专题强化训练一 相似三角形常考模型高分突破专项-2022-2023学年九年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）.docx

1、专题强化训练一：相似三角形常考几种模型高分突破专项题型一：A字型相似1（2022安徽合肥市第三十中学九年级期中）如图，在中，、分别是、边上的高求证：2（2021辽宁丹东九年级期中）如图，ABD中，A90，AB6cm，AD12cm某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts（1）求t为何值时，AMN的面积是ABD面积的；（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与ABD相似时，求t值3（2022上海九年级专题练习）如图，在ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，（1）求证：D

2、FBE；（2）如且AF2，EF4，AB6求证ADEAEB题型二：8字型相似4（2022北京房山九年级期中）如图，AD与BC交于O点，求CD的长5（2022上海九年级专题练习）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BEAB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD（1）求证：BNDCNM；（2）如果AD2ABAF，求证：CMABDMCN6（2021辽宁鞍山九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，ADAC，ADC，点E为射线BA上一动点，且AEAB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转交BA延长线于点H，DE所在直线与射线CA交于点G

3、（1）如图1，当60时，求证：ADHCDG；（2）当60时，如图2，连接HG，求证：ADCHDG；若AB9，BC12，AE3，请直接写出EG的长题型三：子母型相似7（2022浙江九年级单元测试）如图，在RtABC中，ACB90，点D在AB上，且（1）求证 ACDABC；（2）若AD3，BD2，求CD的长8（2022广东江门市第二中学九年级开学考试）如图，AB是O的直径，点C在O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，COB2PCB（1）求证：CP是O的切线；（2）若M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB6，求MCMN的值9（2021安徽合肥九年级期中）中，点E为的中点，连接并延长交于点F，

4、且有，过F点作于点H（1）求证：；（2）求证：；（3）若，求的长题型四：旋转相似10（2022全国九年级课时练习）观察猜想(1)如图1，在等边中，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等边，连接，则与的数量关系是_(2)类比探究如图2，在等边中，点M是延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由(3)拓展延伸如图3，在等腰中，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等腰，使顶角连按试探究与的数量关系，并说明理由11（2022全国九年级专题练习）在同一平面内，如图，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点，如图，若A

5、BC固定不动，把ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合【探究】求证：【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4(1)的值为_(2)若，则MN的长为_12（2022福建漳州九年级期末）如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，直线AP交CD于E，PFAE交BC于点F，连接AF交BD于M(1)判断APF的形状，并说明理由；(2)连接EF，求EF:PM的值题型五:K字相似13（2022上海七年级专题练习）等边ABC边长为6，P为BC上一点，含30、60的直角三角板60角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转(1)如图1，当P为BC的三等分点，且

6、PEAB时，判断EPF的形状；(2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求EGB的面积；(3)在三角板旋转过程中，若CFAE2，（CFBP），如图3，求PE的长14（2022山东菏泽三模）（1）问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：（2）探究若将90角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由（3）应用如图3，在中，以点A为直角顶点作等腰点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长15（2021全国九年级专题练习）如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FDE

7、D，交直线BC于点F（1）探究发现：如图1，若mn，点E在线段AC上，则 ；（2）数学思考：如图2，若点E在线段AC上，则 （用含m，n的代数式表示）；当点E在直线AC上运动时，中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC，BC2，DF4，请直接写出CE的长题型六：三角形内接矩形模型16（2021全国九年级）如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长_17（2019吉林长春九年级期末）如图，在ABC中，C90，ACBC，AB8点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动过点P作PDAB交折线ACCB于

8、点D，以PD为边在PD右侧做正方形PDEF设正方形PDEF与ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0t4）（1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为 （用含t的代数式表示）（2）当点E落在边BC上时，求t的值（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式（4）作射线PE交边BC于点G，连结DF当DF4EG时，直接写出t的值专题强化训练一、单选题18（2021山东临沂三模）如图，在ABC中，DEBC，若AE2，EC3，则ADE与ABC的面积之比为（）A4：25B2：3C4：9D2：519（2022广东九年级单元测试）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC

9、，BE交于点F若AEF 的面积为2，则ABC的面积为( )A8B10C12D1420（2021江苏无锡九年级期中）如图，边长为10的等边中，点D在边上，且，将含角的直角三角板（）绕直角顶点D旋转，分别交边于P、Q，连接，当时，的长为（）A6BCD21（2021江苏无锡市钱桥中学九年级期中）如图，边长为10的等边中，点在边上，且，将含30角的直角三角板（）绕直角顶点旋转，、分别交边、于、连接，当时，长为（）A6BC10D22（2021黑龙江哈尔滨市虹桥初级中学校九年级阶段练习）如图，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（）ABCD23（2022临平树兰学校九年级阶段练习）如图，在平行四边形AB

