中考数学几何专项练习：动点路径线段最值问题（解析版）.docx

1、中考数学几何专项练习：动点路径线段最值问题一、填空题1如图，在平行四边形ABCD中，AB2，ABC45，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60得到BF，连接AF，则AF的最小值是 【答案】【分析】如图，以AB为边向下作等边ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得ATTK证明ABFKBE（SAS），推出AFEK，根据垂线段最短可知，当KEAD时，KE的值最小，用勾股定理求出EK即可解决问题【详解】如图，以AB为边向下作等边ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得ATTKBEBF，BKBA，又EBFABK60，ABFKBE，ABFKBE（SAS），AFEK，根据垂线段最短可知

2、，当KEAD时，KE的值最小，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABC45，BAD180ABC135，BAK60，EAK75，AEK90，AKE15，TATK，TAKAKT15，ATETAK+AKT30，设AEa，则ATTK2a，ET=a，在RtAEK中，AK2AE2+EK2，a2+（2a+a）24，a，EK2a+a，AF的最小值为故答案为【点睛】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等的三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题2如图，在一个的网格中，点都在格点上，点P是线段AB上的

3、一个动点，连接OP，将线段OA沿直线OP进行翻折，点A落在点C处，连接BC，以BC为斜边在直线BC的左侧（或下方）构造等腰直角三角形，则点P从A运动到B的过程中，线段BC的长的最小值为 ，线段BD所扫过的区域内的格点的个数为（不包含所扫过的区域边界上的点） 【答案】 4【分析】根据仅当C在OB上时等号成立，由折叠性质可知OA=OC，从而求出BC的最小值；再证明，而且相似比为：1，从而得出点D在以为半径的圆弧上运动，由此画出图形即可得出格点的个数【详解】解：如图，连接OB，AD，又仅当C在OB上时等号成立，BC的最小值，又，BC的最小值，和均为等腰直角三角形，又，即，如图：点D在以为半径的圆弧上

4、运动，当点P与点A重合时，点D在处，当点P与点B重合时，点D在处，线段BD所扫过的区域内的格点的个数为（不包含所扫过的区域边界上的点）4个故答案为：，4【点睛】本题主要考查了对称变换和旋转相似，解题关键是通过旋转相似证明，从而得出点D在以为半径的圆弧上运动，再根据画图得出结论3如图，在RtABC中，BAC90，AB6，AC8，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 【答案】/4.8【分析】设，交于点，四边形PAQC是平行四边形，则，即求的最小值即可，当时，取得最小值，即最小，过点作于点，当重合时，最小，据此即可求得的最小值【详解】如图

5、，设，交于点，过点作于点，四边形PAQC是平行四边形， ，当时，取得最小值，即最小，当重合时，最小，BAC90，AB6，AC8，又故答案为：【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，相似三角形的性质与判定，求得的长是解题的关键4如图RtABC中，BAC90，AB3，AC4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 【答案】【分析】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再证明CABCPO利用对应线段的比得到OP的长度，继而得到PQ的长度【详解】BAC90，AB3，

6、AC4，BC5，四边形APCQ是平行四边形，POQO，COAO，PQ最短也就是PO最短，过O作BC的垂线OP，ACBPCO，CPOCAB90，CABCPO，OP，则PQ的最小值为2OP，故答案为：【点睛】考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题的关键是利用垂线段最短求解，学生要掌握转换线段的方法才能解出本题5如图，RtABC中，ACB90，ACBC8，F为AC中点，D是线段AB上一动点，连接CD，将线段CD绕点C沿逆时针方向旋转90得到线段CE，连接EF，则点D在运动过程中，EF的最大值为 ，最小值为 【答案】 【分析】取BC的中点G，连接DG，依据DCGECF（

7、SAS），即可得出EFDG，再根据点D是线段AB上一动点，利用勾股定理即可得到EF的最大值以及最小值【详解】解：如图所示，取BC的中点G，连接DG，由旋转可得DCEC，DCE90，又ACB90，ACBC8，F为AC中点，CGCF，DCG+ACDECF+ACD90，DCGECF，DCGECF（SAS），EFDG，如图1所示，当GDAB时，DG最短，此时BDG是等腰直角三角形，DGBGsin4542 ，即EF的最小值为2；当D与B重合时，DGBG4；如图2所示，当D与A重合时，DG4，即EF的最大值为故答案为：，2【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质以及旋转的性质的运用，全等三角形的判定是结

8、合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件6已知：如图，等腰直角，点D为外一点，连接CD，BC的长为 【答案】【分析】过作于，过作交的延长线于，由，得到，证出，推出，得到，设，根据勾股定理得到，于是得到【详解】解：过作于，过作交的延长线于，在与中，设，在中，即：，解得：；（不合题意，舍去），故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键7如图，在RtABC中，BAC90，BC5，AB3，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作ADEABC，点N是AC的中点，

