】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的面积的两种求法是解题的关键13 BAC90 A

16、D平分BAC BAC90且AD平分BAC（答案不唯一）【分析】先利用平行四边形的判定方法得到四边形AEDF为平行四边形，然后根据矩形、菱形和正方形的判定方法添加条件解：DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，四边形AEDF为平行四边形，当BAC90时，四边形AEDF是矩形；当AD平分BAC时，四边形AEDF是菱形；BAC90且AD平分BAC，四边形AEDF是正方形 ,BAC90，故答案为BAC90，AD平分BAC，BAC90且AD平分BAC【点拨】本题考查了正方形的判定：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角也考查了菱形和矩形的判定，

17、掌握判定定理是解题的关键149【分析】利用同角的余角相等，证得，根据垂直定义，得，结合已知，证得，进而证得，据此可求出，问题得解解：四边形是正方形，在和中 ，故答案为：9【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质等知识，正确寻找全等三角形，学会利用同角的余角相等是解本题的关键15135【分析】由正方形的性质可得ACBBAC45，可得2BCP451BCP，由三角形内角和定理可求解解：四边形ABCD是正方形ACBBAC452+BCP45121+BCP45BPC1801BCPBPC135故答案为：135【点拨】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是本题的关键163或

18、【分析】当CEB为直角三角形时，有两种情况：当点B落在矩形内部时，如答图1所示连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得ABE=B=90，而当CEB为直角三角形时，只能得到EBC=90，所以点A、B、C共线，即B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B处，则EB=EB，AB=AB=3，可计算出CB=2，设BE=x，则EB=x，CE=4-x，然后在RtCEB中运用勾股定理可计算出x当点B落在AD边上时，如答图2所示此时ABEB为正方形解：当CEB为直角三角形时，有两种情况：当点B落在矩形内部时，如答图1所示连结AC，在RtABC中，AB=3，BC=4，AC=5，B沿AE折叠，使点B

19、落在点B处，ABE=B=90，当CEB为直角三角形时，只能得到EBC=90，点A、B、C共线，即B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B处，EB=EB，AB=AB=3，CB=5-3=2，设BE=x，则EB=x，CE=4-x，在RtCEB中，EB2+CB2=CE2，x2+22=（4-x）2，解得，BE=；当点B落在AD边上时，如答图2所示此时ABEB为正方形，BE=AB=3综上所述，BE的长为或3故答案为：或3【点拨】此题考查了折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质17【分析】由正方形的性质和等边三角

20、形的性质可得，可得，可求，故正确；由“ “可证，可得，可证，由线段垂直平分线的性质可得，故错误；设，由等边三角形的性质和三角形中位线定理分别求出，的长，可判断，通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，可证，由三角形三边关系可判断，即可求解解：四边形是正方形，是等边三角形，故正确；如图，连接，过点作直线于，交于，连接，又，又，故错误；设，四边形是矩形，是等边三角形，又，故错误；如图，连接，点，点，点，点四点共圆，故错误；故答案为：【点拨】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些性质解决问题18【分析】首先通过SAS判

21、定，得出，因为,得出是等边三角形，AM+BM+CM=EN+MN+CM，而且为最小值，我们可以得出EC=，作辅助线，过点E作交CB的延长线于F，由题意求出，设正方形的边长为x，在中，根据勾股定理求得正方形的边长为解：为正三角形，BD是正方形ABCD的对角线，在和中，（SAS）在中，又，为等边三角形，AM+BM+CM最小值为EN+MN+CM的最小值为即CE=过点E作交CB的延长线于F，可得设正方形的边长为x，则BF=，在，解得（负值舍去）正方形的边长为故答案为：【点拨】本题考查了等边三角形和正方形边相等的性质，全等三角形的判定，灵活使用辅助线，掌握直角三角的性质，熟练运用勾股定理是解题的关键19（

22、1）见详解；（2）【分析】（1）先证明四边形ADFM是矩形，得到AD=MF，AMF=90=MFD，再利用MNBE证得MBO=OMF，结合A=90=NFM即可证明；（2）利用勾股定理求得BE=10=MN，根据垂直平分线的性质可得BO=OE=5，BM=ME，即有AM=AB-BM=8-ME，在RtAME中，可得，解得：，即有，再在RtBMO中利用勾股定理即可求出MO，则NO可求解：（1）在正方形ABCD中，有AD=DC=CB=AB，A=D=C=90，A=D=90，四边形ADFM是矩形，AD=MF，AMF=90=MFD，BMF=90=NFM，即BMO+OMF=90，AB=AD=MF，MN是BE的垂直平