10、CD中，点E是AD上一点，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（）ABCD 24（2021江苏南通一模）如图，中，点，分别在，上，把绕点旋转，得到，点落在线段上若点在的平分线上，则的长为（）ABCD25（2022内蒙古呼和浩特市启秀中学一模）如图，在矩形ABCD中，CD4，E是BC的中点，连接AE，tanAEB，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点处，当是直角三角形时，PD的值为（）A或B或C或D或二、填空题(共0分)26（2022河北青龙满族自治县教师发展中心九年级期中）如图，在中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使，那么可添加的条件

11、是_27（2022广东汕头市龙湖实验中学九年级阶段练习）如图，MPN=90，边长为6的正方形ABCD的顶点A、B分别在边PM、PN上移动，连接PC，Q为PC上一点，且PQ=2QC，则线段BQ长度的最小值为_28（2022江苏扬州九年级期末）如图，在边长为6的等边ABC中，D是边BC上一点，将ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF=_29（2021安徽淮北市烈山区淮选学校九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，A=D=120，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若BEF=120，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为

12、_30（2022全国九年级课时练习）如图，在 RtABC中，ACB90，CDAB于点D，已知AD，那么BC_31（2022安徽六安市清水河学校九年级期末）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F设（0）（1）若AB2，1，求线段CF的长为_；（2）连接EG，若EGAF，则的值为_三、解答题(共0分)32（2022江苏无锡市天一实验学校一模）如图，在等边边长为6，O是中心；在中，将绕点A按顺时针方向旋转一周(1)当、分别在、边上，连结、，求的面积；(2)设所在直线与的边或交于点F，当O、D、E三点在一条直线上，求的长；(3)连

13、结，取中点M，连结，的取值范围为_33（2022山东东营三模）已知：如图，在矩形ABCD中，AB8，AD6，连接AC，将三角形ABC沿AC翻折，使B点落在E点处，连接EC，AE，AE交DC于F点(1)求DF的长(2)若将CEF沿着射线CA方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点C沿CA方向所经过的线段长度）当点F平移到线段AD上时，如图，求出相应的m的值(3)如图，将CEF绕点C逆时针旋转一个角a（0aECB），记旋转中的CEF为CEF，过E作EGAD于G点，在旋转过程中，当DCE为等腰三角形时，求出线段EG的长度34（2022上海九年级专题练习）已知：如图，四边形中，平分（1）求证：四边形是

14、菱形；（2）如果点在对角线上，联结并延长，交边于点，交线段的延长线于点（点可与点重合），设长度是是常数，且，求关于的函数关系式，并写出定义域；（3）在第（2）小题的条件下，当是等腰三角形时，求的长（计算结果用含的代数式表示）35（2021江苏九年级）在中，D为上一点，过D作DEBC交于点E，连接设，求的取值范围36（2021山东嘉祥县马集镇中学九年级阶段练习）中，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动设运动时间为t秒（1）求运动时间为多少

15、秒时，P、Q两点之间的距离为10cm?（2）若的面积为，求关于t的函数关系式（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似?37（2021广东佛山市第四中学九年级）如图：在矩形ABCD中，动点以的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒（1）_m，_m，_m（用含t的代数式表示）（2）t为多少秒时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？（3）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由38（2021吉林长春市第五十二中学九年级）【基础巩固】（1）如图1，在ABC中

16、，D为AB上一点，ACDB求证：AC2ADAB【尝试应用】（2）如图2，在ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，BFEA若BF4，BE3，求AD的长39（2021四川省成都市石室联合中学九年级期中）如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CHBE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE（1）求证：CHBE；（2）如图2，若点E是CD的中点，当BE12时，求线段GE的长；（3）设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，点E将CD分成12两部分，求的值40（2021福建省惠安第一中学九年级期中）如图1，在平面直角

17、坐标系中，直线l1：和直线l2：的图象交于y轴上的点C，且分别交x轴于点A和点B（1）求ABC的面积；（2）已知点N为点C关于原点O的对称点，点M是直线AC上一动点，连接BM、BN，MN求BMN周长的最小值；（3）如图2，P为射线AO上一动点，过P作PHAC于H，连接PC，是否存在PCH为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由参考答案：1见详解【分析】先证明，即有，再结合，即可证明【详解】、分别是、边上的高，又，【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握三角形的判定与性质是解答本题的关键2（1），；（2）t3或【分析】（1）由题意得DN2t（cm），AN（122t）

18、cm，AMtcm，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案；（2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值【详解】解：（1）由题意得DN2t（cm），AN（122t）cm，AMtcm，AMN的面积ANAM（122t）t6tt2，A90，AB6cm，AD12cmABD的面积为ABAD61236，AMN的面积是ABD面积的，6tt2，t26t+80，解得t14，t22，答：经过4秒或2秒，AMN的面积是ABD面积的；（2）由题意得DN2t（cm），AN（122t）cm，AMtcm，若AMNABD，则有，即，解得t3，若AMNADB，则有，即，解得t，答：当t3或时，以A、M、N为顶点的三角

