专题强化一 圆的性质各类考点一遍过-2022-2023学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）.docx

1、专题强化一：圆的性质各类考点一遍练一、单选题1如图所示，在中，则的度数是（）A55B110C125D1502如图，为的直径，点C，D在上，若，则的度数为（）A25B30C40D503如图，点A，B，C，D，E在O上，ABCD，OAB70，则CED（）A70B35C40D204下列命题中：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；圆周角的度数等于圆心角度数的一半；相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴其中正确的说法有（）A1个B2个C3个D4个5如图，点A，B，C，D，E都在O上，BAC15，BOD70，则CED的度数是（）A15B20C25D5

2、56筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2已知圆心O在水面上方，且O被水面截得的弦AB长为6米，O半径长为4米若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A（4）米B2米C3米D（4+）米7如图，O是ABC的外接圆，B60，OPAC于点P，OP2，则AC的长为（）A4BCD8如图，点是的劣弧上一点，则的度数为（）A192B120C132D1509如图，点A，B，C，D是O上的四个点，且，OEAB，OFCD，则下列结论错误的是（）ABCD10如图，线段是半圆O的直径。分别

3、以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，若，则的长是（）AB4C6D11如图，AB是O的直径，弦CDAB于E，若ABC30，OE1，则OD长为（）A3BCD212如图，AB是O的直径，CD是弦，则的度数是（）A50B45C40D3513如图，AB为O的直径，半径OA的垂直平分线交O于点C，D，P为优弧ABC上一点，则APC（）A20B30C35D4014如图，O是ABC的外接圆，将ABC绕点C顺时针旋转至EDC，使点E在O上，再将EDC沿CD翻折，点E恰好与点A重合，已知BAC=36，则DCE的度数是（）A24B27C30D3315如

4、图，点A，B的坐标分别为A（3，0）、B（0，3），点C为坐标平面内的一点，且BC2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）ABCD16如图，点B，C，D均在O上，四边形OBCD是平行四边形，若点A（不与点B，C重合）也在O上，则BAC（）A30B45C60或120D30或15017如图，O的半径为1，点A、B、C、D在O上，且四边形ABCD是矩形，点P是劣弧AD上一动点，PB、PC分别与AD相交于点E、点F当PAAB且AEEFFD时，AE的长度为（）ABCD二、填空题18如图，等边的三个顶点均在上，连接，则的度数为_19如图，点A、B、C在O上，C45，半径OB的长为3，则AB

5、的长为_20如图，的弦与直径相交，若，则AOD=_度21如图，点在以为直径的上，则的长为_22下列说法中正确的有_（填序号）（1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧23如图，在平面直角坐标系中，已知点、，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，且始终满足，则的最小值为_，的最大值为_24如图，在中、三条劣弧、的长都相等，弦与相交于点，弦与的延长线相交于点，且，则的度数为_25如图，是半圆的直径，四边形和都是正方形，其中，在上，、在半圆上若则正方形的面积与正方形的面积之和是16，则的长为

6、_三、解答题26如图，锐角是内接三角形，弦，垂足为在上取点，使，连接，并延长交于点求证：27如图，AB，DF是O的直径，C，D为O上的点，且，过点D作DEAB于点E(1)证明：F是的中点；(2)若，求FC的长28如图，AB为的直径，CD为弦，于点E，连接DO并延长交于点F，连接AF交CD于点G，连接AC，且(1)求证：；(2)若，求和GD的长29如图，为的直径，E为的中点，弦于点E，连接并延长交于点F，连接(1)求证：是等边三角形；(2)若的半径为2，求的长30如图，AB是的直径，点C为的中点，CF为的弦，且垂足为E，连接交CF于点G，连接CD，AD，BF(1)求证：；(2)若，求BF的长31