9、连接NE，当线段NE最短时，线段CD的长为 【答案】【分析】如图，连接EC，作AHBC于H首先证明ECBC，推出ENEC时，EN的值最小，解直角三角形求出CH，DH即可解决问题；【详解】解：如图，连接EC，作AHBC于HABCADE，AED=ACD，A，D，C，E四点共圆，DAE+DCE=180，DCE=DAE=90，ECBC，NEEC时，EN的值最小，作AGCE交CE的延长线于G在RtABC中，BC=5，AB=3，AC=4，ENCACB，EC=，AH=CG=，NEAG，AN=NC，GE=EC=，HAG=DAE，DAH=EAG，AHD=G=90，AHDAGE，DH=，CD=DH+CH=故答案为

10、【点睛】本题考查相似三角形的性质、勾股定理、垂线段最短、四点共圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考填空题中的压轴题8如图，在中，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得，以EC、EF为邻边构造，连接EG，则EG的最小值为 【答案】9【分析】连接FC，作DM/FC，得DEMFEO，DMNCON，进一步得出DM=，EO=，过C作CHAB于H，可求出CH=，根据题意，EG必过点N，当ENCD时，EG最小，此时四边形EHCN是矩形，故可得EN=CH=，代入EO=求出EO即可得到结论【详解】解：连接FC，交EG于点O，过点D作DM/FC，交EG于点M，如图所示，DM/FC，DEM

11、FEO，DM/FC，DMNCON，,四边形ECGF是平行四边形，CO=FO， ,过点C作CHAB于点H，在RtCBH，B=60，BC=8，CH=BCsin60=4，根据题意得，EG必过点N，当ENCD时，EG最小，此时四边形EHCN是矩形，EN=CH=4，EO=, EG=2EO=9 故答案为：9【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题9如图，在矩形中，分别为，边的中点动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接若点的速度是点的速度的2倍，在点从

12、点运动至点的过程中，线段长度的最大值为 ，线段长度的最小值为 【答案】 【分析】连接EF，则EFAB，过点P作PGCD于点G，如图1，由于，而PG=3，所以当GQ最大时PQ最大，由题意可得当P、A重合时GQ最大，据此即可求出PQ的最大值；设EF与PQ交于点M，连接BM，取BM的中点O，连接HO，如图2，易证FQMEPM，则根据相似三角形的性质可得EM为定值2，于是BM的长度可得，由BHM=BEM=90可得B、E、H、M四点共圆，且圆心为点O，于是当D、H、O三点共线时，DH的长度最小，最小值为DOOH，为此只需连接DO，求出DO的长即可，可过点O作ONCD于点N，作OKBC于点K，如图3，构建

13、RtDON，利用勾股定理即可求出DO的长，进而可得答案【详解】解：连接EF，则EFAB，过点P作PGCD于点G，如图1，则PE=GF，PG=AD=3，设FQ=t，则GF=PE=2t，GQ=3t，在RtPGQ中，由勾股定理得：，当t最大即EP最大时，PQ最大，由题意知：当点P、A重合时，EP最大，此时EP=2，则t=1，PQ的最大值=；设EF与PQ交于点M，连接BM，取BM的中点O，连接HO，如图2，FQPE，FQMEPM，EF=3，FM=1，ME=2，BHM=BEM=90，B、E、H、M四点共圆，且圆心为点O，当D、H、O三点共线时，DH的长度最小，连接DO，过点O作ONCD于点N，作OKBC

14、于点K，如图3，则OK=BK=1，NO=2，CN=1，DN=3，则在RtDON中，DH的最小值=DOOH=故答案为：，【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、四点共圆以及线段的最值等知识，涉及的知识点多、综合性强、具有相当的难度，属于中考压轴题，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键10如图，MON=90，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=4，BC=2.运动过程中点D到点O的最大距离是 【答案】+2【分析】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第

15、三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解【详解】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，ODOE+DE，当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，AB=4，BC=2，OE=AE=AB=2，DE=，OD的最大值为：+2，故答案为+2.【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大是解题的关键11如图，点E，F分别在矩形的边上，连接，将沿直线翻折得到连接，当点F在

16、线段上运动时，则四边形面积的最小值是 【答案】【分析】连接，作于点M，利用得到，求出，再由，当的面积最小时，的面积最小计算即可【详解】如图，连接，作于点M，在中，即：，当的面积最小时，的面积最小，当与重合时，点H到直线的距离最小，最小值为：，最小值为：，的面积最小值为：故答案为：【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定与性质，利用分割法表示四边形的面积是解题的关键12已知菱形中，边上有点点两动点，始终保持，连接取中点并连接则的最小值是 【答案】3【分析】过D点作DHBC交BC延长线与H点，延长EF交DH与点M，连接BM由菱形性质和可证明，进而可得，由BM最小值为BH即可求解【详解】解：过D点