19、形与ABD相似【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是解题的关键3（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由题意易得，则有，进而问题可求证；（2）由（1）及题意可知，然后可得，进而可证，最后问题可求证【详解】解：（1）DEBC，DFBE；（2）AF2，EF4，由（1）可知，AE=6，AB6，A=A，ADEAEB【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键41.5【分析】由，可得出，利用相似三角形的性质可得出，代入，即可求出CD的长【详解】解：AD与BC交于O点，【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的

20、关键是掌握相似三角形对应边成比例列式5（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，ABCD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BDCE，根据相似三角形的判定方法，由CMDB可判断BNDCNM；（2）先利用AD2=ABAF可证明ADBAFD，则1=F，再根据平行线的性质得F=4，2=3，所以3=4，加上NMC=CMD，于是可判断MNCMCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论【详解】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，ABCD，而BE=AB， BE=CD，而BECD，四边形BECD为平行四边形，BDCE，CMDB

21、，BNDCNM；（2）AD2=ABAF，AD：AB=AF：AD，而DAB=FAD，ADBAFD，1=F，CDAF，BDCE，F=4，2=3，3=4，而NMC=CMD，MNCMCD，MC：MD=CN：CD，MCCD=MDCN，而CD=AB，CMAB=DMCN【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长也考查了平行四边形的判定与性质6（1）证明见详解；（2）证明见详解；EG的长为或【分析】（1）ADAC

22、，ADC60，可证ACD为等边三角形，根据四边形ABCD为平行四边形，可得AB=CD=BC=AD，B=ADC=60，ADBC，可得HAD=B=60=GCD，由GDH=CDA=60，可证HAD =CDG，即可证ADHCDG（ASA）；（2）根据ADAC，ADC，可得ACD=ADC，根据四边形ABCD为平行四边形，可得ADBC，可得HAD=ADC=GCD，由GDH=ADC，可得ADH =CDG即可；根据点E的位置分两种情况，当点E在AB上时，过C作CNAB于N，过G作GMAE于M，根据四边形ABCD为平行四边形，ABDC，AB=DC=9，AD=BC=12，可证AGECGD，得出AG=3，CG=AC

23、-AG=12-3=9，根据等腰三角形三线合一性质可得AN=BN=，根据勾股定理CN=，由GMCN，再证AMGANC，可求,，EM=AE-AM=，根据勾股定理EG=，当点E在BA延长线上，过C作CNAB于N，过G作GMAE于M，由AECD，GAEGCD，可求GA=6，由GMCN，可证GMACNA，可得，EM=AE-AM=3-，根据勾股定理EG=【详解】（1）证明：ADAC，ADC60，ACD为等边三角形，四边形ABCD为平行四边形，AB=CD=BC=AD，B=ADC=60，ADBC，HAD=B=60=GCD，GDH=CDA=60，HDA+ADG=CDG+ADG=60，HDA =CDG，在ADH和

24、CDG中ADHCDG（ASA）；（2）证明：ADAC，ADC，ACD=ADC，四边形ABCD为平行四边形，ADBC，HAD=ADC=GCD，GDH=ADC，ADH+ADG=CDG+ADG=，ADH =CDG，ADHCDG；解：当点E在AB上时，过C作CNAB于N，过G作GMAE于M，四边形ABCD为平行四边形，ABDC，AB=DC=9，AD=BC=12，EAG=DCG，AEG=CDG，AGECGD，AD=AC=12，AG+CG=AG+3AG=4AG=12，AG=3，CG=AC-AG=12-3=9，AC=AD=BC，CNAB，AN=BN=，在RtBCN中，根据勾股定理CN=，GMCN，AMGAN

25、C，,，EM=AE-AM=，在RtMGE中，根据勾股定理EG=，当点E在BA延长线上，过C作CNAB于N，过G作GMAE于M，AECD，GAE=GCD，GEA=GDC，GAEGCD，AC=GC-GA=3GA-GA=2GA=12,GA=6，AC=AD=BC，CNAB，AN=BN=，在RtBCN中，根据勾股定理CN=，CNAB， GMAE，GMCN，GMACNA，EM=AE-AM=3-，在RtGME中，根据勾股定理EG=，综合EG的长为或【点睛】本题考查图形旋转性质，平行四边形性质，等边三角形判定与性质，三角形全等判定，三角形相似判定与性质，勾股定理，本题难度角度，利用辅助线画出准确图形，掌握以上

26、知识是解题关键7（1）见解析；（2）【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出（2）由得，推出，由相似三角形的性质得，即可求出CD的长【详解】（1），；（2），即，【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键8（1）见解析；（2）18【分析】（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可，根据圆周角定理，易得PCB+OCB=90，即OCCP即可；（2）连接MA，MB，由圆周角定理可得ABMBCM，进而可得MBNMCB，故BM2=MNMC，根据锐角三角函数求出BM，代入数据可得MNMC= BM2=18【详解】（1）证明