23、分线，MNBE，BOM=90=BMO+MBO，MBO=OMF，ABEFMN；（2）连接ME，如图，AB=8，AE=6，在RtABE中，根据（1）中全等的结论可知MN=BE=10，MN是BE的垂直平分线，BO=OE=5，BM=ME，AM=AB-BM=8-ME，在RtAME中，解得：，在RtBMO中，ON=MN-MO=即NO的长为：【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、正方形的性质、垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，掌握勾股定理是解答本题的关键20（1）；（2）；（3）【分析】（1）首先由折叠的性质可得，再由等腰三角形的性质可求解；（2）首先由折叠的性质可得，再由等腰三角形的

24、性质可得，最后根据角度关系即可求解；（3）首先由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求的长，由勾股定理可求的长，最后根据面积和差关系可求解解：（1），将沿折叠得到，ABE是等边三角形，故答案为：60；（2），理由如下：将沿折叠得到，；（3）如图，连接，点是的中点，【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关性质并能够灵活运用21（1）见分析；（2）见分析；（3），理由见分析【分析】（1）根据全等三角形的判定解答即可；（2）证明四边形是平行四边形，再证明四边形是平行四边形，推出邻边相等即可证明；（3）当，有是的中点，由等腰三角形的性质，

25、即，根据正方形的判定解答即可解：（1）证明：，；（2）证明：由（1），四边形是平行四边形，点，分别是，的中点，四边形是平行四边形，点是的中点，平行四边形是菱形；（3）解：当时，四边形是正方形，理由：由（2）知四边形是菱形，点是的中点，即，菱形是正方形故答案为：.【点拨】本题考查正方形的判定、菱形的判定及性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质以及正方形的判定解答22（1）见分析；（2）四边形ABCH是正方形，理由见分析；（3）AB=6【分析】（1）由DF是ABG的中位线，则DFBG，同理EGBF，得四边形FBGH为平行四边形，再利用SAS证明ABFCBG

26、，得BF=BG，从而证明结论；（2）连接BH交AC于点O，由（1）知，四边形ABCH是菱形，再根据AB=CB，可知四边形ABCH是正方形；（3）由菱形的性质可知FH=BG=2，则DH=DF+FH=+2=3，设AD=x，则AB=2x，利用勾股定理即可解决问题解：（1）证明：点F、G是边AC的三等分点，AF=FG=GC，又D为AB中点，DF是ABG的中位线，DFBG，同理EGBF，四边形FBGH为平行四边形，ABC=90，AB=BC，BAF=BCG=45，在ABF和CBG中，ABFCBG（SAS），BF=BG，四边形FBGH是菱形；（2）解：四边形ABCH是正方形，理由如下：如图，连接BH交AC于

27、点O，四边形FBGH是菱形，OF=OG，OB=OH，FGBH，由（1）得AF=CG，OF+AF=OG+CG，即OA=OC，四边形ABCH是菱形，又ABC=90，四边形ABCH是正方形；（3）解：DF是ABG的中位线，BG=2DF=2，又四边形FBGH是菱形，FH=BG=2，DH=DF+FH=+2=3，四边形ABCH是正方形，AH=AB，DAH=90，AD2+AH2=DH2，设AD=x，则AB=AH=2x，则x2+（2x）2=（3）2，解得：x1=3，x2=-3（舍），AB=2x=6【点拨】本题是四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理，菱形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练

28、掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键23（1），证明见分析；（2）证明见分析；（3）【分析】（1）证明即可求解；（2）连接DG，证明，结合（1）的结论即可求解；（3）连接DG，勾股定理求得的长，继而求得的长，由（1）知，由（2）知，在中，勾股定理可得的长，由四边形是正方形，即可求解（1）解： 证明：四边形是正方形，在和中， （2）证明：如图，连接GF，四边形是正方形，在和中， ，在中，（3）连接DG，在中，由（1）知，由（2）知，在中，四边形是正方形，【点拨】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转模型全等三角形的性质与判定，掌握正方形的性质以及全等三角形的性质与判定是解题的关键24（1）见分

29、析；（2）矩形，理由见分析；（3）18【分析】（1）由可知，进而可证；（2）由，可得，证明四边形是平行四边形，由，可证四边形是矩形；（3）由且，可得，即，可证四边形是正方形，则，设，则，在中，由勾股定理得，即，求出满足要求的值，根据，求的值，根据，计算求解即可解：（1）证明：，在和中，；（2）解：四边形是矩形，理由如下：，四边形是平行四边形，四边形是矩形；（3）解：且，即，四边形是正方形，设，则，在中，由勾股定理得，即，解得：，（舍去），四边形的面积为18【点拨】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用