中考数学二轮复习专题练习下因动点产生的代数最值问题新人教版.docx

1、因动点产生的代数最值问题1.如图，抛物线的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点为抛物线的顶点（1）直接写出三点的坐标；（2）点为线段上一点（点不与点重合），过点作轴的垂线，与直线交于点，与抛物线交于点，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，若点在点左边，当矩形的周长最大时，求的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形的周长最大时，连接，过抛物线上一点作轴的平行线，与直线交于点（点在点的上方）若，求点的坐标解析：（1）（2）抛物线的对称轴为直线设，其中关于直线对称，设的横坐标为则周长当时，取最大值此时设直线的解析式为则解得直线的解析式为将代入得（3）由（2）知，当矩形的周长最大时，此时点，与

2、点重合，过作轴于，则是等腰直角三角形，设，则，解得当时，当时，或2.如图1，抛物线平移后过点和原点，顶点为，对称轴与轴相交于点，与原抛物线相交于点（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积；（2）如图2，直线与轴相交于点，点为线段上一动点，为直角，边与相交于点，设，试探究：为何值时为等腰三角形；为何值时线段的长度最小，最小长度是多少解析：（1）平移后的抛物线过原点设平移后抛物线的解析式为把代入，得解得平移后抛物线的解析式为提示：过作轴于平移后的抛物线过点和原点平移后的抛物线的对称轴为直线把代入，得（2）当时为等腰三角形，是的中点，解得当时为等腰三角形连接，作于则，即在中， 当且仅当与

3、重合，即时线段的长度最小，最小长度是此时3如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，且，动点在过三点的抛物线上（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，如存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点作轴于点，交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为，连接，当线段的长度最短时，求出点的坐标解析：（1）由，可知设抛物线的解析式为解得抛物线的解析式为（2）存在当是直角顶点时，作交抛物线于点，作轴于设，则解得（舍去），当是直角顶点时，作交抛物线于点，作轴于，交轴于，则轴由，得设，则解得（舍去）综上所述，存在点使得是以为直角边的直角三角形点的坐标为或（3）连

4、接，由题意知，四边形为矩形，则根据点到直线的距离垂线段最短当时最短，即最短由（1）知，在中，则根据等腰三角形的性质，为中点又点的纵坐标为于是解得当线段的长度最短时，点P的坐标为或4.如图，在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新的抛物线，该抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点（1）求点和点的坐标；（2）如图1，有一条与轴重合的直线向右匀速平移，平移的速度为每秒个单位，移动的时间为秒，直线与抛物线交于点当点在轴上方时，求出使的面积为的值；（3）如图2，将直线绕点逆时针旋转，与轴交于点，与抛物线交于点，在轴上有一点，在轴上另取两点（点在点的左侧），线段在轴上平移，当四边

5、形的周长最小时，先简单描述如何确定此时点的位置？再直接写出点的坐标解析：（1）由题意，新的抛物线的解析式为当时，当时，解得（舍去）（2）由题意，点坐标为过点作轴于则整理得解得（舍去）的值是（3）此题有多种方法，下面给出其中一种方法：将点沿着与轴平行的方向向左平移到点，使；作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点点5.如图，已知直线与抛物线交于，两点（1）直线总经过一个定点，请直接写出点坐标；（2）当时，在直线下方的抛物线上求点，使的面积等于；（3）若在抛物线上存在定点,使，求点到直线的最大距离解析：（1）提示：当时，无论取何值，直线总经过定点（2）当时，直线的解析式为令，即，解得点的横坐标为，

6、点的横坐标为过点作轴交直线于点设，则整理得：，解得点的坐标为或（3）设联立消去得：过点作轴，分别过点作轴的平行线，交于点则，由，可得，即，即当，即时，上式对任意实数均成立即点的坐标与无关，连接过点作，垂足为，则当时，点到直线的距离最大，最大距离为6.如图，抛物线经过、两点，与轴正半轴交于点，对称轴为直线（1）求抛物线的函数表达式；（2）设点若是抛物线的对称轴上使得的周长取得最小值的点，过任意作一条与轴不平行的直线交抛物线于两点，试探究是否为定值，请说明理由；（3）将抛物线作适当平移，得到抛物线，其中若当时，恒成立，试求的最大值解析：（1）抛物线经过点，与轴正半轴交于点，对称轴为直线把代入，得：

7、解得抛物线的函数表达式为（2）的长是定值，要使周长最小，只需最小与关于直线对称，只需最小又，为与直线的交点由可得直线为当时，同理设直线的函数表达式为，易得又故是定值，其值为（3）令，设其图象与抛物线交点的横坐标为，且抛物线可以看作由抛物线左右平移得到观察图象可知，随着抛物线向右不断平移，的值不断增大当恒成立时，的最大值在处取得当时，对应的即为的最大值将代入，得解得或（舍去）由，解得的最大值为7.如图，直线与轴、轴分别相交于点经过点且对称轴为的抛物线与轴相交于两点（1）直接写出点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段上以相同的速度由点

8、向点运动（当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动），又轴，交于问在运动过程中，线段的长度是否存在最小值，若有，试求出最小值；若无，请说明理由解析：（1）（2）抛物线的对称轴为抛物线过点抛物线的解析式为（3）由对称性得点设点运动的时间为秒则即过作轴于，则的最小值为线段的长度存在最小值，最小值为8.如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为（1）求点的坐标；（2）连接，过原点作，垂足为，与抛物线的对称轴交于点，连接求证：；（3）以（2）中的点为圆心，为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点过点作的切线，切点为，当的长最小时，求点的坐标，并直接写出点的坐标解析：（1）顶点的坐

9、标为令，得，解得点在点的左侧，（2）过作轴，垂足为则令，则设对称轴交轴于点，即，由勾股定理，得是直角三角形，设交于点，则（3）由的半径为，根据勾股定理，得要使切线长最小，只需长最小，即最小设点坐标为，由勾股定理，得当时，最小值为把代入，得解得又点在对称轴右侧的抛物线上，舍去点坐标为设，则有：解得此时点坐标为或9.如图，直线与抛物线交于两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，抛物线的对称轴与直线交于点（1）若为直线上一动点，求的面积；（2）当四边形是菱形时，求点的坐标；（3）作点关于直线的对称点，以为圆心，为半径作，点是上一动点，求的最小值解析：（1）由解得在的左侧，直线与轴交于点易得直线

10、的解析式为直线的解析式为，直线与之间的距离（2）四边形是平行四边形若四边形是菱形，则点的坐标为或（3）四边形是平行四边形点到对称轴的距离为取中点，则的最小值即为的最小值，为线段的长设直线与相交于另一点点关于直线的对称点为10.在平面直角坐标系中，矩形的边点与坐标原点重合，边分别在轴、轴的正半轴上将矩形沿直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为（1）求与之间的函数关系式；（2）如果将折痕所在直线与矩形的位置分为如图1、图2、图3所示的三种情形，请你分别求出每种情形时的取值范围；（3）直接写出图2情形中折痕的长度的最大值解析：（1）如图2，连接则设点的坐标为，即，点的坐标为连接，在中，（利用图1或图3作答可得出同样的结果）（2）图1中：当与重合时，最小当与重合时，最大，设直线与轴交于点易知，即，图2中：当与重合时，最小，由上知，此时当与重合时，最大，解得当时，不合题意，应舍去当时，符合题意图3中：当与重合时，由上知，此时当与重合时，轴，此时（3）