27、：OAOC，CAOACO又COB2CAO，COB2PCB，CAOACOPCB又AB是O的直径，ACO+OCB90PCB+OCB90即OCCP，OC是O的半径PC是O的切线；（2）解：连接MA，MB，点M是弧AB的中点，ACMBCMACMABM，BCMABMBMNBMC，MBNMCB，BM2MNMCAB是O的直径，AMB90，AMBMABM=BAM=45，AB6，BMABsin45=，MNMCBM218【点睛】本题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用，等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题9（1）证

28、明见解析；（2）证明见解析；（3）4【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；（2）先根据相似三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后根据平行线分线段成比例定理即可得证；（3）先根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得的长，再根据相似三角形的判定可得，然后利用相似三角形的性质可求出的长，最后在中，利用勾股定理即可得【详解】证明：（1），在和中，；（2）点为的中点，由（1）已证：，设，则，（等腰三角形的三线合一），又，即；（3）由（2）已证：，即，解得，在和中，由（2）可知，设，则，解得或（不符题意，舍去），则在中，

29、【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键10(1)(2)成立(3)【分析】（1）利用可证明，继而得出结论；（2）也可以通过证明，得出结论，和（1）的思路完全一样（3）首先得出，从而判定，得到，根据，得到，从而判定，得出结论（1）证明：、是等边三角形，在和中，（2）解：结论仍成立；理由如下：、是等边三角形，在和中，（3）解：；理由如下：，又，又，【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是仔细观察图形，找到全等（相似）的条件，利用全等（相似）的性质证明结论11(1)

30、8(2)【探究】利用三角形外角的性质可证，又由，可证明结论；【应用】（1）首先求出等腰直角三角形的直角边长，再由，得，则；（2）由，得，由（1）知，得，从而得出答案（1）ABC为等腰直角三角形，同理，；（2）（1）等腰直角三角形的斜边长为4，故答案为：8；（2），故答案为：【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用前面探索的结论解决新的问题是解题的关键12(1)APF是等腰直角三角形，理由见解析(2)EF：PM=2：【分析】（1）过点P作PGBC于点G，交AD于点H，根据正方形的性质证明APHPFG，即可得结论；（2）将ADE绕点A顺时针旋转90得

31、到ABN，利用全等三角形的性质证明AFN=AFE，然后证明APMAFE，可得EF：PM=AP：AF，根据APF是等腰直角三角形，进而可以解决问题（1）解：APF是等腰直角三角形，理由如下：如图，过点P作PGBC于点G，交AD于点H，GH=CD，四边形ABCD是正方形，ADB=45，AD=CD，PHD=90，HPD=45，HD=HP，AH=GP，PFAE，APF=90，APH+FPG=90，PAH+APH=90，PAH=FPG，在APH和PFG中，APHPFG（ASA），AP=FP，APF是等腰直角三角形；（2）解：如图，将ADE绕点A顺时针旋转90得到ABN，ADE=ABN=90，ABC=90

32、，ABC+ABN=180，C，B，N共线，EAF=45，NAF=FAB+BAN=FAB+DAE=45，FAE=FAN，在FAN和FAE中，FANFAE（SAS），AFN=AFE，FMB=AMP，MBF=PAM=45，BFM=APM，APM=AFE，APMAFE，EF：PM=AP：AF，由（1）知：APF是等腰直角三角形，AF：AP=2：，EF：PM=2：【点睛】本题属于几何综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考题的压轴题13(1)等边三角形(2)(3

33、)4【分析】（1）要证三角形EPF是等边三角形，已知了EPF60，主要再证得PEPF即可，可通过证三角形PBE和PFC全等来得出结论，再证明全等过程中，可通过证明FPBC和BEPC来实现；（2）由（1）不难得出CFG90，那么在CFG中，有C的度数，可以根据CF的长求出GC的长，从而求出GB的长，下面的关键就是求GB边上的高，过E作EHBC，那么EH就是所求的高，在直角BEP中，有BP的长，有ABC的度数，可以求出BE、EP的长，再根据三角形面积的不同表示方法求出EH的长，这样有了底和高就能求出GBE的面积；（3）由相似三角形的判定定理得出BPECFP，设BPx，则CP6x，由相似三角形的对应

34、边成比例可求出x的值，再根据勾股定理求出PE的值即可(1)PEAB，B60，因此直角三角形PEB中，BPE30，EPF60，FPBC，在BEP和CPF中，BEPCPF，EPPF，EPF60，EPF是等边三角形(2)过E作EHBC于H，由（1）可知：FPBC，在三角形FCP中，PFC90C30，PFE60，GFC90，直角三角形FGC中，C60，CF4，GC2CF8，GBGCBC2，直角三角形BEP中EBP60，BP4，PE2，BE2，EHBEPEBP，SGBE；(3)在BPE中，B60，BEP+BPE120，EPF60，BPE+FPC120，BEPFPC，又BC，BPECFP，设BPx，则CP