17、作DHBC交BC延长线与H点，延长EF交DH与点M，连接BM在菱形中，又，又，当BM最小时FG最小，根据点到直线的距离垂线段最短可知，BM的最小值等于BH，在菱形中， ，又在RtCHD中，AM的最小值为6，的最小值是3故答案为：3【点睛】本题考查了动点线段的最小值问题，涉及了菱形的性质、等腰三角形性质和判定、垂线段最短、中位线定理等知识点；将“两动点”线段长通过中位线转化为“一定一动”线段长求解是解题关键13如图，在四边形ABCD中，且，点E是AB的中点，连接DE，当DE取最大值时，AC的长为 【答案】【分析】如图1，连接CE，过点E作EFED，且EF=DE，连接CF、DF，根据等腰直角三角形

18、的性质可得CE=AE，CEAB，根据角的和差关系可得AED=CEF，利用SAS可证明AEDCEF，根据全等三角形的性质可得AD=CF，根据三角形三边关系可得当C、D、F共线时DF最长，此时DE取最大值，如图2，过E作EGDF于G，根据等腰直角三角形的性质可得EG=DF=3，进而可求出CG的长，利用勾股定理可求出CE的长，利用勾股定理即可得答案【详解】如图1，连接CE，过点E作EFED，且EF=DE，连接CF、DF，且，ABC是等腰直角三角形，点E为AB中点，CE=AE，CEAB，DCE+AED=90，DCE+CEF=90，AED=CEF，在AED和CEF中，AEDCEF，AD=CF，在CDF中

19、，CD+CFDF，当C、D、F共线时DF最长，此时DF=CD+CF=CD+AD=6，DEF是等腰直角三角形，DF取最大值时，DE取最大值，如图2，当C、D、F共线时，过E作EGDF于G，DF=6，DEF是等腰直角三角形，EG=DG=DF=3，CG=DG-CD=3-2=1，CE=，AC=故答案为：【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系及勾股定理，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质及全等三角形的判定定理是解题关键14如图，在ABC中，BC9，AC12，AB15，D为直线AB上方一点，连接AD，BD，且ADB90，过D作直线BC的垂线，垂足为E，则线段BE的

20、长度的最大值为 【答案】12【分析】依题意得，所以是直角三角形，又因为ADB90，所以点A、D、C、B在以AB为直径的圆上，依题意可知当时，BE最大，据此求解即可【详解】解：在ABC中，BC9，AC12，AB15，ADB90，共圆取的中点 连接，过点作于点如图，当时， 最大，此时， ， ，四边形是矩形，故答案为：12【点睛】本题考查了四点共圆，平行线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质等知识，判定四点共圆是解题的关键15如图，在和中，E为的中点，将绕点O旋转，直线，交于点F，连接，则的最小值是 【答案】【分析】取的中点，连接，则，当三点共线时，最小，证明，进而推出，进而得到，根据三角形中位线定理

21、以及斜边上的中线等于斜边的一半，求出，进而求出的最小值【详解】解：取的中点，连接，则，当三点共线时，最小，是的中点，为的中点，的最小值为：；故答案为：【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，中位线定理，斜边上的中线熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键16如图，ABC中，AB2，ABC60，ACB45，点D在直线BC上运动，连接AD，在AD的右侧作ADEABC，点F为AC中点，连接EF，则EF的最小值为 【答案】【分析】作射线CE，设AC交DE于点J，过点A作AHBC于点H利用相似三角形的判定和性质证明ACE60，推出点E的运动轨迹是射线CE，当EFCE时，EF的值最小，此

22、时EFCFsin60【详解】解：作射线CE，设AC交DE于点J，过点A作AHBC于点H在RtABH中，AHABsin60 ，ACH45，AHCH，ACAH，AFCF，ADEABC，JCDAEJ，ABCADE60，AJEDJC，AJEDJC，AJDEJC，AJDEJC，ADJACE60，点E的运动轨迹是射线CE，当EFCE时，EF的值最小，此时EFCFsin60故答案为：【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.17如图，在矩形ABCD中，AB4，BC，对角线AC、BD相交于点O，现将一个直角三角板OEF的直角顶点与O重

23、合，再绕着O点转动三角板，并过点D作DHOF于点H，连接AH.在转动的过程中，AH的最小值为 【答案】22【分析】取OD的中点G，过G作GPAD于P，连接HG，AG，依据ADB=30，可得PGDG=1，依据DHO=90，可得点H在以OD为直径的G上，再根据AH+HGAG，即可得到当点A，H，G三点共线，且点H在线段AG上时，AH最短，根据勾股定理求得AG的长，即可得出AH的最小值【详解】如图，取OD的中点G，过G作GPAD于P，连接HG，AGAB=4，BC=4AD，BD8，BD=2AB，DO=4，HG=2，ADB=30，PGDG=1，PD，AP=3DHOF，DHO=90，点H在以OD为直径的G

