专题强化二 指对幂函数的综合必刷题-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）.docx

1、专题强化二：指对幂函数的综合必刷题一、单选题1（2022安徽高一期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为()ABCD2（2022河南邓州市第一高级中学校高一阶段练习）已知函数（为常数）若在区间上是增函数，则a的取值范围是（）ABCD3（2022浙江杭州高一期中）设函数，若，则的值为（）ABCD4（2022安徽师范大学附属中学高一期中）已知函数，若，则（）A17B12CD5（2022浙江嘉兴高一期中）已知，试比较a，b，c的大小为（）ABCD6（2022云南省玉溪第一中学高一期中）某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常.排气4分钟后测得车库

2、内一氧化碳浓度为64 ppm（ppm为浓度单位，1 ppm表示百万分之一），经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y（ppm）与排气时间t（分钟）之间存在函数关系（为常数）.若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，则这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态至少需要排气的时间是（）A分钟B分钟C分钟D分钟7（2022福建福州三中高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则函数的值域为（）ABCD8（2022浙江高一期中）当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比

3、率衰减（称为衰减率），大约经过N年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”按照上述变化规律，生物体内碳14原有初始质量为Q，该生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为（）ABCD9（2022浙江温州高一期中）已知函数满足（其中），则函数的图象可能为（）ABCD10（2022全国高一课时练习）设函数f（x）|2x+1|2x1|，则f（x）（）A是偶函数，且在 单调递增B是奇函数，且在 单调递增C是偶函数，且在单调递增D是奇函数，且在 单调递增11（2022宁夏银川高一期中）若幂函数的图像经过点，则它的单调递增区间是（）ABCD12（2022安徽高一期中）设函数，则使得成立的的取值范围是（

4、）ABCD二、多选题13（2022江苏宿迁市第一高级中学高一期中）以下说法中正确的有（）A幂函数在区间上单调递减；B如果幂函数为奇函数，则图象一定经过；C若定义在上的函数满足，则函数是偶函数；D若定义在上的函数满足，则函数是上不是减函数；14（2022浙江杭州高一期中）若幂函数的图象过，下列说法正确的有（）A且B是偶函数C在定义域上是减函数D的值域为15（2022浙江高一期中）若定义域为R的函数同时满足：（1）；（2）当时，；（3）当，时，则可以是（）ABCD16（2022福建省福州格致中学高一期中）已知幂函数，则下列命题正确的有（）A函数为奇函数B函数为减函数C函数的值域为RD若，则17（2

5、022浙江温州中学高一期中）已知函数，则下列说法正确的是()A可能是奇函数B可能是偶函数C是偶函数D是减函数18（2022广东深圳中学高一期中）关于函数，下列结论中正确的是（）A当时，是增函数B当时，的值域为C当时，是奇函数D若的定义域为，则19（2022江苏南京高一期中）约定：如果一个函数的图象上存在一个点，该点的横坐标和纵坐标相等，那么就称该点为该函数的一个回归点，称该函数是一个具有回归点的函数.如果一个函数有且仅有个回归点，那么就称该函数为一个具有个回归点的函数.例如，点和都是函数的回归点，函数是一个具有两个回归点的函数.根据约定，下列选项中正确的是（）A函数是一个具有回归点的函数B具有

6、回归点的函数有无数个C存在无数个具有无数个回归点的函数D已知点是函数的一个回归点，则点也是函数的一个回归点三、填空题20（2022上海财经大学附属中学高一期中）已知常数且，假设无论a取何值，函数的图象恒经过一个定点，则这个定点的坐标为_.21（2022四川成都铁路中学高一阶段练习）函数的定义域_22（2022福建厦门一中高一期中）已知函数是幂函数，且该函数在第一象限是增函数，则m的值是_23（2022浙江台州高一期中）已知函数，则关于的不等式的解集为_.24（2022天津市南开中学滨海生态城学校高一期中）_25（2022北京清华附中朝阳学校高一期中）设函数的定义域为D，若对，使得，则称函数具有

7、性质T，给出下列四个结论：函数具有性质T；函数不具有性质T；函数具有性质T；若函数，具有性质T，则.其中，所有正确结论的序号是_.26（2022安徽师范大学附属中学高一期中）已知函数（），若函数在的最小值为，则实数的值为_.四、解答题27（2022河北元氏县第四中学高一开学考试）已知函数（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并证明；（3）解不等式28（2022浙江省东阳中学高一开学考试）已知幂函数为偶函数.（1）求的解析式；（2）若在上不是单调函数，求实数的取值范围.29（2021全国高一单元测试）已知函数；（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数的单调性；（3）若，求实数的取值范围.3