35、6x，解得：x2或4当x2时，在BEP中，B60，BE4，BP2，过E作EHBC于H，则EHBEsinB2，BH2，PH0，即P与H重合，与CFBP矛盾，故x2不合题意，舍去；当x4时，在BEP中，B60，BE4，BP4，则BEP是等边三角形，PE4故PE4【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和等边三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，注意对全等三角形和等边三角形的应用14（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）【分析】（1）由DPC=A=B=90，可得ADPBPC，即可证到ADPBPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由DPCAB，可得ADP=BPC，即可证到ADPBPC

36、，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）先证ABDDFE，求出DF=4，再证EFCDEC，可求FC1，进而解答即可【详解】（1）证明：如题图1，DPC=A=B=90，ADPAPD=90，BPCAPD = 90，ADP = BPC，ADPBPC，ADBC = APBP，（2）结论仍然成立，理由如下，又，设，ADBC = APBP，（3），是等腰直角三角形，,，【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45角将问题转化为一线三角是解题的关键15（1）1；（2）；（3）或【分析】（1）先用等量代换判断出，得到，再判断出即可；（2）方法和一样，先用等量代换判断出，得到，再判断

37、出即可；（3）由的结论得出，判断出，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可【详解】解：当时，即：，即，即，成立如图3，又，即，由有，如图4图5图6，连接EF在中，如图4，当E在线段AC上时，在中，根据勾股定理得，或舍如图5，当E在AC延长线上时，在中，根据勾股定理得，或舍，如图6，当E在CA延长线上时，在中，根据勾股定理得，或（舍），综上：或【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点16【分析】设AM交GF于H点，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可【详解】解：如图，设高AM交GF于H点，四边形DEFG为正方形，GFDE

38、，即：GFBC，AHGF，AGFABC，设正方形的边长为，解得：，故答案为：【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的基本性质是解题关键17（1）2t；（2）；（3）；（4）t或【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：AADP45，即APDP2t；（2）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：ABAP+PF+FB，即2t+2t+2t8，可求t的值；（3）分两种情况讨论，根据重叠部分的图形的形状，可求S与t之间的函数关系式；（4）分点E在ABC内部和ABC外部两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，可求t的值【详解】（1）C90，ACBC，A45B，且DPAB，AA

39、DP45，APDP2t，故答案为2t，（2）如图，四边形DEFP是正方形，DPDEEFPF，DPFEFP90，AB45，AADPBBEF45，APDP2tEFFBPF，ABAP+PF+FB，2t+2t+2t8，t；（3）当0t时，正方形PDEF与ABC重叠部分图形的面积为正方形PDEF的面积，即SDP24t2，当t2时，如图，正方形PDEF与ABC重叠部分图形的面积为五边形PDGHF的面积，APDPPF2t，BF8APPF84t，BFHF84t，EHEFHF2t（84t）6t8，SS正方形DPFESGHE，S4t2（6t8）214t2+48t32，综上所述，S与t之间的函数关系式为.（4）如图

40、，当点E在ABC内部，设DF与PE交于点O，四边形PDEF是正方形，DFPE2PO2EO，DFP45，DFPABC45，DFBC，DF4EG，设EGa，则DF4aPE，PO2aEO，PG5a，t，如图，当点E在ABC外部，设DF与PE交于点O，四边形PDEF是正方形，DFPE2PO2EO，DFP45，DFPABC45，DFBC，DF4EG，设EGa，则DF4aPE，PO2aEO，PG3a，t，综上所述：t或.【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、平行线分线段成比例和重叠部分的面积等知识.先求特殊位置时对应的t值，做到不重不漏，再利用数形结合的思想，确定重叠

41、部分图形的形状是解题的关键18A【分析】根据相似三角形的判定定理得到ADEABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案【详解】解：AE=2，EC=3，AC=AE+EC=5，DEBC，ADEABC，故选：A【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键19C【分析】先利用平行四边形的性质得，AD=BC，由可判断AEFCBF，根据相似三角形的性质得，然后根据三角形面积公式得，则【详解】平行四边形ABCD，AD=BCE为边AD的中点BC=2AEEAC=BCA又EFA=BFCAEFCBF如图，过点F作FHAD于点H，FGBC于点G，则，

42、AEF的面积为2故选C【点睛】本题考查了相似三角形的性质，属于同步基础题20B【分析】如图，过点作于，根据等边三角形，和含角的直角三角形，易证得，从而求得线段，的长度，最后在中利用勾股定理可以求得的长度【详解】如图，过点作于，在等边中，在中，又A=B=60， ，在中，即，已知， ，在中，而,，在中，即故选：B【点睛】本题考查了等边三角形的性质，特殊三角函数值，一线三等角的相似模型，正确找到相似三角形是解题的关键21B【分析】过点作于，根据等边三角形，和含角的直角三角形，易证得，从而求得线段，的长度，最后在中利用勾股定理可以求得的长度【详解】解：过点作于，在等边中，在中，又A=B=60， ，在中