24、上AH+HGAG，当点A，H，G三点共线，且点H在线段AG上时，AH最短，此时，RtAPG中，AG，AH=AGHG=22，即AH的最小值为22故答案为22【点睛】本题考查了圆和矩形的性质，勾股定理的综合运用，解决问题的关键是根据DHO=90，得出点H在以OD为直径的G上18如图，点在线段上，等腰的顶角，点是矩形的对角线的中点，连接，若，则的最小值为为 【答案】【分析】过D作DGAC于G，取FC中点H，连接MH，HB由等腰的顶角，可得DG平分ADC，AG=CG=，可求GDC=60，DCG=30，在RtDGC中，由勾股定理DC2=DG2+GC2，即4DG2=DG2+9，可求DG=，CD=2由M，H

25、为中点，可得MH=，根据两点之间线段最短，可得MBMH+HB，MH为定值，HB最小时，MB最短，BHCF，可求HCB=60，CH=，由勾股定理BH=，BH最小=【详解】解：过D作DGAC于G，取FC中点H，连接MH，HB，等腰的顶角，DG平分ADC，AG=CG=，GDC=60，DCG=90-GDC=90-60=30，CD=2DG，在RtDGC中，由勾股定理DC2=DG2+GC2，即4DG2=DG2+9，DG=，CD=2，M，H为中点，MH=，根据两点之间线段最短，则有MBMH+HB，MH为定值，HB最小时，MB最短，BHCF，HCB=180-DCA-DCF=180-30-90=60，CH=，B

26、H=，BH最小=，故答案为：【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，30角直角三角形性质，三角形中位线，三角形三边关系，掌握等腰三角形的性质，勾股定理，30角直角三角形性质，三角形中位线，三角形三边关系是解题关键19如图，正方形的边长为8，线段绕着点逆时针方向旋转，且，连接，以为边作正方形，为边的中点，当线段的长最小时， 【答案】【分析】连接BD，BF，FD，证明EBCFBD，根据题意，知道M，F，D三点一线时，FM最小，然后过点M作MGBD，垂足为G，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理分别求出MG和DG的长，再根据正切的定义计算即可【详解】解：连接BD，BF，FD，如图，FBD+DBE=

27、45，EBC+DBE=45，FBD=EBC，EBCFBD，FDB=ECB，DF=，由题意知：FM、DF、DM三条线段满足FM+DFMD，其中DM、DF的值一定，当M，F，D三点一线时，FM最小，过点M作MNBD，垂足为G，MBN=45，BM=AB=4，MN=BN=2，MD=4，DG=6，=，故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质，手拉手相似模型，锐角三角函数，勾股定理，三角形面积，线段最值模型，熟练构造相似模型，准确确定线段最小值的条件是解题的关键20如图，在矩形ABCD中，AB4，BC，M为BC边中点，E为AD边上的一动点，过点A作BE的垂线，垂足为F，连接FM，则FM的最小值为 在线段F

28、M上取点G，使GMFM，将线段GM绕点M顺时针旋转60得到NM，连接GN，CN，则CN的最小值为 【答案】 2 【分析】如图，取AB的中点O，连接OF，OM，在MO上截取MR，使得MR=MO，将MR绕点M顺时针旋转60得到MT，连接RT，TN，CT，RG求出TN，TC，根据CNTC-TN，可得结论【详解】解：如图，取AB的中点O，连接OF，OM，在MO上截取MR，使得MR=MO，将MR绕点M顺时针旋转60得到MT，连接RT，TN，CT，RGMR=MO，MG=FM，RGOF，RG=，四边形ABCD是矩形，OBM=90，AB4，BC，M为BC边中点，O为AB边中点，OB=2，BM=2，OM=4，F

29、MOM-OF，FM4-2=2，FM的最小值为2，tanBMO=，BMO=30，RMT=60，BMT=TMC=90，MT=MR=OM=3，CT=，RMT=GMN=60，RMG=TMN，在RNG和TMN中，RMGTMN（SAS），RG=TN=，CNCT-TN=，CN的最小值为故答案为：2，【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助项，构造全等三角形解决问题，属于填空题中的压轴题21如图，在矩形中，动点从点出发沿运动，同时，点从点出发沿运动连接，过点作于点，连接，若点的运动速度是点的倍，则在点从点

30、运动到点的过程个，线段的最小值是 【答案】【分析】如图，延长交的延长线于，证明，可得，由，可得在以为直径的圆上运动，而，设的中点为，则，过作，由，则在上，可得，当，三点共线时，最小，从而可得答案【详解】解：如图，延长交的延长线于，点的运动速度是点的倍，矩形，又在以为直径的圆上运动，而，设的中点为，则，过作，由，则在上，则，当，三点共线时，最小，故答案为：【点睛】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，证明在以为直径的圆上运动是解本题的关键22如图，在矩形中，点E是上的动点，点F是的中点相交于点G，则的最小值为 【答案】【分析】如图：分别以所在直线建立直