7、如图，AB是O的弦，P是O上一个动点（不与A，B重合），过O作OCAP于点C，ODBP于点D(1)试判断CD与AB的数量和位置关系？并说明理由；(2)若，AP=4，则O的半径为_（直接写出答案）32如图，已知是某圆的内接四边形，于，求证：33如图，ABC是O的内接三角形，AE是O的直径，AF是O的弦，且AFBC，垂足为D若BE=6，AB=8(1)求证：BE=CF；(2)若ABC=EAC，求AC的长34内接于，连接，(1)如图1，求证：；(2)如图2，点在外，CDOB，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，点在圆周上（若与点位于AB的两侧），连接EB、EC，若，求的半径长参考答案：1B【分析】

8、连接OC，根据圆周角定理可得BOC=50，DOC=60，根据BOD=BOC+DOC即可求解【详解】如图，连接OC，已知，由圆周角定理可得BOC=50，DOC=60，所以BOD=BOC+DOC=50+60=110故选：D2C【分析】根据圆内接四边形对角互补求得，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解【详解】解：为的直径，四边形是圆内接四边形，故选：C【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，直角三角形两个锐角互余，掌握以上知识是解题的关键3D【分析】连接OD、OC，可得，再由圆周角定理可得CED即可解答【详解】解：连接OD、OC，如下图ABCD

9、，OAB70，OAB70，40，又由圆周角定理可得CED20故选：D【点睛】此题主要考查了圆周角定理，解题关键是正确添加辅助线4A【分析】根据垂径定理、圆周角定理、轴对称和等弧的知识点一一判断即可【详解】解：平分弦的直径不一定垂直于弦，不一定平分弦所对的两条弧，故原说法错误；同弧或等弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，故原说法错误；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故原说法错误；圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，故原说法正确；综上所述，正确的说法有1个；故选：A【点睛】本题考查命题与定理，熟练掌握相应的知识点是解题的关键5B【分析】首先连接BE，由圆周角定

10、理即可得BEC的度数、BED的度数，然后由圆周角定理，再根据角的和差即可得解【详解】：解：连接BE，BOD70，BEDBOD35，BECBAC15，CEDBEDBEC351520，故选：B【点睛】此题考查了圆周角定理注意准确作出辅助线是解此题的关键6A【分析】连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OCAB，AD=BD=3，根据勾股定理求得OD的长，由CD=OCOD即可求解【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点，连接OC交AB于D，则OCAB，AD=BD=AB=3，在RtOAD中，OA=4，AD=3，OD=，CD=OCOD=4，即点到弦所在直线的距离是（4）米，故选：A【点睛】本题

11、考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键7C【分析】由圆周角定理得出AOC2B120，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出OACOCA30，由垂径定理得出APCP，由勾股定理得出AP2，即可得出答案【详解】解：B60，AOC2B120，OAOC，OACOCA30，OPAC，APCP，OA2OP4，AP，AC2AP4，故选：C【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键8C【分析】作圆周角ADB，根据圆周角定理求出D的度数，再根据圆内接四边形性质求出C即可【详解】解：如图，作圆周角ADB，使D在优弧上

12、， AOB96，D AOB48，四边形ADBC是的内接四边形，ACB+D180，ACB132，故选C【点睛】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形性质的应用，正确作辅助线是解此题的关键9D【分析】在同圆中，根据圆心角、弧和弦之间的关系即可判断【详解】解：在O中，故A、C选项正确，不符合题意；，OA=OD，OB=OC OEAB，OFCD， OE=OF故B选项正确，不符合题意故选D【点睛】本题考查圆的对称性，理解同圆中圆心角、弧和弦之间的关系是解题的关键10A【分析】根据作图知CE垂直平分AC，即可得，根据圆的半径得，根据圆周角的推论得，根据勾股定理即可得【详解】解：根据作图知CE垂直平分AC，即，线