43、，即，已知， ，在中，而,，在中，即故选：B【点睛】本题考查了等边三角形的性质，特殊三角函数值，一线三等角的相似模型，正确找到相似三角形是解题的关键22D【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可【详解】解：ABCD，A选项正确，不符合题目要求；AEDF，CGE=CHD，CEG=D，CEGCDH，ABCD，B选项正确，不符合题目要求； ABCD，AEDF，四边形AEDF是平行四边形，AF=DE，AEDF，； C选项正确，不符合题目要求；AEDF，BFHBAG，ABFA，D选项不正确，符合题目要求 故选D【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判

44、定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键23A【分析】先根据平行四边形的性质得到ABCD，则可判断ABGCFG，ABEDFE，于是根据相似三角形的性质和AE2ED即可得结果【详解】解：四边形ABCD为平行四边形，ABCD，ABGCFG，ABEDFE，AE2ED，AB2DF，故选：A【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题24C【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据计算可知，结合定理两边成比例且夹角相等的三角形相似证明PQCBAC，再根据相似三角形的性质得出CPQ=B，由此可得出PQAB；连接AD，根据PQAB和点D在

45、BAC的平分线上可证ADQ=DAQ，由此可得AQDQ，分别表示AQ和DQ由此可得方程124x2x，解出x，即可求出CP【详解】解：在RtABC中，AB15，BC9，AC12，CC，PQCBAC，CPQB，PQAB；连接AD，PQAB，ADQDAB点D在BAC的平分线上，DAQDAB，ADQDAQ，AQDQPDPC3x，QC=4x在RtCPQ中，根据勾股定理PQ=5x.DQ2xAQ124x，124x2x，解得x2，CP3x6故选C【点睛】本题考查几何变换旋转综合题，勾股定理，相似三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，熟练掌握定理并能灵活运用是解决此题的关键25B【分析】根据矩形的性质得到ABC

46、D，B90，根据勾股定理求得AE，当APD是直角三角形时，分两种情况分类计算即可；【详解】四边形ABCD是矩形，ABCD，B90，CD4，tanAEB，BE3，在RtABE中，AE，E是BC的中点，AD6，由折叠可知，PDPD，设PDx，则PDx，AP6x，当APD是直角三角形时，当ADP90时，ADPB90，ADBC，PADAEB，ABEPDA，x，PD；当APD90时，APDB90，PAEAEB，APDEBA，x，PD；综上所述：当APD是直角三角形时，PD的值为或；故选：B【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键26 （答

47、案不唯一，也可以增加条件：或）【分析】题目中相似的两个三角形已经有一个公共角，可以再增加一对相等的角，用两组角相等判定两三角形相似，也可以增加两组对应边成比例，利用两组边对应成比例及夹角相等判定两三角形相似【详解】若增加条件：ACD=ABC，ACD=ABC，且A=A，【点睛】本题考查相似三角形的判定，比较简单，熟练掌握相似三角形的三种判定方法是解题的关键27#【分析】根据题意，取的中点，连接,，过点作，过点作，当三点共线时，取得最小值，勾股定理求得，根据求解即可【详解】如图，取的中点，连接,，过点作，过点作，四边形是正方形，的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理

48、，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，添加辅助线是解题的关键282.4【分析】根据折叠的性质可得EDF=A，DF=AF，再由等边三角形的性质可得EDF=60，BDE+CDF=BDE+BED=120，从而得到CDF=BED，进而得到BDECFD，再由BD : DE=2 : 3，可得到，即，即可求解【详解】解：根据题意得：EDF=A，DF=AF，ABC是等边三角形，A=B=C=60，EDF=60，BDE+CDF=180-EDF=120，B=60，BDE+BED=180-B=120，BDE+CDF=BDE+BED，CDF=BED，BDECFD， ，即，等边ABC的边长为6 ， ，解得： 故答案为：

49、2.4【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，图形的折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键29【分析】根据题意证明，列出比例式即可求得y关于x的函数关系式【详解】解：A=D=120，BEF=120， AB=6、AD=4，AE=x、DF=y，即故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，函数解析式，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键30【分析】证明BCDBAC，根据相似三角形的性质列式计算即可【详解】解：ACB90，CDAB，ACBCDB90，BB，BCDBAC，即，,BC，故答案为：【点睛】本题考查三角形相似的判