8、0（2020广东深圳中学高一期中）已知函数.(1)判断的奇偶性并证明你的结论;(2)解不等式31（2021江苏省丹阳高级中学高一期中）已知（1）求的值域（2）若对任意和都成立，求的取值范围32（2022全国高一课时练习）已知函数，函数（1）求函数的值域；（2）若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围33（2021河北衡水市第十四中学高一阶段练习）设函数，.（1）求函数的解析式；（2）设，在上的最小值为，求.34（2022辽宁东北育才学校高一阶段练习）已知函数，对任意a，恒有，且当时，有求；求证：在R上为增函数；若关于x的不等式对于任意恒成立，求实数t的取值范围参考答案：1A【分析】F(x)

9、的定义域为两个函数定义域的交集，列出不等式组求解即可【详解】由题可知，故选：A2B【分析】利用复合函数的单调性可得答案.【详解】因为函数为增函数，若在区间上是增函数，由复合函数的单调性知，必有在区间上是增函数，又在区间上是增函数，所以，故有.故选：B3B【分析】由得出的关系式，计算后代入上面得出的关系式即可【详解】由题意，则，所以故选：B.4A【分析】由可得是奇函数，故利用奇函数的性质即可【详解】因为即，所以，故选：A5B【分析】根据对数函数和指数函数的单调性将与01相比较，即可得到结论.【详解】，.故选：B.6C【分析】根据题意可求得，再解不等式即可得出结论.【详解】由题意可得：当时，代入得

10、：，解得，所以，当时，解得.即一氧化碳含量达到正常状态至少需要排气的时间是分钟.故选：C7D【分析】根据换元法以及反比例函数的单调性即可求解的值域，根据高斯函数的定义即可求解的值域.【详解】由令则，故为，由于在单调递增，故在单调递增，故当时，故，进而，故选：D8D【分析】根据题意，结合半衰期的定义，建立指数函数模型，从而得到函数关系式.【详解】设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为，将刚死亡生物体内碳14含量看成1个单位，根据经过N年衰减为原来的一半，则，即，且生物体内碳14原有初始质量为Q所以生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为即故选:D.9C【分析】由可得出，分析函数的单调性与可

11、判断出函数的图象.【详解】因为，则，因为，则，所以，且函数在上单调递减，故函数的图象如C选项中的函数图象.如选：C.10B【分析】先求出的定义域结合奇偶函数的定义判断的奇偶性，设t|，则ylnt，由复合函数的单调性判断的单调性，即可求出答案.【详解】解：由，得x又f（x）|2x+1|2x1|（|2x+1|2x1|）f（x），f（x）为奇函数，由f（x）|2x+1|2x1|，11可得内层函数t|的图象如图，在（，），（，+）上单调递减，在（，）上单调递增，又对数式y是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f（x）在（，）上单调递增，在（，），（，+）上单调递减故选：B11D【分析】由幂函数所

12、过的点求解析式，进而判断幂函数的单调增区间即可.【详解】解：令幂函数为，由题意知：，解得，所以，所以，在上递增，上递减.故选：D12A【分析】证明函数是偶函数，在是是增函数，然后由奇偶性、单调性转化求解【详解】的定义域是，是偶函数，时，设，从而，所以，即，是增函数，不等式化为，所以，解得故选：A.13ABD【分析】对于A，利用幂函数的性质即可求解；对于B，利用幂函数的性质及奇函数的性质即可求解；对于C，利用偶函数的定义即可求解；对于D，利用函数的单调递减的定义即可求解.【详解】对于A，由幂函数的性质可知，因为，所以函数在区间上单调递减，故A正确；对于B，由幂函数的性质知，幂函数的图象一定经过，

13、因为幂函数为奇函数，由奇函数的性质知，奇函数的图象关于原点对称，所以图象一定经过；故B正确；对于C，函数为偶函数条件有个，定义域关于原点对称，对,都有，仅凭，无法得出，故C错误；对于D，若函数是上是减函数，则，与条件“”矛盾，故函数是上不是减函数，故D正确.故选：ABD.14AB【分析】根据幂函数的定义可得，由经过可得，进而得，结合选项即可根据幂函数的性质逐一求解.【详解】对于A;由幂函数定义知，将代入解析式得，A项正确；对于B;函数的定义域为，且对定义域内的任意x满足，故是偶函数，B项正确；对于C;在上单调递增，在上单调递减，C错误；对于D;的值域不可能取到0，D项错误.故选：AB15BD【