13、段AB是半圆O的直径，在中，根据勾股定理得，故选A【点睛】本题考查了圆，勾股定理，圆周角推论，解题的关键是掌握这些知识点11D【分析】先利用垂径定理得到，再根据圆周角定理得到AOD60，然后根据含30度的直角三角形三边的关系得到OD的长【详解】解：CDAB，AB是直径，AOD2ABC23060，在RtODE中，OD2OE212故选：D【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了垂径定理12C【分析】根据直径所对的圆周角是直角推出ACB=90，再结合图形由直角三角形的性质得到ABC=90-CAB=40，进而根据同弧所对的圆周角相

14、等推出D=B=40【详解】解：AB是直径，故选：C【点睛】本题考查圆周角定理，正确理解在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键13B【分析】连接OC，设DC与OA的交点为E，则OE=，求得OCE=30，AOC=60，根据圆周角定理计算即可【详解】如图，连接OC，设DC与OA的交点为E，根据题意，AB为O的直径，半径OA的垂直平分线交O于点C，D，得OE=，OCE=30，AOC=60，APC=30，故选B【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理，圆周角定理是解题的关键14B【分析】延长CD交O于点F，连接AF，则由CD经过圆心O可得CAF

15、90，先由翻折得到BCADCA，ABAD，CADCAB36，然后得到FAO54，再由圆周角定理得到ABAF，进而得到AFAD，也就有ADFAFD63，再由三角形的外角性质得到ACD的大小，最后由旋转的性质得到DCE的大小【详解】解：如图，延长CD交O于点F，连接AF，由题可知，, 垂直平分,CD经过圆心O，CAF90，由翻折得，DCABCA，ABAD，CADCAB36，FAOCAFCAD903654，ABAF，AFAD，ADFAFD（180DAF）（18054）63，ADF是ACD的外角，ACDADFCAD633627，BCA27，由旋转的性质得，DCEBCA27，故选：B【点睛】本题考查了圆

16、周角定理、等腰三角形的判定与性质、旋转的性质、翻折的性质、三角形的外角性质，解题的关键是熟知“直径所对的圆周角为直角”求得DAF的大小15A【分析】作点A关于点O的对称点A根据中位线的性质得到OM= ，求出AC的最大值即可【详解】解：如图，作点A关于点O的对称点A（3，0），则点O是AA的中点，又点M是AC的中点，OM是AAC的中位线，OM=，当AC最大时，OM最大，点C为坐标平面内的一点，且BC2，点C在以B为圆心，2为半径的B上运动，当AC经过圆心B时，AC最大，即点C在图中C位置ACAB+BC3 OM的最大值 故选：A【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM

17、为最大值时点C的位置是解题的关键16D【分析】分点A在优弧BC上和劣弧BC上两种情况，分别连接OC，根据平行四边形的性质及圆的性质可得OBC是等边三角形，进而得到BOC=60，再根据圆周角定理即可解答【详解】解：（1）当点A在优弧BC上时，连接OC，四边形OBCD是平行四边形，BC=OD，BC=OB=OC，OBC是等边三角形，BOC=60BAC=BOC=30；（2）当点A在劣弧BC上位置时，连接OC，四边形ABAC为圆内接四边形，BAC+BAC=180，BAC=30，BAC=150综上BAC的度数为30或150故选：D【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及圆的内接四边形，熟记圆周角定理并作出合理

18、的辅助线是解答本题的关键17A【分析】作辅助线，构建矩形的对角线，根据等边对等角得ABPAPB，由同弧所对的圆周角相等可得ACBACP，根据矩形的四个角都是直角得ABC90，AEEFFD得FC2FD，DCF30，得出ACB30，求出BC的长，则可得AD的长，再三等分即可【详解】解：连接AC、BD，PAAB，ABPAPB，ABPACP，APBACB，ACBACP，ADBC，DACACB，ACPDAC，AFCF，AEEFFD，AF=DE=CF，则FC2FD，设FDx，则FCAF2x，四边形ABCD为矩形，ADBC，ABCADC=BCD90，AC为O的直径，在RtDFC中，FC2FD，DCF30，A