50、定和性质，牢记相关知识点并能结合图形灵活应用是解题关键31 【分析】（1）根据AB2，1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长；（2）证明ADGFGC，得出点G为CD边的中点，根据三角形相似，可以得到CE和EB的比值，从而可以得到的值【详解】解：（1）在正方形ABCD中，ADBC，DAGF，又AG平分DAE，DAGEAG，EAGF，EAEF，AB2，B90，点E为BC的中点，BEEC1，AE，EF，CFEFEC1；故答案为：1；（2）证明：EAEF，EGAF，AGFG，在ADG和FCG中，

51、ADGFCG（AAS），DGCG，设CD2a，则CGa，CFDA2a，EGAF，GCF90，EGC+CGF90，F+CGF90，ECGGCF90，EGCF，EGCGFC，GCa，FC2a，ECa，BEBCEC2aaa，；故答案为：【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，熟练运用相关性质进行推理解答32(1)(2)(3)1DM5【分析】（1）由O是等边三角形的中心，可知OM=，进而得到，从而EOBM，所以可得OD=EN，即可求解；（2）易证AEFOBF，得到，设AF=x，OF=y，求解即可；（3）取AE的中点N，连接MN，

52、DN，由D、N在A上，可知即MN-DN DMDN+MN，易知MN是AEC的中位线，从而求得（1）连接AO，并延长交BC于M，连接OBO是等边ABC的中心OBM=30，BM=MC，AMBCOM= EOBM延长EO交AC于N，则AEN为等边三角形EOBMON=OE，CN=DN=AD=2OD=EN=2（2）连接OB，OA，如图，O是等边ABC的中心OBA=30，OA=OB=2 DAE=30AE=4，DE= 在AEF和OBF中ABO=AED=30，AFE=BFOAEFOBF(AA) 设AF=x，OF=y，则解得，,所以（3）取AE的中点N，连接MN，DN，D,N在A的圆上当D、M、N三点共线时，DM最

53、大或最小，即MN-DN DMDN+MN，MN-2DMMN+2当D、M、N三点共线如图1时，AND为等边三角形，NDA=DAC=60，MNACM，N为中点MN= DM1当D、M、N三点共线如图2时，AND为等边三角形，NDA=BAC=CAE=60，MNACM，N为中点MN= DM5故答案为：1DM5【点睛】本题主要考查了正三角形的中心的概念，三角形的中位线，直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例的性质与判定，相似三角形的判定与性质及方程思想，综合运用相关性质和判定是解题关键33(1)(2)(3)4或【分析】（1）利用矩形性质、折叠性质找出DF、AF之间关系，利用勾股定理解即可；（2）利用

54、平移性质、平行线性质，、对应边成比例，列式即可求解；（3）分，两种情况，分别进行计算（1）解：（1）如图，四边形是矩形，AB=8，AD=6，CD，由折叠可知1=2，又CD，1=3，2=3，AF=CF，设AF=CF= ，则DF=，在中，DF=，由勾股定理得：， 解得，则DF=（2）设平移中的三角形为，如图所示：由勾股定理得：， 由（1）知，由平移性质可知， ，又，解得，.（3）当时，DCE为等腰三角形，E在DC的垂直平分线上，过E作EHCD于点H，则四边形DGEH为矩形，当时，DCE为等腰三角形，过E作EHCD于点H，则四边形DGEH为矩形，连接DE，设，则，由勾股定理得：，综合可得：，解得，【

55、点睛】本题考查折叠的性质、平移的性质、矩形的性质、等腰三角形判定、勾股定理等知识点，综合性较强，有一定难度，特别是第（3）问需要分类讨论，不要出现遗漏34（1）见解析；（2）；（3）或时，为等腰三角形【分析】（1）由题意先判断出DAC=DCA，BAC=BCA，进而得出DCA=BAC，DAC=BCA，即可得出结论；（2）由题意先判断出AEFABC，ABCBEC，得出比例式，即可得出结论；（3）根据题意分三种情况，当CE=EG时，判断出点F，G和点D重合，即：AF=AB，即可得出结论，当CG=CE时，先判断出FDG=FGD，得出FG=FD，即可得出AF=BF，进而判断出FB=AC，即可得出结论；当

56、EG=GE时，判断出CEG=CBF，而CEG=CBF+ACB，进而判断出此种情况不存在【详解】解：（1）证明：，又平分，四边形为平行四边形又四边形是菱形；（2）解：四边形是菱形，即；（3）解：是等腰三角形，当时，此时，点，和点重合，即，当时，即（负值已舍），当时，此种情况不存在综上所述：或时，为等腰三角形【点睛】本题是四边形综合题，主要考查菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，分类讨论的思想，解答本题的关键是找出相关角之间关系35【分析】作AGBC于F点，交DE于G点，设AD=x，首先结合相似三角形的判定与性质推出和的值，然后结合面积公式进行列式，得出二次函数解析式