31、角坐标系，作,延长交于点P；先通过判定、得到、；设,则，得到，即；说明点G在直线上且，的最小值为点A到直线的垂线段长度，最后根据两点间距离公式和二次函数的性质即可解答【详解】解：如图：分别以所在直线建立直角坐标系，作,延长交于点P四边形为矩形,又分别是和对应边上的高设,则，即，即，即点G在直线上且的最小值为点A到直线的垂线段长度当时，有最小值，则的最小值为故答案为【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数求最值等知识点，通过三角形的判定与性质得到点G在直线上且成为解答本题的关键23如图，在边长为4的正方形中，点是边上的动点（点不与，重合），连接，过点作于点，点是点关于直

32、线的对称点，连接，.则当取得最小值时，的面积是 .【答案】【分析】先确定F点的位置，再求出G点到的距离，最后求出G点到的距离后即可求解【详解】解：点是点关于直线的对称点，F点在以为直径的圆上，如图所示，连接，当C点、F点、O点三点共线时，最小，与的交点即为当取得最小值时F点的位置，连接与的延长线交于点N，由题意得，正方形中，过F点作于P，是直径，且，点是点关于直线的对称点，设G点到的距离为a，则到的距离为，的面积是，故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、轴对称、辅助圆等知识，解题关键是能利用辅助圆确定动点的轨迹，能构造相似三角形，利用相似三角形的性质求线段的长24已

33、知在中，点，分别在直角边和上运动，当点到达点时，点停止运动，点为的中点，则的最小值为 【答案】【分析】取的中点，的中点，连接，根据题意，当在上运动时，在上运动，当时，取得最小值，进而勾股定理即可求解【详解】解：如图，取的中点，的中点，连接，,，根据题意可得，当在点时，在点，点与点重合，当在点时，在点，点与点重合，当在上运动时，在上运动，当时，取得最小值，在中，,故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理，三角形中位线的性质，确定的运动轨迹是解题的关键25如图，在边长为的等边中，动点在边上（与点，均不重合），点在边上，且，与相交于点，连接当点在边上运动时，的最小值为 【答案】【分析】作辅助线，建立全等

34、三角形，证明和，证明，再作的外接圆，即点在以为圆心，为半径的圆上运动，计算和的长，计算其差可得结论【详解】解：如图，过点作，过点作，是等边三角形，四边形是菱形，如图，作的外接圆，即点在以为圆心，为半径的圆上运动，连接，交于，交于，此时最小，是的垂直平分线，的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了菱形的判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的全等的性质和判定，圆周角定理，垂径定理等知识，正确作辅助线证明是解本题的关键26在菱形中，点P是对角线上一动点，点Q是边上一动点，与始终相等，连结，交点为E，连结，则的最小值是 【答案】【分析】先证明，根据定长定角构造辅助圆，当与相切时，最大，

35、此时最小，设半径，然后利用解直角三角形和相似三角形的性质列出关于的方程，表示出即可求出的最小值【详解】解：在菱形中，又，点P在对角线上运动时，的大小保持不变，作的外接圆，圆心为O，连接、连接交于点F，则，当与相切时，最大，此时最小，设，则菱形边长为，在中，在中，即，解得，的最小值是，故答案为【点睛】本题主要考查了几何最值问题，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，难度较大，解题的关键是根据定长定角构造辅助圆，利用相似三角形的性质列出方程求解27如图，在菱形中，对角线，交于点，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，当线段的长度最小时，的长为 【答案】【分析】如图，连

36、接延长到T，使得，连接构造三角形的中位线，求出最小时，的位置，可得结论【详解】如图，连接延长到T，使得，连接，是等边三角形， ，的最小值为 四边形是菱形， ，的最小值为 与在同一直线上，即D,C,T三点共线当点T在的延长线上时，值最小，即的值最小，如图2中，过点作于点J， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查菱形的性质，三角形中位线定理，解直角三角形，勾股定理，旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题28如图，在正方形ABCD中，AB2，将线段CD绕点C顺时针旋转至射线l，作点D关于射线l的对称点M，连接BM交直线l于点N，当 时，线段AN取得最大值；线段AN的

37、最大值为 【答案】 45 4【分析】通过证明BCD=BND=90，可得点N在以BD为直径的圆上，可得AN最大值为直径BD=4，即此时点N与点C重合，可求的值【详解】解：连接BD，DN，CM四边形ABCD是正方形BCCD2，BCD90点D，点M关于射线l对称CMCD，MNDN，且CNCNMCNDCN（SSS）CMBCDNCDBC，CMCDCMBCCBMCMBCBMCDN，且BOCDONBCDBND90点N在以BD为直径的圆上，AN最大值为直径BDAN最大值为4，即点N与点C重合，且MND9045故答案为45，4【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，确定点N的轨迹是本题的关键29如图，矩形A