19、CBACP30，O的半径为1，AC2，AB1，BC，ADBC，AEEFFD，AE故选：A.【点睛】本题是有关圆的计算题，考查了矩形，含30的直角三角形的性质、等腰三角形的性质及圆周角、圆心角、弦、弧之间的关系，熟练掌握矩形的四个角都是直角，对角线相等且平分；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等18120#120度【分析】根据圆周角定理，即可求解【详解】解ABC为等边三角形，ABC=60，AOC=2ABC，AOC=120故答案为：120【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键19【分析】首先根据圆周角定理求出AOB的度数，然后解直角三角形求出AB的

20、长【详解】根据题意可知， ，AOB=2ACB=，又知OA=OB=3， 故答案为:【点睛】本题考查圆周角定理以及勾股定理，熟练掌握同弧所对圆周角是圆心角的一半是解题的关键.2080【分析】由题意易得，则有，然后根据圆周角定理可求解【详解】解：AB是的直径，；故答案为80【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键215【分析】根据直径所对圆周角是直角，可知C=90，再利用30直角三角形的特殊性质解出即可【详解】解：AB是直径，C=90，A=30，故答案为：5【点睛】本题考查圆周角定理的推论及特殊直角三角形，关键是掌握直径所对的圆周角等于9022（1）（3）（4）【分析】根据弦、

21、等圆、等弧的定义分别分析即可【详解】解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确；（2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同；（3）半径相等的两个圆是等圆，说法正确；（4）面积相等的两个圆是等圆，说法正确；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦是直径故答案为：（1）（3）（4）【点睛】本题考查了圆的有关概念，熟练掌握弦、等圆、等弧的定义是解题的关键23 4 6【分析】根据点、的坐标，可知点是的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解得的长，再由勾股定理解得的长，最后

22、由点与圆的位置关系解得的最大值与最小值，进而确定的取值范围【详解】解：连接，由题意，得：，要最大，就是点到上的一点的距离最大，在的延长线上，的最小值是，的最大值是，故答案为：；【点睛】本题考查点与圆的位置关系，其中涉及坐标与图形的性质、勾股定理、直角三角形中线的性质等知识，是重要考点，难度较易，将问题转化为求的最大值是解题关键24#70度【分析】连接，由弧、的长相等，可得，设，在中，根据三角形内角和定理建立方程，解方程求得的值，进而即可求解【详解】解：连接，弧、的长相等，设，在中，解得，故答案为：【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，三角形的外角与内角和，掌握弧与圆周角的的关系是解题的关键258

23、【分析】连接ON、OF，设正方形的边长为，正方形边长为，根据正方形的性质和勾股定理可得、，进而得到，化简得，再代入，最后根据两正方形的和为16列方程求解即可【详解】解：连接，设正方形的边长为，正方形边长为，则，四边形和都是正方形，设，由勾股定理得：，得，即，把代入，得，正方形的面积与正方形的面积之和是16，解得（负值舍去），故答案为：8【点睛】本题主要考查了勾股定理在直角三角形中的运用、正方形的性质、圆的性质等知识点，灵活运用勾股定理解决实际问题成为解答本题的关键26见解析【分析】连接，可得，证明，可得，结合，可得，即可得证【详解】解：如图，连接，在与中，（HL），即，【点睛】本题考查了同弧所

24、对的圆周角相等，垂直平分线的性质，HL证明三角形全等，证明是解题的关键27(1)见解析(2)FC=【分析】（1）连接BF，OC，根据，可得CBF=OFB，再由圆周角定理可得COF=BOD，从而可得，进而得到，即可求证；（2）作OHBC于点H，连结BD，先证得OHBDEO，可得OH=DE=2，从而得到，继而得到BE= 1，再由勾股定理可得BD的长，即可求解（1）证明：如图，连接BF，OC，CBF=OFB，COF=2CBF，BOD=2OFB，COF=BOD，AOF=BOD，F是的中点 ；（2）解：作OHBC于点H，连结BD， CBO=BOD，OD=OB，OED=OHB=90，OHBDEO，OH=D