57、，最后结合二次函数的性质以及自变量的取值范围进行判断即可【详解】解：如图所示，作AGBC于F点，交DE于G点，设AD=x，DEBC，ADEABC，整理得：，点D在AB上，抛物线的开口向下，且当时，取得最大值为，当和时，均有，综上分析，的取值范围是【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，二次函数的性质运用等，掌握相似三角形的判定与性质推出相关线段的比例，以及熟练运用二次函数的性质分析是解题关键36（1）3秒或5秒；（2）；（3）或【分析】（1）根据题意得到AP=4tcm，CQ=2tcm，AC=20cm，CP=（20-4t）cm，根据三角形的面积公式列方程即可得答案；（2）若运动的时间为ts，则C

58、P=（20-4t）cm，CQ=2tcm，利用三角形的面积计算公式，即可得出S=20t-4t2，再结合各线段长度非负，即可得出t的取值范围；（3）分和，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论【详解】（1）解：由运动知，AP=4tcm，CQ=2t cm，AC=20cm，CP=（20-4t）cm，在RtCPQ中，即；秒或秒（2）由题意得，则，因此的面积为；（3）分两种情况：当时，即，解得；当时，即，解得因此或时，以点、为顶点的三角形与相似【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键37（1），；（2）或；（3）四边形ABQP与CPQ的面积不相等，理由

59、见解析【分析】（1）根据矩形和勾股定理的性质，计算得，结合题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案；（2）结合（1）的结论，根据相似三角形的性质列方程并求解，即可得到答案；（3）过点P作，交BC于点M，通过证明，根据相似比的性质，推导得，根据题意列一元二次方程，根据一元二次方程判别式的性质分析，即可得到答案【详解】（1）矩形ABCD中，m 动点以的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿CB向点B移动， 故答案为：，；（2）根据（1）的结论，得， 当，或时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似当时，得；当时，得；（3）如图，过点P作，交BC于点M， 四边形ABQP与CPQ

60、的面积相等,四边形ABQP面积无解，即四边形ABQP与CPQ的面积不相等【点睛】本题考查了代数式、相似三角形、一元二次方程、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形、一元二次方程判别式的性质，从而完成求解38（1）见解析；（2）AD=【分析】（1）证明ADCACB，即可得出结论；（2）证明BFEBCF，得出BF2=BEBC，求出BC，则可求出AD【详解】（1）证明：ACD=B，A=A，ADCACB，AC2=ADAB（2）四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，A=C，又BFE=A，BFE=C，又FBE=CBF，BFEBCF，BF2=BEBC，BC=，AD=【点睛】本题主要考查了相似三

61、角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键39（1）见解析（2）4（3）5或8【分析】（1）可得CHDBEC，根据AAS可证明DHCCEB，即可求解；（2）由三角形全等与平行线的性质，可得则GC2GH，可求出GH的长，故可得到GE的长；（3）点E将CD分成12两部分得到，再分别得到 S1和S2的关系进行求解【详解】解：（1）四边形ABCD是正方形，CDBC，HDCBCE90，DHCDCH90，CHBE，EFC90，ECFBEC90，CHDBEC，DHCCEB（AAS），CHBE；（2）DHCCEB，CHBE，DHCE，CEDECD，CDCB，DHBC

62、，DHBC， ，GC2GH，设GHx，则，则CG2x，3x12，x4即GH4DH=DE，HDG=EDG=45，DG=DGHDGEDG（SAS）GE=GH=4；（3）点E将CD分成12两部分则，当时，DHCE，DCBC，DHBC， ，设SDGHa，则SBCG9a，SDCG3a，SBCD9a3a12a，S12SBCD24a，SDEG：SCEG2：1，SDEG2a，S22aa3aS1：S224a：3a8当时，DHCE，DCBC，DHBC，设SDGH4a，则SBCG9a，SDCG6a，SBCD9a6a15a，S12SBCD30a，SDEG：SCEG1：2，SDEG2a，S22a4a6aS1：S230a

63、：6a5故S1：S25或8【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题40（1）；（2），；（3）存在，或，【分析】（1）先求出点A、B、C的坐标，然后根据AB和OC的长，即可求出答案；（2）作点B的对称点B，连接BN与AC相交于点M，则此时BN=BM+MN存在最小值，然后求出BN的长，即可得到周长的最小值，再求出点M的坐标即可；（3）由题意，可分两种情况进行分析：当点P在线段AO上时，当点P在线段AO的延长线上时，根据相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，求出PH的长，然后求出AP，即可得到点P的坐标【详解】解：（1）直线和直线的图象交于轴上的点，点的坐标，在直线和直线中，令，则，点的坐标，点，的面积为：；（2）如图，作点的对称点，连接与相交于点，OC=，OA=3，OB=1，AC=，BC=2，点在上，连接，则此时存在最小值，点，点的坐标，点的坐标，点，的最小值为，周长的最小值为：，点的坐标，点，直线为：，解得：，点的坐标，；（3）当点在线段上时，为等腰三角形，点为，；当点在线段的延长线上时，点为，；综上所述，存在为等腰三角形，点的坐标为，或，