专题突破练10　三角函数与解三角形解答题.docx

1、专题突破练10三角函数与解三角形解答题1.(2021山东滨州期中)已知向量a=(cos x,sin x),b=(43sin x,4sin x),若f(x)=a(a+b).(1)求f(x)的单调递减区间;(2)求f(x)在区间0,2上的最值.2.(2021北京丰台区模拟)如图,ABC中,B=45,N是AC边的中点,点M在AB边上,且MNAC,BC=6,MN=3.(1)求A;(2)求BM.3.(2021山东潍坊二模)如图,D为ABC中BC边上一点,B=60,AB=4,AC=43.给出如下三种数值方案:AD=5;AD=15;AD=27.判断上述三种方案所对应的ABD的个数,并求ABD唯一时,BD的长

2、.4.(2021海南海口月考)在ABC中,已知a,b,c分别是角A,B,C的对边,bcos C+ccos B=4,B=4.请再在下列三个条件:(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3asin B;b=42;3csin B=bcos C中,任意选择一个,添加到题目的条件中,求ABC的面积.5.(2021辽宁大连一模)如图,有一底部不可到达的建筑物,A为建筑物的最高点.某学习小组准备了三种工具:测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度).(1)请你利用准备好的工具(可不全使用),设计一种测量建筑物高度AB的方法,并给出测量报告;注:测量报告中包括你使用

3、的工具,测量方法的文字说明与图形说明,所使用的字母和符号均需要解释说明,并给出你最后的计算公式.(2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量,并将计算结果汇报给老师,发现计算结果与该建筑物实际的高度有误差,请你针对误差情况进行说明.6.(2021湖北武汉3月质检)在ABC中,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=23,b=6.(1)若cos Acos C=23,求ABC的面积;(2)试问1a+1c=1能否成立?若能成立,求此时ABC的周长;若不能成立,请说明理由.7.(2021湖南长沙模拟)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(b-c)sinCb+a=sin B-

4、sin A.(1)求角A;(2)若a=2,求1tanB+1tanC的最小值.8.(2021江苏南京期中)如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径AB为6,O是圆心,且OCAB.在OC上有一座观赏亭Q,其中AQC=23.计划在BC上再建一座观赏亭P,记POB=02.(1)当=3时,求OPQ的大小;(2)当OPQ越大时,游客在观赏亭P处的观赏效果越佳,当游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,求sin 的值.专题突破练10三角函数与解三角形解答题1.解 由于f(x)=a(a+b)=|a|2+ab=1+43sin xcos x+4sin2x=1+23sin 2x+41-cos2x2=23sin 2x-2cos

5、 2x+3=4sin2x-6+3.(1)由2+2k2x-632+2k(kZ),解得3+kx56+k(kZ),所以f(x)的单调递减区间是3+k,56+k(kZ).(2)由于x0,2,所以2x-6-6,56,故当2x-6=2即x=3时,函数f(x)取最大值7;当2x-6=-6即x=0时,函数f(x)取最小值1.2.解 (1)如图,连接MC,因为N是AC边的中点,且MNAC,所以MC=MA.在RtAMN中,MA=MNsinA=3sinA,所以MC=3sinA.在MBC中,由正弦定理可得MCsinB=BCsinBMC,而BMC=2A,所以3sinAsin45=6sin2A,即3sinA22=62si

6、nAcosA,所以cos A=12,故A=60.(2)由(1)知MC=MA=3sin60=2,BMC=2A=120.在BCM中,由余弦定理得BC2=BM2+MC2-2BMMCcosBMC,所以(6)2=BM2+22-2BM2cos 120,解得BM=3-1(负值舍去).3.解 过点A作AEBC,垂足为点E(图略),则AE=4sin 60=23,当AD=5时,ADAE,所以方案对应ABD无解,当AD=15时,AEADABAC,所以方案对应ABD有两解,当AD=27时,ABAD0),所以在ABD中由余弦定理得(27)2=42+x2-24xcos 60,即x2-4x-12=0,解得x=6或x=-2(

7、舍去).又因为在ABC中易得BC=8,BD=6a,所以BA,因此A=56不合题意舍去,故A=6,从而C=-6-4=712.故ABC的面积S=12absin C=12442sin712=4(3+1).若选择条件,因为bcos C+ccos B=4,所以ba2+b2-c22ab+ca2+c2-b22ac=4,所以a=4.因为3csin B=bcos C,所以3sin Csin B=sin Bcos C,所以tan C=33,于是C=6,从而A=-6-4=712,所以由正弦定理可得asinA=bsinB,所以b=asinBsinA=4sin4sin712=4(3-1),故ABC的面积S=12absi

8、n C=1244(3-1)sin6=4(3-1).5.解 (1)选用测角仪和米尺,如图所示.选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上;在H,G两点用测角仪测得A的仰角分别为,HG=a,即CD=a.测得测角仪器的高是h;(方法一)在ACD中,由正弦定理,得ACsin=CDsin(-),所以AC=CDsinsin(-)=asinsin(-),在RtACE中,有AE=ACsin =asinsinsin(-),所以建筑物的高度AB=AE+h=asinsinsin(-)+h.(方法二)在RtADE中,DE=AEtan,在RtACE中,CE=AEtan,所以CD=DE-CE=AEtan-AEt

9、an=AE(tan-tan)tantan,所以AE=atantantan-tan,所以建筑物的高度AB=AE+h=atantantan-tan+h.(2)测量工具问题;两次测量时位置的间距差;用身高代替测角仪的高度.6.解 (1)由B=23,得A+C=3,cos(A+C)=cos Acos C-sin Asin C,即12=cos Acos C-sin Asin C.因为cos Acos C=23,所以sin Asin C=16.因为asinA=csinC=632=22,所以a=22sin A,c=22sin C.所以SABC=1222sin A22sin Csin B=4sin Asin B

10、sin C=41632=33.(2)假设1a+1c=1能成立,所以a+c=ac.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B,所以6=a2+c2+ac.所以(a+c)2-ac=6,所以(ac)2-ac-6=0,所以ac=3或ac=-2(舍去),此时a+c=ac=3.不满足a+c2ac,所以1a+1c=1不成立.7.解 (1)由(b-c)sinCb+a=sin B-sin A,可得(b-c)sin C=(sin B-sin A)(b+a),由正弦定理得(b-c)c=(b-a)(b+a),即b2+c2-a2=bc,由余弦定理,得cos A=b2+c2-a22bc=12,因为0A0),可得2R=

11、asinA=433,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bcbc,即bca2=4,当且仅当b=c=2时取等号,又1tanB+1tanC=cosBsinB+cosCsinC=cosBsinC+sinBcosCsinBsinC=sin(B+C)sinBsinC=sinAsinBsinC=2R2RsinA2RsinB2RsinC=2Rabc=833bc8334=233,所以1tanB+1tanC的最小值为233.8.解 (1)在POQ中,因为AQC=23,所以AQO=3.又OA=OB=3,所以OQ=3.设OPQ=,则PQO=2-+.由正弦定理,得3sin2-+=3sin,即3sin =cos(-),整理得tan =cos3-sin,其中0,2.当=3时,tan =33.因为0,2,所以=6.故当=3时,OPQ=6.(2)设f()=cos3-sin,0,2,则f()=-sin(3-sin)+cos2(3-sin)2=1-3sin(3-sin)2.令f()=0,得sin =33,记锐角0满足sin 0=33,当00;当02时,f()0,则0,2,又y=tan 单调递增,则当tan 取最大值时,也取得最大值.故游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,sin =33.