38、BCD中，AB6，AD3，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最大值是 【答案】【分析】取中点，连接，可证四边形是平行四边形，可得，由三角形中位线定理可得，可得点在上，可证，则当点与点重合时，此时点与点重合，有最大值，在直角三角形中，由勾股定理可求的长【详解】解：如图，取中点，连接，设与的交点为，连接，四边形是矩形，点是中点，点是中点，四边形是平行四边形，点是的中点，点是的中点，点在上，当点与点重合时，此时点与点重合，有最大值，故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识，确定点的运动轨迹是本题的关键

39、30如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx4的图象与x轴、y轴交于A、B点，点C在线段OA上，点D在直线AB上，且CD2，DEC是直角三角形（EDC90），DEDC，连接AE，则AE的最大值为 【答案】【分析】以CD为边作等边三角形DCG，以G点为圆心，DG为半径作G，利用圆周角定理说明点A在G上，得AG=DG=DC=2，再在EHG中，求EG，当A、G、E三点共线时，AE最大，即可求解【详解】解：如图，以CD为边作等边三角形DCG，以G点为圆心，DG为半径作G，在直线y中，当x0时，y4，当y0时，x，A点坐标为（，0），B点坐标为（0，4），在RtAOB中，OA，OB4，tanDAC，

40、DAC30，点A在G上，AGDGDC2，DEC是直角三角形（EDC90），DEDC，DEC30，DE2，在RtDGH中，HDH30，DE，GH1，在RtEHG中，EG2，当A、G、E三点共线时，AE最大，最大值为2+2【点睛】本题考查了定边对定角模型的建立，圆周角定理，勾股定理，一次函数图象上点的特征，解题关键是线段最值问题时看三角形，已知两边，第三边的最大值就是三点共线时31平面直角坐标系如图所示，以原点为圆心，以2为半径的中，弦长为，点是弦的中点，点坐标为，连接，当弦在上滑动，的最大值是 ；线段扫过的面积为 【答案】 【分析】由垂径定理，可知OC=1，即C是以O为圆心，1为半径的圆上的动点

41、，所以当P、O、C三点共线时，PC最大，PC扫过的图形就是四边形PMON和大扇形MON，据此计算即可【详解】解：连接OC、OBC为AB的中点，OCAB在RtOBC中， ，OB=2OC= 即C是以O为圆心，1为半径的圆上的动点当P、O、C三点共线时，PC最大 PC=PO+OC= 如图，PC扫过的图形为阴影部分，设C点运动形成的以O为圆心，1为半径的圆与x轴交于N点，则ON=1，P（1，）PNx轴，即PN是O的切线，过P点作O的切线PM，交O于M，连接OM，则OMPM，PONPOM在RtPON中，tanPON= PON=75MON=150PC扫过的图形的面积：【点睛】本题考查了垂径定理，圆的面积、

42、勾股定理、扇形的面积，明确当P、O、C三点共线时PC取得最大值是解题的关键32如图，在正方形ABCD中，AB4，点G为BC中点，以BG为边在BC右侧作正方形BEFG，直线AG，CE交于点P现将正方形BEFG绕点B顺时针旋转（1）当旋转30时，CE ；（2）当正方形BEFG绕点B旋转一周时，点P经过的路径长为 【答案】 【分析】延长CB,过点作,根据正方形的性质以及旋转的性质，得出，得到，,运用勾股定理求得CE的长；当正方形旋转到点、在一条直线上时，点到达最高点，连接、，求出；当正方形旋转到点、在一条直线上时，点到达最低点；连接、，求出，求得点运动弧所对圆心角，利用弧长公式求解；【详解】（1）解

43、：如图，延长CB过点作,，AB4，点G为BC中点，在中，故答案为：；（2）正方形，正方形，同理可证，正方形绕点B旋转过程中，存在，所以点在以为直径的圆上运动，如图：当点、在同一直线上时，点与点重合，同理可得，当点、在同一直线上时，所以点路径对应的圆心角是，；故答案为：【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质以及旋转的性质的综合应用，解决问题的关键是画出图形，作辅助线构造直角三角形，结合勾股定理进行计算求解解题时注意分类讨论思想的运用33如图，在中，若点为平面上一个动点，且满足，则线段长度的最小值为 ，最大值为 【答案】 【分析】根据题意进行分类讨论