14、分析】根据函数奇偶性、单调性和图象性质判断即可.【详解】A选项：，不满足（1），故A错；B选项：，满足（1）；单调递增，故满足（2）；结合的图象可知，当时，为下凸函数，满足（3），故B正确；C选项：当时，结合反比例函数的图象可知，时，为上凸函数，不满足（3），故C错；D选项：当时，当时，当时，所以满足（1）；当时，单调递增，满足（2）；当时，结合指数函数的图象可知，时，为下凸函数，满足（3），故D正确.故选：BD.16AD【分析】根据幂函数解析式的特点得到，然后结合奇偶性的定义、单调性的定义、图象判断即可.【详解】因为为幂函数，所以，则，定义域为，关于原点对称，且，所以为奇函数，A正确；结合图

15、象可知，的图象不满足自左到右“一直向下”，所以不是解函数，故B错；的值域为，故C错；结合函数的图象可知，时，为凹函数，满足，故D正确.故选：AD.17ACD【分析】判断是否存在a使得对于xR均有f(x)+=0可判断选项A；判断是否存在a使得对于xR均有f(x)=可判断选项B；求解析式即可判断选项C；求解析式并分离常数化简为，结合指数函数和单调性的性质即可判断选项D【详解】f(x)的定义域为R关于原点对称，对于选项A：若f(x)为奇函数，则f(x)+=0，解得，故A正确；对于选项B：若f(x)为偶函数，则f(x)=，但显然，故B错误；对于选项C：，常数函数为偶函数，故C正确；对于选项D：，且在R

16、上单调递增，故在R上单调递减，故D正确故选：ACD18ACD【分析】根据复合函数的单调性可判断A，根据指数函数的性质及不等式的性质可得函数的值域可判断B，根据奇函数的定义可判断C，根据指数函数的性质及基本不等式可判断D.【详解】当时，由函数单调递增，函数在上单调递增，所以在上单调递增，故A正确；因为，所以，故B错误；当时，定义域为R，而，所以是奇函数，故C正确；若的定义域为，则恒成立，即，因为，当且仅当，即时取等号，所以，故D正确.故选：ACD.19ABC【分析】通过计算回归点可判断A；通过举例可判断BCD.【详解】A.令，解得，函数是一个具有回归点的函数，且回归点为；B. 具有回归点的函数有

17、无数个，如幂函数是回归函数,都至少存在回归点（1，1）；C. 存在无数个具有无数个回归点的函数，如函数，且，则其图像上的任何一个点都是回归点；D. 已知点是函数的一个回归点，对于，是函数的一个回归点，但不是函数的一个回归点，排除.故选：ABC.20【分析】根据指数的运算性质进行求解即可.【详解】因为且，当时，所以该函数的图象过点，故答案为：21【分析】由对数的真数大于零和二次根式的被开方数非负，列不等式组求解即可.【详解】要使函数有意义，需满足，即，解得故函数定义域为故答案为：221【分析】根据幂函数的定义即可求出m的值.【详解】由已知是幂函数，且该函数在第一象限是增函数得： 解得 故答案为：

18、123【分析】构造函数为R上单调递增的奇函数，再利用其性质将原不等式转化求解即可.【详解】令，则，故为奇函数，则原不等式变形为等价于.因为是R上的增函数，所以是R上的减函数，所以在R上单调递增，所以，解得.故答案为：.24【分析】直接根据对数和指数的运算法则计算即可.【详解】故答案为：25【分析】根据“性质”的定义对四个结论逐一分析，从而确定正确答案.【详解】，函数的定义域为，对，要使，且，只需，由于，所以具有性质，正确.，对于函数，由于时，所以不存在，使，所以函数不具有性质，正确.，对于函数，时，而，所以不存在，使，所以函数不具有性质，错误.，若函数，具有性质，则对于，使，即，所以，则，所以