25、E=2，BH=OE，OHBC，BC=3，BH=OE=1.5，即BE=OB-OE=OB-BH=1，FC=BD=【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，根据，得到是解题的关键28(1)见详解(2)，【分析】（1）由平行线的性质可得，然后可得结论；（2）由垂径定理和圆周角定理可求，可证是等边三角形，可得，由勾股定理可求的长，即可求解（1）证明：，；（2）解：如图，连接，是直径，是等边三角形，【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键29(1)见解析(2)【分析】（1）设的半径为，取的中点，连接，根据直角三角

26、形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，根据E为的中点，则，可得是等边三角形，得出，即可得证；（2）根据勾股定理求得的长，根据垂径定理即可求解（1）证明：如图，取的中点，连接，设的半径为， ，为的直径，E为的中点，是等边三角形，是等边三角形，（2）解：的半径为2，为的直径， ，【点睛】本题考查了垂径定理，圆的基本概念，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键30(1)见解析(2)【分析】（1）根据弧与弦的关系证明，根据同弧所对的圆周角相等，证明，结合对顶角相等，根据AAS证明：BFGCDG；（2）连接OF，设O的半径为r,由CF=BD列出关于r的勾股方程即可求解；（1）证明：点C

27、为的中点，AB是的直径，且在BFG和CDG中，BFGCDG（AAS）；（2）如图，连接OF，设O的半径为r, RtADB中，即，RtOEF中，即，即，即，解得：r=1（舍）或3，【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定以及勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键31(1)，理由见解析(2)【分析】（1）先根据垂径定理得到，然后根据三角形中位线定理判断与的关系；（2）连接，根据圆周角定理可得，勾股定理即可求解（1）解：，理由：于点，于点，为的中位线，（2）解：如图，连接，在中，AP=4，解得（负值舍去）的半径为【点睛】本题考查了垂径定理，中位线的性质，勾股定理，圆周角定理，掌

28、握以上知识是解题的关键32见解析【分析】在上截取，连接，利用圆周角定理易得，利用三角形的性质得到即可求解【详解】证明：在上截取，连接，而，又，【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构建三角形全等是解答关键33(1)见解析(2)【分析】（1）由圆周角定理得出ABE=90，得出BAE+BEA=90，由AFBC得出ACD+CAD=90，由圆周角定理得出BEA=ACD，再由同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，即可得出结论；（2）连接OC，根据圆周角定理证明AOC是等腰直角三角形，由勾股定理即可求得（1）证明：AE是O的直径，ABE=90，BAE+BEA=90，AFBC，A

29、DC=90，ACD+CAD=90，BEA=ACD，BAE=CAD，弧BE=弧FCBE=CF（2）解：连接OC，如图所示：AOC2ABC，ABCCAE，AOC2CAE，OAOC，CAOACOAOC，AOC是等腰直角三角形，BE=6，AB=8，ABE=90，AOCO5，【点睛】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、余角的性质、三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理，作出辅助线，证明AOC是等腰直角三角形是解决问题的关键34(1)见解析(2)见解析(3)O的半径长为【分析】（1）利用圆的两个半径构成的三角形是等腰三角形，最后用等腰三角形性质即可得出结论；（2）先判断出CFB=90，进而得出OBD=90，再判断出BCD=ODB，进而判断出CAB=CBA，即可得出结论；（3）先判断出ABE=AEB，进而判断出AEMABN，得出CE-CM=CB+CN，再判断出CM=CN，最后用勾股定理求出BC，即可得出结论（1）如图1，连接OA、OC，OAOBOC，；（2）如图2，连接并延长交于，由（1）知，由（1）知，（3）如图3，连接，过点作于，过点作于，；设，则，在中，根据勾股定理得，在和中，根据勾股定理得，即：，解得或（舍），连接OC交AB于,在中，根据勾股定理得，设，在中，