44、，即当点D在AC右侧时，点D在上运动；当点D在AC左侧时，点D在上运动，再分别计算即可【详解】如图，以AC为底边，在AC的右侧作等腰三角形AOC，使则以O为圆心，以CO长为半径画优弧，连接BO交于点E则当点D在AC右侧时，点D在上运动过点O作于F过点O作于M四边形MCFO为矩形在中，当点D于点E不重合时，当点D于点E重合时，当B、D、O三点共线时（此时，点D与E重合），BD有最小值为如图，以AC为底边，在AC的左侧作等腰三角形AC，使则以为圆心，以C长为半径画优弧，连接B并延长交于点E则当点D在AC左侧时，点D在上运动过点O作于F同可求在中，当点D于点E不重合时，当点D于点E重合时，当B、D、

45、O三点共线时（此时，点D与E重合），BD有最大值为故答案为：，【点睛】本题考查了动点问题，涉及等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理、矩形的判定等，熟练掌握知识点是解题的关键34在中，点是直线上一点，连接，将线段绕逆时针旋转120得到，点、分别是线段、中点，连接，则线段的最小值为 【答案】【分析】先利用已知条件求出AB的长，再通过图形判断当P在直线CD上运动是点N的轨迹是一条直线，当MN垂直于N1N2时值最小，然后通过已知条件求值即可【详解】解：点P在直线CD上移动时，点N的轨迹是一条直线，当MN垂直于N1N2时值最小，如图所示：当P和C重合时N1是CB的中点，当PA和CD重合时，N2是PA

46、的中点，AC=CB=4，ACB=120，CDAB，CD=2，AD=2，则AB=2AD=4，M、N1分别是AC、BC中点，MN1AB，MN1=2，DE=1PA是PA绕点P逆时针旋转120得到的，当PA和CD重合时，PA=PA，APA=120，APD=60，DP=APcos60=4=2，N2是PA的中点，PN2=2，EN2=2+2+1=5，MN1AB，CDAB，MN1CD，在MEN2和N1EN2中，MEN2N1EN2，N2M=N2N1，在RtMN2E中，又，即，故答案为：【点睛】本题主要考查旋转的性质、中位线，三角形全等和垂线段最短等知识，关键是对知识的掌握和运用35如图，正方形中，O是边的中点，

47、点E是正方形内一动点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接、则线段长的最小值为 【答案】【分析】连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90得DM，连接OF，FM，OM，证明EDOFDM ，可得FM=OE=2，由勾股定理可得OM= ，根据OF+MFOM，即可得出OF的最小值【详解】如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90得DM，连接OF，FM，OM， EDF= ODM=90， EDO=FDM，在EDO与FDM中， EDOFDM (SAS) ， FM=OE=2，正方形ABCD中，AB=4，O是BC边的中点， OC=2， OF+MF OM， 线段OF长的最小值为 故答案为：【点睛】本题考查线段长

48、度最短的问题，考查三角形的三边关系、勾股定理正方形的性质，灵活的使用三角形的三边关系的不等式解决最值问题是难点也是常考点36如图，在RtABC中，ACB90，A60，AC2，点P为AB边上的一个动点，连接PC，过点P作PQPC交BC边于点Q，则BQ的最大值为 【答案】2【分析】过Q作QEAB于E，过C作CFAB于F，利用相似三角形的性质根据一元二次方程，利用根的判别式解决问题即可【详解】解：过Q作QEAB于E，过C作CFAB于F，在RtABC中，ACB90，A60，AC2，B30，AB2AC4，BCAC6，AFC90，A60，ACF30，AF，CF3，设PFx，BQy，QEBQy，BEy，PE

49、3yx，PQPC，PEQCFPCPQ90，EQP+EPQEPQ+CPF90，PQECPF，PEQCFP，x2+（y3）x+0，方程有实数解，0，（y3）26y0，整理得，y220y+360，解得y2或y18（舍弃），BQ2，BQ的最大值为2故答案为2【点睛】本题主要考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题37如图，在中，D是边上任意一点，分别作点D关于、的对称点E、F，以、为邻边作平行四边形，边交于点H，则的最小值为 【答案】【分析】根据对称轴的性质推出C、B、E三点共线，设，证明平行四

50、边形是正方形，进而推出，得到，进而用的二次函数表示出，利用最值即可得到答案【详解】解：点D和点E关于对称，、B、E在同一条直线上，设，同理可得：，是等腰直角三角形，四边形是平行四边形，平行四边形是正方形，当时，有最小值，最小值为，故答案为：【点睛】本题考查了轴对称的性质，二次函数的最值，正方形的判定和性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键是设线段长，建立二次函数关系式求最值38如图，在矩形中，E是上一个动点，连接，过点C作的垂线l，过点D作交l于点F，过点D作于点G，点H是中点，连接，则的最小值为 【答案】/【分析】证明，得出，再证，求出，所以，即，可得作的垂直平分线，