19、正确.综上所述，正确的结论为.故答案为：26【分析】利用换元法，令，进而得到，再通过的取值范围与对称轴之间的关系，结合该函数的单调性和最小值之间的关系，即可计算求出【详解】令，则当时，对称轴为；当，即时，在上单调递增，解得：（舍）；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，解得：（舍）或；当，即时，在上单调递减，解得：（舍）；综上所述：.故答案为：.27（1）；（2）详见解析；（3）或.【分析】（1）由指数函数的定义域可得解；（2）由可知函数为偶函数；（3）利用对数函数的单调性可知，得，从而得解.【详解】（1）易知函数，.所以定义域为.（2）由，从而知为偶函数；（3）由条件得，得，解得或.所以不等

20、式的解集为：或.【点睛】本题主要考查了指数型函数的定义域，奇偶性及解指数不等式，属于基础题.28(1) ;(2) .【详解】试题分析：根据幂函数的定义求出的值，再根据偶函数的定义求出的解析式；若函数在上不是单调函数，对称轴在区间内，即可求出实数的取值范围解析：（1）由 或又为偶函数，则：此时：.（2）在上不是单调函数，则的对称轴满足即：.29（1）奇函数；（2）单调增区间为，；（3）或【解析】（1）求出，比较与的关系即可得出奇偶性；（2），则，利用复合函数的单调性判断；（3）利用函数单调性解不等式即可【详解】解：（1）由得，或，又，故函数是奇函数；（2）令，其在上单调递增，又在上单调递增，根据

21、复合函数的单调性可知在上单调递增，又根据（1）其为奇函数可得在上单调递增，所以函数的单调增区间为，；（3），且函数在上单调递增得，解得或30(1) 为奇函数；证明见解析；(2) 【分析】（1）求出函数定义域关于原点对称，再求得，从而得到原函数为奇函数；（2）利用对数式与指数式的互化，得到分式不等式，求得.【详解】（1）根据题意为奇函数；证明：，所以定义域为，关于原点对称 任取，则则有，为奇函数 （2）由（1）知，即，即，或又由，则有，综上不等式解集为【点睛】本题以对数函数、分式函数复合的复合函数为背景，考查奇偶性和解不等式，求解时注意对数式与指数式互化.31（1）； （2）.【分析】（1）利用

22、换元法，将函数转化为关于t的二次函数，根据t的取值范围求得函数的值域（2）根据恒成立条件，得到关于m的二次函数表达式；利用变换主元法看成关于a的函数表达式，进而求得m的取值范围【详解】（1）令 原函数变为： 的值域为.（2）即恒成立令, 图象为线段，则 解得.【点睛】本题考查了换元法及变换主元法在函数最值和取值范围中的综合应用，注意换元后的取值范围，属于中档题32（1）4，)；（2）【分析】（1）将原函数转化为二次函数，根据求二次函数最值的方法求解即可（2）由题意得，求得，然后通过解对数不等式可得所求范围【详解】（1）由题意得，即的值域为4，)（2）由不等式对任意实数恒成立得，又，设，则，当时

23、，=，即，整理得，即，解得，实数x的取值范围为【点睛】解答本题时注意一下两点：（1）解决对数型问题时，可通过换元的方法转化为二次函数的问题处理，解题时注意转化思想方法的运用；（2）对于函数恒成立的问题，可根据题意转化成求函数的最值的问题处理，特别是对于双变量的问题，解题时要注意分清谁是主变量，谁是参数33（1）；（2）.【分析】（1）由，代入得，求得，即可得到函数的解析式；（2）由，得，令，得到函数，利用二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）由函数，且，可得，整理得，解得或（舍去），所以函数的解析式为.（2）由，可得，令，可得函数为增函数，令.若，当时， 若，当时，解得，舍去.综上可知.【点

24、睛】本题主要考查了指数函数图象与性质，以及二次函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记指数的运算性质，以及合理换元法和二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了换元思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.34（）； （）见解析； （）.【分析】根据题意，由特殊值法分析：令，则，变形可得的值，任取，且设，则，结合，分析可得，结合函数的单调性分析可得答案；根据题意，原不等式可以变形为，结合函数的单调性可得，令，则原问题转化为在上恒成立，即对任意恒成立，结合二次函数的性质分析可得答案【详解】根据题意，在中，令，则，则有；证明：任取，且设，则，又由，则，则有，故在R上为增函数根据题意，即，则，又由，则，又由在R上为增函数，则，令，则，则原问题转化为在上恒成立，即对任意恒成立，令，只需，而，当时，则故t的取值范围是【点睛】本题考查函数的恒成立问题，涉及抽象函数的单调性以及求值，其中解答中合理利用函数的单调性和合理完成恒成立问题的转化是解答的关键，同时注意特殊值法的应用，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题