51、交的延长线于点T，连接，过点E作于点Q，求出，所以求的最小值，即为求的最小值，过点H作于点J，即为所求最小值设，根据勾股定理可得出，所以，由，可求得的长度【详解】解：在矩形中，于点C，同理可证，于点G，即，如图，作的垂直平分线，交的延长线于点T，连接，过点E作于点Q，即，求的最小值，即为求的最小值，过点H作于点J，HJ即为所求最小值设，则，在中，由勾股定理可知，解得，如图，连接，点H是的中点，即，解得故答案为：【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积等相关知识，根据题意作出辅助线，将所求目标转化为求垂线段的长度是解题关键39如图，在矩形中，点，分

52、别在边，上，且，沿直线翻折，点的对应点恰好落在对角线上，点的对应点为，点为线段上一动点，则的最小值为 【答案】【分析】过点M作于点N，作点E关于的对称点G，连接由勾股定理求出的长，根据锐角三角函数的知识可得，从而可得当G，M，N三点共线时取得最小值，即取得最小值，然后利用锐角三角函数和勾股定理可求出的长【详解】解：如图，过点M作于点N，作点E关于的对称点G，连接，则由折叠的性质可知，四边形是矩形，当G，M，N三点共线时取得最小值，即取得最小值，即取得最小值是故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，折叠的性质，轴对称的性质，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键40如图

53、，矩形中，点是的中点，点是边上一动点将沿着翻折，使得点落在点处，若点是矩形内一动点，连接、，则的最小值为 【答案】/【分析】将绕点顺时针旋转得到，连接，连接，由等腰三角形得出，再由折叠得出点的轨迹在点为圆心，为半径的圆周上，所以的最小值为，即的最小值为，经计算答出答案即可【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接，连接，则，共线，点是的中点， ，由折叠成，点在以点为圆心，为半径的圆上，两点间线段最短，即 ，则的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了两点之间线段最短的应用，掌握图形的旋转及图形的折叠对称的性质，添加辅助线是解题关键二、解答题41如图1，在中，点D，E分别是中点，连接在同一平面内，将绕点

54、A逆时针旋转，射线相交于点P(1)如图2，在旋转过程中，的角度是否不变？若不变，请求出的度数(2)如图2，当时，求线段的长(3)连接，当线段取得最小值时，求线段的值【答案】(1)不变，(2)(3)或【分析】（1）首先证明出，然后根据三角形内角和证明即可；（2）连接首先证明出，进而得到，然后证明出和，利用相似三角形的性质得到，然后利用勾股定理求出，最后利用相似三角形的性质求解即可；（3）根据题意分两种情况讨论，当E，P第一次重合时和当E，P第二次重合时，分别根据勾股定理和相似三角形的性质求解即可【详解】（1）不变，理由如下：点D，E分别为中点，（2）连接，点D，E分别是中点，（3）如备用图1，当

55、E，P第一次重合时，在运动的过程中，当最大时，的值最小在中，过点D作于点F，由，可得，如备用图2，当E，P第二次重合时，与同理，可证，可得，连接，则综上所述，或【点睛】此题考查了旋转综合题，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点42如图，在和中，点为中点，连接（1）如图1所示，若点正好在边上，求证：；（2）如图2所示，点在边上，分别延长，相交于点，当，时，求线段的长度；（3）如图3所示，若，取的中点，连接，在绕点逆时针旋转过程中，求线段的最大值【答案】（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）证明BADCAE，推出ACE=B，可得结论（2）如图2中过点G作GHB

56、C于H首先证明D，H共点，求出AC，AG，可得结论（3）如图3中，取DE的中点F，AC的中点G，连接AF，BG，NG求出BG，GN可得结论【详解】（1）证明：如图1中，（2）解：如图2中过点作于，可以假设，与重合，（3）解：如图3中，取的中点，的中点，连接，的最大值为【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题43在ABC中，ACBC5，tanA，E分别是AB，AC边上的动点，作ADE关于DE对称的图形ADE(1)如图1，当点A恰好与点C重合，

57、求DE的长；(2)如图2，当点A落在BC的延长线上，且AEAB，求AD的长；(3)如图3，若AE=CE，连接AB，F是AB的中点，连接CF，在D点的运动过程中，求线段CF长度的最大值【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由轴对称的性质可得AECE，AED90，由锐角三角函数可求解；（2）由锐角函数和勾股定理可求AB8，AF，AF，即可求解；（3）由三角形的中位线定理可得FOAE，则点F在以点O为圆心，OF为半径的圆上运动，即当点F在CO的延长线上时，CF有最大值，由三角形中位线定理和勾股定理可求解【详解】（1）由题意可得：AECE，AED90，AC5，AE，tanA，；（2）如图，过点作于，延长交于点，设，（负值舍去），设，则，由题意可得：，；（3）如图，过点作于，取的中点，连接，过点作于，点是的中点，点是的中点，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，当点在的延长线上时，有最大值，点是的中点，又，在中，由勾股定理可得：，的最大值为【点睛】本题是几何变换综合题，考查了锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，确定点 的轨迹是解题的关键